Los números reales

El conjunto de los Números Reales (ℜ)

    A lo largo del aprendizaje del Cálculo, surgirá una serie de problemas que estarán modelados con ecuaciones o inecuaciones. Para resolver estos problemas haremos uso de los números reales. Los números reales se construyen uniendo los números racionales con los irracionales. Los números racionales y los irracionales son disjuntos, es decir, no existe ningún número racional que sea irracional. En notación de conjunto esto sería Q∩I = ∅. Los números irracionales unidos al conjunto de los números racionales van a formar el conjunto de los números reales:

Q⋃I = ℜ

    Hemos visto que un número racional es todo aquel que se puede escribir como una fracción, luego todo número entero también es un número racional ya que siempre lo podemos escribir dividido por 1. Además todo número natural es un número entero. Tenemos entonces que los naturales están contenidos en los enteros y los enteros están contenidos en los  racionales, es decir 

N⊂Z⊂Q

Con el conjunto de los números reales vamos a poder resolver una gran cantidad de problemas, muchos de los cuales no se podían resolver cuando solo contabamos con conjuntos como el de los naturales, enteros o racionales. Además, vamos a poder representar los números en una recta, que llamaremos la recta real, donde quedará en evidencia que en los reales se define un orden total, es decir, siempre vamos a poder comparar dos números reales. También se verá que los reales cubrirán la totalidad de la recta real, lo cual le otorga una continuidad, es decir, cada punto de la recta representará un número real.

    Sobre el conjunto de números reales, se definen la suma y la multiplicación de la forma usual y estas operaciones tienen las propiedades que se indican a continuación.

• • Suma: Dados dos elementos r y s en ℜ, la suma r+s está en ℜ.

• • Propiedad asociativa de la suma: Dados r, s, t ∈ℜ, se cumple que
    
    (r+s)+t = r+(s+t).

• • Propiedad conmutativa de la suma: Dados Dados r, s ∈ℜ se cumple que
    
    r+s = s+r.

• • Elemento neutro aditivo: 0∈ℜ y ∀ r∈ℜ
    
    r+0 = 0+r = m.

• • Elemento opuesto: ∀ r∈ℜ existe -r∈ℜ tal que
    
    r+(-r) = (-r)+r = 0.

• • Multiplicación o producto: Dados r, s ∈ℜ, la multiplicación rs∈ℜ.

• • Propiedad asociativa de la multiplicación: Dados r, s, t ∈ℜ, se cumple que
    
    (rs)t = r(st).

• • Propiedad conmutativa de la multiplicación: Dados r, s ∈ℜ, se cumple que
    
    rs = sr.

• • Elemento neutro multiplicativo: El 1∈ℜ es el elemento neutro para la multiplicación:
    r1 = 1r, para todo número r∈ℜ.

• • Elemento inverso: ∀ r∈ℜ con r ≠ 0, existe r -1∈ℜ tal que
    r r -1 = r -1 r = 1.

• • Propiedad distributiva: Dados r, s, t ∈ℜ, se cumple que
    
    (r+s)t = rt+st
    y
    
    r(s+t) = rs+rt.

Una propiedad importante de los números reales es la siguiente:

• ab = 0 implica que a = 0 o b = 0.