MANUAL DE BLINDFOLD CUBING
Aquí vamos a explicar un método para blindfold, es decir, realizar el cubo de Rubik a ciegas, lo que consiste en, tras una inspección del cubo, sin volver a mirarlo tratar de resolverlo.
El índice de este manual y de algoritmos:
5.1 Ciclos
5.2 Resolución
5.5 Paridad
7.1 Cubo resoluble
Algoritmos (páginas aparte)
8.5 Paridad
Resolver el cubo a ciegas no es una cosa de privilegiados, en realidad está al alcance mucha gente y no es tan difícil como puede parecer. El blindfold consiste en resolver el cubo sin mirarlo habiéndolo inspeccionado previamente. Como es lógico, no se podrá resolver tan rápido como se puede hacer cuando uno lo ve y lo lógico es utilizar movimientos que muevan muy pocas piezas para saber en todo momento como evoluciona el cubo. El proceso de resolución del cubo estará dividido en una fase de memorización y otra de resolución. Para la parte de memorización utilizaremos los ciclos (quien esté familiarizado con teoría de permutaciones sabrá lo que es) lo que será luego útil para controlar el cubo en la fase de resolución. A su vez cada una de estas partes estará dividida en otras dos, vértices y aristas, y cada una de estas partes también estarán divididas en dos, orientación y permutación. Esto se hará así porque se resolverán por separado los vértices y aristas (salvo en la mitad de los casos en los que por paridad se necesitará un último paso común) y a su vez, primero se orientarán las piezas y después se permutarán.
Puede ser útil numerar las piezas, aunque esto siempre dependerá de cada uno. En este manual las numeraremos para poder expresarnos mejor. La forma de numerar las piezas depende de cada uno, tiene que ser algo que nos resulte cómodo. Yo por ejemplo numero dándole menor valor numérico a las piezas que están arriba, a misma altura le doy menor valor a las que estén más alante y por último, si coinciden en estos dos parámetros le doy valor menor a la que esté a la derecha, y claro, numerando independientemente aristas y vértices. Con esta numeración, los vértices ordenados de menor a mayor quedarían así (los numeraremos del 1 al 8):
AFD AFI ATD ATI BFD BFI BTD BTI
y las aristas (del 1 al 12):
AF AD AI AT FD FI TD TI BF BD BI BT
Nota: Por AFD estamos denotando la posición AFD, NO el vértice que debería de estar en dicha posición.
Mientras más algoritmos conozcamos más fácil nos será resolver el cubo, sin embargo, con unos pocos algoritmos también se podrá resolver mediante el proceso de conjugación.
Primero dejemos claro cómo se resuelve el cubo de rubik a ciegas, la idea general. Cuando resolvemos el cubo de rubik mirando, nos preocupamos de ir colocando unas piezas dándonos igual donde van las piezas que aún no están en su sitio. Sólo en los últimos pasos tendremos que intercambiar pocas piezas consiguiendo que todas las demás queden en su sitio. Pues bien, en cualquier método de resolver el cubo a ciegas, en cada paso colocaremos pocas piezas en su sitio pero con la precaución de no alterar el estado del resto de piezas. ¿Por qué? Pues porque como previamente habremos memorizado donde está cada pieza, mejor que esté en el sitio de partida hasta que nos toque moverla (bueno, realmente lo normal es que alguna pieza se vaya moviendo, pero algo que será fácil controlar). Además se irán colocado los vértices y las aristas por separado, aunque a veces nos veremos obligados a mover un par de cada a la vez.
En algunos métodos para hacer el cubo a ciegas se colocan las piezas directamente en su sitio y con la orientación oportuna. Aquí sin embargo vamos a hacer un paso previo, girando algunas piezas para que queden con una orientación que nos interese. Suena raro esto de orientar y luego colocar en su sitio, pero o se hace así, o se coloca y orienta simultáneamente lo que es mucho más complicado. Colocar y luego orientar sería muy difícil.
Recomiendo que para empezar con este método practiquéis mirando el cubo, sin memorizar ni nada para que vayáis dándoos cuenta de qué es lo que estáis haciendo.
Antes de explicar exactamente el método vamos a explicar primero una técnica que resulta muy útil para resolver puzzles secuenciales conociendo pocos algoritmos, no es sólo útil para el cubo de rubik, sino también para el 4x4, 5x5, megaminx, square1... y que como podréis imaginar, va a ser muy útil aquí. Por ejemplo, si conocemos un algoritmo para permutar 3 vértices, con la conjugación podremos permutar 3 vértices cualquiera del cubo. Veamos un ejemplo con el cubo de rubik. Supongamos que conocemos un algoritmo que se correspone con el ciclo (1 2 3) (si sabemos PLL conoceremos este algoritmo). Sin embargo, lo que tenemos que resolver es el ciclo (1 2 6) (recordad que estamos usando la numeración que he hecho al principio). Si hacemos por ejemplo los movimientos B' T2 conseguiremos colocar la pieza 6 en la posición 3. Realizamos ahora el ciclo (1 2 3) con lo que intercambiaremos los vértices que originalmente estaban en las posiciones 1 2 y 6. Por último realizando el movimiento T2 B que de hecho es el inverso de B' T2 tendreos que lo único que hemos hecho ha sido resolver la permutación (1 2 6). Veamos el ejemplo:
Así pues la conjugación consiste en aplicar una secuencia X, después aplicar un algoritmo conocido y por último aplicar el inverso de la secuencia X. Es muy útil porque con la secuencia X podemos llevar las piezas que nos insteresan a una posición que nos permite fácilmente operar con ellas, y da igual lo que pase con el resto de piezas, porque al aplicar el inverso de X volverán a su sitio.
Para el caso concreto del Blindfold Cubing, esto nos puede ser muy útil a la hora de orientar piezas. A la hora de permutar (intercambiar) piezas también va a ser ser muy útil, pero tendremos que hacerlo de una forma algo especial para que nos funcione bien lo de orientar primero y luego permutar. Tranquilo que luego explicamos como.
Como hemos dicho, lo primero que vamos a hacer es orientar las piezas del cubo de cierta forma. Muchos os estaréis preguntando que cómo vamos a orientar una pieza si no está en su sitio. Pues bien, aquí vamos a explicar a qué nos referimos con orientar. Luego, cuando coloquemos cada pieza en su sitio usando el método que explicamos aquí, automáticamente estarán bien orientadas. Y es importante orientar primero, no se os ocurra permutar y luego orientar.
¿Qué es un vértice bien orientado? Pensemos primero en un cubo resuelto y pensemos en un vértice que está colocado en su lugar. Este vértice podría tener tres orientaciones, una es el caso en el que está resuelto, otra es el caso en el que necesita un giro en el sentido de las agujas de reloj, y por último puede que necesite un giro en el sentido contrario. Sin embargo, cuando tengamos el cubo desarmado en un principio no está claro cuando una pieza está bien orientada. Para ello tenemos que elegir dos caras opuestas que serán "las que mandarán". En nuestro caso elegimos la cara A y B. En tal caso diremos que un vértice está bien orientado si su lado de color perteneciente a la cara A o B esté precisamente en una de estas dos caras. En tal caso le asignaremos el valor 0. Si necesitan un giro en el sentido de las agujas del reloj para obtener dicha orientación, le asignaremos el valor 1 y en el caso de que necesite el giro contrario le asignaremos el valor -1 (también podemos asignarle el valor 2). El orden en el que memorizaremos estos números será el orden en el que hemos ordenado los vértices. Así que con ocho cifras podremos memorizar la orientación de los vértices. Por ejemplo, en el siguiente cubo
se correspondería con la orientación de vértices 0 -1 1 0 0 -1 -1 -1. Esto indica que los vértices que hemos numerado como 2, 6, 7 y 8 necesitan un giro en el sentido contrario de las agujas del reloj, el 3 en el sentido de las agujas y el 1, 4 y 5 no necesitan giro alguno. Además, la suma de estos 8 números debe de ser un múltiplo de 3 (tanto si usamos -1 como 2) por lo que teóricamente sólo hace falta memorizar 7 números, aunque en la práctica lo normal es que memoricemos los 8. Ojo, lo de asignarle estos números es para poder explicarnos en la página, tú puedes usar tu sistema de memorización.
Orientación 0
Orientación 1
Orientación -1
Si no os aclaráis con esta definición de orientación, podéis intentar entenderla de esta forma. Imaginaos que una esquina está en la cara A y girando esta cara podemos ponerla en su sitio. Pues bien, diremos que la pieza está bien orientada si al colocarla en su sitio está bien colocada, pero ojo, si la colocamos en su sitio moviendo la cara de arriba solamente (si movemos otras caras podríamos ponerla en cualquier posición). ¿Y sí la pieza está en la cara de abajo y debería de estar arriba? Pues bien, moviendo una de las caras laterales 180º podemos subirla arriba y luego moviendo la cara A podremos colocarla en su sitio (ya sé que se puede subir moviendo 90º una cara, pero lo vamos a hacer con 180º). Pues bien, la pieza estaría inicialmente bien orientada si al hacer esto y ponerla en su sitio queda bien orientada. Todo esto dicho de otra forma, una esquina estará bien orientada si al ponerla en su sitio usando sólo movimientos del tipo
A A2 A' B B2 B' F2 T2 D2 I2
queda bien orientada.
En la práctica personalmente prefiero memorizar los vértices en grupos de 2 o 3 vértices, asociándolos teniendo en cuenta la forma en la que los orientaré. Yo los agrupo de las siguientes formas (aunque en ocasiones no se puede hacer así del todo):
Dos vértices hacia el frente
Dos vértices hacia los lados
Dos vértices opuestos
Tres vértices con giro 1
Tres vértices con giro -1
Para la resolución de este paso es suficiente el modo1 Paso 7 para principiantes junto a la conjugación. Para ver una explicación algo más detallada pincha aquí.
En esta ocasión para cada pieza tenemos sólo dos posibilidades, que esté bien orientada (valor 0) y que esté mal orientada (valor 1). Esta vez tendremos que memorizar 12 números (o algo que sea equivalente) puesto que este es el número de aristas que tenemos en el cubo. Ahora bien, en la práctica a mi me resulta más fácil memorizar visualmente qué piezas están mal orientadas aunque en ocasiones si hay más mal orientadas que bien, puede resultar más cómodo memorizar las que están bien orientadas. Pero antes de nada, tenemos que fijar cuando una pieza está bien o mal orientada. Una pieza estará bien orientada cuando al llevarla a su sitio usando solamente los movimientos de las caras A, B, D e I, la pieza quede bien orientada (también valdrán movimientos de 180 grados de las otras 2). Es decir, los movimientos que se podrían usar para llevar una pieza a su sitio y ver si está bien orientada son
A A2 A' B B2 B' D D2 D' I I2 I' F2 T2
¿Cómo podemos hacer esto con colores? En este caso va a ser algo más complicado que con vértices. Tenemos que elegir un par de caras opuestas que serán "las fuertes", eligiremos otro par de cara opuestas que serán "las débiles" y el otro par serán "las medias". Así cada pieza tendrá dos colores, uno perteneciente a una cara más fuerte que la del otro. A su vez cada pieza estará en todo momento colocada en dos caras, una más fuerte que la otra. Diremos que una pieza está bien orientada cuando su lado más fuerte está precisamente colocado en su cara más fuerte (o lo que es lo mismo, que el lado más débil esté en la cara más débil). En nuestro caso tomaremos por caras fuertas la A y la B y por caras débiles la D e I y por tanto las medias serán las F y T. Ejemplos de orientaciones:
Para la resolución de esta parte será suficiente saber cómo orientar un par de aristas cualquiera y laconjugación. Para ver esto con más detalles, puedes pinchar aquí.
Ahora toca estudiar la forma de permutar las piezas, tendremos que permutar por un lado los vértices y por otro las aristas. Aunque en un principio hayan más aristas, es más fácil usar la conjugación con ellas. La memorización de las piezas se realizará mediante ciclos. Expliquemos cómo se hace esto en general y luego estudiaremos los casos de vértices y aristas.
Memorizaremos la posición de las piezas a través de los ciclos. Para ver lo que es un ciclo usaremos un ejemplo. Un ejemplo de ciclo es el siguiente (podéis pensar que hablamos de vértices o de aristas, para ambos casos vale la explicación):
(1 3 5 12 4)
Esto quiere decir que la pieza que está en la posición 1 debería de estar en la posición 3, la que está en la posición 3 debería de estar en la posición 5, la de la 5 en la 12, la de la 12 en la 4 y por último el de la 4 en la 1 (recordemos que hemos asignado números a cada pieza). El del ejemplo es un 5-ciclo porque tiene 5 números. Un n-ciclo tendrá n números. Memorizaremos así las piezas. Si lo hacemos con vértices por ejemplo, cogemos el vértice que está en la posición 1 y miramos en qué posición debería de estar, supongamos que es la 3, nos vamos al vértice en la posición 3 y vemos en qué posición debería de estar, imaginemos que es la 5... El ciclo que nos va saliendo es de la forma (1 3 5....) y terminaremos con este ciclo cuando lleguemos a la posición 1. Si hemos recorrido todas las piezas ya está, si no, empezamos con la siguiente pieza más pequeña. Imaginemos que hemos obtenido el ciclo (1 3 5 4). Cogemos la pieza 2 y realizamos el mismo proceso. Si una pieza está en su sitio simplemente nos olvidaremos de ella y pasamos a la siguiente. Si por ejemplo la 2 estuviese en su sitio, la siguiente pieza que no hemos tocado sería la 6, así que empezamos con la 6. Finalmente tendremos una expresión del estilo
(1 3 5 4) (6 8 7)
y con aristas tendríamos una expresión parecida. En un principio es más fácil memorizar los vértices por ser menos. Quizá pueda resultar más fácil memorizar todo esto sin usar números y memorizando directamente la posición, o quizá hacer una mezcla de las dos cosas, cada uno debe de hacer lo que mejor le venga.
Observación: Un ejemplo, el ciclo (1 2 3) quiere decir que la pieza en 1 debe de estar en la posición 2, la 2 en 3 y la 3 en 1. Ahora, si tomamos el ciclo (3 1 2) que en un principio es distinto, es el mismo porque significa que el de la posición 3 debería de estar en la 1, el de la 1 en la 2 y la 2 en la 3. Es decir, el ciclo (a b c d e f) es igual al (b c d e f a) que es igual al (c d e f a b) igual al (d e f a b c ) igual al (e f a b c d) e igual al (f a b c d e). Esto no es necesario saberlo, pero el saberlo nos podrá ser bastante útil como comentaremos después.
Ya sabemos cómo memorizar las piezas, ahora tendremos que que resolverlo. Hemos comentado como resolver las orientaciones y ahora explicaremos como resolver las permutaciones. Una lista de algoritmos (junto algunas explicaciones) para orientar aristas podréis encontrala aquí, para orientar vértices aquí, permutar aristas aquí y vértices aquí.
Expliquemos ahora el método para la permutación. Para ello vamos a usar 3-ciclos de piezas principalmente aunque a veces nos hará falta usar pares de 2-ciclos cuando nos queden 2 vértices y 2 aristas mal. Veamos un ejemplo, supongagmos que tenemos el ciclo (1 2 3 4). Apliquemos entonces por ejemplo el ciclo (1 2 3), la nueva posición que nos va a quedar va a ser la (1 4) (véase el ejemplo de abajo). En general, si tenemos un ciclo de la forma (a b c d e f) y cogemos tres elementos seguidos de este ciclo (por ejemplo (a b c) ), al aplicarlo los 2 últimos elementos de este ciclo desaparecería quedándose (a d e f). Así podremos ir reduciendo los ciclos que tengamos de forma que nos queden en ellos un sólo elemento (con lo que estará resuelto el ciclo y nos podremos olvidar de él) o tal vez dos elementos. Por lo tanto, con 3-ciclos podemos reducir el problema a resolver 2-ciclos. Los 2-ciclos se pueden eliminar después de varias formas, pero incluso podemos reducirlos con 3-ciclos hasta terminar todo el cubo o dejar sólo un 2-ciclo de vértices y un 2-ciclo de aristas. Veamos un ejemplo práctico con vértices.
Bien, queda claro que podemos resolver cualqueir ciclo o convertirlo en un 2-ciclo. Veamos ahora cómo podemos ir simplificando el número de 2-ciclos. Está claro que si sabemos algoritmos que resuelven parejas de 2-ciclos, pues así podremos. El que se sepa el PLL, pues así lo puede hacer (que es como de hecho lo hago yo). Pero si no te sabes el PLL quizá prefieras no aprendértelo entero. Voy a explicar cómo puedes hacer esto (te bastará saberte los 3-cíclos de vértices, los 3-ciclos de aristas y al menos un 2-ciclo de vértices combinado con uno de aristas, aunque recomendaría saberse 2 de estos). Vamos a ver un ejemplo. Supongamos que tenemos los ciclos (1 2)(3 4). Si aplicamos el ciclo (1 2 3) veremos que lo que tenemos se nos queda en el 3-ciclo (1 4 3) y con otro 3-ciclo lo resolveríamos. En general, (a b)(c d) se resuelve haciendo primero (a b c) y luego (a d c). La ventaja de saberte el PLL es que lo haces en un paso, pero si no te lo sabes, pues en 2 también sale. Veamos un ejemplo:
Con esto ya casi podéis resolver el cubo con este sistema. Falta que os explique cómo hacer los 3-ciclos y qué pasa cuando nos queda un 2-ciclo de cada tipo.
Iremos resolviendo los vértices usando 3-ciclos. ¿De donde sacamos los 3-ciclos? Usaremos los 3-ciclos delPLL y nos ayudaremos de la conjugación. En las ocasiones en la que nos salgan 2 pares de 2-ciclos, podremos resolverlo con 3-ciclos como se ha explicado antes o si nos sabemos el PLL, usando conjugación, nos llevaremos los 4 vértices a la cara superior (o inferior) y allí lo resolveremos con el algoritmo que toque. Pues tras este comentario y la explicación de cómo se van reduciendo los ciclos dada en apartado anterior ya casi estaríamos preparados para hacer esta parte. Pero ¡NO! Antes también he avisado de que a la hora de permutar tendremos que llevar cuidado con las conjugaciones. En el caso de permutación de vértices, los movimientos usados en la conjugación sólo pueden ser de las caras A y B y giros dobles del resto de caras (cuando controles te darás cuenta de que a veces podremos usar otros movimientos, pero de primeras mejor limitarse a los mencionados). Es decir, a la hora de conjugar sólo podemos usar los siguientes movimientos:
A A2 A' B B2 B' F2 T2 D2 I2
Osea, tanto si usas 3-ciclos como pares de 2-ciclos, tendrás que conjugar pero teniendo en cuenta lo que acabamos de decir. Una explicación más detallada con algoritmos y ejemplos aquí.
Aquí pasa como con vértices. Tenemos que aprender al menos los 2 3-ciclos de aristas que hay en el PLL y con ello y usando conjugación podríamos ir resolviendo esta parte. Si nos sabemos el PLL al completo podremos usar también los pares de 2-ciclos de aristas. Y también aquí tenemos que tener cuidado con la orientación, en este caso podemos mover las caras A, B, D e I y giros dobles en las otras 2. Es decir, nuestros movimientos permitidos van a ser
A A2 A' B B2 B' D D2 D' I I2 I' F2 T2
Al tener más movimientos, en general las conjugaciones con aristas van a ser más sencillas. Una explicación más detallada con algoritmos y ejemplos aquí.
Bueno, en la mitad de las ocasiones nos quedará resolver un 2-ciclo de vértices y otro 2-ciclo de aristas, cosa que tendremos que resolver simultaneamente. Para ello no nos va a valer lo de usar 3-ciclos así que nos hará falta usar algún algoritmo que resuelva un 2-ciclo de vértices y un 2-ciclo de aristas. Aquí viene bastante bien saberse el PLL ya que hay varios algoritmos de ese estilo aunque en realidad con uno sólo también valdría, pero haría que en algunos casos la conjugación a usar fuese bastante complicada. Os recomiendo que al menos os aprendáis el algoritmo que llamo T y el 2 a 2. Importante, en la conjugación tenemos que usar movimientos que no nos desorienten piezas así que nuestros casos posibles van a ser estos: A A2 A' B B2 B' F2 T2 D D2 D' I I2 I'pero encima tendremos que tener una precaución más, si hacemos en algún momento movimientos del tipo D, D', I e I' tendremos que evitar que en la cara que movamos, esté alguno de los vértices que tenemos que poner en su sitio. En ocaciones se nos presentarán casos en los que será difícil conjugar, pero con la práctica iremos cogiendo soltura con todo esto. Explico todo esto con más detalle aquí.
Ahora unos consejos para aprender. En un principio no influirá mucho cómo posicionemos el cubo inicialmente, es decir, no importa el color que pongamos arriba, en frente y demás ya que a la hora de resolver no veremos el cubo. Sin embargo, para reconocer más rápidamente el lugar en el que debería de ir cada pieza es recomendable fijar siempre las mismas caras.
A la hora de aprender se debería practicar el blindfold pero mirando el cubo, es decir, practicar este método mirando el cubo. Luego, una vez que más o menos se controlan los algortimos, se debería practicar por ejemplo primero sólo la orientación de las piezas, luego sólo la permutación de vértices y por último practicar sólo con la permutación de aristas. A pesar de haber más aristas, al final es más sencillo trabajar con las aristas que con los vértices. Por último, cuando dominemos cada parte por separado, es cuando se debe de intentar resolver el cubo.
Pongo ahora un par de extras independientes del blindfold pero que se obtienen con la técnica aprendida aquí. Si sólo te interesaba aprender blindfold, no hace falta que siguas leyendo.
Si tenemos un cubo desordenado, se podrá amar (y sólo se podrá armar) cuando se cumplan las siguientes 3 condiciones:
1- Cogemos las orientaciones de los 8 vértices asignándoles un número como hemos hecho antes (0, 1 y 2), sumamos estos ocho números y debe de dar un múltiplo de 3, es decir debe de valer 0, 3, 6, 9, 12 ó 15.
2- Hacemos lo mismo con las aristas y debe de dar par.
3- La paridad de aristas y vértices debe de ser la misma. Para ello cojamos los ciclos de vértices. A la longitud de cada ciclo le restamos 1 y sumamos todos estos números. Entonces la paridad de vértices será par si este número es par e impar si es impar. Hacemos lo mismo con las aristas y debe de salir la misma paridad. Un ejemplo, supongamos que tenemos de vértices (1 2 3 4 5)(6 7 8) y de aristas (1 2 3 4 5 6 7)(8 9)(10 11 12). Tenemos un 5-ciclo y un 3-ciclo de vértices (longitudes 5 y 3 por lo tanto) así que tendremos que sumar (5-1)+(3-2)=4+2=6. Haciendo lo mismo con aristas tendremos que hacer 6+1+2=9. Por lo tanto para vértices tenemos una permutación par y para aristas impar con lo que tendremos que este caso sería imposible de resolver.
Nota: En los casos resolubles, si tenemos que los dos casos son pares no hará falta el último paso de resolver un 2-ciclo de aristas y un 2-ciclo de vértices. Sin embargo, cuando ambos sean impares sí que hará falta.
Lo que hace falta aquí es hacer el mínimo común múltiplo de una serie de números (es decir, obtener el menor número que es multiplo de todos los números elegidos previamente). Realizamos el algoritmo una vez y realizamos los procesos de asignaciones de números descritos antes. Para cada ciclo de vértices, cojamos cada uno de los vértices involucrados en él y hagamos la suma de los números asignados a las orientaciones. Si este número es un múltiplo de 3 anotamos la longitud del ciclo. Si este número no es un múltiplo de 3, anotamos la longitud del ciclo por 3. Por último hacemos lo mismo con cada ciclo de aristas y si la suma da múltiplo de 2 nos quedamos con la longitud, pero si no lo es, añadimos multiplicamos por 2. Tras obtener estos número, hacemos el mínimo común múltiplo y este será el número de veces que tendremos que repetir el algoritmo para que el cubo vuelva a su estado inicial. Un ejemplo, suponamos que tras aplicar cierto algoritmo obtenemos:
Para vértices (1 2 3 4 5) (6 7 8) y de orientaciones 01211100
Para aristas (1 2 3)(4 5)(6 7 8 9)(10 11 12) y de orientaciones 011010011010
Empecemos, sumamos las orientaciones del primer ciclo de vértices(los correspondientes a 1, 2, 3, 4 y 5). Tendremos 0+1+2+1+1=5 que no es múltiplo de 3. Así que tenemos que anotar 3x5=15. Si hiciéramos lo mismo con el otro ciclo de vértices obtendríamos 3x3=9. Pasamos a aristas, en primero tiene longitud 3 y la suma de las orientaciones de 2 que es par, por lo que anotamos un 3. El segundo tiene longitud 2 y la suma da impar, anotamos un 4, para el tercerlo, longitud 4 y suma de orientaciones par, anotamos un 4 y para el último nos dará 3x2=6. Así que los número a tener en cuenta son 3, 15, 3, 4, 4 y 6. Hacemos el mínimo común múltiplo y nos dará 60. Recordad que teniendo en cuenta todo esto, el número máximo que podemos obtener es 1260.