Обратные задачи: теория и практика
Спецкурс на кафедре биомедицинской физики Новосибирского государственного университета для магистрантов 5-6 курса.
автор: к.ф.-м.н. Юркин М.А.
Сначала приведено краткое содержание, ниже - чуть подробнее расписана каждая тема. В подробном плане ссылки на названии темы ведут на презентации в формате PowerPoint. Доступна запись лекций (от 2023 г.). Основная литература доступна по ссылке.
Введение
1.1. Цели и структура курса.
1.2. Классификация обратных задач.
1.3. Примеры обратных задач.
1.4. Корректность обратной задачи: существование, единственность и устойчивость.
1.5. Обсуждение конкретных примеров обратных задач в дипломных работах студентов.
Параметрическое описание искомой функции
2.1. Правильная постановка задачи регрессии в терминах мат. статистики - залог достоверного результата обработки экспериментальных данных.
2.2. Линейные и нелинейные модели.
2.3. Стандартные предположения о погрешностях экспериментальных данных - нормальное распределение и независимость.
2.4. Сведение к методу наименьших квадратов. Использование ожидаемых погрешностей экспериментальных данных в качестве веса.
2.5. Стандартные распределения вероятности.
3.1. Простейший пример: один параметр.
3.2. Прямое решение задачи минимизации.
3.3. Оценка погрешности определения параметров: стандартные ошибки, корреляции и доверительные интервалы.
3.4. Доверительные интервалы на модельную (теоретическую) кривую.
3.5. Разные подходы к оценке погрешностей - один и тот же результат.
3.6. Усложнение линейной регрессии.
4.1. Наличие многих локальных минимумов в общем случае.
4.2. Алгоритмы поиска глобального минимума: Левенберга-Марквардта, мультистарта, DIRECT и др.
4.3. Классификация алгоритмов по использованию ими производной от целевой функции.
4.4. Необходимость исследования целевой функции (зависимость суммы квадратов отклонений от параметров) для конкретной задачи. Проверка применимости используемого алгоритма.
4.5. Разделяемые параметры.
5.1. Линейное приближение.
5.2. Контуры правдоподобия.
5.3. Байесовский подход.
5.4. Использование информации о поверхности целевой функции, полученной в ходе минимизации.
5.5. Метод Монте-Карло.
5.6. Применимость линейного приближения.
6.1. Обобщённый метод наименьших квадратов.
6.2. Определение выпадающих точек.
6.3. Ненормальное распределение погрешностей.
6.4. Зависимость погрешностей разных точек между собой.
6.5. Общая адекватность модели.
6.6. Сравнение разных моделей.
6.6. Учёт повторных измерений.
6.7. Одновременная регрессия нескольких наборов данных при одинаковых значениях части параметров.
7.1. Общие замечания.
7.2. Предварительно насчитанная таблица значений целевой функции.
7.3. Аналитическое обращение.
7.4. Автоматическое обучение.
7.4. Нейронные сети.
Восстановление функции
8.1. Корректность обратной задачи.
8.2. Сингулярное разложение.
8.3. Бесконечно-мерные линейные операторы.
8.4. Регуляризация Тихонова.
8.5. Выбор матрицы регуляризации.
8.6. Обобщённое сингулярное разложение.
8.7. Выбор параметра регуляризации.
9.1. Виды томографии.
9.2. Аналитические формулы обращения.
9.3. Физические проблемы.
9.4. Технические проблемы.
9.5. Численные методы.
9.6. Оптическая дифракционная томография.
10.1. Оптические принципы.
10.2. Построение изображений.
10.3. Применения.
10.4. Деконволюция.
10.5. Оптическая когерентная томография в спектральной области.
11.1. Типы рассеяния.
11.2. Обратная задача (свето)рассеяния.
11.3. Линеаризация оператора (приближение Борна).
11.4. Решение нелинейной задачи (через вектор поляризации).
11.5. Восстановление формы объекта (метод линейных проб).
Применение полученных знаний в дипломных работах студентов
В качестве экзаменационной работы студенты должны предоставить главу дипломной работы (для 5-го курса - предварительную), в которой описывается обработка экспериментальных данных. При проверке основное внимание будет уделяться на статистическую достоверность полученных результатов и выводов.