Η ύλη του μαθήματος θα αποτελεί υποσύνολο των παρακάτω.
1. Εξισώσεις πρώτης τάξης: μέθοδος χαρακτηριστικών, πρόβλημα Cauchy για γραμμικές και μη γραμμικές εξισώσεις (Hopf), ύπαρξη λύσης. Συστήματα εξισώσεων πρώτης τάξης σε απλές περιπτώσεις. Μελέτη θραύσης.
2. Καλώς τεθημένα προβλήματα.
3. Πρόβλημα Cauchy για κυματική εξίσωση, αναπαράσταση της λύσης μέσω του θεωρήματος της απόκλισης στον κώνο εξάρτησης, ενεργειακές εκτιμήσεις.
4. Αρχή του μεγίστου για την εξίσωση Laplace, ταυτότητες Green, ενεργειακές εκτιμήσεις.
5. Αρχή του μεγίστου για την εξίσωση θερμότητας, ενεργειακές εκτιμήσεις
6. Πρόβλημα Cauchy για την εξίσωση θερμότητας (n=1), θεμελιώδης λύση.
7. Μέθοδος Fourier για εξίσωση θερμότητας και κυματική εξίσωση σε φραγμένα χωρία, θεμελίωση της μεθόδου (σύγκλιση των σειρών), βασικά στοιχεία Αρμονικής Ανάλυσης.
8. Μετασχηματισμός Fourier και εφαρμογές στο πρόβλημα Cauchy για γραμμικές ΜΔΕ.
9. Μετασχηματισμός Laplace και εφαρμογές σε γραμμικές ΜΔΕ.
Συγγράματα
J.David Logan, ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΠΕΚ