Preparatevi bene anticipatamente, studiate a memoria i paragrafi, così potrete constatare che il professore non dice altro che quel che c'è nel libro. Però pigliate scrupolosamente gli appunti come se dalla cattedra parlasse lo Spirito Santo!
Mefistofele. Goethe: Faust, I, 1910-1911
Richiami preliminari
Vettori, prodotto scalare, vettoriale, base ortonormale destra. Tensori del secondo ordine, trasposto, prodotto tensoriale, matrici rappresentative, traccia, determinante, tensori ortogonali, teorema spettrale, notazione assoluta e indiciale. Analisi vettoriale e tensoriale, gradiente, divergenza, rotore.
Cinematica dei continui
Definizione di corpo. Piazzamento, deformazione, gradiente di deformazione. Spostamento, gradiente di spostamento. Deformazioni omogenee. Variazioni geometriche esatte: variazione di lunghezza, di volume, di area (formula di Nanson), di angolo. Tensore destro di Cauchy–Green. Misure di deformazione in teoria esatta: il tensore di Green–Saint-Venant. Deformazioni elementari: dilatazione uniforme, estensione, scorrimento.
Teoria infinitesima: tensore della deformazione infinitesima, rotazione inifinitesima. Variazioni geometriche in teoria infinitesima: variazione di lunghezza, di volume, di area, di angolo. Interpretazione delle componenti del tensore di deformazione inifinitesima.
Bilancio di Forze e Momenti
Forze di volume e di contatto. Postulato di Cauchy, tensione. Assiomi di Eulero. Teorema di Hamel–Noll. Lemma di Cauchy. Teorema di Cauchy. Tensore di sforzo. Interpretazione delle componenti del tensore di sforzo.
Equazioni puntuali di equilibrio: relazione di Cauchy per punti interni e per punti di frontiera, simmetria del tensore di sforzo* Tensione normale e tangenziale. Sforzi e direzioni principali.
Principî della termodinamica
Bilancio di energia (Primo principio della Termodinamica). Sorgenti meccaniche, potenza delle forze esterne e potenza dello sforzo. Sorgenti termiche, flusso di calore e sorgente interna di calore. Equazione locale di bilancio di energia.
Sbilancio di entropia (Secondo principio della Termodinamica). Produzione interna di entropia, flusso di entropia e sorgente interna di entropia. Equazione locale di sbilancio di entropia. Relazione tra flusso di entropia e flusso di calore. Energia libera di Helmholtz. Disuguaglianza di dissipazione ridotta. Procedura di Coleman-Noll.
Teoria costitutiva. Modelli reologici: materiale elastico lineare, viscoso lineare, plastico, visco-elastico (modello di Kelvin e Maxwell), elasto-plastico con incrudimento.
Materiali elastici
Materiali elastici lineari, tensore di elasticità, simmetrie maggiori e minori. Simmetria materiale, gruppo di simmetria materiale. Teorema di rappresentazione per materiali isotropi. Interpretazione delle costanti elastiche. Il problema elastico, formulazione agli spostamenti (equazione di Navier), formulazione in sforzi (equazione di Beltrami-Michell). Soluzioni generali delle equazioni di equilibrio, soluzione di Beltrami, funzione di Airy.
Materiali conduttori Rigidi
Conseguenze della procedura di Coleman-Noll. Relazioni di Gibbs, calore specifico. Equazione costitutiva per il flusso di calore, legge di Fourier. Equazione del calore.
Materiali termo-elastici
Termoelasticità. Conseguenze della procedura di Coleman-Noll. Relazioni di Gibbs. Equazioni costitutive per sforzo, entropia, flusso di calore. Equazioni di bilancio delle forze e dell’energia. Teoria debolmente accoppiata. Problema stazionario, formulazione in spostamenti e sforzi. Soluzione di problemi monodimensionali e tridimensionali.
TESTI SUGGERITI
Note a cura del docente.
Ulteriore bibliografia:
R. Paroni, Scienza delle Costruzioni - Elementi di teoria dell'elasticità lineare, Springer, 2022.
M.E. Gurtin, An Introduction to Continuum Mechanics, Academic Press, 1982.
M.E. Gurtin, E. Fried, L. Anand, The Mechanics and Thermodynamics of Continua, Cambridge University Press, 2010.
L. Anand, S. Govindjee, Continuum Mechanics of solids, OUP Oxford, 2020.
P. Podio Guidugli, Continuum Thermodynamics, Springer, 2019.