Ministrante: Moacir Aloisio Nascimento dos Santos

Período: 12 a 14 de fevereiro de 2025.

Carga horária: 6 horas

Resumo: A ideia de decompor funções periódicas em séries trigonométricas, embora já chamasse a atenção de grandes matemáticos como L. Euler, D. Bernoulli, J. d'Alembert e J. L. Lagrange, surgiu explicitamente somente em 1811 quando Joseph Fourier propôs uma nova técnica para resolver a equação do calor em Théorie mathématique de la chaleur; então dando origem a área chamada análise de Fourier, que inclui as séries de Fourier.

Uma resposta positiva para essa questão, de natureza  bastante elegante por si só (usar séries trigonométricas para representar funções periódicas),  pode permitir inúmeras aplicações na própria matemática, principalmente em equações diferenciais, e/ou nas mais diversas áreas, por exemplo, em processamentos de sinais, fenômenos térmicos, etc.

Neste minicurso, nosso principal objetivo é estudar o bem conhecido Teorema de Plancherel para séries de Fourier e apresentar aplicações na teoria espectral de operadores de Schrödinger unidimensionais. Os pré-requisitos necessários são os cursos de álgebra linear e análise real.

Principais Referências

[1] E. Carneiro. Teoria básica das séries de Fourier, IMPA-Rio de Janeiro, (2015).

[2] C. R. de Oliveira and M. Pigossi. Proof of dynamical localization for perturbations of discrete 1D Schrödinger operators with uniform electric fields. Mathematische Zeitschrift. 291, 1525-1541, (2019).

[3] E. M. Stein and G. Weiss. Introduction to Fourier Analysis on Euclidean spaces, Princeton University Press, (1973).

Ministrante: Jean Carlos Lelis

Período: 12 a 14 de fevereiro de 2025.

Carga horária: 6 horas 

Resumo: Este minicurso, composto por três encontros, tem como objetivo introduzir os participantes aos conceitos fundamentais dos números p-ádicos. Exploraremos a construção dos números p-ádicos a partir dos números racionais, suas propriedades básicas e algumas de suas aplicações em teoria dos números e outras áreas da matemática.

Os números p-ádicos são uma extensão dos números racionais que surgem ao considerar a métrica proveniente do valor absoluto p-ádico. Para um número primo p, os números p-ádicos formam um sistema numérico que permite resolver problemas de congruências e estudar propriedades aritméticas com uma nova perspectiva.

No primeiro encontro, discutiremos a definição e a construção dos números p-ádicos, bem como a topologia associada a esses números. No segundo encontro, abordaremos a aritmética dos números p-ádicos e suas propriedades algébricas, incluindo a noção de valor absoluto p-ádico. Finalmente, no terceiro encontro, examinaremos algumas aplicações dos números p-ádicos, como suas utilizações em equações diofantinas e em análises locais.

Este minicurso é direcionado aos estudantes de graduação e pós-graduação em matemática, bem como a pesquisadores interessados em expandir seus conhecimentos sobre esta área da teoria dos números.

Principais Referências

[1] KATOK, S. p-adic Analysis Compared with Real. Providence: American Mathematical Society, 2007.

[2] GOUVÊA, F. p-adic Numbers. Heidelberg: Springer Science & Business Media, 2020.

[3] TAO, T. Analysis 1. New Delhi: Hindustan Book Agency, 2009.

[4] SHOKRANIAN, S., SOARES, M., GODINHO, H. Teoria dos Números. Brasília: Editora Universidade de Brasília, 1994.