Matematica e Libertà
- Video della Lezione, 5 Novembre 2008, Piazza Verdi Bologna,
Lezioni in Piazza e non solo...
Testo della lezione inaugurale di matematica tenuta da Laplace e Lagrange il 20 gennaio 1795 (Primo Piovoso dell’Anno III) all' Ecole Normale Superieure, Parigi. Traduzione in italiano dal testo originale: "Leçons de mathématiques L'École normale de l'an III, Laplace, Lagrange, Monge" Directeur d'ouvrage Jean Dhombres.
-Programma-
La considerazione delle grandezze ha fatto scoprire i teoremi e i metodi che nel loro insieme costituiscono la matematica. Osservando cio' che i risultati particolari avevano in comune fra loro, si e' in seguito giunti a risultati molto estesi, e la scienza matematica stessa e' diventata piu' generale e al tempo stesso piu' semplice. La sua portata si e' considerevolmente accresciuta tramite l’applicazione ai fenomeni della natura, fenomeni che sono il risultato matematico di un piccolo numero di leggi invariabili. Nel momento stesso in cui questa applicazione perfezionava le scienze della natura, essa apriva strade nuove alla matematica: e' cosı' che le scienze, tramite il loro avvicinamento, si prestano aiuto reciproco. Presentare le scoperte piu' importanti che sono state fatte nelle scienze, sviluppare i principi di queste ultime, illustrarne le idee sottili, profonde e felici che hanno dato loro nascita, indicare la strada piu' diretta che puo' condurre alle scoperte, le fonti migliori donde si possano trarre i dettagli, indicare cio' che resta ancora da fare, il cammino che occorre seguire per giungere a scoperte nuove: tale e' l’oggetto della Scuola Normale ed e' sotto questo aspetto che la matematica vi sara' insegnata.
Si cominciera' con l’esporre la maniera ingegnosa in cui, tramite un piccolo numero di caratteri, si possono facilmente scrivere tutti i numeri e fare con loro le operazioni usuali dell’aritmetica. Si fara' capire il vantaggio di dividere qualsiasi specie di unita' in parti decimali. Trattando le progressioni aritmetiche e geometriche, si insistera' sulla combinazione felice di queste due progressioni che si fa per formare i logaritmi, una delle invenzioni piu' belle e piu' utili dello spirito umano.
La considerazione dei numeri, indipendentemente dal loro valore e da qualsiasi sistema di numerazione, ha fatto nascere l’algebra che per questa ragione Newton ha chiamato aritmetica universale. Il suo oggetto e' la grandezza, concepita nel modo piu' astratto. Cosı' si e' cominciato col considerare delle quantita' arbitrarie, poi le loro potenze, e in generale tutti i loro modi di presentarsi. Esse sono state denotate tramite simboli molto semplici, e queste notazioni che sembrano di per se' stesse poca cosa hanno influito molto sul progresso della matematica, dando al linguaggio algebrico quella generalita' e quella concisione estrema dalla quale risulta la facilita' di cogliere e combinare i rapporti piu' complicati fra gli oggetti. Tradurre in linguaggio algebrico equivale a formare delle equazioni. L’arte di mettere i problemi in equazioni e di scegliere opportunamente le incognite per giungere alle soluzioni piu' eleganti dipende dall’abilità del matematico. L’algebra fornisce inoltre dei metodi esatti od approssimati per risolvere queste equazioni. Si esporranno i principi di questi metodi, e cio' che e' stato scoperto di piu' interessante dulla natura delle equazioni.
Le grandezze che l’aritmetica e l’algebra considerano sono delle astrazioni della nostra intelligenza, e queste due scienze sono interamente opera sua. Noi conosciamo solo due grandezze reali, l’estensione e la durata; esse sono l’oggetto della geometria e della meccanica. Le proprieta' dell’estensione considerata semplicemente come figura appartengono alla geometria. Si daranno i teoremi principali sulle curve, le superfici e i solidi. Si indicheranno le loro applicazioni piu utili, e si fara' osservare, nelle dimostrazioni di alcuni di questi teoremi, il germe del calcolo infinitesimale. Uno dai ravvicinamenti piu' fecondi che siano mai stati fatti nelle scienze e' l’applicazione dell’algebra alla teoria delle curve. Si svilupperanno la loro formazione e le loro proprieta' principali. La ricerca di queste proprieta' ha condotto all’analisi infinitesimale, la cui scoperta ha cambiato la faccia della matematica. Si esporranno i principi primi di questa analisi, e si fara' conoscere, in questo ambito, il calcolo alle differenze finite. In seguito si presenteranno alcune osservazioni sull’analisi e la sintesi, e sui vantaggi peculiari a ciascuno dei due metodi. Nell’infinita varieta' dei moti che hanno luogo sulla terra, si e' giunti a scoprire le leggi generali che la materia segue costantemente in questi fenomeni. L’importanza di queste leggi, dalle quali noi dipendiamo in ogni istante, avrebbe dovuto eccitare la curiosita' umana in ogni tempo; tuttavia, per un’indifferenza fin troppo comune allo spirito umano, esse sono state ignorate fino all’inizio del Seicento, epoca in cui Galileo ha gettato le prima fondamenta della scienza del moto tramite le sue belle scoperte sulla caduta dei corpi. I matematici, camminando sulle orme di quel grand’uomo, hanno portato questa scienza al piu' alto grado di perfezione di cui sembrava suscettibile.
Si svilupperanno le leggi della composizione delle forze, esaminando le condizioni di equilibrio delle macchine principali; si riporteranno tutte le leggi ad una sola, il cui enunciato costituisce il principio delle velocita' virtuali, che racchiude nel modo piu generale cio' che e' necessario conoscere per determinare l’equilibrio di un sistema qualsiasi di corpi solidi e fluidi. Faremo conoscere l’ingegnoso principio tramite il quale d’Alembert ha ricondotto le leggi del moto dei corpi a quelle del loro equilibrio; combinando questo principio con quello delle velocita' virtuali, la meccanica intera verr'a ridotta a pura analisi. Si esporranno i principi generali di questa sceinza, e qualcuno dei suoi risultati piu' notevoli, quali la legge della trasmissione dei moti, quelle dei moti accelerati per azione della gravita', e le oscillazioni dei pendoli semplici e composti.
E negli spazi celesti che le leggi del moto si osservano con la maggior precisione. Tante circostanze ne complicano i risultati sulla terra, che e' difficile districarsene, e piu' difficile ancora assoggettarle alla matematica. Ma i corpi del sistema solare, sottoposti all’azione di una forza principale, di cui e' facile calcolare gli effetti, sono perturbati nei loro moti effettivi solo da forze ben note, e sempre cosı' piccole affinche' la matematica possa determinare i cambiamenti che il trascorrere del tempo ha prodotto e produrra' ancora in questo sistema. Il primo sguardo dell’umanita' al cielo e' estremamente lontano dalla veduta generale che racchiude insieme tutti gli stati passati e futuri del sistema del mondo. Per giungervi, e' stato necessario osservare gli astri lungo molti secoli, e riconoscere i moti reali della terra distinguendoli dalle apparenze che i corpi celesti ci presentano; elevarsi alle leggi dei moti planetari, e da queste leggi ai principi della gravitazione universale; ridiscendere poi da questo principio alla spiegazione completa di tutti i fenomeni celesti fino ai loro minimi dettagli. Ecco cosa ha fatto lo spirito umano nell’astronomia. Il quadro di queste scoperte avra' il duplice vantaggio di offrire un vasto insieme di verita' interessanti, e il vero metodo scientifico nella ricerca delle leggi della natura.
Infine, si esporranno i principi del calcolo delle probabilita'. In tempi in cui tutti i cittadini sono chiamati a decidere delle sorti dei loro simili, a loro importa conoscere i principi di una scienza che fa apprezzare, nel modo piu' esatto possibile, la probabilita' delle testimonianze, e quella che risulta dalle circostanze che accompagnano i fatti; a loro importa soprattutto imparare a non fidarsi delle intuizioni, anche delle piu verosimili; e niente piu' adatto a questo scopo che la teoria delle probabilita', dove spesso i risultati rigorosi contraddicono queste intuizioni. D’altra parte, le numerose applicazioni di questa teoria, alla natalita', alla mortalita', alle elezioni e alle assicurazioni, applicazioni che fa comodo conoscere, e che occorre perfezionare ed estendere ad altri aspetti della societa', la rendono una delle parti piu' utili delle conoscenze umane.