Testi consigliati:
M. Manetti, Topologia.
A. Hatcher, Algebraic topology.
M. Cornalba, Note di Geometria Differenziale, disponibili sulla homepage di Maurizio Cornalba
E. Sernesi, Geometria II.
M. Abate e F. Tovena, Curve e Superfici.
Appunti del corso: topologia generale, topologia algebrica, geometria differenziale.
Esami ed esoneri:
Esoneri:
Primo esonero: martedì 15 aprile, ore 18:00 - 20:00 in aula Levi Civita. Risultati (ricordo che il voto minimo per passare l'esonero è 18/30).
Secondo esonero: lunedì 9 giugno, ore 17:00-19:00 in aula Levi Civita. Risultati. Visione elaborati: lunedì 16 giugno ore 17:30 aula E. Testo con soluzioni.
Chi passa gli esoneri può prenotarsi su InfoStud per l'appello in cui desidera verbalizzare il voto oppure sostenere l'orale. Ricordo che senza orale il voto verbalizzato sarà il minimo fra il voto totale degli esoneri e 26. Una volta prenotato l'appello su InfoStud, se volete sostenere l'orale e non solo verbalizzare l'esame vi prego di mandarmi un'email.
Esami:
Primo appello: giovedì 19 giugno, ore 9:00 in aula Levi Civita.
Secondo appello: venerdì 4 luglio, ore 12:00 in aula Levi Civita.
Terzo appello: venerdì 5 settembre, ore 12:00 in aula Levi Civita. Risultati dello scritto. Testo dello scritto.
Quarto appello: venerdì 12 settembre, ore 9:00 in aula Levi Civita. Risultati dello scritto. Testo dello scritto.
Quinto appello (straordinario): martedì 4 novembre, ore 17, aula E. Risultati dello scritto. Testo dello scritto.
Sesto appello: martedì 20 gennaio 2026, ore 14, aula Volterra. Risultati dello scritto. Testo dello scritto.
Testi con soluzioni di esoneri ed esami passati:
Note dei ricevimenti online:
Diario delle lezioni:
1) 27.2.2025. Informazioni generali sul corso. Parte prima: topologia generale. Introduzione, omeomorfismi fra sottoinsiemi di ℝn, esempi. Punti aderenti a sottinsiemi di ℝn, sottoinsiemi aperti. Formulazioni equivalenti della continuità per applicazioni ℝn→ℝm.
2) 3.3.2025, 3 ore. Definizione di spazio topologico. Esempi: topologia banale e discreta, topologia cofinita, topologia euclidea su ℝn, altri esempi. Base di una topologia. Condizione necessaria e sufficiente affinché una data famiglia di sottoinsiemi sia una base di una qualche topologia. Topologia di Zariski. Confronti fra topologie, intersezione di topologie.
3) 4.3.2025. Definizione di parte interna, chiusura, frontiera, punti interni e aderenti. Esempi. Sottoinsiemi densi, esempi. Intorni e sistemi fondamentali di intorni, esempi. Applicazioni continue fra spazi topologici, esempi.
4) 6.3.2025. Esercitazione.
5) 10.3.2025, 3 ore. Definizione di applicazioni continue in un punto fra spazi topologici, formulazioni equivalenti della continuità. Omeomorfismi, applicazioni aperte e chiuse, esempi. Spazi metrici. Definizione di palla aperta e di topologia indotta da una distanza. Lemma: ogni palla aperta è un aperto, e l'insieme delle palle aperte è una base. Caratterizzazione della continuità di applicazioni fra spazi metrici. Confronto delle topologie indotte da distanze, distanze equivalenti. Spazi topologici metrizzabili. Sottospazi topologici, esempi.
6) 11.3.2025. Formulazione della topologia di sottospazio tramite la continuità dell'inclusione. Chiusura e parte interna di un sottoinsieme di un sottospazio: esempi. Immersioni topologiche, esempi. Prodotti di spazi topologici, definizione di topologia prodotto.
7) 13.3.2025. Esercitazione.
8) 17.3.2025, 3 ore. Teorema in 4 parti su una base della topologia prodotto e sulle proprietà delle due proiezioni. Spazi di Hausdorff, esempi. In uno spazio di Hausdorff i sottoinsiemi finiti sono chiusi; sottospazi e prodotti di spazi di Hausdorff sono di Hausdorff. Teorema: X è di Hausdorff se e solo se la diagonale in X × X è chiusa. Corollario: se il codominio è di Hausdorff, il luogo dove due funzioni continue coincidono è chiuso nel dominio.
9) 18.3.2025. Spazi topologici connessi, esempi. Formulazioni equivalenti della connessione. Teorema: [0,1] è connesso. Spazi topologici connessi per archi, esempi. Altri esempi di spazi connessi per archi. Lemma su un sottospazio connesso Y di X e un sottoinsieme A aperto e chiuso A di X. L'immagine di un connesso è connessa, e di un connesso per archi è connessa per archi. Ogni connesso per archi è connesso. Studio dei sottospazi connessi di ℝ. Lemma: ogni applicazione continua Sn→ℝ con n>0 assume lo stesso valore in almeno due punti antipodali.
10) 20.3.2025. Esercitazione.
11) 24.3.2025, 3 ore. Corollario: nessun aperto non vuoto di ℝm con m>1 è omeomorfo ad alcun aperto non vuoto di ℝ. La chiusura di un sottospazio connesso è connessa. Esempio di uno spazio connesso ma non connesso per archi: il pettine con la pulce. Condizioni sufficienti affinchè la controimmagine di un connesso sia connessa. Il prodotto di connessi è connesso. Componenti connesse, esempi. Spazi compatti: definizioni ed esempi. L'intervallo [0,1] è compatto. Un chiuso in un compatto è compatto, un compatto in un T2 è chiuso.
12) 25.3.2025. I sottospazi compatti di ℝ sono esattamente i chiusi e limitati. L'immagine di un compatto tramite un'applicazione continua è compatta. Corollari: un'applicazione continua da un compatto in ℝ ha minimo e massimo, un'applicazione continua da un compatto in un Hausdorff è chiusa, e se è anche biiettiva è un omeomorfismo. Condizioni sufficienti affinchè il dominio di un'applicazione continua sia compatto. Se P è compatto la proiezione P×Q→Q è chiusa. Corollario: il prodotto di due compatti è compatto. Identificazioni: definizione. Un'applicazione continua e suriettiva è un'identificazione se è aperta, oppure se è chiusa. Esempi.
13) 27.3.2025. Esercitazione.
14) 31.3.2025, 3 ore. Proprietà universale delle identificazioni. Identificazioni e aperti saturi. Topologia quoziente, quoziente per una relazione di equivalenza, esempi. Quozienti per gruppi di omeomorfismi. Il quoziente X→X/G è un'applicazione aperta, e se G è finito è anche chiusa. Teorema: caratterizzazione di X/G di Hausdorff.
15) 1.4.2025. Gruppi topologici: definizione, esempi. Proprietà di numerabilità: spazi 1o-numerabili, 2o-numerabili, separabili. Esempi. Ogni spazio metrico è 1o-numerabile, se è anche separabile allora è 2o-numerabile. Successioni. Chiusura e limiti di successioni in spazi 1o-numerabili. Sottosuccessioni e compattezza per successioni.
16) 8.4.2025. Teorema sulla relazione fra compattezza e compattezza per successioni in spazi topologici. Esercitazione.
17) 15.4.2025. Esonero.
18) 24.4.2025. Esercitazione.
19) 28.4.2025, 3 ore. Successioni di Cauchy, spazi metrici completi, ℝn è completo. Spazi metrici completamente limitati. Compattezza per spazi metrici: uno spazio metrico è compatto se e solo se è compatto per successioni, se e solo se è completo e totalmente limitato. Parte seconda: topologia algebrica. Cammini: giunzione e inversione. Omotopia di cammini, cammini equivalenti. Riparametrizzazioni di cammini. La giunzione è associativa a meno di equivalenza. Cammini costanti e loro proprietà. Definizione di gruppo fondamentale, esempi.
20) 29.4.2025. Cambio di punto base e isomorfismo γ♯. Spazi topologici semplicemente connessi. Gruppo fondamentale di un prodotto di spazi topologici. Proprietà funtoriali: definizione di f* e proposizione sulla composizione di applicazioni. Definizione di retratti e retratti per deformazione, esempi. Lemma: ogni retratto è un retratto per deformazione.
21) 5.5.2025, 3 ore. Teorema su gruppo fondamentale di retratti e retratti per deformazione. Omotopia di applicazioni qualsiasi, equivalenza omotopica, spazi topologici contraibili. Proposizione su f* e g* se f e g sono omotope, corollario. Teorema su equivalenze omotopiche e gruppo fondamentale. Enunciato del Teorema di Seifert-Van Kampen. Per la dimostrazione: Teorema del numero di Lebesgue, inizio della dimostrazione.
22) 6.5.2025. Fine della dimostrazione precedente. Dimostrazione del Teorema di Seifert - Van Kampen. Corollari: Sn è è semplicemente connessa per n≥2 e ℙnℂ è semplicemente connesso per n≥0. Definizione di rivestimenti.
23) 8.5.2025. Esercitazione.
24) 12.5.2025, 3 ore. Esempi di rivestimenti. Cardinalità delle fibre di un rivestimento con base connessa. Rivestimenti di grado finito. Quozienti per azioni propriamente discontinue e rivestimenti, esempi. Sezioni di applicazioni e sezioni locali di rivestimenti. Definizione di sollevamento di applicazioni continue, proprietà di unicità. Teorema del sollevamento di cammini.
25) 13.5.2025. Esempi di sollevamenti di cammini. Teorema del sollevamento di omotopia di cammini. Confronto fra omotopia di cammini nella base di un rivestimento e dei loro sollevamenti. Corollario: π1(S1) ≅ ℤ, inizio della dimostrazione.
26) 15.5.2025. Esercitazione.
27) 19.5.2025, 3 ore. Fine della dimostrazione precedente. Corollario: S1 non è retratto di D2. Teorema del punto fisso di Brower. Teorema di Borsuk. Vari corollari, fra cui: nessun aperto di ℝn è omeomorfo a ℝ2 se n>2. Legami fra fibre di un rivestimento, gruppo fondamentale dello spazio totale e della base. Corollario: π1(ℙnℝ)≅ ℤ/2ℤ se n≥2. Classificazione dei rivestimenti tramite i sottogruppi del gruppo fondamentale (simile alla corrispondenza di Galois per estensioni di campi), senza dimostrazione.
28) 20.5.2025. Parte terza: geometria differenziale. Varietà topologiche: definizione, esempi. Atlanti di classe C∞. Equivalenza di atlanti, definizione di varietà differenziabili, esempi. Varietà differenziabili immerse in ℝN, esempi.
29) 22.5.2025. Esercitazione.
30) 26.5.2025, 3 ore. Curve in ℝN, velocità, riparametrizzazioni, lunghezza. Esistenza di riparametrizzazioni a velocità unitaria. Campi di vettori e di basi su una curva. Formule di Frenet in ℝ2 ed ℝ3. Curve congruenti, teorema di esistenza ed unicità di una curva con curvatura e torsione date (senza dimostrazione). Superfici in ℝ3. Teorema sulla definizione di superfici in modo implicito, esempi.
31) 27.5.2025. Teorema: attorno ad ogni punto di una superficie immersa esistono parametrizzazioni di Monge. Applicazioni differenziabili fra superfici, esempi. Differenziali di funzioni ℝn→ℝm, suo calcolo usando curve e definizione di spazio tangente a una superficie. Prima forma fondamentale e definizione di isometrie.
32) 29.5.2025. Esercitazione.
33) 3.6.2025. Superfici orientabili e operatore forma. Teorema: l'operatore forma è autoaggiunto rispetto alla prima forma fondamentale. Definizione della seconda forma fondamentale, curvature principali, curvatura Gaußiana, punti ellittici, iperbolici, eccetera. Espressione della curvatura Gaußiana in termini delle entrate delle matrici delle forme fondamentali. Theorema egregium di Gauß.
34) 5.6.2025. Esercitazione
35) 9.6.2025. Esonero.
36) 10.6.2025. Esercitazione.