Fukuoka University Analysis Seminar

1. 藤田安啓(Yasuhiro Fujita, Toyama University), 至る所微分不可能な関数とhamilton--Jacobi flow, 07/12/2019, 15:30--17:00.

この講演では, 実数直線上の連続函数が与えられたとき, それを初期値とするある Hamilton-Jacobi flow の挙動を見ることにより, この函数が至る所微分不可能であることが言えるという結果について紹介する。今回話す結果は, 講演者らのグループがこの3年間調べてきた, 初期値が至る所微分不可能な連続函数のとき, その Hamilton-Jacobi flow はどのような挙動をするかという結果のひとつの逆の結果になっている。また, この結果の応用として, 代表的な至る所微分不可能な連続函数である Weierstrass の函数と高木函数の Hamilton-Jacobi flow を通した違いについて解説する。この講演は, Antonio Siconolfi 氏(Sapienza Universit\`a di Roma), 山口範和氏(富山大人発), 浜向直氏(北大理)との共同研究に基づく。

2. Paolo Salani (Firenze University), Around concavity properties and heat transfer, 30/01/2020, 15:30--17:00.

Concavity properties of solutions of PDEs are a popular subject of investigation. Among them, power concavities have been the most studied and log-cocavity is probably the most famous, due to its relevance to many applied disciplines (especially economics and statistics) and its connection with heat transfer. A classic al results by Brascamp and Lieb indeed says that the log-concavity of the initial datum is preserved by the heat flow in a convex domain, and this has been always considered and optimal property. Recently, in a joint work with K. Ishige and A. Takatsu, we proved that actually a stronger concavity is preserved by the heat transfer and we introduced a new family of concavity properties that we call power log-concavities. I will present some connected results and some characterizations of log-concavity.

3. 佐藤龍一(Ryuichi Sato, Tohoku University), Existence of solutions to the slow diffusion equation with a nonlinear source, 12/06/2020, 16:30--17:30, ZOOM.

4. Lorenzo Cavallinia (Tohoku University), On two different two-phase overdetermined problems, 31/07/2020, 16:30--18:00, ZOOM.

In this talk, I will present some elliptic overdetermined problems, i.e. elliptic boundary value problems on a bounded domain of ${\mathbb R}^N$, where the solution has to satisfy an additional (overdetermined) condition on the boundary.Notice that, due to this overdetermination, overdetermined problems are solvable only for some specific geometrical setting (for example, the well-known Serrin's overdetermined problem for the Laplace operator admits a solution if and only if the domain in question is a ball).In this talk, instead of the usual Laplace operator, we will consider a two-phase elliptic operator in divergence form with piecewise constant coefficients and focus on how the solvability of the resulting overdetermined problem is affected by the shape of the discontinuity interface of the coefficients.If time permits, I will introduce two different overdetermined conditions on the boundary and discuss their differences and similarities in detail.We will see that, unlike Serrin's case, two-phase elliptic overdetermined problems are characterized by a richer structure and an abundance of non-trivial (non-symmetric) solutions.

5. 中里亮介(Ryosuke Nakazato, Tohoku University), Hall効果を伴う磁気粘性流体方程式系の臨界適切性, 24/07/2021, 15:30--17:00.

本講演では, Hall効果を伴う磁気粘性流体方程式系(以下, Hall-MHD系)の初期値問題の時間大域適切性をスケール臨界空間の枠組みで考察する. Hall-MHD系は磁気再結合過程を考慮したプラズマ物理モデルであり, Hall効果の影響から磁場の誘導方程式が半線形である従来のMHD系と異なり, 準線形発展方程式に分類される. 近年, Danchin-Tan[2021,CPDE]により磁場が空間遠方で減衰する仮定の下で, 非圧縮性Hall-MHD系の時間大域適切性が臨界Besov空間上で証明された. 本講演の目的は, 磁場が空間遠方で減衰しない状況下で圧縮性Hall-MHD系の時間大域適切性をDanchin-Tanの結果に対応する臨界Besov空間上で証明することである. 講演では, 磁場が減衰しない状況下では, Hall効果の影響により線形主要部が分散構造を伴うことを明らかにし, 主定理の証明の鍵となる磁場の誘導方程式に対する最大正則性評価について詳しく述べる. なお, 本講演の内容は川島秀一氏(早稲田大学)と小川卓克氏(東北大学)との共同研究に基づく.

6. 石毛和弘(Kazuhiro Ishige, The University of Tokyo), Dirichlet heat flow によって保存される凹性について, 30/10/2021, 15:30--17:00.

7. 北川潤(Jun Kitagawa, Michigan State University), 放物型最適輸送方程式について, 30/09/2022, 13:00--14:30.

一部の最適輸送（モンジュ・カントロビッチ）問題は、楕円型のモンジュ・アンペール型方程式の解を用いて解くことが可能であることはよく知られている。またあまり一般的ではないが、関連のある放物型方程式の定常解としても考えられることも可能である。本講演ではこの放物型方程式に関して（解の存在や収束など）色々紹介する。一部Farhan Abedin（Lafayette College）との共同研究に基づく。

8. 鬼塚政一(Masakazu Onitsuka, Okayama Science University), 非線形常微分方程式のウラム安定性とリミットサイクルの近似, 30/09/2022, 15:00--16:30, ZOOM (hosted by Yohei Yamazaki).

関数方程式を起源とするウラム安定性の概念は、常微分方程式へ導入されて約30年が経とうとしており、徐々に注目されつつある摂動問題の一つである。大雑把には、任意のイプシロン近似解に対して、ある真の解が存在し、それらの差が有限であるとき、ウラム安定と呼ばれる。本研究では、非線形常微分方程式のウラム安定性に着目し、大域解と爆発解が混在するなどの非線形特有の解の挙動に対応し得る「条件付きウラム安定性」という新しい概念を用いたアプローチを行う。特に本講演では、一般化ロジスティック方程式に対する結果を得たので、例と共に報告する。また、２次元非線形常微分方程式系の近似解と真の解に対して、ウラム安定性の概念を利用することで、リミットサイクルの近似の一つを得たので紹介したい。

9. 北村駿介(Shunsuke Kitamura, Tohoku University), 特性方向重み付き微分型非線形波動方程式の解析, 25/11/2022, 13:30--15:00.

本講演では, 1 次元空間で特性方向の重みを持つ微分型半線形波動方程式の初期値問題を考察する. 初期値が小さい場合の古典解の最大存在時間, いわゆるlifespanの評価について, 新たに得られた結果を報告する. この結果は, 時間変数のみまたは空間変数のみの重みや特性方向の重みを持つ微分型ではない半線形方程式に対する, 一連の共同研究 (with Takamura, Wakasa, Morisawa) の結果とは大きく異なる. その違いが何に由来するのかを明らかにしつつ, 詳細なlifespan評価を得るための仕組みを紹介する. この様な研究は, 既存の自励的な非線形波動方程式の一般論を非自励的な方程式に拡張する際の, 最適性を含めた基本原則となるものである.