В файле записаны измерения одного и того же объекта при помощи разных датчиков. Данные представлены в формате CSV: <измерение первого датчика>,<измерение второго датчика>
Требуется сравнить оценки среднего и медианы для каждого из датчиков. Так как наблюдений достаточно много, можно поступить так:
1) Вычислите среднее и медиану по всей выборке.
2) Разделите выборку на n групп, вычислить среднее и медиану по каждой из групп, а затем n полученных оценок среднего и медианы считайте новой выборкой, и оцените ее среднеквадратическое отклонения. Попробуйте разные значения n, чтобы и n, и размеры групп не были очень маленькими.
3) Сформулируйте различия двух датчиков.
4) Проверьте, сохраняются ли отличия датчиков, если проделать такие же вычисления с квантилями на уровнях вместо медианы.
В файле содержатся данные измерений координат одного и того же объекта на плоскости. Формат данных <координата x с датчика 1>,<координата y с датчика 1>,<координата x с датчика 2>,<координата y с датчика 2>,<координата x с датчика 3>,<координата y с датчика 3>. Однако количество наблюдений разными датчиками отличается, поэтому некоторые строки содержат меньше значений.
Датчики имеют неизвестные характеристики, но известно, что они возвращают несмещенные значения. Ошибки разных датчиков предполагаются независимыми.
В последней строке файла содержатся наблюдения трех датчиков в том же формате, по которым нужно оценить положение объекта.
Используйте все доступные наблюдения, кроме последнего, чтобы оценить матрицы ковариаций значений, возвращаемых каждым из датчиков. А затем используйте найденные оценки матриц ковариации, чтобы получить оптимальную оценку положения объекта по трем наблюдениям из последней строки.
Сравните результат со средним предыдущих наблюдений, средним трех наблюдений в последней строке и "настоящим" значением (10,10).
За точкой с координатами (1,1) (в подходящих единицах измерения, скажем, км) наблюдают 2 радара, каждый из которых возвращает полярные координаты наблюдений с ошибками. Радары расположены в точках с координатами (0,0) и (3,0). Для каждого из радаров известны среднеквадратические отклонения по расстоянию и углу, они одинаковы и составляют σr = 0.03км и σφ = 0.2рад, измерения угла и расстояния независимы и имеют нормально распределенные ошибки.
Найдите матрицы ковариаций измерений после перевода их в декартовы координаты. Для этого используйте разные методы: 1) линеаризацию; 2) метод Монте-Карло; 3) сигма-точечное преобразование. Для этих методов нужна точка (назовем ее центральной), в которой искать линеаризацию, для которой проводить симуляцию методом Монте-Карло или которую считать ожиданием до преобразования для выбора сигма-точек. Используйте 2 варианта: либо полярные координаты точки (1,1) относительно каждого из радаров, либо сгенерированные псевдослучайные наблюдения с указанными параметрами. Исследуйте зависимость результатов (матриц ковариации) от используемого метода выбора центральной точки.
Сравните результаты использования полученных каждым из этих методов матриц ковариации для комбинирования результатов наблюдений двух радаров в декартовых координатах. Для этого сгенерируйте несколько пар наблюдений с указанными параметрами двумя радарами, скомбинируйте их с помощью разных найденных матриц ковариации, и постройте картинки, наглядно изображающие результат.
Точечный объект двигается по плоскости. Его скорость подвержена случайным изменениям, которые независимы по разным координатам и представляют собой центрированные гауссовские величины со среднеквадратическими отклонениями σ_x = 0.4м/c и σ_y = 0.8м/c. С шагом 0.1с производятся измерения координат объекта, возвращаемые с погрешностью, которая представляет собой независимые по координатам нормальные случайные величины со среднеквадратическим отклонением 1м. Требуется
1) По наблюдениям отфильтровать текущее положение объекта и его скорости, которые представляют собой внутреннее состояние объекта.
Данные наблюдений (в каждой строке через запятую 2 координаты, 200 наблюдений).
Для проверки:
Внутренние состояния системы, по которым сгенерированы данные наблюдений (в каждой строке через запятую 2 координаты и 2 скорости, 200 состояний).
2) Проверить, как влияет на поведение фильтра начальное приближение и начальный выбор матрицы ковариаций R0.
3) Проверить, как влияет на поведение фильтра неправильная идентификация системы: запустить фильтр с несколькими неправильно выбранными матрицами ковариаций Q и G. Проверить значения статистики критерия на основе χ2.
1) Kинейная модель измерений
Постройте расширенный фильтр Калмана и сигма-точечный фильтр Калмана для следующей модели. Точечный объект двигается по плоскости с медленно меняющейся угловой скоростью. Его линейные скорости по координатам подвергаются случайным воздействиям со среднеквадратическим отклонением 0.2 м/c каждая, независимо. Угловая скорость также подвергается случайным воздействиям со среднеквадратическим отклонением 0.001 рад/c. Раз в 0.5 с проводятся измерения декартовых координат объекта, погрешность которых имеет независимые случайные отклонения от реального значения с нулевым средним и среднеквадратическим отклонением 0.8 м.
Для проверки: полная траектория
2) Нелинейная модель измерений
Постройте расширенный фильтр Калмана и сигма-точечный фильтр Калмана для той же модели движения, но с измененной моделью измерений. Раз в 0.5 с проводятся измерения полярных координат объекта (относительно точки (0,0)), среднеквадратические погрешности углов составляют 0.02 рад, погрешности расстояний - 1.0 м, и эти погрешности независимы.
Данные наблюдений (в полярных координатах)
3) Сравните результаты для двух моделей наблюдения.
Модель движения: Скоростной катер передвигается в море согласно модели постоянного поворота, с ошибками по линейным скоростям и по угловой скорости. Ошибки по линейным скоростям имеют среднеквадратические отклонения 0.02км/мин, а угловые скорости - среднеквадратическое отклонение 0.001рад/мин.
Модель наблюдения: За катером наблюдают два радара на удалении 10км друг от друга. Положение первого радара принимается за начало координат, направление на второй - осью абсцисс. Наблюдения проводились через равные промежутки времени дважды в минуту в течении 5 часов. Радары имеют в диапазоне наблюдений среднеквадратическое отклонение по расстоянию 0.9 км, а среднеквадратическое отклонение по углу в силу особенностей конструкции зависит от расстояния от радара до цели: оно определяется как 0.01 рад, деленное на квадратный корень из расстояния.
Задания:
Придумайте способ обрабатывать ошибки по наблюдениям с дисперсией, зависящей от самого наблюдения. Если не выходит, используйте следующий способ (неправильный и жульнический): вычислите средние наблюдения расстояний по всей траектории и используйте среднеквадратическое отклонение по углу, равное 0.01 рад, деленное на квадратный корень из найденного среднего расстояния. Если используете более разумный метод, опишите его и поясните, почему он разумен, по вашему мнению.
Постройте один или два варианта фильтра Калмана или непараметрического байесовского фильтра и обработайте наблюдения с помощью построенных фильтров. Для получения положительной оценки нужен хотя бы один фильтр, для получения оценки отлично - минимум 2 фильтра (и другие выполненные задания). Обоснуйте выбор использованных фильтров.
Проанализируйте результаты работы фильтров и сравните их.
Предположим, что наблюдения проводились гораздо реже, раз в 2 или 5 минут. Соответствующие данные можно получить, беря каждую четвертую или каждую десятую запись. Учтите, что модель движения зависит от интервала наблюдений. Прогоните через фильтры такие прореженные данные. Сравните результаты и с предыдущими и сделайте выводы о зависимости качества фильтрации от частоты наблюдений.
Смоделированные данные:
Наблюдения (расстояние до 1-го радара, угол от 1-го радара на катер, расстояние до 2-го радара, угол от 2-го радара на катер)
Состояния системы (для проверки).
Проведенное исследование оформите с выбранной вами степенью подробности и пришлите для проверки на адрес yakubovich.yv@talantiuspeh.ru.