SOLSTICE D'HIVER
COLLOQUE TOURNANT DU GDR THÉORIE DE LIE ALGÉBRIQUE 

ORSAY, 7-9 Jan. 2015

                                                                        


                                                                                                             Organisateurs : O. Schiffmann, P. Shan



 ORATEURS

                                    S. ALHARBAT                         C. BONNAFÉ                             T. BOZEC                    L. DREYFUS SCHMIDT            
                                    D. FRATILA                              S. GAUSSENT                           T. GERBER                  T. GOBET    
                                    R. MAKSIMAU                        N. PERRIN                                N. RESSAYRE       
 
     R. STANCU
                                 
  M. THIBAULT                          B. WYSER                                  H. ZHANG
                            

 



PROGRAMME  

        MERCREDI   7 JAN :

        14h00 -- 14h50 : T. GERBER : Séries de Harish-Chandra pour les groupes unitaires finis et graphes cristallins
        15h00 -- 15h50 : T. GOBET : Monoides duaux et algèbres de Hecke
        16h30 -- 17h20 :  T. BOZEC : Variétés de représentations de carquois à boucles et cristaux généralisés.
        17h30 -- 18h20 : S. GAUSSENT : Algèbres de Hecke pour un groupe de Kac-Moody sur un corps valué


        JEUDI   8 JAN :
    
        09H30 -- 10H20 : R. MAKSIMAU : Catégorie O affine et actions catégoriques
        10H30 -- 11H20 : D. FRATILA : La géométrie des G-fibrés semistables et faisceaux d'Eisenstein sphériques pour une courbe elliptique
        11H30 -- 12H20 : S. ALHARBAT : Affine fully commutative elements

        14H00 -- 14H50 : L. DREYFUS SCHMIDT : Catégorification du complexe de Coxeter
        15H00 -- 15H50 : M. THIBAULT : Classification des calculs différentiels bicovariants sur les algèbres de Hopf libres orthogonales
        16H30 -- 17H20 : H. ZHANG : Représentations asymptotiques des super-algèbres affines quantiques de type A
        17H30 -- 18H20 : N. PERRIN : Positivité de la K-théorie quantique des grassmanniennes


        VENDREDI    9 JAN :

        09H30 --10H20 :   C. BONNAFÉ : Catégories dérivées et variétés de Deligne-Lusztig
        10H30 -- 11H20 :  B. WYSER :  Interval pattern avoidance and singularities of Borel orbit closures on symmetric varieties
        11H30 -- 12H20 :  R. STANCU : Extensions de foncteurs de Mackey cohomologiques

        14H00 -- 14H50 : N. RESSAYRE
      


            Tous les exposés ont lieu dans la salle E. LEDERER, Bât. 430, RDC.



RÉSUMÉS

    S. ALHARBAT : Affine fully commutative elements 

We define fully commutative elements in an arbitrary Coxeter group, we describe a  normal form for those elements in type $\tilde A$ and we talk about the applications of  this normal form in type $\tilde A$. Then we talk about the progress in the other affine  cases $\tilde B$, $\tilde C$, $\tilde D$, in particular affine Temperley-Lieb towers and  Kazhdan-Lusztig cells.


    C. BONNAFÉ : Catégories dérivées et variétés de Deligne-Lusztig 

(Travail en commun avec J.-F. Dat et R. Rouquier.) Nous démontrons que le foncteur d'induction de Deligne-Lusztig entre catégories de dérivées de représentations de groupes réductifs finis, tronqué par des séries de Lusztig particulières, ne dépend pas du choix d'un sous-groupe parabolique. Nous esquisserons la preuve de ce résultat et en donnerons quelques applications.


    T. BOZEC : Variétés de représentations de carquois à boucles et cristaux généralisés.

On travaille dans le cadre des carquois arbitraires, pouvant comporter des boucles. L'étude géométrique des variétés carquois de Lusztig, ainsi que des faisceaux pervers associés, permet de définir une algèbre de Hopf généralisant les groupes quantiques, et de la munir d'une base canonique.
 Grâce notamment à l'étude des variétés carquois de Nakajima dans notre cadre, on généralise aussi les cristaux de Kashiwara, dont l'étude permet de munir notre algèbre de Hopf d'une base semi-canonique.


    L. DREYFUS SCHMIDT : Catégorification du complexe de Coxeter

Soit G un groupe réductif fini de caractéristique p. On s'intéresse à une dualité sur les caractères de G, définis par Alvis et Curtis (1980) à partir de l'induction et restriction d'Harish-Chandra. On propose un cadre catégorique qui permettra d'étendre cette dualité en une équivalence dérivée et surtout homotopique. La clé de notre réflexion repose sur une compréhension catégorique de la formule de Mackey.
On pourra alors retrouver et étendre des résultats de Cabanes-Rickard ainsi que Linckelmann-Schroll sur la dualité d'Alvis-Curtis pour les algèbres de Iwahori-Hecke.


    D. FRATILA : La géométrie des G-fibrés semistable sur une courbe elliptique et 
faisceaux d'Eisenstein sphériques 

Dans cet exposé je présenterai quelques résultats sur la géométrie du champs des G-
fibrés semistables sur une courbe elliptique. Ensuite, j'expliquerai comment les utiliser 
pour construire de nouveaux faisceaux automorphes simples sommands directs des 
faisceaux d'Eisenstein sphériques. Si le temps le permet, je donnerai une autre 
application sur la déscription de l'espace de modules des G-fibrés semistables sur une 
courbe elliptique.


    S. GAUSSENT : Algèbres de Hecke pour un groupe de Kac-Moody sur un corps valué

Les algèbres de Hecke ou d'Iwahori-Hecke associées à un groupe réductif sur un corps local sont bien connues et ont donné lieu à de nombreuses applications en théorie des représentations. Dans le cas d'un groupe de Kac-Moody affine, elles ont été définies par Braverman, Kazhdan et d'autres co-auteurs. Dans l'exposé, je donnerai leur construction en général en utilisant la notion de masure dont je rappellerai la définition. La masure est construite comme les immeubles de Bruhat-Tits mais à partir d'un groupe de Kac-Moody. Il s'agit d'un travail en commun avec Nicole Bardy-Panse et Guy Rousseau.


    T. GERBER : Séries de Harish-Chandra pour les groupes unitaires finis et graphes cristallins 


La théorie de Harish-Chandra fournit un moyen de paramétrer les représentations irréductibles d'un groupe G de type Lie en caractéristique transverse. Dans cet exposé, on se focalise sur le cas où G est un groupe unitaire fini, dont on cherche à déterminer les séries de Harish-Chandra. Dans ce contexte, il est classique de se restreindre aux représentations unipotentes, qui sont paramétrées par les partitions. Ceci donne lieu à une approche combinatoire.  Après avoir introduit d'une part le graphe de branchement (au sens de Harish-Chandra) pour les représentations unipotentes de G, et d'autre part l'espace de Fock de niveau 2 et son graphe cristallin, j'expliquerai comment ces deux graphes sont conjecturellement reliés, et quelles nouvelles informations cela apporte.


    T. GOBET : Monoïdes duaux et algèbres de Hecke 

L’idée de la théorie de Coxeter duale consiste à regarder les groupes de Coxeter finis et leurs groupes de tresses comme étant engendrés par l'ensemble de toutes les réflexions au lieu de celles dun seul système simple. L'un des outils est un analogue au monoïde de tresses positif appelé monoïde dual et introduit par Bessis. L'une des questions ouvertes liées à ces objets est une compréhension des algèbres de Hecke dun point de vue dual. Nous évoquerons les quelques résultats connus et de récents progrès sur le sujet, incluant (en certains types) des liens avec les quotients de Temperley-Lieb des algèbres de Hecke.


    R. MAKSIMAU : Catégorie O affine et actions catégoriques 

On considère la catégorie O affine parabolique pour gl_n de niveau -e-n. Il y a des foncteurs E, F : O-->O qui donnent une action catégorique de sl_e affine sur O. Mon but initial est d’identifier les foncteurs duaux de Koszul pour les foncteurs E et F. Pour cela on doit décomposer E et F en produit de “plus petits” foncteurs. Dans mon exposé j’explique la technique que j'utilise pour décomposer E et F. L’essentiel est que je démontre que l’algèbre KLR d’un e-cycle est isomorphe à un sous-quotient de l'algèbre KRL d’un (e+1)-cycle.


    N. PERRIN : Positivité de la K-théorie quantique des grassmanniennes

(en commun avec A. Buch, P.-E. Chaput et L. Mihalcea). Il existe de nombreux résultats de positivité pour le calcul de Schubert. Dans cet exposé j'expliquerai comment des énoncés géométriques notamment de connexité rationelle permettent d'obtenir des résultats de positivité en K-théorie quantique.


   R. STANCU : Extensions de foncteurs de Mackey cohomologiques 

Un foncteur de Mackey d'un groupe fini G sur un anneau commutatif k est une correspondance qui associe à tout sous-groupe de G un k-module. Cette correspondance est accompagnée des applications de restriction, transfert et conjugaison qui satisfont des relations usuelles de composition et la célèbre formule de Mackey. Un foncteur de Mackey est dit cohomologique si la restriction suivie par le transfert entre deux sous-groupes H et K de G, H contenu dans K, est égale à la multiplication par l'indice |H:K|. Les foncteurs de Mackey (cohomologiques) de G peuvent être vus comme de modules sur l'algèbre de Mackey (cohomologique) de G. Ces algèbres ont de nombreuses ressemblances avec l'algèbre du groupe G, et la plupart des constructions et propriétés classiques relatives aux kG-modules s'étendent aux foncteurs de Mackey (projectivité relative, vortex et source, correspondance de Green, etc...). Il y a toutefois des différences importantes : par exemple, l'algèbre de Mackey n'est presque jamais symétrique. Dans cet exposé, qui présente un travail en collaboration avec Serge Bouc, je vais donner une présentation d'une algèbre d'extensions de foncteurs de Mackey cohomologiques. Létude de cette algèbre est lié à la croissance des résolutions projectives minimales dans la catégorie des foncteurs de Mackey cohomologiques.


    M. THIBAULT : Classification des calculs différentiels bicovariants sur les algèbres de Hopf libres orthogonales

J'expliquerai dans cet exposé comment peut être obtenue la classification des calculs différentiels bicovariants sur certaines algèbres de Hopf, dites libres orthogonales.
Une des étape fondamentales dans cette classification est de montrer que deux algèbres de Hopf monoïdalement équivalentes ont des catégories de calculs différentiels bicovariants équivalentes.
Les algèbres de Hopf libres orthogonales étant monoïdalement équivalentes à O_q(SL_2) pour un certain q, le problème est alors ramené à la classification des calculs différentiels bicovariants sur O_q(SL_2).


    B. WYSER :  Interval pattern avoidance and singularities of Borel orbit closures on symmetric varieties

It is a well-known result of Lakshmibai-Sandhya that smoothness of a type A Schubert variety $X_w$ is equivalent to the indexing permutation $w$ avoiding the patterns $3412$ and $4231$.  However, some more general local properties of Schubert varieties, such as Gorensteinness, cannot be explained solely in terms of ordinary pattern avoidance.  I will recall earlier work of Alexander Woo and Alexander Yong which introduced the more general notion of ``interval pattern avoidance'', which can be used to characterize which Schubert varieties possess any ``reasonable" local property $\mathcal{P}$, as well as to describe the (non)-$\mathcal{P}$ locus of any given Schubert variety.

I will then describe my own recent work, joint with Woo and Yong, which shows that a suitably modified notion of interval pattern avoidance similarly governs "reasonable" local properties of Borel orbit closures on the symmetric space $G/K$, where $G=GL(p+q,\C)$, and $K=GL(p,\C) \times GL(q,\C)$.  The key geometric result is an isomorphism between ``attractive slices" of a pair of orbit closures in the case of an interval embedding.  These slices are analogues of Kazhdan-Lusztig varieties, which play the same role in the Schubert case.

    
    H. ZHANG : Représentations asymptotiques des super-algèbres affines quantiques de type A.

Pour la super-algèbre affine quantique associée à la super-algèbre de Lie gl(M,N), nous construisons des systèmes inductifs de modules de Kirillov-Reshetikhin et munissons leurs limites inductives de plusieurs structures de module: sur la sous-algèbre de Borel dans l'esprit des travaux de Hernandez-Jimbo, et sur la super-algèbre affine quantique entière. Puis, nous donnons des applications sur les représentations de la super-algèbre quantique associée à gl(M,N).



Pour tout renseignement, veuillez vous addresser à : P. Shan (pengshan-@-gmail.com) ou O. Schiffmann (olivier.schiffmann-@-gmail.com)