Testi consigliati
M. Manetti, Topologia.
A. Hatcher, Algebraic topology.
M. Cornalba, Note di Geometria Differenziale, disponibili sulla homepage di Maurizio Cornalba.
E. Sernesi, Geometria II.
M. Abate e F. Tovena, Curve e Superfici.
Appunti del corso, aggiornati progressivamente: versione del 25.3.2026
Informazioni sul corso
Il corso si tiene in presenza:
Martedì ore 13-15 aula Volterra.
Mercoledì ore 16-18 aula Volterra.
Venerdì ore 8-11 aula Volterra, esercitazioni.
Esami ed esoneri
Faremo due esoneri, uno a metà corso su topologia generale, e uno a fine corso sul resto del programma.
Esami:
30 giugno 2026
24 luglio 2026
3 settembre 2026
16 settembre 2026
19 gennaio 2027
Fogli settimanali di esercizi
Diario delle lezioni
1) 3.3.2026. Informazioni generali sul corso. Parte prima: topologia generale. Introduzione, omeomorfismi fra sottoinsiemi di ℝn, esempi. Punti aderenti a sottinsiemi di ℝn, sottoinsiemi aperti. Formulazioni equivalenti della continuità per applicazioni ℝn→ℝm.
2) 3.4.2026. Definizione di spazio topologico. Esempi: topologia banale e discreta, topologia cofinita, topologia euclidea su ℝn, altri esempi. Base di una topologia, esempi.
3) 6.3.2026. Esercitazione.
4) 10.3.2026. Condizione necessaria e sufficiente affinché una data famiglia di sottoinsiemi sia una base di una qualche topologia. Topologia di Zariski. Confronti fra topologie, intersezione di topologie. Definizione di parte interna, chiusura, frontiera, punti interni e aderenti, sottoinsiemi densi. Esempi. Definizione di intorni, esempi.
5) 11.3.2026. Sistemi fondamentali di intorni, esempi. Applicazioni continue fra spazi topologici, esempi. Applicazioni continue in un punto fra spazi topologici, formulazioni equivalenti della continuità. Omeomorfismi, applicazioni aperte e chiuse, esempi.
6) 13.3.2026. Esercitazione.
7) 17.3.2026. Spazi metrici. Definizione di palla aperta e di topologia indotta da una distanza. Lemma: ogni palla aperta è un aperto, e l'insieme delle palle aperte è una base. Caratterizzazione della continuità di applicazioni fra spazi metrici. Confronto delle topologie indotte da distanze, distanze equivalenti. Spazi topologici metrizzabili. Sottospazi topologici, esempi. Continuità dell'inclusione. Lemma: la restrizione di un'applicazione continua a un sottospazio del dominio è sempre continua.
8) 18.3.2026. Chiusura e parte interna di un sottoinsieme di un sottospazio: esempi. Immersioni topologiche, esempi. Prodotti di spazi topologici, definizione di topologia prodotto. Teorema in 3 parti su una base della topologia prodotto e sulle proprietà delle due proiezioni. Inizio della dimostrazione.
9) 20.3.2026. Esercitazione.
10) 24.3.2026. Fine della dimostrazione precedente. Spazi di Hausdorff, esempi. In uno spazio di Hausdorff i sottoinsiemi finiti sono chiusi; sottospazi e prodotti di spazi di Hausdorff sono di Hausdorff. Teorema: X è di Hausdorff se e solo se la diagonale in X × X è chiusa. Definizione degli spazi topologici connessi.
11) 25.3.2026. Esempi di spazi connessi. Formulazioni equivalenti della connessione. Teorema: [0,1] è connesso. Spazi topologici connessi per archi, esempi. Lemma su un sottospazio connesso Y di X e un sottoinsieme A aperto e chiuso A di X. L'immagine di un connesso è connessa, e di un connesso per archi è connessa per archi. Ogni connesso per archi è connesso. Studio dei sottospazi connessi di ℝ. Lemma: ogni applicazione continua Sn→ℝ con n>0 assume lo stesso valore in almeno due punti antipodali. Corollario: nessun aperto non vuoto di ℝm con m>1 è omeomorfo ad alcun aperto non vuoto di ℝ.
12) 27.3.2026. Esercitazione.