04/06 - Secondo esonero.
28/05 - Esercitazione.
21/05 - Esercitazione.
15/05 - Un numero ridotto ha un''espansione puramente periodica. L'espansione di una radice. Algoritmo per calcolare la soluzione dell'equazione di Pell.
Il Teorema di Liouville e un esempio di numero trascendente.
14/05 - L'equazione di Pell ha un numero infinito di soluzioni. Queste si ottengono come potenze della soluzione fondamentale.
Frazioni continue puramente periodiche: numeri ridotti, una frazione continua puramente periodica è un numero ridotto.
13/05 - Seminari Kastigianni e De Feo.
08/05 - Approssimazioni razionali sufficientemente buone sono in realtà convergenti.
Equazione di Pell: definizione e prime proprietà. Soluzione fondamentale e norma in un campo quadratico reale.
07/05 - Esercitazione.
06/05 - Approssimazione tramite convergenti: i convergenti danno le migliori approssimazioni razionali.
Uno ogni due e uno ogni tre convergenti danno approssimazioni ancora migliori.
Ottimalità della costante sqrt(5).
17/04 - Numeri equivalenti: definizione, dimostrazione del fatto che si tratta di una relazione di equivalenza.
I numeri razionali sono tutti equivalenti mentre due irrazionali sono equivalenti se e solo se le loro espansioni in frazione continua hanno le
stesse code.
Frazioni continue periodiche: definizione e corrispondenza con gli irrazionali quadratici.
16/04 - I convergenti approssimano bene la frazione continua corrispondente.
Frazioni continue semplici infinite: convergenza del limite dei convergenti, definizione.
A ogni irrazionale corrisponde una frazione continua infinita.
15/04 - Frazioni continue: Rappresentazione in frazione continua di un razionale.
Algoritmo per le frazioni continue.
Approssimazione diofantea: introduzione al problema e Teorema di Dirichlet.
09/04 - Primo esonero.
03/04 - Frazioni continue: numeratore e denominatore dei convergenti definiti per ricorrenza e loro coprimalità.
Frazioni continue semplici: successioni dei convergenti pari e dispari, crescita dei denominatori.
A ogni frazione continua semplice con lunghezza pari (risp. dispari) ne corrisponde una con lunghezza dispari (risp. pari).
02/04 - Esercitazione.
01/04 - Esercitazione.
27/03 - Somme di quattro quadrati: tutti gli interi positivi sono esprimibili come somme di 4 quadrati.
Frazioni continue formali: definizione e prime proprietà.
26/03 - Somme di due quadrati: teorema di Fermat con due dimostrazioni.
Somme di tre quadrati: non tutti gli interi positivi sono esprimibili come somme di 3 quadrati.
25/03 - Terne pitagoriche: proprietà e caratterizzazione.
Equazione di Fermat: dimostrazione che non esistono soluzioni non-banali nel caso di esponente 4.
Cenni storici riguardo l'ultimo Teorema di Fermat.
20/03 - La legge di reciprocità quadratica: enunciato e dimostrazione.
Il simbolo di Jacobi: definizione e proprietà.
Esempi.
19/03 - Esercitazione.
18/03 - Esistenza di radici primitive modulo doppi di potenze di primi dispari.
Teorema di Gauss sull'esistenza di radici primitive.
Residui quadratici: definizione e proprietà.
Criterio di Eulero.
Lemma di Gauss.
13/03 - Ordine di un elemento modulo m: definizione e proprietà.
Radici primitive.
Esistenza di radici primitive modulo primi e potenze di primi dispari.
Esempi.
12/03 - Lemma di Hensel e esempi.
Teorema di Lagrange.
Teorema di Wilson.
06/03 - Congruenze lineari ed equazioni diofantee lineari in due variabili.
Il Teorema Cinese dei Resti.
Congruenze polinomiali.
05/03 - Esercitazione.
04/03 - Alcune proprietà della funzione di Eulero: moltiplicatività e formula per calcolarla.
Relazione tra la funzione di Eulero e la funzione somma dei divisori.
Media asintotica per le funzione di Eulero.
Applicazione: probabilità che due interi siano coprimi.
Aritmetica modulare: richiami, insiemi completi e ridotti di residui.
01/03 - Media asintotica per le funzioni numero e somma di divisori.
La funzione di Möbius: definizione, moltiplicatività, formula di inversione di Möbius e applicazione.
Funzione di Eulero: definizione e prime proprietà.
27/02 - Strutture di gruppo su due insiemi di funzioni aritmetiche.
Le funzioni numero e somma di divisori: definizione, formule per il calcolo.
Numeri perfetti: definizione e Teorema di Eulero-Euclide.
Limiti inferiore e superiore per la funzione numero di divisori.
25/02 - Introduzione al corso.
Richiami: divisione euclidea, massimo comun divisore, numeri primi, Teorema Fondamentale dell'aritmetica.
Valutazione p-adica e alcune proprietà.
Funzioni aritmetiche: definizioni di funzione aritmetica, funzione moltiplicativa e convoluzione di Dirchlet.