Λογισμός Ι

Μαθησιακά Αποτελέσματα

Με την επιτυχή ολοκλήρωση του μαθήματος, οι φοιτητές: 1. θα έχουν αποκτήσει τις γνώσεις βασικών εννοιών της Μαθηματικής Ανάλυσης. 2. θα έχουν αποκτήσει απαραίτητες δεξιότητες και γνώσεις για τη διδασκαλία της ύλης των μαθηματικών της γ' λυκείου.

Γενικές Ικανότητες

Εφαρμογή της γνώσης στην πράξη
Προσαρμογή σε νέες καταστάσεις
Λήψη αποφάσεων
Αυτόνομη εργασία
Προαγωγή της ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης

Παρακάτω παραθέτω τα σχετικά με το μάθημα μετά το έτος 2023-2024 ως σήμερα

Λογισμός Ι, υποχρεωτικό μάθημα Α' εξαμήνου.

Ύλη του μαθήματος:

1. Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί και Πραγματικοί αριθμοί. Μαθηματική Επαγωγή. Η Πληρότητα των Πραγματικών Αριθμών.

2. Ακολουθίες Πραγματικών Αριθμών. Όρια και ιδιότητες. Μονότονες και φραγμένες ακολουθίες. Οριακά σημεία ακολουθίας, υπακολουθίες. Η έννοια του limsup και liminf. Ακολουθίες Cauchy. Θεώρημα Bolzano-Weierstrass.

3. Συναρτήσεις, όρια, συνέχεια. Θεωρήματα ενδιαμέσου τιμής και ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων σε κλειστό διάστημα.

4. Παραγώγιση, η έννοια της εφαπτόμενης, κανόνας της αλυσίδας. Παραγώγιση πεπλεγμένης συνάρτησης και συναρτήσεων με παραμετρική μορφή. Θεώρημα μέσης τιμής, κανόνας L’ Hospital. Μονότονες συναρτήσεις, αντίστροφη συνάρτηση. Κυρτές και κοίλες συναρτήσεις. Ακρότατα και μελέτη συναρτήσεων με χρήση παραγώγων.

Θα υπάρξει υποχρεωτική εξέταση προόδου. Η πρόοδος θα μετράει το 40% του τελικού βαθμού, και η τελική εξέταση στην περίοδο Ιανουαρίου-Φεβρουαρίου θα μετράει το 60% του τελικού βαθμού.

Η ύλη της εξέτασης προόδου θα περιέχει το πρώτο μέρος του μαθήματος, μέχρι και το τέλος του κεφαλαίου των ακολουθιών. Η ύλη της τελικής εξέτασης θα περιέχει όλη την ύλη του μαθήματος.

Βιβλιογραφία μαθήματος

Α. Γιαννόπουλος, Απειροστικός Λογισμός Ι

Μ. Παπαδημητράκης, Απειροστικός Λογισμός

Σ. Πηχωρίδης, Απειροστικός Λογισμός

G. H. Hardy, A course of Pure Mathematics

Σημειώσεις μαθήματος (του κ. Σακελλάρη)

Παρακάτω παραθέτω τα σχετικά με το μάθημα ως το έτος 2023-2024.

Περιεχόμενο Μαθήματος

1. Φυσικοί, Ακέραιοι, Ρητοί και Πραγματικοί αριθμοί. Η πληρότητα των πραγματικών αριθμών. Αλγεβρικοι και Υπερβατικοι αριθμοι. Πληθάριθμος συνολου. Αριθμησιμα και υπεραριθμησιμα συνολα. Μαθηματική Επαγωγή. Διωνυμικο αναπτυγμα.

2. Ακολουθίες πραγματικών αριθμών. ΄Ορια και ιδιότητες. Μονότονες και ϕραγμένες ακολουθίες. Οριακά σημεία ακολουθίας, υπακολουθίες. Η έννοια του limsup και liminf. Ακολουθίες Cauchy. Θεώρημα Bolzano-Weierstrass.

3. Σειρές Πραγματικών Αριθμών. Σύγκλιση (Αθροισιμοτητα) σειρων, ιδιότητες. Κριτήρια σύγκρισης, λόγου, ρίζας, συμπύκνωσης. Απόλυτη σύγκλιση, Εναλλάσουσες σειρές, Θεώρημα Leibniz.

4. Συναρτήσεις, όρια, συνέχεια. Θεωρήματα και ιδιότητες συνεχών συναρτήσεων σε κλειστό διάστημα. Ομοιόμορϕη συνεχεια. Παραγώγιση, η έννοια της εϕαπτόμενης, κανόνας της αλυσίδας. Θεώρημα μέσης τιμής, κανόνας L’ Hospital. Μονότονες συναρτήσεις, αντίστροϕη συνάρτηση. Κυρτές και κοίλες συναρτήσεις. Ακρότατα και μελέτη συναρτήσεων με χρήση παραγώγων.

5. Σειρές Taylor και δυναμοσειρές, διάστημα σύγκλισης, κριτήρια σύγκλισης.

Να σημειωθεί ότι από το ακαδ. έτος 2024-2025 οι Σειρές Πραγματικών Αριθμών (βλ. νούμερο 3 παραπάνω)και οι Σειρές Taylor και δυναμοσειρές (βλ. νούμερο 5 παραπάνω) δεν διδάσκονται στο Λογισμό Ι, αλλά διδάσκονται στο Λογισμό ΙΙ. Για πληρότητα οι σημειώσεις τους παραμένουν παρακάτω, στα μαθήματα όπως είχαν διδαχθεί κατά το παρελθόν. Περισσότερες πληροφορίες για το μάθημα και βιβλιογραφία σε μορφή pdf μπορείτε να βρείτε στην ιστοσελίδα του μαθήματος στο elearning.

Βιβλιογραφία μαθήματος (Εύδοξος)

- Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός, M. Spivak, Παν/κές Εκδόσεις Κρήτης, 2010. - Απειροστικός Λογισμός Ι, Τόμος Ι, Σ. Νεγρεπόντης, Σ. Γιωτόπουλος, Ε. Γιαννακούλιας, Εκδόσεις Αθανασόπουλος, Αθήνα.

Προαιρετική εργασία στο Λογισμό Ι

Εργασία 1

Σημειώσεις μαθήματος

(από το ακαδ. έτος 2024-2025 οι σειρές πραγματικών ακολουθιών, Μάθημα 16-21 παρακάτω, είναι στην ύλη του μαθήματος Λογισμός ΙΙ και όχι στο Λογισμό Ι. Ομοίως είναι στην ύλη του μαθήματος Λογισμός ΙΙ και η θεωρία για σειρές Taylor και δυναμοσειρές, οπότε είναι εκτός της ύλης του Λογισμού Ι ότι σχετικό υπάρχει στις σημειώσεις)