Méthode des points fixes

La méthode des points fixes est une technique numérique utilisée pour résoudre des équations du type

g(x)=x. Elle consiste à trouver un point fixe x d'une fonction g(x) en itérant le processus jusqu'à convergence. Voici un organigramme textuel décrivant le processus de la méthode des points fixes : 

1) Début du processus

• • Boîte ovale représentant le début du processus.

2) Initialisation

• • Boîte rectangulaire contenant les étapes d'initialisation :

    • Choix d'une valeur initiale x0.

    • Définition de la fonction itérative g(x).

3) Itération

• • Boîte rectangulaire contenant les étapes de l'itération :

    • Calcul de la prochaine itération x n+1 =g(xn).

    • Vérification de la convergence :∣xn+1 −xn∣<tolerance.

    • Flèche "oui" si convergence atteinte, "non" pour continuer.

4) Affichage de la solution

• • Boîte rectangulaire contenant les étapes d'affichage de la solution xsolution.

5) Fin du processus

• • Boîte ovale représentant la fin du processus

Voici un exemple simple en MATLAB pour illustrer la méthode des points fixes :

function solution = pointFixe(g, x0, tol, max_iterations)

    % g : fonction itérative g(x)

    % x0 : valeur initiale

    % tol : tolérance pour la convergence

    % max_iterations : nombre maximum d'itérations

        x = x0;

    iteration = 0;

        while iteration < max_iterations

         x_next = g(x);

                 if abs(x_next - x) < tol

             solution = x_next;

             return;

         end

                x = x_next;

        iteration = iteration + 1;

        end

        error("La méthode n\'a pas convergé dans le nombre d\'itérations spécifié.");

end

Vous pouvez utiliser cette fonction en définissant votre fonction itérative g(x), une valeur initiale x0 , une tolérance et un nombre maximum d'itérations. Par exemple : 

% Exemple : Résoudre l'équation x = cos(x)

g = @(x) cos(x);

x0 = 0.5;

tolerance = 1e-6;

max_iterations = 100;

solution = pointFixe(g, x0, tolerance, max_iterations);

fprintf('La solution est : %f\n', solution);