27.02 - Lezione 1: Introduzione al corso. Esiti, eventi e spazio campionario. Operazioni tra eventi. Diagrammi di Venn.
28.02 - Lezione 2: Leggi di De Morgan. Spazi campionari con esiti equiprobabili. Definizione e assiomi di probabilità. Proprietà della probabilità. Principio di inclusione/esclusione. Cenni introduttivi al calcolo combinatorio. Principio di enumerazione. Concetto di ordine e di ripetizione. Oggetti distinti senza ripetizioni: disposizioni semplici. Permutazioni semplici. Oggetti distinti con ripetizione: disposizioni con ripetizione. Permutazioni con ripetizione. Oggetti non distinti senza ripetizioni: combinazioni semplici.
06.03 - Lezione 3: Oggetti non distinti con ripetizione: combinazioni con ripetizione. Esempi. Probabilità condizionata . costruzione ed esempi. Legge della probabilità composta.
07.03 - Lezione 4: Fattorizzazione di un evento e legge della probabilità totale. Grafi ad albero. Formula di Bayes: definizione, dimostrazione, interpretazione. Esempi. Il problema dei falsi positivi ed affidabilità di un test. Eventi indipendenti: caso con più di due eventi, teoria ed esempi.
13.03 - Lezione 5: Variabili aleatorie: introduzione. Variabili aleatorie discrete: la funzione di massa di probabilità. La funzione di ripartizione: definizione e proprietà. Variabili aleatorie continue: la funzione di densità di probabilità. Esempi. Relazione tra funzione di ripartizione e funzioni di massa e densità.
14.03 - Lezione 6: Gli indici di una variabile aleatoria: posizione, dispersione e forma. Indici di posizione: il valore atteso di una variabile aleatoria discreta e continua. Esempi . Valore atteso di funzioni di variabili aleatorie discrete. Variabili aleatorie centrate. Linearità del valore atteso. Valore atteso di funzioni di variabili aleatorie continue: il teorema del cambio di variabile. Esempi.
20.03 - Lezione 7: Momenti e momenti centrati di una variabile aleatoria. Indici di dispersione: varianza e deviazione standard. Varianza: proprietà ed esempi. La funzione generatrice dei momenti: definizione, relazione con i momenti di una variabile aleatoria, esempi.
21.03 - Lezione 8: Esercitazioni ed esempi in aula
27.03 - Lezione 9: Variabili aleatorie notevoli discrete: Bernoulli e binomiale. Variabili aleatorie binomiali: esempi. Variabili aleatorie notevoli discrete: Poisson. Esempi. Relazione tra Binomiale e Poisson.
28.03 - Lezione 10: Variabili aleatorie notevoli continue. Variabili uniformi continue: teoria ed esempio. Variabili aleatorie Gaussiane: introduzione, calcolo dell'integrale Gaussiano, standardizzare una variabile aleatoria Gaussiana, il calcolo della funzione di ripartizione phi, trasformazioni lineari di v.a. Gaussiane, regola delle 3 sigma, esempi.
03.04 - Lezione 11: Approssimazione di una binomiale con una Gaussiana. Esempi. Variabili aleatorie notevoli continue: esponenziale. Funzione di sopravvivenza e proprietà di assenza di memoria. Il tasso di guasto. Esempi
04.04 - Lezione 12: La funzione Gamma di Eulero: definizione e proprietà. Variabili aleatorie notevoli continue: Gamma, Weibull. Variabili aleatorie: indici di simmetria e curtosi. Esempi. Leggi congiunte di due variabili aleatorie: funzioni di ripartizione, di massa congiunte e marginali. Esempi.
10.04 - Lezione 13: Leggi congiunte di due variabili aleatorie congiunte: funzioni di densità congiunte e marginali. Valore atteso di funzioni di più variabili aleatorie. Variabili aleatorie indipendenti. Esempi. Variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite: la legge di probabilità congiunta.
11.04 - Lezione 14: Variabili aleatorie condizionate discrete e continue: legge di probabilità condizionata e valore atteso condizionato. Somme di variabili aleatorie: valore atteso, varianza e covarianza. Somme di variabili aleatorie indipendenti.
24.04 - Lezione 15: Somme di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite: funzione generatrice dei momenti. Variabili aleatorie riproducibili: Bernoulli, Gauss e Gamma. Valore atteso e varianza delle trasformazioni lineari di variabili aleatorie, il caso della media campionaria. Tipi di convergenza: convergenza in probabilità e convergenza in distribuzione. Legge dei grandi numeri: enunciato. Teorema del limite centrale: enunciato. Statistica: introduzione. Statistica descrittiva: tabella delle frequenze e rappresentazioni grafiche.
02.05 - Lezione 16: Esercizi di riepilogo sulle variabili aleatorie notevoli e non.
08.05 - Lezione 17: Statistica descrittiva: indici di posizione (media campionaria, mediana campionaria, moda) e di dispersione (varianza campionaria, deviazione campionaria, range interquartile, range), boxplot. Analisi comparativa: scatterplot, covarianza campionaria e correlazione campionaria.
09.05 - Lezione 18: Modelli di regressione lineare: metodo dei minimi quadrati. Valutazione di un modello di regressione: errore quadratico medio e coefficiente di determinazione. Cenni sui cambiamenti di scala. Inferenza statistica: introduzione. Statistiche campionarie e valori osservativi. Media campionaria: riepilogo della definizione.
15.05 - Lezione 19: La varianza campionaria: proprietà. Campione Gaussiano: proprietà e distribuzione di media e varianza campionaria. Inferenza statistica: introduzione. Stimatori e stime puntuali: definizione, media e varianza campionaria come stimatori di valore atteso e varianza teorica. Proprietà degli stimatori: sufficienza, consistenza debole, correttezza.
16.05 - Lezione 20: Proprietà degli stimatori:errore quadratico medio. Stimatori corretti a varianza minima. Limite di Cramer/Rao e informazione di Fisher. Efficienza assoluta e relativa. Consistenza forte e consistenza debole. Esempi. Metodi di stima: metodo dei minimi quadrati. Metodo di massima verosimiglianza: definizione di funzione di verosimiglianza e di log-verosimiglianza.
22.05 - Lezione 21: Metodo di massima verosimiglianza - esempi: Poisson, esponenziale, Bernoulli.
23.05 - Lezione 22: Metodo di massima verosimiglianza - esempi: Gauss, Gamma e varie. Intervalli di confidenza per la media: quantile di una distribuzione Gaussiana. Intervalli di confidenza per la media: campione gaussiano con varianza nota e ignota. Proporzione campionaria e relativi intervalli di confidenza.
29.05 - Lezione 23: Test d'ipotesi: le decisioni statistiche. Le ipotesi statistiche: ipotesi nulla e alternativa. Valori critici, regioni critiche e di accettazione. Livello di fiducia, errori di I e II specie. Test d'ipotesi: campione Gaussiano con varianza nota e ignota; proporzione campionaria. p-value. Relazione tra intervalli di confidenza e test d'ipotesi.
30.05 - Lezione 24: Esercizi di preparazione all'esame