サンプル値制御理論について

現代サンプル値制御理論とそれまでの課題

制御システムにおいて，制御される対象（通常プラントと呼ぶ）は 連続時間で動作しますが，これに対し， （多くは一定時間間隔毎の）離散時間で観測，制御動作を行う 制御をサンプル値制御と呼びます．制御器（コントローラ）に ディジタルプロセッサを使用することが多いことから ディジタル制御とも呼ばれます． ディジタル制御器にはさまざまな自由度があり，利点も多いのですが， これまでには次のような問題がありました．

• • 連続時間と離散時間が混在 しているので，時間要素が２つになり，モデルが複雑になる．

  • その結果，全体の系（閉ループ系）が時不変（時間のシフトに対して 不変）でなくなる．したがって，伝達関数や周波数応答といった 時不変系で有用であった概念が使えなくなる．

  • 制御系設計もこれまでの手法が使えず，複雑になってしまう．

この連続と離散の2つの時間要素の混在をどうすればいいのでしょうか． 古典的には，プラントのサンプル点上の挙動に着目し，それとコントローラ とをまとめて離散時間で記述していました．古くz変換法で知られるアプローチは すべてこれです．

しかしこれではサンプル点間の情報，挙動がすべて失われてしまい，サンプル点間に 大きなリップル（応答の波打ち現象）が生じてしまうことが避けられません． 例えば下の図のようになります．

リフティングによる解決

私が1989-90年に開発した手法（現在ではリフティングと呼ばれています）は 連続時間信号を，サンプル点間信号を失わずに離散化してしまう方法です．

この図で分かるように，連続時間の信号 f をサンプル時間 h ごとに区切ります． そして関数の列 {f_n(&middot )} を作り，これを f の代わりに 使うのです．この対応 L: f &rarr {f_n(&middot )} をリフティング作用素といいます．

連続時間プラント P に対し， 連続時間入力 u(&middot) と連続時間出力 y(&middot) があったとき， それらをリフティングして {u_n(&middot )} と {y_n(&middot )} を作ります． サンプル時刻 nh, n= 1, 2, &hellip のタイミングに同期して 関数の入力 {u_n(&middot )} が入力され， これが P に作用して，{y_n(&middot )} を 出力するのだと考えて見ます．そうすると，詳しいことは省略しますが （"A function space approach to sampled-data control systems and tracking problems," IEEE Trans. Autom. Control, vol. AC-39, pp. 703–712, 1994. 参照）， このプラント P は各時刻 nh で 無限次元の入力ベクトル（関数なので） u_n(&middot ) を受け，同じく 無限次元の出力ベクトル y_n(&middot) を出力する離散時間システム となるのです．

いったんこれらの土台が固まってしまうと，後は有限次元と変わらない いわば形式的な議論が可能になります．例えばこの関数列のz変換は

&Zeta[{u_n(&middot)}] := &Sigma_n=0^&infin u_n(&middot)z^-n

として与えられますし，これから伝達関数 G(z) や zに e^j&theta を代入して周波数応答 G(e^j&thetae^j&theta) が得られます．

いったんこれらが定まってしまうと，プラントもコントローラも同じ離散時間の 枠組みで扱うことが出来るようになります．伝達関数や周波数応答といった 有用な概念が回復できたことはその顕著な帰結なのです．またこうしてしまうと， 連続時間プラントと離散時間コントローラを接続し，その閉ループの方程式を 書き下すのにも何の困難もないことが分かるでしょう． 時間要素が一つに統一されたことにより サンプル値制御系を再び（サンプル点間を無視したり近似したりせずに） 時不変系として扱うことが可能になったわけです．

有限次元のものをなぜわざわざ無限次元にするのか，という疑問をもたれる方が あるかもしれませんが，上のような時不変系にすることの利点は， この無限次元性のもたらすわずかの不便（あるとすればですが）を 補って余りあるといえます．

これらの理論により，サンプル点間応答を含めて最適に （例えばH^&infin制御規範の下で）制御する設計法が得られることに なりました．例えば以下の図で， サンプル値制御系を用いずに連続時間設計のコントローラ を適当に離散化して用いた応答（点線）と サンプル値設計による応答（実線）を比べてみれば，その差は明らかでしょう．

私はここ10年ほどそれらの理論のディジタル信号処理への応用に 取り組んでいます．これについてはリンク

• 最近の研究テーマ：新しい音声・音響処理について

を見てください．