Méthode de Newton-Raphson

La méthode de Newton-Raphson est une technique numérique utilisée pour trouver les solutions d'une équation f(x)=0. Elle consiste à utiliser une séquence itérative pour converger rapidement vers la solution. Voici un organigramme textuel décrivant le processus de la méthode de Newton-Raphson : 

1) Début du processus

• • Boîte ovale représentant le début du processus.

2) Initialisation

• • Boîte rectangulaire contenant les étapes d'initialisation :

    • Choix d'une valeur initiale x0.

    • Définition de la fonction f(x).

    • Calcul de la dérivée f′(x).

3) Itération

• • Boîte rectangulaire contenant les étapes de l'itération :

    • Calcul de la prochaine itération xn+1=xn−f ′(xn)/f(xn).

    • Vérification de la convergence :∣xn+1−xn∣<tolerance.

    • Flèche "oui" si convergence atteinte, "non" pour continuer.

4) Affichage de la solution

• • Boîte rectangulaire contenant les étapes d'affichage de la solution xsolution.

5) Fin du processus

• • Boîte ovale représentant la fin du processus.

Voici un exemple simple en MATLAB pour illustrer la méthode de Newton-Raphson :

function solution = newtonRaphson(f, df, x0, tol, max_iterations)

    % f : fonction f(x)

    % df : dérivée de f(x)

    % x0 : valeur initiale

    % tol : tolérance pour la convergence

    % max_iterations : nombre maximum d'itérations

        x = x0;

    iteration = 0;

        while iteration < max_iterations

         x_next = x - f(x) / df(x);

                 if abs(x_next - x) < tol

             solution = x_next;

             return;

         end

                 x = x_next;

         iteration = iteration + 1;

     end

        error("La méthode n\'a pas convergé dans le nombre d\'itérations spécifié.");

end

Vous pouvez utiliser cette fonction en définissant votre fonction f(x), sa dérivée f ′(x), une valeur initiale x0, une tolérance et un nombre maximum d'itérations. Par exemple : 

% Exemple : Résoudre l'équation x^2 - 4 = 0

f = @(x) x^2 - 4;

df = @(x) 2*x;

x0 = 2.0;

tolerance = 1e-6;

max_iterations = 100;

solution = newtonRaphson(f, df, x0, tolerance, max_iterations);

fprintf('La solution est : %f\n', solution);