Embedded Files
Permutações do 3x3x3
O cubo mágico tradicional 3x3x3 possui 43 quintilhões de combinações. Porém de onde surgiu esse número?
O cubo 3x3x3 possui 8 peças de canto com 3 cores cada, e 12 peças de meio com 2 cores cada. Portanto, temos que analisar 4 fatores: Permutação e orientação de cantos, e permutação e orientação de meios.
- Cada canto pode estar em 8 posições possíveis. Ao se definir uma posição para ele, o próximo canto só pode estar em 7 posições restantes. A mesma coisa para o próximo, que só pode estar em 6 posições diferentes. Assim, como temos que alocar todos os 8 cantos ao mesmo tempo, multiplicamos estes números:
8*7*6*5*4*3*2*1 = 8!
- Cada canto também pode ser colocado em 3 orientações possíveis por terem 3 cores. Portanto, como temos 8 cantos, multiplicamos essas 3 orientações 8 vezes:
3*3*3*3*3*3*3*3 = 3^8
- Cada meio pode estar em 12 posições possíveis. Ao se definir uma posição para ele, o próximo meio só pode estar em 11 posições restantes. A mesma coisa para o próximo, que só pode estar em 10 posições diferentes. Assim, como temos que alocar todos os 12 meios ao mesmo tempo, multiplicamos estes números:
12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 12!
- Cada meio também pode ser colocado em 2 orientações possíveis por terem 2 cores. Portanto, como temos 12 meios, multiplicamos essas 2 orientações 12 vezes:
2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2*2 = 2^12
Multiplicando todos estes números, temos:
8! * 3^8 * 12! * 2^12
Porém, nem todas as combinações são alcançadas, pois pelo fato de estarmos girando peças ao mesmo tempo, elas se trocam e giram ao mesmo tempo também. Portanto temos estas 3 restrições:
- Uma peça de canto pode estar em 3 orientações, sendo que só uma é válida. Isto nos dá uma limitação de ordem 3.
- Uma peça de meio pode estar em 2 orientações, sendo que só uma é válida. Isto nos dá uma limitação de ordem 2.
- Duas peças de canto ou meio não podem trocar de posição entre si a não ser que envolva uma terceira peça ou outras 2 peças. Isto nos dá uma limitação de ordem 2.
Multiplicando todos estes números, temos:
3 * 2 * 2
Para descobrir a quantidade real de casos embaralháveis, é só dividirmos um pelo outro. Portanto, o resultado da quantidade de combinações possíveis em um cubo 3x3x3 é de:
(8! * 3^8 * 12! * 2^12) / (3 * 2 * 2)
= 43.252.003.274.489.856.000
~ 43 quintilhões de combinações diferentes, sendo só uma delas o cubo resolvido.
_________________________________________________________________________________________________________________
Page updated
Google Sites
Report abuse