Теми курсу
Основи диференціального числення функцій декількох змінних.
1.1 Вступ до теорії функцій декількох змінних. m-кратний декартовий добуток множини дійсних чисел і евклідова структура у ньому. Скалярний добуток та його властивості, норма та метрика, їх властивості. Нерівність для метрики. Кульковий та прямокутний окіл. Лема про еквівалентність топологій заданих через кульковий та прямокутний окіл. Послідовності у просторі довільної скінченної розмірності та їх збіжність. Критерій збіжності послідовності мовою компонент (по-координатна збіжність). Критерій Коші збіжності послідовності. Поняття границі функції багатьох змінних. Теорема про еквівалентність означень за Коші і за Гейне в m-мірному просторі. Повторні границі. Приклади та контрприклади.
1.2 Неперервність функції декількох змінних. Відкриті та замкнені множини. Теореми про властивості відкритих та замкнених множин. Гранична точка множини. Теорема про характеризацію граничних точок через збіжну послідовність. Означення компактності множини. Обмеженість та замкненість компактної множини. Лема про компактність замкненої підмножини компакту. Теорема про компактність m-мірного бруса. Критерій компактності у скінченновимірному просторі. Означення компактності через послідовності. Означення неперервності функції декількох змінних в точці та на множині. Характеризація неперервності в термінах відкритих множин. Властивості границь та неперервних функцій. Теорема про неперервність складеної функції (неперервність композиції функцій). Властивості образа та прообраза відображення. Теорема про компактність образу компактної множини при неперервному відображенні. Наслідок про досягнення неперервною функцією на компакті свого найбільшого та найменшого значення. Рівномірна неперервніть функцій (означення через техніку
та , означення в термінах коливання функції). Теорема Кантора-Гейне про рівномірну неперерність неперервної функції на компакті.
1.3 Поняття диференційованості функції декількох змінних. Означення похідної функції в точці за напрямком. Властивості похідних за напрямком. Теорема про середнє. Частинні похідні. Градієнт функції. Означення лінійного функціонала. Лема про представлення лінійного функціонала в термінах скалярного добутку. Означення диференційовності функції в точці (через границю, в термінах "о"-маленьке.) Приклади та контрприклади. Теорема про представлення похідної за напрямком в термінах градієнта функції/частинних похідних. Повний диференціал скалярної функції. Його представлення в термінах частинних похідних. Лема про неперервність диференційовної функції. Достатні умови диференційовності функції деклькох змінних в точці. Властивості диференційовних функцій. Теорема про диференційовність складеної функції. Геометричний зміст частинних похідних. Рівняння дотичної площини до поверхні, що задана явно. Означення частинних похідних другого та вищих порядків. Теорема про достатні умови рівності частинних похідних. Формула Тейлора.
1.4 Поняття диференційованості вектор-функції декількох змінних (відображення) Матриця лінійного оператора. Неперервність лінійного оператора в нулі. Означення диференційовності вектор-функції декількох змінних (відображення) у точці. Похідна лінійного відображення. Критерій диференційовності відображення мовою компонент. Матриця Якобі та якобіан відображення. Точки виродження відображення. Властивості диференційовних відображень.
1.5 Теореми про неявну та обернену функції. Означення метричного простору. Теорема Банаха про нерухому точку. Теорема про середнє для відображнь. Теорема про неявну функцію. Теорема про диференційовність неявної функції. Формула для похідної неявної функції. Теорема про обернену функцію. Властивість якобіанів взаємно обернених відображень.
1.6 Екстремуми функцій багатьох змінних. Означення строгого локального максимуму (мінімуму) функції. Абсолютний максимум (мінімум). Поняття строгого локального ектремуму. Необхідна умова локального екстремуму. Критичні точки. Достатня умова локального екстремуму. Означення локального умовного екстремуму. Необхідна умова локального умовного екстремуму (правило множників Лагранжа). Достатня умова локального умовного екстремуму.
Основи інтегрального числення функцій декількох змінних.
2.1 Функції, які задаються за допомогою інтегралів. Теорема про неперервність власного інтеграла по параметру. Теорема про диференційовність власного інтеграла по параметру. Теорема про інтегровність власного інтеграла по параметру (зміна порядку інтегрування).
2.2 Рівномірна збіжність та умови комутативності двох граничних переходів. Означення рівномірної та поточкої збіжності сім'ї функцій. Приклади. Критерій Коші рівномірної збіжності. Неперервність рівномірної границі неперервних функцій. Інтегровність рівномірної границі інтегровних функцій (на скінченному проміжку). Перехід до границі під знаком власного інтеграла.
2.3 Невласні інтеграли, що залежать від параметру та їх рівномірна збіжність. Означення рівномірної збіжності невласного інтеграла на множині параметрів. Приклади. Ознака Вейерштрасса, Абеля та Діріхле рівномірної збіжності невласних інтегралів. Неперервність невласного інтегарла по параметру. Граничний перехід під знаком невласного інтеграла. Інтегрування невласного інтеграла по параметру (параметр належить скінченному проміжку). Диференціювання невласного інтеграла по параметру. Інтегрування невласного інтеграла по параметру (параметр належить нескінченному проміжку). Гамма та Бета функції: означення та основні властивості.
2.4 Інтеграл Рімана для функції декількох змінних.
Брус, міра бруса, розбиття, діаметр розбиття. Розбиття з міченими точками. Нижня та верхня суми Дарбу, інтегральна сума Рімана для скалярної функції декількох змінних на брусі. Їхні властивості. Нижній та верхній інтеграли. Означення функції, інтегровної за Ріманом на брусі. Критерій інтегровності функції (на брусі). Критерій Дарбу. Інтегровність неперервної функції на брусі. Властивості m-кратного інтеграла. Теорема про середнє для інтеграла від неперервної функції на брусі. Означення множини міри нуль в сенсі Лебега і Жордана. Приклади. Критерій Лебега про інтегровність за Ріманом (без доведення).
2.5 Інтегровність функцій на брусі. Теорема про інтегровність неперервної на брусі функції. Основні властивості інтеграла по брусі: інтеграл від сталої, інтегровність лінійної комбінації інтегровних функцій, монотонність інтеграла, оцінка модуля інтеграла, оцінка інтеграла знизу та зверху, теорема про середнє для неперервної на брусі функції.
2.6 Неістотні множини. Критерій Лебега на брусі. Властивості неістотних множин: неістотність підмножини неістотної множини, неістотність не більш, ніж зліченого об’єднання неістотних множин. Критерій Лебега інтегровності функції за Ріманом на брусі (без доведення).
2.7 Інтеграл Рімана по довільній обмеженій множині. Внутрішні, зовнішні, межові точки множини. Допустима множина. Означення інтеграла Рімана по довільній допустимій множині. Критерій інтегровності функції по довільній допустимій множині. Основні властивості інтеграла по довільній допустимій множині. Міра Жордана. Кратний та повторний інтеграли. Теорема Фубіні для інтеграла по брусу. Теорема Фубіні для інтеграла по довільній циліндричній множині.
2.8 Формула заміни змінних. Відображення областей. Якобіан відображення. Координатні лінії.
Криволінійні координати. Приклади. Формула заміни змінних у кратному інтегралі. Міра (площа) множини в криволінійних координатах (в термінах інтеграла). Основні криволінійні координати: полярні, циліндричні, сферичні; їх узагальнення, визначники Якобі для них.
2.9 Інтегрування на многовидах. Допустимі перетворення координат та допустимі координатні простори. Орієнтація множини Приклади. Дотичне розшарування . Координатні лінії в R^k. Елементарний гладенький многовид. Параметризація многовида. Приклади. Теорема про неявне задання многовида. Орієнтація многовида. Приклади. Дотичний простір та дотичне розшарування многовида. Теорема про харатеризацію дотичного простору в точці через вектори швидкості кривих. Рівняння дотичного простору до многовида, заданого неявно. Ветор нормалі до многовиду. Об'єм паралелепіпеда, натягнутого на вектори. Об'єм (міра) многовида. Криволінійні інтеграл 1-го та 2-го роду. Формула Гріна. Поверхневі інтеграли 1-го та 2-го роду. Формула Гаусса-Остроградського. Основні операції теорії поля: дифергенція, ротор, потік вектороного поля, циркуляція. Векторні лінії векторного поля. Формула Стокса. Представлення дивергенції та ротора поля як границі по області, що стискається в точку.