Los números enteros

Los números naturales presentan deficiencias cuando se quieren resolver algunas ecuaciones del tipo 2+x = 5, pues no existe ningún número natural que sumado con 2 de 5. Tampoco tiene solución una ecuación del tipo 3+x = 3, ya que no existe un natural que sumado a 3, siga dando 3. Para cubrir estas dificultades, se introduce el conjunto de los números enteros, denotado por Z, que se define como la unión de tres conjuntos: El conjunto de los números naturales, el conjunto formado por un nuevo elemento que es el cero (0) y el conjunto formado por los números negativos (de los naturales), definido por -N = {-n tal que n está en N}. Así tenemos que el conjunto de los números enteros es

Z = -N ⋃ {0} ⋃ N.

Los números enteros de la forma -n, donde n es un número natural son llamados negativos.

Sobre el conjunto de los números enteros se definen dos operaciones, suma y multiplicación denotadas por los símbolos + y *, respectivamente, las cuales poseen las propiedades asociativa y conmutativa. En Z, la suma tiene elemento neutro y elemento opuesto. Además, la multiplicación tiene elemento neutro (1) y éstas operaciones son compatibles, es decir, cumplen la propiedad distributiva.

A continuación se definen éstas operaciones y se indican sus propiedades.

• • Suma o adición: Dados dos elementos m y n en Z, la suma o adición m+n está en Z.

• • Propiedad asociativa de la suma: Dados tres números enteros m,n y r, se cumple que (m+n)+r = m+(n+r).

• • Propiedad conmutativa de la suma: Dados dos números enteros m y n, se cumple que m+n = n+m.

• • En el conjunto de los números enteros existe un número llamado cero (0) y es el neutro aditivo en Z, es decir, Dado cualquier m en Z, se cumple que m+0 = 0+m = m.

• • En el conjunto de números enteros, existe el elemento opuesto, es decir, para cualquier número entero m, existe su opuesto -m y cumple que m+(-m) = (-m)+m = 0.

• • Multiplicación o producto: Dados dos elementos m y n en Z, la multiplicación mn está en Z. Al número mn también se le llama producto de m y n.

• • Propiedad asociativa de la multiplicación: Dados tres números enteros m,n y r, se cumple que (mn)r = m(nr).

• • Propiedad conmutativa de la multiplicación: Dados dos números enteros m y n, se cumple que mn = nm.

• • Elemento neutro multiplicativo: El 1 es el elemento neutro para la multiplicación: n1 = 1n, para todo número n en Z.

• • Propiedad distributiva: Esta propiedad hace compatibles las operaciones suma y multiplicación de los números enteros: Dados m,n y r en Z, se cumple que (m+n)r = mr+nr, y m(n+r) = mn+mr.

• • Todo número multiplicado por 0, da 0: Si m está en Z, m(0) = m(1-1)= m-m =0.

• • La multiplicación de dos números negativos o de dos números positivos, da un número positivo, en particular (-1)(-1) = 1(1) = 1. Además, la multiplicación de un número positivo por un número negativo, da un número negativo. En particular, (-1)1 = 1(-1) = -1.

  • Si m y -n son números enteros, m(-n) = m(-1)n = (-1)mn = -mn.

Ejemplos

• 1. Los números -1, -5, -8, -455, -341, -(-(-2)) son números enteros negativos.

  2. El opuesto de 4 en Z, es -4, ya que 4+(-4)=0.

  3. El opuesto de 11, es -11, ya que 11+(-11)=0.

  4. La solución de la ecuación 2+x = 2, es x = 0, ya que 2+0 = 2 (neutro aditivo).

  5. La solución de 4+x = 2 es x = -2, ya que
     4+x = 2
     (2+2)+x = 2
     2+(2+x)= 2                                               propiedad asociativa
     lo que implica que 2+x = 0 y esto se cumple si x = -2, pues
     2+(-2) = 0                                                    neutro aditivo.

  6. Los signos de agrupación son los paréntesis ( ), los corchetes [ ] y las llaves { }. Estos se pueden emplear en una suma algebráica (suma de números positivos y negativos). Al resolver la suma 2 + {4 - 3[5 + 2(3-7)] - 2}, se procede eliminando los signos de agrupación, desde los mas internos hasta los mas externos, aplicando las propiedades y en particular la propiedad distributiva:
     2+{4-3[5+2(3-7)]-2} =
     2+{4-3[5 +2(3)-2(7) ]-2} =                          Propiedad distributiva en los paréntesis
     2+{4-3[5+6-14]-2} =
     2+{4 -3(5)-3(6)-3(-14) -2} =                  Propiedad distributiva en los corchetes
     2+{4-15-18+42-2} =
     2 + 4 -15 -18 +42 -2=                                  Propiedad distributiva en las llaves
     (2+4+42)-(15+18+2) =                        Agrupación de positivos y agrupación de negativos
     48-35 = (35+13)-35 =                                 Descomponemos 48 como la suma de 35 y 13
     (13+35)-35 =                                               Propiedad conmutativa de la suma
     13+[35+(-35)] =                                           Propiedad asociativa de la suma
     13+0 =                                                      Elemento opuesto
     13                                                              Elemento neutro aditivo y respuesta final.

  7. Resolver -2{3-4[1+2(3-1)]} indicando las propiedades utilizadas.
     Solución:
     -2{3-4[1+2(3-1)]} =
     -2{3-4[1 +2(3)-2(1)]} =                             Propiedad distributiva
     -2{3-4[1+6- 2]} =                                     Elemento neutro multiplicativo
     -2{3 -4(1)-4(6)-4(-2)} =                          Propiedad distributiva
     -2{3 -4-24+8} =                                       Neutro multiplicativo, multiplicación del mismo signo
     -2(3) -2(-4) -2(-24) -2(8) =                    Propiedad distributiva
     -6+8+48-16 =                                          Multiplicación del mismo signo
     (8+48)-(6+16) =                                      Agrupación de sumandos del mismo signo
     56-22 = (34+22)-22                                 Descomposición de 56
     34 + [22+(-22)] =                                     Propiedad asociativa
     34 + 0 =                                                   Elemento opuesto
     34                                                             Elemento neutro aditivo.