Утворена група Геометрія та топологія КНУ, приєднуйся та спілкуйся за посиланням t.me/dgt21

Там можна обговорювати мої лекції та задавати питання по вправам.

Я читаю лекції через Zoom

https://zoom.us/j/2167992095?pwd=YmR4c0JSRVpnZlZSTkxiRDg4R2lMdz09

Диференціальна геометрія та топологія

Перелік запитань на іспит 1 семестр

1. Вектор-функція. Неперервна крива. Гладка крива. Проста та замкнена криві.

2. Дотичний вектор. Регулярна точка. Еквівалентні параметризації.

3. Дотична. Рівняння дотичної.

4. Довжина кривої. Рівність довжин у еквівалентних кривих. Натуральна параметризація, її властивості.

5. Базис Френе кривої в R³. Тригранник Сере-Френе.

6. Кривина та скрут кривої.

7. Рівняння дотичної та нормалі кривої на площині.

8. Орієнтована кривина. Формула для знаходження орієнтованої кривини кривої на площині.

9. Особливі точки лінії, що задані загальними рівняннями.

10. Дотикання кривих. Дотикаюче коло. Центр кривини. Обвідна. Еволюта та евольвента. Їх рівняння.

11. Базис Френе кривої в Rⁿ Формули Френе.

12. Неперервна та гладка системи координат в області в Rⁿ. Матриця Якобі. Регулярна СК. Функції заміни координат.

13. Закон перетворення координат дотичного вектора при заміні криволінійної системи координат. Евклідова метрика в криволінійній СК.

14. Ріманова метрика і скалярний добуток.

15. Еліптична (проективна) геометрія. Група ізометрій проективної площини.

16. Гіперболічна геометрії (геометрія Лобачевського), отримана з псевдосфери. Модель Пуанкаре та модель верхньої півплощини геометрії Лобачевського.

17. Топологічний простір. Відкриті множини. Топологічна структура метричного простора. Приклади: тривіальна, дискретна, коскінчена топологія.

18. Окіл. Критерій відкритості множини. База та передбаза. Критерії бази. Сильніша та слабкіша топології.

19. Індукована топологія та підпростір.

20. Замкнені множини. Замикання та внутрішність. Скрізь щільні множини. Межа множини.

21. Неперервне відображення. Критерії неперервності. Збіжність у топологічних просторах. Гомеоморфізм.

22. Розбиття простору. Зв’язність. Критерій зв’язності. Компоненти зв’язності. Неперервний образ зв’язного простору.

23. Шлях, лінійна зв’язність. Зв’язність лінійно зв’язного простору. Приклад зв’язного, але лінійно незв’язного простору.

24. Тихонів добуток, факторпростір.

25. Аксіоми відокремлюваності. Критерій Т₁-простору. Хаусдорфовий та нормальний простори. Нормальність метричного простору.

26. Лема Урісона.

27. Покриття та підпокриття. Компактні простори. Властивості. Теорема про неперервний образ компактного простору.

28. Теорема Тихонова про топологічний добуток компактних просторів.

29. Компактифікація. Локально-компактний простір. Теорема про існування одноточкової компактифікації.

30. Означення та приклади многовидів

31. Неперервна параметрична поверхня в тривимірному просторі. Гладкі поверхні. Поверхні-графіки та неявні поверхні. Криві на поверхнях, координатні лінії. Дотичний вектор. Особливі (сингулярні) та регулярні точки. Регулярні поверхні. Дотичний простір. Орієнтовані поверхні.

32. Поверхні. Перша квадратична форма, її компоненти. Довжина дуги та кут між кривими на поверхні.

33. Ізометрія. Теорема про рівність перших квадратичних форм ізометричних поверхонь. Група ізометрій.

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. О.А.Борисенко. Диференціальна геометрія та топологія. Х. 1995.

2. Н. И. Кованцов, Г. М. Зражевская, В. Г. Кочаровский, В. И. Михайловский, Дифференциальная геометрия, топология, тензорный анализ. Сб. задач, К., 1989.

3. А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко, Курс дифференциальной геометрии и топологии, М, 1980.

4. О.О.Пришляк. Диференціальна геометрія. К. 2004.

5. А.О.Иванов, А.А.Тужилин. Лекции по классической дифференцальной геометрии. http://dfgm.math.msu.su/files/IvaTuzTerm1.zip

6. А.О.Иванов, А.А.Тужилин. Тензорный анализ на многообразиях. http://dfgm.math.msu.su/files/ivtz2-05.rar

7. Н. И. Кованцов. Дифференциальная геометрия. К. 1973.

8. Э. Г. Позняк, Е. В. Шикин, Дифференциальная геометрия. Первое знакомство, М, 1990.

9. П. К. Рашевский, Курс дифференциальной геометрии, М, 1956.

Теми курсових та дипломних робіт

2 курс ( теми рефератів)

1. Огинаюча сім’ї кривих.

Лит. Дж.Брус, П.Джублин. Кривые и особенности

2. Особливі точки кривих

3. Деякі властивості проективної метрики (проективна геометрія)

4. Властивості гіперболічної метрики (геометрія Лобачевського).

Літ. А.Бердон. Геометрия дискретных групп.

5. Сферичне відображення кривої та його властивості

6. Планарні графи (теорема Куратовського, формула Ейлера).

7. Топологія вузлів та зачеплень. Інваріанти вузлів.

8. Розмірність Хаусдорфа (для множини Кантора та серветки Серпінського).

9. Класифікація кривих та поверхонь другого порядку в проективній геометрії.

10. Поверхні, як склеєні многокутники.

3 курс

1. Ізоморфізми плоских графів

2. Граф Ріба простої функції Морса на поверхні з межею

3. Криві та поверхні другого порядку в проективній геометрії.

4. Моделі геометрії Лобачевського

4 курс

1. Поля Морса на проетивній площині

2. Вкладення графів ввалентності 4 в неорієнтовані замкнені поверхні

3. Функції Морса на пляшці Клейна з діркою

4. Система обертання графа на поверхні з межею

5. Діаграми Хегора неорієнтованих многовидів

5-6 курс

1. Потоки Морса на тривимірному диску

2. Діаграми Хегора 3-многовидів з межею

3. Потки Морса на циліндрі

4. Функції Морса на стрічці Мьобіуса

5.Теорія вузлів в біології та медицині

Диференціальна геометрія та топологія

Перелік запитань на іспит. ІІ семестр (мат.)

1. Неперервна параметрична поверхня в тривимірному просторі. Гладкі поверхні. Поверхні-графіки та неявні поверхні. Криві на поверхнях, координатні лінії. Дотичний вектор. Особливі (сингулярні) та регулярні точки. Регулярні поверхні. Дотичний простір. Орієнтовані поверхні.

2. Перша квадратична форма, її компоненти. Довжина дуги та кут між кривими на поверхні.

3. Ізометрія. Теорема про рівність перших квадратичних форм ізометричних поверхонь. Група ізометрій.

4. Друга квадратична форма, нормальна кривина. Головні кривини. Індикатриса Дюпена.

5. Гаусова та середня кривини. Класифікація точок на поверхні. Теорема Меньє.

6. Дериваційні рівняння Вейнгартена-Гаусса. Символи Кристофеля. Теорема Родріга.

7. Формули Гауса та Петерсона-Кодацці. Теорема Гауса. Теорема Боне.

8. Класифікація напрямків у точці. Лінії кривини та асимтотична лінії.

9. Геодезична кривина. Геодезичні лінії. Їх рівняння.

10. Властивості геодезичних ліній. Коваріанта похідна дотичного векторного поля. „Паралельний” перенос дотичного вектора вздовж кривої на поверхні.

11. Теорема Гауса-Боне. Поверхні сталої кривини. Приклади та властивості. Сума кутів геодезичного трикутника.

12. Неперервна та гладка параметричні поверхні розмірності k. Регулярні поверхні. Заміна параметризації. Дотичний вектор. Дотичний простір.

13. Заміна координат вектора при заміні параметризації. Гіперповерхні. Поверхні-графіки та неявні поверхні. Регулярні відображення поверхонь. Орієнтовані поверхні.

14. Гладкі многовиди. Добуток гладких многовидів. Гладкі функції та відображення гладких многовидів. Дифеоморфізм. Матриця Якобі відображення. Рівність розмірностей дифеоморфних многовидів. Перенесення гладкої структури гомеоморфізмом. Теорема про неявну функцію для многовидів. Підмноговиди.

15. 3 означення дотичного вектора. Дотичний простір.

16. Диференціал відображення (відображення захоплення). Регулярні та критичні точки. Регулярні та критичні значення. Субмерсія. Теорема про прообраз регулярного значення.

17. Занурення (імерсія). Вкладення. Існування вкладення замкненого многовида в евклідів простір.

18. Орієнтований многовид. Теорема класифікації тріангульованих 2-вимірних многовидів.

19. Координатне, інваріантне та лінійне означення тензорів.

20. Лінійні комбінації, перестановка індексів, згортка, тензорний добуток, опускання та підняття індексів, симетрування та альтернація.

21. Евклідова та афінна зв’язності, коваріантна похідна за напрямком. Алгебраїчні властивості коваріантного диференціювання.

22. Ріманова зв’язність (зв’язність Леві-Чевіта). Паралельний перенос.

23. Тензор кривини (інваріантне та координатне означення).

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. О.Пришляк, Н.Лукова-Чуйко “Диференціальна геометрія та топологія. Курс лекцій”, К. 2012.

2. О.А.Борисенко. Диференціальна геометрія та топологія. Х. 1995.

3. Н. И. Кованцов, Г. М. Зражевская, В. Г. Кочаровский, В. И. Михайловский, Дифференциальная геометрия, топология, тензорный анализ. Сб. задач, К., 1989.

4. А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко, Курс дифференциальной геометрии и топологии, М, 1980.

5. О.О.Пришляк. Диференціальна геометрія. К. 2004.

6. А.О.Иванов, А.А.Тужилин. Лекции по классической дифференцальной геометрии. http://dfgm.math.msu.su/files/IvaTuzTerm1.zip

7. А.О.Иванов, А.А.Тужилин. Тензорный анализ на многообразиях. http://dfgm.math.msu.su/files/ivtz2-05.rar

8. Н. И. Кованцов. Дифференциальная геометрия. К. 1973.

9. Э. Г. Позняк, Е. В. Шикин, Дифференциальная геометрия. Первое знакомство, М, 1990.

10. П. К. Рашевский, Курс дифференциальной геометрии, М, 1956.

Задачі на додаткові бали:

1 семестр

1. Довести для замкненої регулярної кривої: ∫k(s)ds≥2π

2. Довести для замкненої регулярної кривої на сфері: ∫æ(s)ds=0

3. Знайти залежність між k і æ для кривої на сфері

4. Довести: Пл. замкнутої: #(пари точок зі спільною оріент. дотичною)= #(пари з протилежною дотичною)+#(подвійні точки)+½#(точки перегину)

5. Довести: Існує 4 точки екстремуму у функції кривини плоскої опуклої замкненої кривої

6. Довести гомеоморфність: добуток дискретної двоточки 2^∞=K канторова множина

7. Теорема Тихонова

8. Лема Урісона

9. Довести: многовиди – нормальні топологічні простори.

10. Довести: R² та Rⁿ не гомеоморфні (n>2).

11. Довести: В квадраті [-1,1]x[-1,1] шлях з (-1, 0) в (1,0) перетинає шлях з (0, -1) в (0, 1).

12. Побудувати приклад двох не гомеоморфних просторів X та Y, для яких існують неперервні бієкції f:X->Y та g:Y->X.

13. Довести, що в Rⁿ замкненні множини, що не перетинаються, можуть бути функціонально відокремлені гладкою функцією.

14. Довести, що неперервна бієкція евлідового простору Rⁿ є гомеоморфізмом при n=1, n=2*, n>2**.

15. Довести, що бієкція простору Rⁿ, для якої образ кожної зв'язної множини зв'язний, і прообрази зв'язних множин зв'язні, є гоміоморфізмом при n=1, n=2*, n>2**.

2 семестр

1. Теорема Гауса-Боне

2. Якщо Н=const, то K(r+½m/H)=const

3. γ-лінія кривини ↔ æ_g(γ)=0

4. Якщо π₁(F)=0, K≥0, то не існує замкнених геодезичних

5. Скільки негомеоморфних просторів можна отримати склеюючи за лінійними гомеоморфізмами пари сторін 6- кутника (8-кутника, 10-кутника)

6. Теорема Уітні

7. Топологічна класифікація поверхонь

8. BK#BK=BK#T²=4RP²

9. SⁿxS^k вкладається в R^n+k+1

10. Якщо dim M > dim N, f:N→M гладке, то f(N)≠M

11. SO(n) гладкий многовид

12. Існує занурення M² в R³

13. SO(3)=RP³

14. існування розбиття одиниці гладкого многовиду

15. гладке бієктивне відображення многовидів, яке не вироджене в кожній точці, є дифеоморфізмом

16. кожну замкнену поверхню можна подати у вигляді об’єднання трьох замкнених дисків, внутрішності яких не перетинаються (=розкрасити в три кольори, що множини одного кольору гомеоморфні 2-дискам)

17. Т.Бельтрамі. k(кривой g)=3/4 k(торс(g)∩соприкас.пл(g)).

18. Скільки існує негомеоморфних вкладень кола у пляшку Клейна?

19. Довести, що множина матриць рангу k утворює підмноговид в множині матриць mxn. Знайти його розмірність.

20. Якщо f:Rⁿ→Rⁿ – гладке і f◦f=f, то f(Rⁿ)-підмноговид.

21. Замкнена поверхня розбиває тривимірну сферу на дві гомеоморфні області

Задачі до рефератів студентам кафедри геометрії, топологіі і динамічних систем

Теорія кривих (1 семестр):

1.1.8-10;

1.3.41;

1.4.14-19;

1.2.6, 1.4.21,22;

1.4.24,25;

1.4.26-29;

2.5.19;

2.2.20, 21.

Задачі з проективної геометрії та геометрії Лобачевского.

Теорія поверхонь (2 семестр):

3.1.53-55;

3.2.9-11;

3.3.41, 3.4.25, 26, 28, 56;

3.4.67-70;

3.4.80;

4.2.36; 42, 43;

4.2.59;

4.3.19, 28,29;

4.4.23, 47-49.