J'ai effectué des recherches à l'université de La Rochelle de Septembre 2003 à Septembre 2008.
Thématiques :
- Perturbation singulière des équations différentielles (singular perturbation of differential equations) :
- développement asymptotique (asymptotic expansion)
- point tournant (turning point)
- solution (de type) canard (canard (french duck) solution)
- Analyse nonstandard (nonstandard analysis)
J'ai préparé ma thèse de doctorat au sein du Laboratoire de mathématiques de l'université de La Rochelle entre Septembre 2003 et Mars 2007.
Ces travaux de recherches ont été financièrement soutenus par la région Poitou-Charentes, puis par contrat demi-A.T.E.R. .
Ils ont été présentés le Jeudi 29 Mars 2007 devant le jury composé des professeurs :
Éric Benoît - université de La Rochelle, directeur de thèse
Jean-Pierre Françoise - université Pierre et Marie Curie, Paris VI, examinateur
Robert Roussarie - université de Bourgogne, Dijon, président du jury
Reinhard Schäfke - université Louis Pasteur, Strasbourg, rapporteur
Imme van den Berg - universidade de Évora (Portugal), rapporteur
Guy Wallet - université de La Rochelle, codirecteur de thèse
qui leur ont attribués la mention très honorable.
Ces travaux ont ensuite été qualifiés en 2008 par la section 25 (mathématiques) et par la section 26 (mathématiques appliquées) de la C.N.U. .
Le manuscrit "officiel" de ces travaux est disponible sur le site du laboratoire MIA en suivant ce lien (format PDF).
(Une version à jour débarrassée des inévitables coquilles qui ont été repérées/signalées peut aussi être envoyée sur simple demande.)
Le but de ces recherches était de montrer, dans le champ réel, l'existence de solutions canard dans des équations différentielles réelles singulièrement perturbées admettant un point tournant dégénéré. (La question de savoir ce qu'il en est dans le cas "non dégénéré" étant résolue, car contenue dans l'étude des solutions surstables, qui se fait dans le champ complexe.)
Du fait de leur caractère exceptionnel, l'étude de ces solutions trouve son application dans de nombreux domaines utilisant de telles équations différentielles lors de la mise en équation des phénomènes étudiés.
Après avoir montré l'existence de telles solutions dans une classe générale d'équations différentielles, j'ai étudié l'existence d'un développement asymptotique pour ces solutions, pour obtenir une bien meilleure compréhension de leur comportement.
Afin de l'implémenter (i.e. calculer par un procédé constructif), une correspondance entre ces résultats "topologiques" et des objets formels a été mise en place. Elle a été alors utilisée pour retrouver des résultats bien connus pour p=1 (point tournant non dégénéré) et p=0 (développement combiné d'une solution admettant une couche limite).
Dans le cas dégénéré (p>1), cette correspondance permet de démontrer l'existence d'un développement asymptotique "uniforme" de cette solution canard. Il donne même un algorithme qui calcule les coefficients de ce développement, de manière unique dans le cas linéaire. Dans le cas non linéaire, le développement ainsi obtenu ne s'écrit pas de manière unique.
Pour ces recherches, j'ai abondamment utilisé l'analyse nonstandard, prise dans le formalisme IST (Internal Set Theory) développé par Edward Nelson.
Enfin, avant de quitter l'université de La Rochelle, je faisais partie d'un groupe naissant regroupant mathématiciens, économistes, informaticiens et biologistes de l'université. Le but de ce groupe était de proposer une modélisation de l'évolution des populations de dauphins au large des côtés.