Approximation de Tchebychev

L'approximation de Tchebychev est une méthode qui utilise les polynômes de Tchebychev pour approximer une fonction sur un intervalle donné. Les polynômes de Tchebychev sont particulièrement utiles car ils minimisent l'erreur d'approximation de manière optimale.

L'organigramme textuel pour l'approximation de Tchebychev pourrait ressembler à ceci :

1. Début du processus

1. • Boîte ovale représentant le début du processus.

2. Saisie de la fonction à approximer

2. • Boîte rectangulaire contenant les étapes pour saisir la fonction à approximer et l'intervalle.

3. Choix du degré du polynôme de Tchebychev

3. • Boîte rectangulaire pour spécifier le degré du polynôme de Tchebychev à utiliser.

4. Calcul des points de Tchebychev

4. • Boîte rectangulaire contenant les étapes pour calculer les points de Tchebychev sur l'intervalle spécifié.

5. Évaluation de la fonction aux points de Tchebychev

5. • Boîte rectangulaire pour évaluer la fonction à approximer aux points de Tchebychev.

6. Calcul des coefficients du polynôme de Tchebychev

6. • Boîte rectangulaire contenant les étapes pour calculer les coefficients du polynôme de Tchebychev par interpolation.

7. Affichage du polynôme de Tchebychev

7. • Boîte rectangulaire pour afficher le polynôme de Tchebychev obtenu.

8. Fin du processus

8. • Boîte ovale représentant la fin du processus.

Le processus implique le choix du degré du polynôme de Tchebychev, le calcul des points de Tchebychev, l'évaluation de la fonction à approximer à ces points, et enfin, l'obtention du polynôme de Tchebychev par interpolation. Vous pouvez utiliser ces coefficients pour construire le polynôme et l'utiliser comme une approximation de la fonction originale.

La mise en œuvre précise de ce processus dépend de l'environnement ou du langage de programmation que vous utilisez. Vous devrez utiliser des outils numériques et mathématiques appropriés pour effectuer ces calculs, tels que MATLAB, Python avec NumPy, SciPy, etc.

L'approximation de Tchebychev dans MATLAB implique généralement l'utilisation de la fonction polyfit pour ajuster un

polynôme de Tchebychev à une fonction donnée sur un intervalle spécifié. Voici un exemple simple :

% Fonction à approximer

f = @(x) exp(x);

% Intervalle

a = -1;

b = 1;

% Degré du polynôme de Tchebychev

degree = 5;

% Points de Tchebychev

cheb_nodes = cos((2*(1:degree)-1)*pi/(2*degree));

% ةvaluation de la fonction aux points de Tchebychev

cheb_values = f((b-a)/2 * cheb_nodes + (a+b)/2);

% Approximation polynomiale avec polyfit

poly_coefficients = polyfit(cheb_nodes, cheb_values, degree);

% Affichage du polynôme approximatif

syms x;

poly_approx = poly2sym(poly_coefficients, x);

disp('Le polynôme approximatif est : ');

disp(poly_approx);

% Plot de la fonction originale et de l'approximation

x_vals = linspace(a, b, 1000);

f_vals = f(x_vals);

figure;

plot(x_vals, f_vals, 'b', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Fonction Originale');

hold on;

plot((b-a)/2 * cheb_nodes + (a+b)/2, cheb_values, 'ro', 'DisplayName', 'Points de Tchebychev');

plot(x_vals, polyval(poly_coefficients, x_vals), 'g--', 'LineWidth', 2, 'DisplayName', 'Approximation polynomiale');

xlabel('x');

ylabel('y');

title('Approximation polynomiale');

legend('Location', 'Best');

grid on;

hold off;