Propuestas de Trabajos de investigación para el aula virtual

Para pensar:

Papiro Rhind  http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/papiro_rhind.htm

Papiro de Kahun (que contiene algunos problemas matemáticos), el Papiro de Berlín, dos

tablillas de madera de Akhmim, y el Papiro de Moscú (colección de veinticinco problemas

matemáticos).

una serie de tablillas de arcilla de la civilización babilónica

los Elementos, de Euclides

el Almagesto de Ptolomeo (s. II d.C), la Introductio Arithmeticae de Nicómano (s. II), la Arithmetica

de Diofanto de Alejandría (s. III)

la obra de Alcuino

Los cuatro libros son Aritmética, que es un resumen de la Introductio

Arithmetica de Nicómano; Geometría, basada en los cuatro primeros libros de los Elementos de

Euclides; Astronomía, extraída de Almagesto de Ptolomeo; y Música, basada en obras

anteriores de Euclides, Nicómano y Ptolomeo.

sacado de Un ejemplo de trabajo de investigación de Matemáticas en Bachillerato

4 Educación Secundaria.

Unidad inicial

• Tarea: 

Unidad de Trigonometría.

• • Tarea: El trabajo de investigación sobre los orígenes de las medidas de ángulos sexagesimales, que se utilizan en la medida del tiempo. La pregunta a cuestión sería : ¿Porqué utilizamos para medir los ángulos que  1 hora tiene 60 minutos y que un minuto tiene 60 segundos?

  • Tarea: Trabajo de campo con el dossier.

El número real: potencias y logaritmos. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

• • Tarea:

    • Investiga sobre los números rojos. ¿de dónde viene la expresión?¿cuál es su origen?.

    • Puedes orientarte con las siguientes indicaciones:

    • - Sistema de numeración arábigo.

    • - Los números en China.

    • - El ábaco en China.

  • - Las tablillas para contar en China.

Inecuaciones y sistemas de inecuaciones.

Tarea:

¿Qué es la investigación de operaciones?.

Descripción  y modelos.

Caso particular de Programación Lineal. Métodos de resolución. Tipos de problemas donde interviene la programación lineal.

Estadística.

Tarea:

Sesgo, Asimetría estadística y curtosis.

Se pide explicación del concepto, fórmulas, medidas e indicadores.

Ejercicio práctico.

Dados los siguientes datos estadísticos:

2, 1, 7, 3,1, 5, 4, 9, 2, 7, 3, 4, 4, 2, 9, 4, 3, 2, 9, 3, 4, 2, 5, 2, 4, 9, 3, 4, 5, 2, 1, 4, 5, 7, 3, 4, 7, 2, 1, 3, 7, 5, 2, 9, 4, 3, 1, 2, 5, 3.

Determina un estimador para la media aritmética, y su sesgo.

Estudia la asimetría, mediante los cálculos del Coeficiente de Pearson, Medida Cuartílica y la Medida de Fisher;  y la curtosis de la distribución de valores, empleando la medida de Fisher y el coeficiente percentil de curtosis.

Límites de sucesiones y de funciones.

Tarea:

La sucesión   an=5n2−4n+3n2+2   tiene límite 5, encuentra a partir de que término, la sucesión dista del límite menos que 10-4.

Funciones. Estudio de funciones.

Tarea:

El trabajo consiste en estudiar el concepto de derivada de una función en un punto.

Índice de contenidos:

• • Concepto de derivada de una función en un punto.

  • Recta tangente a una función en un punto.

  • Función derivada de la función constante y de un monomio (xn), ejemplos con polinomios de hallar  la derivada de las operaciones ( suma, resta, producto y cociente).

Vectores - La recta en el plano.

Tarea:

Describe los siguientes movimientos en el plano.

Homotecia, Traslación y Giros.

Debes indicar las definiciones y propiedades.

Ejercicio práctico.

Dado el triángulo de vértices  (3,7), (4,1), (5,5):

a) Aplica una homotecia de razón 2.

b) Se toman unos nuevos ejes que  tenga su origen en el punto (4,1) y los ejes coordenados sean paralelos a los anteriores. Indica las coordenadas de los vértices en este nuevo sistema.

c) un giro de 30º respecto del origen de coordenadas.

1 Bachillerato científico.

Unidad 1: Vectores

• • Tarea:  Hemos estudiado a lo largo de la unidad que existen diferentes bases para los vectores libres del plano.  Si tenemos una base B  formada por los vectores {(x1,y1),(x2,y2)} y otra base B' formada por los vectores {(x'1,y'1),(x'2,y'2)} Encuentra la expresión (fórmula) que permite pasar de la base B a B'.

Actividad de Investigación

Hemos estudiado a lo largo de la unidad que existen diferentes bases para los vectores libres del plano.

Si tenemos una base B  formada por los vectores \( \lbrace{} (x_1,y_1);(x_2,y_2) \rbrace \) y otra base B' formada por los vectores \( \lbrace{} (x'_1,y'_1);(x'_2,y'_2) \rbrace \). Encuentra la expresión (fórmula) que permite pasar de la base B a B'.

Aplica las expresiones al caso siguiente

B={(1,3),(-2,4)}

B'={(-3,2),(4,-1)}

Unidad 2: Geometría analítica

• Tarea:

Actividad de Investigación

En este tema se utilizan en ocasiones expresiones de "Geometría analítica" o Geometría Euclidiana", puesto que Euclides, en su libro "Los Elementos",  dio las bases para trabajar la geometría demostrativa de los griegos.

Euclides estableció cinco postulados para crear el rigor necesario de trabajo en este área.

¿cuáles son esos postulados?

¿Cuál ha sido el que más se ha intentado demostrar que se pude deducir a partir de los otros cuatro?

¿Qué ha ocurrido cuando se ha intentado eliminar?¿ Qué geometrías aparecen? Haz una breve descripción de ellas.

Unidad 3: Trigonometría

• Tarea:

Actividad de Investigación

Resuelve la ecuación :

sin(x)=3

La respuesta no es " no existe". Tienes que hallar el posible valor de x, o por lo menos dar un enfoque de algún conjunto numérico donde si tiene solución.

Unidad 4: Funciones, límites y continuidad

• Tarea:

Actividad de Investigación

Demuestra que si existe el límite de una función, es único; es decir, el límite no puede tomar dos valores distintos.

Unidad 5: Derivadas

• Tarea:

Actividad de Investigación

El trabajo consiste en enunciar la fórmula de la función derivada y  su demostración de una  (sólo una)  de las siguientes funciones, se entregará  en un documento de MSWord o OpenOffice.

arcosecante de x :        f(x) = arcsec(x)

arcocosecante de x:     f(x) = arccsc(x)

arcocotangente de x:  f(x) =arccot(x)

Unidad 6: Funciones elementales. Aplicación de las derivadas.

• • Tarea:

El trabajo de investigación consiste en hacer una explicación teórica sobre  la resolución de un problema de máximos y mínimos por el método de los multiplicadores de Lagrange.

Aplicarlo al siguiente ejercicio: Obtén los máximos y mínimos de la función   (x^2-y^2)/(2xy)  sobre la circunferencia centrada en el origen y de radio 1.

• • Hipérbola: x212−x28=1

  • Parábola: y2=6x

Unidad 9: Números complejos

• Tarea:

Actividad de Investigación

El trabajo consiste en explicar

Como se obtiene  el logaritmo de un número complejo.

Ejercicio práctico.

Calcula el logaritmo neperiano de 3+4i

1 Bachillerato Ciencias Sociales.

• 1. Unidad 1: Combinatoria y probabilidad

Tarea:

La actividad complementaria consiste en demostrar mediante diagramas de Venn, las fórmulas de las combinaciones de las operaciones.

• 1. Unidad 2: Distribución binomial

Tarea:

• • • • • • • • El trabajo de investigación consiste en hacer una explicación teórica sobre  la resolución de un problema de máximos y mínimos por el método de los multiplicadores de Lagrange.

              • Aplicarlo al siguiente ejercicio: Obtén los máximos y mínimos de la funciónx2−y22xy

              • sobre la circunferencia centrada en el origen y de radio 1.

• • • • • • • • Actividad 2

• • • • • • • Se escogerán 2 de los problemas y se enviarán mediante el enlace.

Unidad 4: Representación de funciones

Tarea:

• 1. Unidad 5: Primitiva de una función

Tarea: 

• 1. Unidad 6: Integral definida

Tarea:

El trabajo consiste en realizar un trabajo sobre

La integración numérica.

¿qué es?¿cuáles son sus aplicaciones?

Realizar la siguiente ejecución práctica:

"Utilizando la fórmula compuesta de Simpson con 4 subdivisiones.  Obtener el valor de la integral  ∫ππ/4sin(x)xdx

"

Nota: la función sin(x)x

no tiene primitiva conocida.

2 Bachillerato Ciencias Sociales.

• 1. UNIDAD 1: Combinatoria

Tarea:

• 1. UNIDAD 2: probabilidad

Tarea:

El trabajo consiste en investigar sobre

La Teoría de la Decisión.

Debes describir ¿Qué es? y las soluciones en las que no interviene la probabilidad: maxmin, TreePlan, árbol de decisión;  y en los que si interviene: Teorema de Bayes, Criterio de utilidad para toma de decisiones.

• 1. UNIDAD 3: Matrices

Tarea:

Cuestiones a trabajar:

- ¿Qué significa que una matriz sea diagonalizable?¿cuando dos matrices son semejantes?.

- ¿Qué son las cadenas de Markov?

- ¿Qué utilidad tiene la diagonalización de matrices en las cadenas de Markov?

Ejercicio práctico.

Supongamos que la probabilidad que después de  un día soleado siga otro día soleado es %65, mientras que la

probabilidad  que después de un día no soleado sea un día soleado  es de %85. Determina los porcentajes de días soleados y no soleados a la larga.

Datos: (como hay datos que todavía no se conoce como se calcula, se dan como dato)

Valores propios 1 y 1/2

vector propio asociado a 1 (3,7) y a 1/2 (-1,1)

• 1. UNIDAD 4: Determinantes

Tarea:

Investiga sobre los valores propios de una matriz cuadrada.

Caso práctico. Calcula los valores propios de la matriz que tiene por filas los vectores (4,0,3);(2,3,2);(-1,2,0)

• 1. UNIDAD 5: Sistemas de ecuaciones lineales

Tarea:

Investiga sobre la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, escoge dos de las siguientes propuestas.

- Biografía de Thymaridas, matemático que obtuvo un método para resolver los sistemas de ecuaciones.

- Métodos geométricos de resolución que utilizaban los griegos.

- Diophante, ¿Qué procedimiento seguía para transformarlas en ecuaciones lineales?

- Los nueve capítulos sobre el arte matemático.

- Método de la falsa posición o regula falsi

• 1. UNIDAD 6: Programación lineal

Tarea:

Cuando se aplica la programación lineal en aplicaciones reales, puede ocurrir que los valores de las variables tengan necesariamente que tomar valores enteros. En tal caso se denomina

Programación Entera.

Investiga sobre la programación entera, y alguno de los métodos de resolución.

Aplicación práctica:

Encuentra la solución optima entera del problema

Maximizar f(x,y)=20x+y

sujeto a las restricciones:

3x+4y≤16y≤35x+2y≤15x≥0y≥0