AIがHodge予想の証明にトライして，ホモロジー代数の符号ミスで間違えたらしいという噂は聞いていた．そのあたりのconventionが厄介という話はしばしば耳にしていたので，AIでもそうなのかと思っていたのだが，実は身近な話題だったらしい．符号というのはLagrangian immersionのintersection numberで，僕が10年くらい前によく使っていた理論のことだという．先週，こんなものが出て，個人的に情報共有をしてもらう機会もあった．こういうホットな話題に「その符号ミス，僕は10年前から知っていました」と言える機会はもうなさそうなので，日本語で情報を残すというお題目で少し書き残してみる．なお，Lekili--Sheridanにも書いてある通り，符号の定義が通常のものの逆になっているだけで，引用先の理論そのものは正しい．

　symplecticやLagrangian, Legendrianの定義は省略して良いと思う．h-principleのことは少し書く．素朴に言えば，その微分方程式（あるいは不等式）が要求する代数的な必要条件が，十分条件にもなっていることを主張するタイプの理論である．一般的に正しいという意味ではなく，それが成立するものに対してh-principleがあるとか，h-principleをみたすとか言う．Lagrangian immersionはこれをみたしていて，とにかく作るだけなら，接束の準同型とcohomologyの条件だけがあればよい．加えて，変形の分類も代数トポロジーに帰着される．こういった対象のことをflexibleとも呼んでいる．hの文字はhomotopyから来ている．

　一方，Lagrangian embeddingには一般にこういった性質がなく，代数的な必要条件をみたしても非存在が知られていたり，存在しても変形には追加で非自明な条件が必要であったり，rigidな対象であることが知られている．このような現象は主にholomorphic curveを使って証明されており，しばしばLagrangin intersectionを利用するため，Lagrangian immersionのself-intersectionをどこまで減らせるか，一般論として境界がどこにあるのかという問の答えは不明瞭だったのだと思われる．僕はrigid側のことは素人なので，良くない誤解をしていても読み流してもらえたらと思う．

　件の理論は，Murphyのloose Legendrian，Eliashberg--MurphyのLagrangian caps，Ekholm--Eliashberg--Murphy--Smith（以下EEMS）のLagrangian self-intersectionの順に積み上げられている．loose LegendrianはLegendrianの中でflexibleなclassが定義できてそれが豊富であること，Lagrangian capsはLagrangianがloose Legendrianをnegative boundaryに持っているとflexibleになることを主張している．これを利用して，closedなimmersed Lagrangianに局所的にnegative boundaryを作り，そこにloose Legendrianを出現させる変形を施して，その外側のself-intersectionを限界までcancelするというのがEEMSのコンセプトである．

　loose Legendrianを出現させるためにLegendrianのstabilizationという操作を行い，それをLagrangian cylinderとして理解し直すことになるのだが，ここで必ずself-intersectionを1つ増やすことになる．これをpと呼ぶことにする．また，局所的な変形として理解するためには元に戻す操作も必要になるので，元に戻す際に逆の符号を持つself-intersectionがもう1つ登場する．これをqと呼ぶことにする．self-intersection pはloose Legendrianを確保するために作っているので，cancelを始める前やcancel中に消すことはできない．これがEEMSのTheorem 1.1でself-intersectionが0になっていないことの理由，pは必ず残るということである．元々のself-intersection numberあるいはその符号がpのそれと一致していれば，qを含めて他のself-intersecionを限界まで消すことができる．一致していなければ，pとqは必ず残り，他のsel-intersectionを限界まで消すことができる．（pを除いて消すものは選べるが，こう思うと+0と+2の意味がはっきりする．）

　Lagrangianが奇数次元ならZ/2Z係数なので符号を無視できるのだが，偶数次元の場合はZ係数なので気にする必要がある．上述の通り，Legendrianの変形をLagrangian cylinderとして理解し直すステップがあり，そこで直積方向を前後どちらにつけるかで符号は変わる．また，その入れ物としてnegative boundaryのcontact manifoldに対してsymplectizationをする際も同様である．おそらく，EEMSはこのあたりのどこかで選択を間違えただけだと思われる．ここに齟齬があることは，低次元の例から確認できる．n=2の場合はTheorem 1.1に含まれていないが，次元による勘定の入れ替わりなので，同じ公式で数えられる．この場合にpの符号は-1，qの符号は+1である．一方，Whitney sphereにこれを適用すると元々のself-intersectionは1つだけ，符号が+1となっている．これはTheorem 1.1で言うところの3番目のcaseに見えるが，必ず残る-1，残りは+1と+1となってcancelできるpairがなく，実際に該当しているのは4番目とわかる．AIに聞いたところによると，最初に指摘した人も掲示板でこのような場合について議論していたらしい．

　ここで自分の話に戻る．僕は博士論文でこのTheorem 1.1のn=3 case（つまりLagrangian capsにおける当該のcase）のtechnicalな仮定を外すということをした．この時点で符号が逆であることは認識していたが，人の仕事に乗っかるタイプの内容だったため（そしてn=3は奇数だったため！），それを書く機会はなかった．また，上のn=2を覚えていた理由は，その後にやった別のLagrangianを作る仕事の際にこの符号を再び意識したためである．この符号が逆だと，topologicalに存在しないはずのLagrangianができてしまうということで，よく覚えていた．ここでもやはりわざわざ強く主張することでもなく，self-intersection numberは-1であるとだけ言って通り過ぎた．（レフェリーから文句を言われるかと思ったが，何も言われなかった．）自分が陽に何かを書いていたら，未来がちょっと変わっていたかもしれないというのは，不思議な感覚である．ただ，アイディアや先の仕事をリスペクトするというのは，お金や特許がまず絡まない数学の文化において重要なことなので，そういう意味で自分の選択は正しかったと考えている．今後AIと共生していくにあたっても，こういう部分はきちんと残ってほしいと思う．