In sintesi

In parentesi è indicata una stima dei tempi, espressi in unità orarie da 50 minuti.

1.     Numeri

Contare gli elementi di un insieme: dal grafo ad albero all’introduzione del calcolo combinatorio; sequenze con ripetizioni e senza ripetizioni (password, anagrammi), raggruppamenti di 2 o 3 elementi in cui l’ordine non è significativo; fattoriale. (10)

Numeri naturali, numeri primi e teorema fondamentale dell’aritmetica. Numeri interi, proprietà distributiva della moltiplicazione e segno del prodotto, applicazione al calcolo mentale. Numeri razionali, frazioni, giustificazione della definizione di somma di frazioni, semplici espressioni.

Una tabella per le potenze, proprietà caratterizzante ed estensione della definizione all’esponente zero e agli esponenti interi. (15)

Allineamenti decimali: un’ulteriore rappresentazione dei numeri razionali; cenni ai numeri irrazionali; arrotondamento e notazione scientifica, semplici stime.

Percentuali, variazione percentuale, sconto e inflazione; dal modello additivo al modello moltiplicativo. Verso l’uso delle lettere. (12)

2.     Algebra: equazioni e polinomi

Modellizzazione mediante semplici equazioni. (5)

Soluzione di un’equazione, insieme delle soluzioni; principi di equivalenza e risoluzione delle equazioni di primo grado intere.

Manipolazioni algebriche in vista di un obiettivo: in una formula esprimere una variabile in funzione delle altre. Ulteriori modelli. 

Uso delle lettere in matematica. Aspetti di calcolo: la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e le operazioni con i polinomi; quadrato di un binomio, differenza di quadrati e loro interpretazione geometrica. (22)

3.     Geometria sintetica: primi passi (25)

Dimostrare: dall’esame di casi specifici alla dimostrazione, ruolo del controesempio; esempi di dimostrazioni in ambito geometrico e aritmetico, giustificazioni mediante rappresentazioni grafiche.

Idea di ente primitivo e di assioma.

Termini primitivi (punto, retta, piano), segmento, angolo; definizione di altezza, mediana e bisettrice di un triangolo, asse di un segmento.

Criteri di uguaglianza dei triangoli come assiomi, indeformabilità del triangolo e applicazioni; semplici catene deduttive.

Costruzioni con riga e compasso e loro giustificazione: asse di un segmento e bisettrice di un angolo; cenno ai problemi classici dell’antichità.

Rette parallele; somma degli angoli interni di un triangolo: dalla piegatura su carta alla dimostrazione; relazione tra i lati dei triangoli: disuguaglianza triangolare.

Esempi di costruzioni con un software di geometria dinamica: intersezione degli assi, delle bisettrici e delle altezze nel triangolo e punti notevoli.

4.     Sistemi lineari (5)

Modellizzazione mediante sistemi lineari di due equazioni in due incognite, risoluzione per sostituzione.

5.     Circonferenza (10)

Circonferenza, cenni al problema isoperimetrico, costruzione della circonferenza passante per tre punti.

Perpendicolarità tra retta tangente e raggio; angoli al centro e angoli alla circonferenza, quadrilateri inscritti e circoscritti.

Misura di Eratostene del raggio della Terra.

6.     Statistica descrittiva (6)

Sondaggi, esame di rappresentazioni distorte dei dati; la statistica nella storia.

Rappresentazione dei dati mediante frequenze relative e cumulate nonché mediante istogrammi e aerogrammi.

Sintesi dei dati: valori di posizione (media aritmetica e mediana) e di dispersione (distanza interquartile e rappresentazione mediante box-plot).

7.     Algebra: sviluppi

Semplici fattorizzazioni di polinomi in una variabile; legge dell’annullamento del prodotto, equazioni di grado maggiore di uno. (10)

Moltiplicazione e addizione di frazioni algebriche. Equazioni fratte, insieme di definizione di un’equazione fratta. (15)

8.     Piano cartesiano. Aree di poligoni (15)

Metodo delle coordinate e sua motivazione storica. Distanza tra due punti nel piano cartesiano e teorema di Pitagora, punto medio di un segmento.

Interpretazione geometrica di condizioni algebriche e schematizzazione algebrica di proprietà geometriche. Semplici dimostrazioni per via analitica.

Giustificazione delle formule dell’area del triangolo e dei parallelogrammi per via sintetica.

Approfondimento (5)

Statistica mediante un foglio di calcolo: rappresentazione ed elaborazione di dati.

Risoluzione della generica equazione di primo grado mediante un foglio di calcolo.

In parentesi è indicata una stima dei tempi, espressi in unità orarie da 50 minuti.

1.      Retta nel piano cartesiano (22)

Dalla pendenza di una strada alla definizione di pendenza della retta nel piano cartesiano.

Appartenenza di un punto di coordinate date ad una curva; equazione della retta nella forma  y=y0+m(x-x0). Rette perpendicolari, parallele e relazioni tra le pendenze, intersezione tra due rette.

Procedimento per determinare la distanza di un punto da una retta.

Descrizione di sottoinsiemi del piano tramite condizioni algebriche e loro rappresentazione. Semplici dimostrazioni per via analitica.

Schematizzazione di semplici situazioni mediante modelli lineari.

2.     Funzioni e grafici (15)

Dall’idea di funzione alla formalizzazione (Dirichlet), insieme di definizione e immagine.

Funzioni base e loro grafici: costante, x, x2, x3, 1/x, √x, |x|; funzioni a tratti.

Lettura del grafico: determinazione delle soluzioni di  f(x)=k, f(x)≥k, f(x)≥g(x); definizione di zeri e di grafico di una funzione. Trasformazioni di grafici mediante traslazioni e simmetrie.

Interpretazione mediante le funzioni di equazioni e disequazioni, anche irrazionali e con moduli.

Modellizzazione mediante funzioni, esame critico di grafici in vari contesti.

Descrizione di proprietà delle funzioni mediante i simboli specifici.

3.     Il secondo grado 

Radice quadrata e radice cubica; dimostrazione della irrazionalità di √2 aspetti storici e applicazioni (foglio A4…); stime di numeri irrazionali.

Aspetti di calcolo: moltiplicazione e addizione di radici quadrate numeriche; uso della definizione di radice n-esima per esprimere una variabile in funzione delle altre in una formula.

Modellizzazione mediante equazioni di secondo grado. Scrittura del polinomio di secondo grado nella forma  a(x-b)2+c (completamento del quadrato). (10)

Formula risolutiva dell’equazione di secondo grado. Scomposizione in fattori di un polinomio di secondo grado e teorema del resto.

Funzioni polinomiali di secondo grado: significato geometrico dei coefficienti, coordinate del punto di massimo (minimo) della funzione; disequazioni di secondo grado. (15)

Semplici problemi di ottimizzazione: dalle prove materiali all’esplorazione mediante il software e alla formalizzazione. (5)

4.       Calcolo delle probabilità: un primo approccio

Probabilità in gioco: un laboratorio sul gioco d’azzardo, esame di varie situazioni (test clinici, genetica, casi giudiziari, probabilità nella storia…).

Numeri del caso: prime valutazioni di probabilità; modelli, decisioni e stime; valutazioni per mezzo del calcolo combinatorio; il giudizio di probabilità; schema di valutazione classico.

Probabilità alla prova: esperimenti materiali e simulazioni mediante un foglio di calcolo, andamento delle frequenze relative e assolute, interpretazione frequentista. 

Pensare in termini elementari: evento complementare, legge della moltiplicazione e grafi ad albero; le operazioni fondamentali sugli insiemi e i connettivi logici, negazione di una proposizione e quantificatori. (15)

Gioco equo e simulazioni. Problema dei compleanni. (5)

5.     Figure simili (10)

Dalle ombre e dalle carte geografiche alle figure simili.

Poligoni simili, il caso speciale dei triangoli: uguaglianza degli angoli; semplici catene deduttive, suddivisione di un segmento in parti uguali.

Costante di proporzionalità e rapporto tra perimetri, tra aree e (cenno) tra volumi; crescita e forma negli esseri viventi: dalle esperienze alla giustificazione di Galilei.

Approfondimenti: la sezione aurea, l’enunciato del teorema di Talete.

6.       Trigonometria del triangolo rettangolo

Definizione di tangente, seno e coseno di un angolo acuto; problema inverso: trovare l’ampiezza dell’angolo. Interpretazione di figure nel piano e nello spazio, in situazioni desunte anche dalla fisica, e determinazione degli elementi incogniti; pendenza e tangente. (8)

Misura indiretta di distanze anche utilizzando strumenti elementari per la misura di angoli. (2)

7.      Quadrilateri e parallelogrammi. Area del cerchio

Congetture e dimostrazioni: proprietà e definizione del parallelogramma, i quadrilateri; significato di condizione necessaria e di condizione sufficiente. (5)

Numero  approssimazione dell’area del cerchio e giustificazione della formula. (3)

8.       Disequazioni e sistemi

Disuguaglianze tra numeri reali ed equivalenza di disequazioni. Disequazioni di primo e secondo grado in una incognita; segno di una funzione e disequazioni fratte. Cenno ai sistemi di disequazioni. (15)

Modellizzazione mediante sistemi non lineari; intersezioni tra una parabola e una retta.

Sistemi lineari in tre incognite, metodo di riduzione; parabola per tre punti.

Divisione tra polinomi mediante la risoluzione del sistema che ha come incognite i coefficienti del quoziente. (10)

Approfondimento e consolidamento

Ulteriori aspetti del software GeoGebra (ad esempio vista CAS).

Alcuni laboratori sul calcolo delle probabilità (ad esempio il poker). (5)

Consolidamento dei principali aspetti relativi alla retta, alle funzioni e al calcolo algebrico che devono essere disponibili anche nelle classi successive (si possono già proporre parti di quesiti, ad esempio la risoluzione di un’equazione, tratti dalle verifiche relative alla classe terza). (10)

In parentesi è indicata una stima dei tempi, espressi in unità orarie da 50 minuti.

1.      Geometria analitica 

Contesto storico e culturale in cui si è sviluppata la geometria analitica. Curve nel piano cartesiano: richiami sull’appartenenza di un punto ad una curva di equazione data, intersezioni con rette, simmetrie; dal luogo all’equazione; applicazioni (cissoide e duplicazione del cubo, cardioide e microfoni…). Espressività della geometria e potenza dell’algebra. (5)

Equazione della circonferenza nella forma (x-x0)2+(y-y0)2=r2 e completamento dei quadrati; circonferenza per tre punti anche mediante l’intersezione di due assi; intersezioni con rette; equazione della retta tangente alla circonferenza in un suo punto mediante la perpendicolarità del raggio. Semplici questioni risolte sfruttando anche proprietà sintetiche (ad esempio, distanza del centro da una corda). 

Descrizione di sottoinsiemi del piano mediante disequazioni. (12)

2.     Coniche: uno sguardo 

Visualizzazione delle sezioni del cono; dall’interesse speculativo alle applicazioni nell’arte, in astronomia, nelle costruzioni… (2)

Ellisse come luogo geometrico, costruzione anche materiale della curva, relazione tra distanza focale e lunghezza degli assi. Equazione dell’ellisse; eccentricità, ellisse come dilatazione della circonferenza, giustificazione della formula dell’area del sottoinsieme del piano delimitato dall’ellisse. Orbite, proprietà focali di riflessione ed applicazioni tecnologiche (ad esempio, volte ellissoidali).

Equazione della parabola con asse di simmetria verticale, parabola per tre punti, cenni alle proprietà focali di riflessione.

Interpretazione di grafici di funzioni come (parti di) coniche: funzione √a2-x2 , in casi semplici estensione dell’approccio risolutivo alle equazioni e disequazioni sviluppato nel primo biennio. Facciamo il punto sulle equazioni irrazionali: controllo delle soluzioni per sostituzione, analisi dell’equivalenza delle equazioni che si ottengono elevando al quadrato o al cubo. (10)

3.     Trigonometria del triangolo (6)

Misura degli angoli in radianti.

Richiami sulla definizione di tangente, seno e coseno nel triangolo rettangolo. Relazioni fondamentali   sin2 α+cos2 α =1 e  tan α = sin α /cos α.

Teorema del coseno e modulo della somma di vettori, distanze topografiche… Interpretazione di figure nel piano e nello spazio e determinazione degli elementi incogniti; latitudine e longitudine.

4.     Derivata: un primo approccio 

Problemi di massimo e minimo, pendenza della retta tangente al grafico di una funzione; approssimazioni della pendenza mediante il righello e mediante il software. (5)

Definizione di derivata, interpretazione in vari contesti (velocità, costo marginale…), derivata come tasso di variazione istantaneo di una funzione. Motivi che hanno condotto alla nascita del calcolo differenziale nel XVII secolo.

Aspetti di calcolo: derivata delle funzioni potenza, linearità della derivata. Applicazione all’equazione delle rette tangenti e alla cinematica. (12)

Funzione derivata; crescenza (decrescenza) di una funzione e segno della derivata, massimi (minimi) di una funzione e zeri della derivata, natura dei punti stazionari: una giustificazione informale. Risoluzione di semplici problemi di ottimizzazione mediante lo strumento derivata, in particolare nell’ambito della geometria piana e solida. (10)

Ulteriori aspetti di calcolo: formule del prodotto e del quoziente di funzioni; utilizzo per abbozzare il grafico di funzioni razionali e irrazionali elementari.

Famiglie di funzioni al variare di uno o più parametri e condizioni sulla pendenza del grafico. (8)

5.     Funzione esponenziale e logaritmo 

Modelli esponenziali (capitalizzazione composta, decadimenti…) e confronto con i modelli lineari (capitalizzazione semplice, …).

Funzione esponenziale sull’insieme dei numeri naturali: richiami sulla proprietà caratterizzante f(x+y)=f(x)f(y) ed interpretazione come “regola di spostamento”, grafico e stime. Funzione logaritmo come inversa dell’esponenziale, corrispondenti proprietà algebriche.

Estensione delle funzioni esponenziale e del logaritmo ai numeri interi, ai razionali e (cenni) ai reali. Formula del cambiamento di base e determinazione di valori approssimati con la calcolatrice. (8)

Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche elementari: interpretazione mediante le funzioni e i grafici, stima delle soluzioni. Esame di modelli esponenziali mediante i nuovi strumenti sviluppati. (10)

Una base naturale: dalla pendenza del grafico al numero e, cenni ai numeri trascendenti.

Proprietà caratterizzante e giustificazione della derivata della funzione ex; derivata della funzione (giustificazione grafica). (3)

Semplici equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche costruite con funzioni composte; dal grafico di una funzione f  al grafico di  f(-x) e f(|x|). Definizione di funzione inversa, iniettiva, crescente (decrescente).

Dimostrare semplici uguaglianze utilizzando le proprietà dei logaritmi. (12)

Approfondimenti: logaritmo e percezione dei sensi nell’uomo, intensità sonora e volume sonoro; dai dati al modello, scala logaritmica. (5)

6.     Geometria sintetica dello spazio (12)

Assioma di appartenenza relativo allo spazio. Parallelismo e perpendicolarità di rette nello spazio, applicazioni in edilizia.

Prismi, piramidi, solidi di rotazione; uguaglianza dei rapporti tra le altezze e tra i lati delle basi di piramidi ottenute mediante sezioni parallele alla base.

Volumi e aree delle superfici dei principali solidi: “esplosione” del cubo (anche con modelli materiali) e volume della piramide, sviluppo piano del cono e area della superficie laterale, principio di Cavalieri e dimostrazione della formula del volume della sfera.

Approfondimenti. Formula di Eulero per i solidi; poliedri regolari in vari ambiti (scienze, arte, filosofia), dimostrazione che ne esistono al più cinque; pallone da calcio.

7.     Statistica: sviluppi (6*)

Correlazione tra due grandezze e covarianza.

Un possibile modello del legame: retta di regressione e determinazione di una formula per i coefficienti mediante il metodo dei minimi quadrati.

* E' difficile riuscire ad affrontare nella classe terza sia il blocco relativo alla geometria sintetica dello spazio sia il blocco relativo agli sviluppi della statistica, se le unità orarie settimanali riservate alla matematica sono 4. In tal caso si dovrà scegliere quali aspetti esaminare tra quelli proposti e per questo il numero di ore previste nello schema per il blocco Statistica non contribuisce al totale delle 120 ore ipotizzato per la classe terza.

In parentesi è indicata una stima dei tempi, espressi in unità orarie da 50 minuti.

1.      Funzioni trigonometriche

Definizione di seno, coseno, tangente di un numero reale.

Funzioni trigonometriche e loro grafici; simmetrie del grafico e funzioni pari, dispari.

Modelli periodici e funzioni della forma Asin(wx): interpretazione geometrica dei parametri, ampiezza e periodo. Approfondimento: interpretazione dei parametri nel caso di un’onda acustica.

Semplici equazioni e disequazioni goniometriche: interpretazione mediante le funzioni e i grafici, determinazione degli zeri sfruttando le simmetrie del grafico; funzioni inverse delle funzioni trigonometriche.

Formule di addizione del seno e del coseno; formule di duplicazione.  (16)

Derivata delle funzioni seno e coseno: congettura della formula, derivata della funzione  Asin(wx) e analisi del moto armonico. (3)

2.     Calcolo delle probabilità: sviluppi 

Richiami sul contare gli elementi di un insieme. Formalizziamo: esempi di disposizioni, permutazioni e combinazioni; coefficienti binomiali.

Probabilità di eventi che dipendono da altri: probabilità condizionata, un rapporto tra probabilità; dalla probabilità degli “effetti” a quella delle “cause” mediante tabelle e grafi ad albero, analisi di situazioni significative come test clinici e falsi positivi, esame dei risultati.

Interpretazione geometrica della probabilità mediante la misura di insiemi. (8)

Uno schema di base: le prove ripetute, modellizzazione in vari ambiti (overbooking, sondaggi…). Calcolo della probabilità di ottenere un dato numero di successi.

Approfondimenti: rappresentazione dei valori di probabilità mediante tabelle e grafici; esperimenti e simulazioni; valor medio probabilistico e suo significato statistico.  (10)

3.     Derivata di funzioni composte (15)

Composizione di funzioni. Formula della derivata di funzioni composte.

Applicazione alle questioni già esaminate con le funzioni base: equazione della retta tangente, punti stazionari, problemi di ottimizzazione, analisi dell’andamento di alcune funzioni che modellizzano situazioni fisiche o di altro tipo. 

4.     Successioni aritmetiche e geometriche (8)

Invarianti della successione (differenza o rapporto tra termini consecutivi), interpretazione come “regola di spostamento”, scrittura per ricorsione, espressione del termine generale. Somma di un numero finito di termini della successione.

Serie geometrica: somme infinite, allineamenti decimali periodici, modellizzazione in geometria ed economia (piani di accumulo, mutui…); cenno ai paradossi di Zenone.

Cenni ad altre successioni, ad esempio alla serie armonica. 

5.     Approfondimento: misurare l'infinito (10)

Misurare l’infinito: dai paradossi alla definizione di Dedekind di insieme infinito; confronto con  degli insiemi numerici Z e Q, cenni alla non numerabilità di R. Una rappresentazione espressiva: l’albergo di Hilbert.

Corrispondenze biunivoche, funzioni iniettive, suriettive.

Approfondimenti sulla dimostrazione e costruzione di semplici dimostrazioni. 

6.     Limiti e grafici di una funzione 

Determinazione dell’insieme di definizione di una funzione, anche quando la funzione modellizza una situazione, come nei problemi di ottimizzazione. (5)

Approccio informale alla nozione di limite: esame del comportamento di una funzione all’infinito e nell’intorno di un punto mediante tabelle di valori della funzione e analisi del grafico; asintoti orizzontali e verticali. Aspetti quantitativi: stime dei valori della funzione su intervalli. Limiti delle funzioni base agli estremi dell’insieme di definizione.

Interpretazione della definizione rigorosa di limite: dalla formalizzazione nel registro simbolico alla descrizione nel linguaggio naturale e alla scrittura mediante la notazione specifica dei limiti. Definizione di limite finito e infinito all’infinito.

Calcolo di limiti: i casi "k/∞" e "k/0"; limiti all’infinito di funzioni razionali e irrazionali, confronto tra ordini di infinito per le funzioni base. Esempi significativi: crescita logistica, andamento di una forza che dipende dall’inverso del quadrato della distanza… 

Costruzione del grafico qualitativo di semplici funzioni mediante gli strumenti limite e derivata. Esame di alcune funzioni che modellizzano situazioni fisiche.  (25)

Ulteriori strumenti: comportamento all’infinito delle funzioni trigonometriche e teorema del confronto; caso "0/0" e regola di de l’Hôpital, applicazione ad altre forme indeterminate; limiti per x che tende a 0 di sinx/x, (ex-1)/x e interpretazione come pendenza, dimostrazione della derivata di  sinx e richiami alla dimostrazione della derivata di ex.

Cenni ai limiti di funzioni della forma f(x)g(x).

Limite nei processi di approssimazione: area del cerchio come limite delle aree dei poligoni inscritti. (20)

In parentesi è indicata una stima dei tempi, espressi in unità orarie da 50 minuti.

1.      Integrale

Area di un sottoinsieme del piano: non solo una questione geometrica (ad esempio, misura dell’inquinamento); stime mediante la quadrettatura e con GeoGebra, calcolo dell’area di sottografici in casi elementari. Definizione del lavoro di una forza su un cammino rettilineo.  (4)

Definizione di integrale per funzioni continue come limite di somme, interpretazione in vari contesti (ad esempio, consumo energetico di un dispositivo); relazione con l’area, integrali di funzioni pari e dispari. Proprietà elementari: linearità, additività sull’insieme di integrazione.

Funzione integrale (si approfondirà nel secondo quadrimestre) e teorema fondamentale del calcolo integrale, uno strumento per il calcolo dell’integrale. Uno sguardo alla storia: la nascita del calcolo infinitesimale nel secolo XVII.

Primitive di una funzione. Calcolo di primitive: funzioni base e linearità; funzioni del tipo f(ax+b) dove f è una funzione base, per tentativi e “aggiustamenti” delle costanti; per parti.

Calcolo di aree di sottografici e di sottoinsiemi del piano delimitati da curve: interpretazione di tali figure geometriche, ricorrendo anche alle formule delle aree di poligoni. Calcolo del lavoro di una forza. (20)

Ulteriori strumenti di calcolo: primitive di funzioni che sono derivata di funzioni composte riconoscendone la struttura, primitive per sostituzione (cenni), primitive di semplici funzioni razionali.

Espressione di alcune grandezze come integrale e loro calcolo. In particolare: volume di solidi di rotazione attorno all’asse volume di un solido nota l’area delle sezioni (eventuali approfondimenti: volume di un solido di rotazione attorno all’asse y, "gusci cilindrici”), valor medio di una funzione; grandezze fisiche (cinematiche, quantità di carica elettrica…).

Integrale su intervalli non limitati: esempi notevoli di integrali convergenti e di integrali divergenti, paradosso del volume finito e della superficie infinita. Esempi di funzioni che non ammettono primitive esprimibili in modo elementare. (18)

2.     Geometria analitica dello spazio 

Distanza tra due punti nello spazio; somma di vettori, moltiplicazione di un vettore per uno scalare, prodotto scalare: dall’interpretazione geometrica a quella in coordinate; condizioni di parallelismo e perpendicolarità tra vettori.

Un problema di ottimizzazione ed equazione del piano, vettore normale; equazione del piano per tre punti. GPS ed equazione di una superficie sferica, piano tangente in un suo punto.

Esempi di equazioni di curve in forma parametrica nel piano e nello spazio (ad esempio, ellisse ed elica cilindrica) e loro visualizzazione mediante GeoGebra; dall’equazione della retta in forma parametrica nel piano all’equazione della retta nello spazio.

Equazione di rette perpendicolari e differenze rispetto al caso bidimensionale; determinazione della distanza di un punto da un piano e di un punto da una retta, anche come problema di minimo.

Esame di prismi e tetraedri mediante gli strumenti della geometria analitica dello spazio. (15)

3.     Funzioni continue e funzioni derivabili  

Esempi di funzioni “continue” e “non continue” (volume di una sostanza in prossimità della temperatura di fusione, campo elettrico di una sfera, aliquote IRPEF…). Definizione di funzione continua e significato geometrico ed analitico. Due proprietà fondamentali delle funzioni continue: teorema degli zeri, applicazione all’esistenza di soluzioni di equazioni e alle stime del loro valore; teorema di Weierstrass e massimi e minimi globali di una funzione. Analisi delle ipotesi di un teorema e controesempi, negazione di un’affermazione in cui compaiono quantificatori. (4)

Esempi notevoli di funzioni non derivabili in un punto e loro interpretazione grafica: tangente sinistra diversa dalla tangente destra, tangente verticale. Relazione tra continuità e derivabilità.

Teorema di Rolle e teorema della media di Lagrange; interpretazione geometrica e cinematica, l’autovelox; uso di tali risultati per costruire semplici dimostrazioni  di teoremi che descrivono il legame tra la derivata e la funzione. Cura della formalizzazione e della comunicazione. (6)

Convessità di una funzione, significato geometrico, punti di flesso e loro relazione con la derivata seconda. Applicazione alla costruzione e all’analisi del grafico di una funzione e consolidamento degli strumenti coinvolti. (6)

4.     Distribuzioni di probabilità (10)

Formalizzazione di variabile aleatoria come variabile numerica “casuale”, descrizione della probabilità per variabili aleatorie discrete: la funzione che fornisce la probabilità che la variabile aleatoria assuma ciascuno dei suoi valori.

I valori di sintesi dalla statistica alla probabilità: valore atteso e sue interpretazioni; la varianza, una misura di dispersione. Esame dell’equità di alcuni giochi, anche mediante simulazioni al foglio elettronico.

Una distribuzione di base: dallo schema delle prove ripetute alla distribuzione binomiale.

Variabili aleatorie continue: un modello materiale di variabile aleatoria ed estrazioni casuali in un intervallo reale; descrizione della probabilità per variabili aleatorie continue e funzione densità, estensione al continuo delle definizioni dei valori di sintesi. Un esempio significativo: elettrone nell’atomo di idrogeno e densità radiale di probabilità. Distribuzione normale: densità normale come modello per molti fenomeni (ad esempio, la distribuzione di un carattere in una popolazione omogenea e degli errori casuali nella misura), congettura dei parametri che costituiscono i valori di sintesi, richiami sugli aspetti analitici relativi alla densità normale e sul calcolo dei valori di sintesi.

5.     Equazioni differenziali: un primo approccio (10)

Modellizzazione di fenomeni mediante equazioni differenziali: decadimento radioattivo e crescita di popolazioni, moti armonici, caduta libera in presenza di attrito…

Congettura e verifica di soluzioni; rappresentazione grafica delle soluzioni; soluzione generale e interpretazione delle costanti; deduzione di proprietà delle soluzioni direttamente dall’equazione. Esame quantitativo delle soluzioni ed interpretazione dei risultati nell’ambito del modello.

Precisazione della nozione di equazione differenziale e di soluzione. Equazioni differenziali e previsione dell’evoluzione di un fenomeni, cenni storici.

Risoluzione nei casi y'(x)=f(x), y''(x)=f(x).

Approfondimenti 

Equazione del piano per tre punti come combinazione lineare di due opportuni vettori. Distanza punto - piano come lunghezza della proiezione sul vettore normale.  (2)

Standardizzazione della variabile normale e calcolo delle probabilità.

Probabilità di eventi rari e distribuzione di Poisson, espressione analitica della distribuzione e costruzione della formula in modo iterativo. Una situazione di interesse storico: bombe su Londra.

La teoria assiomatica della probabilità come ulteriore esempio di teoria assiomatica. (4)

Risoluzione di equazioni differenziali mediante separazione di variabili. Alcuni esempi notevoli: moto del paracadutista, circuiti RL ed RC, crescite logistiche. (3)

Revisione 

Analisi, discussione e risoluzione delle prove recenti assegnate all’Esame di Stato. Revisione di aspetti nodali affrontati negli anni precedenti. Eventuale approfondimento di aspetti tecnici non esaminati nel percorso. (18)