20081210內在秩序的重要

看見內在秩序

在今天的環境下，我們認為日落後過一段時間便會日出

思考縝密的您可能想到，夏季時日落後到達下一個日出間的時間較短，而冬季較長；而如果是在地球自轉軸的南北端（南北極點），一次日落後就得需要近半年的時間才會看見日出。

今天我們很清楚這樣的常識

但距今五百年內。南美阿茲特克文化因為君主與人民普遍無法認知太陽落下後還會日出的常識，沒有這個常識來自於不懂太陽日出日落的原因，所以常以戰奴血祭太陽神，砍下戰奴之首後推向長階梯使起滾落，認為滾動的人頭如同天上的太陽，這樣太陽便會再度普照世界……今日的我們很難不覺得這樣的文化野蠻且愚蠢！畏懼太陽落下後便不再升起的民族相當多，我們今日當然不需要畏懼這樣的空想。

雖然我們活在以科學自知自傲的今天，但未來的人一樣會認為今日的人類不科學、沒有邏輯、甚至是沒有常識、野蠻而愚蠢。就如同我們看五百年前的阿茲特克文化一般。

我們如何教育下一代，讓他們看清楚人類尚未得知的內在秩序？如同太陽升降的內在道理，進而解放所有人類對於未知的恐懼？靠的還是人類的智能，一種從現實情況看清內在運行道理的能力。

以下例子

有一個數列如下：

0、1、0、-1、0、1、0、-1、0、1、0、-1、0……………

我們讓孩子看這樣的數列，孩子從規律中會看見一種秩序，讓他們知道數列…….後續的發展

我們不只讓他們去整理這樣的規律，更教他們寫出這樣的推測方法

描述如下：

所有排列中是奇數位數的。其數字都是0

所有排列中是2+4x 其中x＝1、2、3、4、5、6……位數的。其數字都是1

所有排列中是4x 其中x＝1、2、3、4、5、6……位數的。其數字都是 -1

以上描述雖然很繁雜，但我們必須教會孩子傳達他們自己的想法，這是一種將抽象思維轉為語言邏輯的能力，我們課程中也包含一些描述抽象思維的教學，我們的經驗是，這樣的語言邏輯能力越早培養越好，因為這是他們往後的重要工具之一！

我們基本的解決了描述數列的問題，更進一步就必須發揮聯想能力，去想像這樣的結構會同構於那些日常生活所見?

以下以時鐘定義這個數列：

時鐘12點時其代表數字為0

時鐘 3點時其代表數字為1

時鐘 6點時其代表數字為0

時鐘 9點時其代表數字為-1

時鐘永遠運轉，時鐘由0點開始，每三小時觀察一次，並記錄代表數字

向這樣的狀況，我們一樣會記錄到原題的數列

如果有國中畢業的數學能力，那麼這個數列可以簡寫成這樣

f（x）= Sin xπ/2 x=0、1、2、3、4…….

事實上國中畢業的學生一百個也沒有一個寫的出如此簡潔的式子，因為這個簡潔的式子並不是難在如何學習三角函數，而是難在：

”內在秩序的猜想” 與 ”抽象思考的投影”

我的教學學員常常不分年齡，因為這樣簡單的觀察就如同遊戲一般有趣，定義時鐘幾點鐘代表數字多少，並且誘導他們以時鐘圓形的走向來思考毫無空間感的”數字”

如果不能把時鐘繞著圓圈走的特性，當成是一種數列的內在秩序，則數字是沒有空間感的數字且難以想像。我也可以肯定的說，數學的難，就是難在常常無法想像。

在這個例子裡面，思考的基礎點是圓，圓是一種二維形狀； 0、1、0、-1、0…….則是一維的單擺動作，將高維度的特色投影到低維度的時，便會產生一些概念上的形變，掌握這些，才能真正了解所學入的數學，在未來碰到問題時，也才能有辦法以所學加以突破。

說起這樣的思考技巧，正是說難亦難、說簡單亦簡單

建立邏輯智慧的第一步，便是觀察

需要的是語言邏輯能力、縝密的思考、與自我檢視能力

建立邏輯智慧的第二步，是看見狀況背後的原因

需要的是抽象思考、拓樸轉換、聯想與創造力

我可以大膽的說：培養邏輯智慧所需要的能力，正是數學教育的根本性目的。

我們都知道地球自轉，但我們從未感覺到他正在轉，事實上位於赤道上地球自轉的速度甚至快過噴射客機，但我們從未感覺到他正在轉，我們不是用眼睛看、不是用身體感受，但為什麼有科學家可以藉由抽象思考與推論，做出地球自轉的結論呢？這便是我們智力，而看見內在秩序，便是我們眾多智能中最難開發，但也最為重要的能力。

希望這個簡短的例子能幫助你瞭解我們的教學概念與目的。

台北資優教育學會 邏輯科 徐北海老師20081208