Bolas en métricas aleatorias: la borrachera de Euclides.

Esta página está pensada para incluir alguna aclaración respecto el póster, y ya de paso alguna animación.

Este trabajo junta dos ideas: el estudio de métricas aleatorias (en promedio planas) y la clase de universalidad KPZ a la que hemos llegado mediante una expresión covariante (que nos permite estudiar esta ecuación en distintas geometrías).

Geodésicas en métricas aleatorias

Al estudiar las geodésicas que unen dos puntos en una métrica aleatoria resulta que se encuentran muchas, son muchas las trayectorias a las que una pequeña perturbación hacen que el camino sea más largo, se tratan de mínimos locales. Sin embargo con geodésicas minimizante nos referimos a aquella geodésica que es un mínimo global. Es la distancia máxima de esta a la trayectoria euclídea la que escala de una forma precisa con la distancia entre los dos puntos que une.

Otra definición que se puede dar de anchura de una bola es la diferencia entre los radios máximos y mínimos que contienen el perfil. Y es esta anchura la que escala con el radio medio.

KPZ covariante en geometría circular

En el póster aparecen los resultados de estudiar los perfiles de crecimiento de la ecuación en geometría circular.

En el siguiente vídeo se muestra como actúa dicha ecuación sobre un perfil inicial.

Crecimiento en métricas no euclideas

A partir de las superficies deterministas, donde hacemos crecer las bolas, obtenemos su tensor métrico (primera forma fundamental).

Escribimos la superficie como r (x₁,x₂)=(x₁, x₂, f (x₁,x₂))
Las componentes del tensor métrico vendrán dadas por: g_ij= r'_xi· r'_xj

Las superficies que hemos elegido para ilustrarlo son:

Un paraboloide: f (x₁, x₂) = x₁² + x₂². Superficie con curvatura positiva.

Un punto silla: f (x₁, x₂) = x₁² - x₂². Superficie con curvatura negativa.

Una superficie huevera: f (x₁, x₂) = sin(x₁) + sin(x₂).

Perfiles de las bolas en métricas aleatorias

El crecimiento de los perfiles individuales es similar al mostrado con la ecuación de KPZ covariante. Estudiamos las fluctuaciones de la intersección de dos bolas para ver si se obtiene el mismo resultado que con la máxima desviación de las geodésicas. La simulación busca las coordenadas de la intersección de dos bolas que crecen a la misma velocidad sobre una métrica aleatoria separadas una distancia euclídea dada. A fin de optimizar la simulación, una vez producida la intersección separamos las dos bolas y las giramos un ángulo arbitrario cada una para obtener el siguiente punto, con esto pretendemos tener el mismo efecto que si se empezasen unas bolas nuevas.

Otro modelo geométrico: percolación de primer paso

Imaginemos que tenemos una red y que cada link lleva asociado un número aleatorio que representa el tiempo que tardamos en recorrerlo, por tanto a cada punto le podemos asociar un tiempo que es el que se tarda en llegar al centro. Los vídeos a continuación muestran como vamos en una única realización (y en el promedio de muchas realizaciones) del modelo desde una pequeña región, donde los tiempos son breves hasta una región más amplia. Se puede ver como en el primero, en una sola realización, no existe una simetría que si que se puede observar cuando promediamos a muchas realizaciones.

Analizamos los tiempos de llegada de las bolas

En lugar de estudiar los perfiles como hemos hecho en los problemas normales de crecimiento pasamos a estudiar los tiempos de llegada de las bolas a distintos puntos. Para tomar las distancias al centro debería no influir el hecho de tomarlos en una dirección determinada (primero de los videos) o en direcciones arbitrarias (segundo de los videos). La segunda de las opciones permite quitar posibles correlaciones que se den al mirar en una dirección determinada.