Neste trabalho, estudamos problemas matemáticos da mecânica de fluidos não-Newtonianos. Provamos a existência de soluções generalizadas, em espaços funcionais de Sobolev adequados, de inequações e equações quase-variacionais, utilizando teoremas de ponto fixo. As inequações variacionais são motivadas por relações constitutivas envolvendo a noção de subdiferencial da análise convexa. Utilizamos métodos variacionais da teoria das equações com derivadas parciais lineares e não lineares. Procuramos assim obter a consistência matemática de problemas suscitados pela física e pela engenharia.

Na primeira secção do primeiro capítulo, discriminamos as motivações e referências  para este trabalho, e, em simultâneo, expomos outras técnicas existentes; enquanto que nas restantes secções apresentamos um resumo  da teoria de mecânica de fluidos útil à descrição deste trabalho.

No segundo capítulo, fixamos a terminologia e as notações adoptadas e fornecemos vários resultados, e respetivas referências, indispensáveis à compreensão dos capítulos seguintes.

Nos capítulos 3 (caso estacionário) e 4 (caso de evolução) demonstramos  resultados de existência de soluções generalizadas de sistemas constituídos por equações e inequações não lineares com derivadas parciais. Para a classe de fluidos considerada, estabelecemos uma relação não linear entre a energia e a temperatura. Não negligenciamos os termos convectivos tanto na equação do movimento como na equação da energia. Estudamos ainda a existência de solução de um problema acoplado onde a equação da energia é do tipo q-Laplaciano e associa uma condição de Neumann não linear numa parte da fronteira do domínio.

Cada um dos capítulos anteriores é dividido em três secções:

• a primeira, na qual apresentamos a formulação do problema;

• a segunda, na qual abordamos três problemas auxiliares correspondentes às partes inerentes do sistema inicial. Para resolver cada um destes novos problemas, desenvolvemos diferentes técnicas, já conhecidas, mas agrupadas de um modo que lhe é próprio, de forma a obtermos novos resultados de existência;

• e a terceira e última, na qual provamos os resultados finais.

No quinto e último capítulo, resolvemos um problema, estacionário e de evolução, para um escoamento da mesma classe de fluidos mas com atrito não local numa parte da fronteira.