Méthode de Simpson

La méthode de Simpson est une technique numérique utilisée pour approximer l'intégrale d'une fonction sur un intervalle donné en utilisant des polynômes quadratiques (fonctions quadratiques). Voici un organigramme textuel pour la méthode de Simpson :

1. Début du processus

1. • Boîte ovale représentant le début du processus.

2. Saisie de la fonction et de l'intervalle

2. • Boîte rectangulaire contenant les étapes pour entrer la fonction à intégrer et spécifier l'intervalle [a, b].

3. Discrétisation de l'intervalle

3. • Boîte rectangulaire pour diviser l'intervalle [a, b] en n sous-intervalles.

4. Largeur d'un sous-intervalle

4. • Boîte rectangulaire contenant le calcul de la largeur d'un sous-intervalle : Δx=(b−a)/2​.

5. Initialisation de la somme

5. • Boîte rectangulaire pour initialiser la somme de l'approximation de l'intégrale : A=0.

6. Itération sur les sous-intervalles

6. • Boîte rectangulaire contenant une boucle pour chaque paire de sous-intervalles i=1,3,5,…,n−1.

6. • • Calcul de l'approximation de l'intégrale sur chaque paire de sous-intervalles à l'aide de la formule de Simpson :

 hi​=(Δx/3)​[f(a+(i−1)Δx)+4f(a+iΔx)+f(a+(i+1)Δx)].

6. • • Ajout de la contribution de chaque paire à la somme : A=A+hi​.

7. Affichage de l'approximation de l'intégrale

7. • Boîte rectangulaire contenant l'affichage du résultat A.

8. Fin du processus

8. • Boîte ovale représentant la fin du processus.

Vous pouvez mettre en œuvre la méthode de Simpson en utilisant le langage de programmation de votre choix. Voici un exemple de code MATLAB pour illustrer la méthode de Simpson : 

function approximation = methodeSimpson(f, a, b, n)

% f : fonction à intégrer

% a, b : bornes de l'intervalle d'intégration

% n : nombre de sous-intervalles (doit être pair)

if mod(n, 2) ~= 0

     error('Le nombre de sous-intervalles doit être pair pour la méthode de Simpson.');

end

delta_x = (b - a) / n;

approximation = 0;

for i = 1:2:n-1

     x_i = a + (i - 1) * delta_x;

     h_i = (delta_x / 3) * (f(x_i) + 4*f(x_i + delta_x) + f(x_i + 2*delta_x));

     approximation = approximation + h_i;

end

end

Vous pouvez utiliser cette fonction de la manière suivante :

 % Exemple : Intégration de la fonction f(x) = x^2 sur l'intervalle [0, 1] avec 4 sous-intervalles

f = @(x) x^2;

a = 0;

b = 1;

n = 4;

resultat = methodeSimpson(f, a, b, n);

fprintf('L''approximation de l''intégrale est : %f\n', resultat);

Cet exemple utilise la fonction f(x)=x2 sur l'intervalle [0,1] avec 4 sous-intervalles pour approximer l'intégrale à l'aide de la méthode de Simpson. Vous pouvez adapter le code en fonction de la fonction que vous souhaitez intégrer et du nombre de sous-intervalles que vous souhaitez utiliser (assurez-vous que le nombre de sous-intervalles est pair).