Curso de verão 2026 - Introdução a métodos numéricos paralelos no tempo (IME-USP)

Formulário de inscrição (até 30/11/2025): https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLScUIu0OGzUi-_cuXFtb_Ip0ppGyGUBpbC_6cBH_cn6hcJNekA/viewform

Edital do curso de verão do IME-USP: https://arquivos.ime.usp.br/s/T8GSRHjmQbWQoQz?dir=/&editing=false&openfile=true 

Datas do curso: 26/01/2026 a 12/02/2026: 2ª, 3ª, 4ª e 5ª feiras, 14h-16h (IME-USP)

Em diversas aplicações, a simulação numérica de equações diferenciais ordinárias e parciais requer o estabelecimento de um compromisso entre precisão, estabilidade e custo computacional. Nas últimas décadas, com o advento de sistemas de computação de alto desempenho e massivamente paralelos, métodos de paralelização temporal têm ganhado destaque na busca de tal compromisso, buscando fornecer ganhos de tempo computacional além daqueles fornecidos pela paralelização puramente espacial. Alguns dos principais métodos paralelos no tempo são o Parareal, MGRIT e PFASST, que se tratam de algoritmos iterativos do tipo preditor-corretor que buscam substituir a abordagem clássica de integração temporal sequencial pelo cálculo simultâneo de diversos passos de tempo.

Esse curso de verão busca introduzir o aluno à formulação, análise e implementação computacional dos métodos Parareal, MGRIT e PFASST. Os métodos serão aplicados a equações diferenciais ordinárias e parciais, modelizando diferentes tipos de fenômenos físicos, buscando-se entender como a natureza do problema e as diversas escolhas paramétricas na formulação do método paralelo no tempo influenciam seu desempenho em termos de convergência, estabilidade e custo computacional. As atividades computacionais propostas serão feitas em Python, apoiando-se em bibliotecas como pyMGRIT, que permitem a implementação de métodos paralelos no tempo sem exigir um conhecimento detalhado de técnicas de computação paralela. 

Objetivos

Introduzir o aluno à formulação, análise e implementação computacional de alguns dos principais métodos numéricos de paralelização temporal (Parareal, MGRIT, PFASST), com aplicação a equações diferenciais ordinárias e parciais.

Público alvo

Estudantes de pós-graduação, graduação e pesquisadores em Matemática Aplicada, Engenharias, Física ou ciências correlatas, e que já tenham tido contato com tópicos de Análise Numérica e resolução numérica de equações diferenciais ordinárias e/ou parciais.

Justificativa

Métodos paralelos no tempo têm ganhado relevância nas últimas décadas como uma alternativa para acelerar a simulação computacional de equações diferenciais dependentes do tempo, em diferentes áreas de aplicação, buscando substituir a abordagem clássica de integração temporal sequencial.

Conteúdo

a) Introdução, motivação e classificação de métodos paralelos no tempo;

b) Métodos de passo simples para equações diferenciais ordinárias. Estabilidade absoluta, consistência, convergência e implementação computacional;

c) Métodos de diferenças finitas para equações diferenciais parciais dependentes do tempo. Estabilidade, consistência, convergência e implementação computacional;

d) Parareal: formulação, análise de estabilidade e convergência, implementação computacional e aplicação a equações diferenciais ordinárias e equações diferenciais parciais hiperbólicas (advecção) e parabólicas (calor);

e) MGRIT: formulação, principais propriedades, implementação computacional e aplicações;

f) PFASST: formulação, principais propriedades, implementação computacional e aplicações;

g) Comparação dos métodos em termos de convergência, estabilidade e custo computacional.

Bibliografia

1. GANDER, M. J. 50 years of time parallel time integration. In: Contributions in Mathematical and Computational Sciences. [S.l.]: Springer International Publishing, 2015. p. 69–113.

2. LIONS, J.-L.; MADAY, Y.; TURINICI, G. Résolution d'EDP par un schéma en temps “pararéel”. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences - Series I - Mathematics, Elsevier BV, v. 332, n. 7, p. 661–668, abr. 2001.

3. STAFF, G. A.; RØNQUIST, E. M. Stability of the parareal algorithm. In: Lecture Notes in Computational Science and Engineering. [S.l.]: Springer-Verlag, 2005. p. 449–456.

4. GANDER, M. J.; VANDEWALLE, S. Analysis of the parareal time-parallel time-integration method. SIAM J. Scientific Computing, v. 29, p. 556–578, 01 2007.

5. FRIEDHOFF, S. et al. A Multigrid-in-Time Algorithm for Solving Evolution Equations in Parallel. In: Presented at: Sixteenth Copper Mountain Conference on Multigrid Methods, Copper Mountain, CO, United States, Mar 17 - Mar 22, 2013. [S.l.: s.n.], 2013.

6. EMMETT, M.; MINION, M. L. Toward an Efficient Parallel in Time Method for Partial Differential Equations. Communications in Applied Mathematics and Computational Science, v. 7, p. 105–132, 2012.

Forma de avaliação
Atividades computacionais