[ 14 / 11 - AG ]: Introduzione al metodo di Chabauty-Coleman. Si tratta di una tecnica per calcolare i punti razionali su una curva che passa per il calcolo di funzioni analitiche p-adiche su alcune varietà abeliane. Prima lezione per introdurre le idee principali.
Referenze: questo articolo espositivo.[ 22 / 11 - Luca Mauri ]: Il metodo di Skolem I. Questa strategia per risolvere equazioni diofantee condivide alcune idee con il metodo di Chabauty, ma con meno geometria algebrica. Nella prima lezione presentiamo alcuni prerequisiti di analisi p-adica: il Teorema di Strassman, il Lemma di Hensel, e la teoria dei poligoni di Newton. Questi sono i nostri strumenti formali per cercare soluzioni intere di sistemi di funzioni analitiche p-adiche.
Referenze: gli appunti di Luca, un articolo di Davide, la tesi di Drago.[ 29 / 11 ]: SCIOPERO.
[ 06 / 12 - Davide Pierrat ]: Il metodo di Skolem II. Risolviamo l'equazione diofantea x^3+6 y^3=1, applicando il metodo di Skolem. Chiamiamo a una radice di t^3-6. Il probelma è equivalente a trovare un'unità di K=Q(a) della forma x+ay. Calcoliamo un'unità fondamentale e di O_K e ci restringiamo alla varietà analitica p-adica e^x = exp (x * log a), la "chiusura analitica" di O_K*. La condizione si traduce ora nell'annullarsi di una funzione analitica nel parametro x, che scriviamo esplicitamente. Il Teorema di Strassman forisce poi un bound sul numero di soluzioni intere e finiamo per trovarle tutte.
Referenze: gli appunti di Luca, un articolo di Davide, la tesi di Drago.[ 13 / 12 - Cristofer Villani ]: Geometria p-adica. Definizione di varietà p-adica, di gruppo di Lie p-adico, teoremi di struttura e proprietà varie. Vorremmo riconoscere le varietà analitiche che abbiamo sfruttato nella lezione precedente.
Una buona referenza qua sembra essere la parte II di questo libro.[ 17 / 01 - Pietro Leonardini ]: Ripasso sulla Jacobiana. Recap sulle varietà abeliane. Definizione della Jacobiana (funtoriale e via proprietà universali).
Il primo capitolo degli appunti di Davide, volendo integrati con la costruzione della Jacobiana.[ Lunedì 27 / 01 - Lorenzo Furio ]: Teorema di Chabauty. La dimostrazione di Coleman del suo teorema. Questa lezione contiene una versione "baby" dall'integrale e delle idee del metodo.
[ 31 / 01 - Dania Lazzarini ]: Integrale di Coleman I. Costruzione formale dell'integrale di Coleman. Qualche esempio di calcolo esplicito. Dimostrazione del toerema di Chabauty-Coleman con stima dall'alto sul numero di punti razionali.
Referenze: il primo capitolo (la sezione 1.1 e 2.3) di questi appunti.[ 07 / 02 - AG ]: Un'applicazione di Chabauty-Coleman. Applichiamo il metodo di Chabatuy-Coleman per risolvere un'equazione diofantea: seguiamo le sezioni 8.2/8.3 di questo articolo. La curva C0(N) in questione, con N=5, è lo spazio dei moduli dei polinomi quadratici con un N-ciclo razionale, come spiegato qua (dove si trova anche la 2-discesa per cacolare il rango della Jacobiana).
[ 14 / 02 - Tommaso Lunghi ]: Integrale di Coleman II. Abbiamo visto la lezione precedente che, con la definizione di integrale che abbiamo dato, è possibile applicare il metodo di Chabauty-Coleman esplicitamente solo se esiste un punto in X(Fp) che è immagine di due punti in X(Q). Vogliamo ora definire l'integrale in modo che sia possibile calcolarlo anche tra due punti in dischi disgiunti. Dobbiamo quindi costruire l'integrale di Coleman "in the rigid setting" e prima ancora scoprire cosa signigica "rigid setting".
Referenze: il primo capitolo di questi appunti, il terzo capitolo della tesi di Luca Ferrigno, o anche la terza sezione dell'articolo di Guido Lido, e queste note di Kedlaya per la coomologia di p-adica.[ Giovedì 20 / 02 - Matt Bisatt ]: Integrale di Coleman III. Tutto quello che rimane da fare dalla lezione precedente.
Da questo punto in poi, segnato da una pausa di una settimana, comincia quella che è filosoficamente una seconda parte del gruppo di studio. Abbiamo finito di raccontare il metodo di Chabauty-Coleman e ci avviamo in uno spaventoso viaggio verso la geometria anabeliana. Puntiamo coraggiosamente a un obiettivo lontano: capire Chabauty quadratico, per com'è spiegato nella sua forma più goemetrica in questo articolo.
[ Lunedì 03 / 03 - Luca Mauri ]: Generalità sulle Varietà Abeliane I. Fibrati lineari, polarizzazione, fibrato di Poincaré, gruppo di Neron-Severi (e, alla fine, molto di più!). Referenze: gli appunti di Davide, il Birkenhake-Lange.
[ Lunedì 07 / 03 - Luca Mauri ]: Generalità sulle Varietà Abeliane II. Luca ha scritto degli appunti per questa lezione.
[ 24 /03 - Pietro Leonardini ]: Biestensioni. Una biestensione è un G_m-fibrato in due modi diversi. Il fibrato di Poincaré P su JxJ^vee si traduce in un torsore P* con una struttura di biestensione. Usiamo P* per costruire un torsore T su J che funziona da spazio ambiente per il metodo di Chabauty quadratico.
Referenze: spero che esiste una referenza migliore della sezione I.2.5 di questo oggetto, la sezione due dell'articolo di Guido ne parla brevemente e indica anche a Grothendieck’s Exposes VII-VIII.[ 28 /03 - Domenico Marino ]: Introduzione a Chabauty quadratico. Come applicare la strategia di Chabauty su aperti del torsore T: possiamo parametrizzare dentro T(Z_p) sia X(Z_p) che la chiusura p-adica di T(Z). Ci aspettiamo che si intersechino trasversalmente per ragioni dimensionali.
Referenze: le sezioni 2-4 dell'articolo di Guido.[ 07/04 - AG ]: Logaritmo verso il torsore di Poincaré. Descriviamo esplicitamente le coordinate della chiusura p-adica di T(Z) in T(Z_p). Il logaritmo p-adico nel setting rigido. Perché usiamo Z invece che Q.
[ 14/04 - Davide Lombardo ]: Altezze p-adiche in Chabauty quadratico. Altezze locali, altezze p-adiche e Quadratic Chabauty esplicito su curve ellittiche. Delirio successivo su Chabauty in grado più alto e in dimensione qualunque.
Dopo le vacanze di Pasqua, cominciamo a guardare l'esempio.