Vibratii Mecanice

CUPRINS HOME

PREFAŢA

1. INTRODUCERE 1

1.1. Modelarea vibraţiilor masinilor si structurilor mecanice 1

1.2. Definiţii si reprezentări grafice 1

1.2.1 Definiţii 1

1.2.2 Miscarea armonică 2

1.3. Analiza vibraţiilor unui sistem mecanic 3

1.4. Reprezentări grafice 4

1.4.1 Semnal temporal 4

1.4.2 Reprezentarea cu fazori 6

1.4.3 Reprezentarea în planul fazelor 7

1.4.4 Reprezentarea în domeniul frecvenţelor. 8

1.5. Seria Fourier. Analiza spectrului de frecvenţe. 8

1.5.1 Exemple de analiză spectrală 9

1.5.1.1 Semnalul armonic 9

1.5.1.2 Semnalul dreptunghiular 10

1.5.1.3 Semnalul triunghiular „dinte de ferăstrău” 11

1.5.1.4 Semnalul aleator 12

1.5.1.5 Semnalul de tip impuls (Dirac) 12

1.6. Program MATLAB pentru analiza armonică a semnalelor 13

2. VIBRAŢIILE SISTEMELOR CU UN GRAD DE LIBERTATE 15

2.1. Vibraţii libere neamortizate. 15

2.1.1 Modelul masă-resort 15

2.1.2 Condiţiile iniţiale 16

2.1.3 Energia mecanică totală a sistemului 17

2.1.4 Ecuaţiile diferenţiale ale miscării folosind ecuaţiile Lagrange 17

2.1.5 Constante elastice echivalente 18

2.1.6 Exemple numerice 19

2.2. Vibraţii libere amortizate 21

2.2.1 Amortizarea vâscoasă 21

2.2.2 Amortizare subcritică 22

2.2.3 Exemplu numeric 23

2.2.4 Amortizare critică 24

2.2.5 Exemplu numeric 24

2.2.6 Amortizarea supra-critică 25

2.2.7 Exemplu numeric 26

2.2.8 Ecuaţiile diferenţiale ale miscării folosind ecuaţiile Lagrange 26

2.2.9 Energia mecanică totală a sistemului 27

2.2.10 Exemple numerice 28

2.2.11 Amortizarea prin frecare uscată 30

2.2.12 Exemplu numeric 32

2.2.13 Amortizarea structurală. Fenomenul de histerezis. 33

2.2.14 Energia mecanică totală a sistemului 34

2.3. Vibraţii forţate neamortizate 35

2.3.1 Cazul pulsaţiilor apropiate. Fenomenul de bătăi. 36

2.3.2 Exemplu numeric 36

2.3.3 Fenomenul de rezonanţă 37

2.3.4 Exemplu numeric 37

2.4. Vibraţii forţate amortizate 38

2.4.1 Vibraţii forţate cu amortizare vâscoasă 38

2.4.2 Vibraţii forţate cu amortizare structurală 41

2.4.3 Impedanţa mecanică 43

2.4.4 Transmisibilitatea vibraţiilor cu amortizare vâscoasă 44

2.4.5 Transmisibilitatea vibraţiilor cu amortizare structurală 46

2.5. Vibraţii forţate produse de mase în rotaţie 48

2.5.1 Modelul masă – resort – amortizor 48

2.5.2 Turaţia critică a arborilor 49

2.5.3 Rotor modelat ca masă concentrată 50

2.6. Programe MATLAB pentru vibraţiile unui sistem cu un grad de libertate 53

2.6.1 Vibraţii libere 53

2.6.2 Vibraţii libere amortizate pentru un sistem cu un grad de libertate 53

2.6.3 Vibraţii forţate neamortizate pentru un sistem cu un grad de libertate 56

2.6.4 Vibraţii forţate amortizate pentru un sistem cu un grad de libertate 57

3. VIBRAŢIILE SISTEMELOR CU MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 59

3.1. Vibraţii libere, neamortizate 59

3.1.1 Reprezentarea vectorilor proprii 62

3.1.2 Ortogonalitatea formelor proprii de vibraţie 63

3.1.3 Vibraţii libere în coordonate normale 64

3.1.4 Exemple numerice 65

3.2. Vibraţii libere, amortizate 69

3.2.1 Ortogonalitatea vectorilor proprii 71

3.2.2 Cazul amortizării proporţionale, Rayleigh 71

3.2.3 Exemplu numeric 73

3.3. Vibraţii forţate cu amortizare 77

3.3.1 Soluţia asimptotică. Regimul permanent. 77

3.3.2 Soluţia completă a miscării. Regimurile tranzitoriu si permanent 78

3.3.3 Exemplu numeric 80

3.4. Vibraţii forţate fără amortizare 82

3.4.1 Vibraţii forţate fără amortizare în coordonate normale 83

3.4.2 Exemplu numeric 84

3.5. Programe MATLAB pentru vibraţiile sistemelor cu două grade de libertate 85

3.5.1 Vibraţii libere pentru un sistem cu două grade de libertate 85

3.5.2 Vibraţii libere amortizate pentru un sistem cu două grade de libertate 86

3.5.3 Vibraţii forţate amortizate pentru un sistem cu două grade de libertate 89

3.5.4 Program de calcul al factorilor de amplificare 92

4. VIBRAŢIILE LIBERE ALE CORPURILOR ELASTICE 95

4.1. Vibraţiile firelor elastice 95

4.1.1 Coarda vibrantă 96

4.1.1.1 Exemplu numeric 99

4.2. Vibraţiile longitudinale ale barelor prismatice 100

4.2.1 Bara fixată la un capăt si liberă la celălalt 101

4.2.1.1 Exemplu numeric 102

4.2.2 Bara liberă la ambele capete 103

4.2.2.1 Exemplu numeric 103

4.2.3 Bara fixată la ambele capete 104

4.2.3.1 Exemplu numeric 105

4.2.4 Bară fixată la un capăt si având o masă punctiformă la celălalt 105

4.3. Vibraţiile de răsucire ale barelor cilindrice 107

4.3.1 Bara circulară fixată la un capăt si liberă la celălalt 110

4.3.1.1 Exemplu numeric 110

4.3.2 Bara circulară liberă la ambele capete 111

4.3.2.1 Exemplu numeric 112

4.3.3 Bara circulară fixată la ambele capete 113

4.3.3.1 Exemplu numeric 113

4.3.4 Bara circulară fixată la un capăt si cu volant la celălalt 114

4.4. Vibraţiile transversale ale barelor prismatice. Modelul Euler-Bernoulli 115

4.4.1 Bara simplu rezemată la capete 118

4.4.1.1 Exemplu numeric 119

4.4.2 Bara liberă la ambele capete 120

4.4.2.1 Exemplu numeric 122

4.4.3 Bara încastrată la ambele capete 123

4.4.3.1 Exemplu numeric 124

4.4.4 Bara încastrată la un capăt si liberă la celălalt 125

4.4.5 Bara încastrată la un capăt cu o masă punctiformă la celălalt 127

4.4.5.1 Exemplu numeric 128

4.5. Vibraţiile transversale ale membranelor plane 129

4.5.1 Vibraţiile transversale ale membranei dreptunghiulare 131

4.5.1.1 Exemplu numeric 132

4.5.2 Vibraţiile transversale ale membranei circulare 134

4.5.2.1 Exemplu numeric 136

4.6. Vibraţiile transversale ale plăcilor plane 137

4.6.1 Modelul Love-Kirchhoff 137

4.6.1.1 Ecuaţiile diferenţiale cu derivate parţiale pentru miscarea transversală 138

4.6.1.2 Soluţia generală în coordonate carteziene 142

4.6.1.3 Condiţiile la limite pentru placa în coordonate carteziene 142

4.6.2 Vibraţiile plăcilor dreptunghiulare simplu rezemate pe contur 144

4.6.2.1 Exemplu numeric 144

4.6.3 Vibraţiile plăcilor dreptunghiulare simplu rezemate pe laturi opuse 146

4.6.3.1 Exemplu numeric 147

4.6.4 Vibraţiile plăcilor dreptunghiulare încastrate pe contur 149

4.6.4.1 Exemplu numeric 149

4.6.5 Vibraţiile transversale ale plăcilor circulare 151

4.6.5.1 Vibraţiile plăcii circulare încastrate pe contur 154

4.6.5.2 Exemplu numeric 155

4.6.5.3 Vibraţiile plăcii circulare simplu rezemate pe contur 156

4.6.5.4 Exemplu numeric 157

4.6.5.5 Vibraţiile plăcii circulare libere 158

4.6.5.6 Exemplu numeric 159

4.7. Vibraţiile plăcilor curbe 161

4.7.1 Deplasări si deformaţii specifice 162

4.7.1.1 Calculul deformaţiilor specifice 166

4.7.2 Ipotezele Love- Kichhoff 168

4.7.3 Starea plană de tensiuni 170

4.7.3.1 Ecuaţii de echilibru 171

4.7.4 Vibraţiile plăcilor cilindrice – starea de membrană 172

4.7.4.1 Vibraţiile libere ale cilindrului infinit (starea de membrană) 174

4.7.4.2 Exemplu numeric 175

4.7.5 Vibraţiile plăcilor sferice – starea de membrană 178

4.7.5.1 Vibraţiile libere radiale ale plăcii sferice (starea de membrană) 179

4.7.5.2 Exemplu numeric 181

Programe în MATLAB pentru studiul modurilor proprii 183

4.7.6 Modurile proprii pentru firul elastic (coarda vibrantă) 183

4.7.7 Modurile proprii ale vibraţiilor longitudinale pentru bare prismatice 183

4.7.8 Modurile proprii ale vibraţiilor torsionale pentru bare prismatice 187

4.7.9 Modurile proprii ale vibraţiilor de încovoiere pentru bare prismatice 190

4.7.10 Pulsaţii proprii pentru vibraţiile plăcilor dreptunghiulare 197

4.7.11 Pulsaţii proprii proprii pentru placile circulare 198

4.7.12 Pulsaţii proprii ale plăcii cilindrice circulare 200

4.7.13 Pulsaţii proprii ale plăcilor sferice 202

4.7.14 Funcţie utilizată de unele dintre programele precedente 204

5. VIBRAŢIILE FORŢATE ALE CORPURILOR ELASTICE 205

5.1. Vibraţiile transversale forţate ale firelor elastice 206

5.1.1.1 Exemplu numeric 207

5.2. Vibraţiile longitudinale forţate ale barelor prismatice 209

5.2.1 Bara fixată la un capăt, acţionată de o forţă armonică la celălalt capăt 209

5.2.1.1 Exemplu numeric 210

5.3. Vibraţiile transversale forţate ale barelor prismatice 211

5.3.1 Forţa armonică distribuită în lungul barei 212

5.3.2 Forţa oarecare distribuită în lungul barei 213

5.3.3 Bara simplu rezemată la capete. Forţă distribuită armonică 213

5.3.4 Exemplu numeric 214

5.3.5 Bara simplu rezemată la capete. Forţă punctuală armonică 215

5.3.5.1 Exemplu numeric 216

5.4. Vibraţiile transversale ale membranelor plane 217

5.4.1 Vibraţiile transversale ale membranei dreptunghiulare 217

5.4.2 Forţa armonică distribuită pe suprafaţa membranei 219

5.4.2.1 Exemplu numeric 220

5.5. Vibraţiile transversale forţate ale plăcilor plane 221

5.5.1 Ecuaţiile vibraţiilor transversale pemtru modelul Love-Kirchhoff 221

5.5.2 Vibraţiile forţate ale plăcilor dreptunghiulare rezemate pe contur 221

5.5.3 Forţa armonică distribuită pe suprafaţa plăcii 223

5.5.3.1 Exemplu numeric 223

5.6. Vibraţii forţate produse de rotirea corpurilor 225

5.6.1 Discul 225

5.6.2 Arborele 227

5.6.3 Lagărele 228

5.6.4 Masa excentrică 228

5.6.5 Un model de rotor rigid cu două lagăre la capete 229

5.6.5.1 Discul 230

5.6.5.2 Arborele 230

5.6.5.3 Lagărele 230

5.6.5.4 Masa excentrică 231

5.6.5.5 Ecuaţiile Lagrange 231

5.6.5.6 Exemplu numeric 233

5.7. Programe în MATLAB pentru studiul vibraţiilor forţate 237

5.7.1 Vibraţii forţate pentru firul elastic (coarda vibrantă) 237

5.7.2 Vibraţii longitudinale forţate ale barelor prismatice 238

5.7.3 Vibraţii forţate de încovoiere pentru bara simplu rezemată 239

5.7.3.1 Forţa uniform distribuită 239

5.7.3.2 Forţa aplicată într-un punct 240

5.7.4 Vibraţii transversale forţate pentru membrana dreptunghiulară 242

5.7.5 Vibraţii transversale forţate pentru placa dreptunghiulară 243

5.7.6 Vibraţiile unui rotor rigid cu patru grade de libertate 245

ANEXA. Ecuaţiile Lagrange. Principiul variaţional Hamilton 249

Ecuaţiile lui Lagrange 249

Principiul variaţional al lui Hamilton 251

BIBLIOGRAFIE 253