Embedded Files
E-mail: berez.by@yandex.ru
Василий В. Кнышев (Кныш)
О симметрии дифференцируемых функций
Аннотация. Определение невырожденной функции. Благодаря этому получен второй закон Ньютона третьего порядка. А также уравнения движения частицы в центральном поле.
1. Функция вырождена, если она не обратима на любом субинтервале интервала ее определения. Примером вырожденной функции является константа.
Пусть функция не является вырожденной. Тогда существует хотя бы один субинтервал, где она обратима. После выбрасывания всех таких субинтервалов обратимости останется множество.
Если это множество не содержит субинтервалов, то функцию называем невырожденной. Пример sinx.
Если это множество содержит субинтервалы, то функцию называем полувырожденной.
Поскольку полувырожденная (невырожденная ее частный случай) функция является отрицанием вырожденной, то любая функция попадает в один из упомянутых классов.
Основная теорема. Интервал есть сумма конечного или счетного числа попарно не пересекающихся интервалов.
Другое определение.
Если существует сумма интервалов, на каждом из которых функция строго монотонна(обратима), то ее называем невырожденной.
Если для любой суммы интервалов хотя бы на одном она не строго монотонна(необратима), то называем ее вырожденной.
Таким образом, у невырожденной функции интервал ее определения распадается на сумму смежных субинтервалов , на каждом из которых она строго монотонна. По теореме Лебега такая функция на субинтервале почти всюду имеет конечную производную. Отсюда основное тождество
(1) f(x) g(y) = 1,
где f и g сопряженные производные прямой и обратной функции на субинтервале. Любая из этих производных не может быть нулем почти всюду, иначе ее сопряженная почти всюду не конечна, что противоречит теореме Лебега.
Пусть производная невырождена, тогда на субинтервалах
(2) y(x)=g’(1/f(x)) и x(y)=f ’(1/g(y)).
Учитывая непрерывность примитивных равенства можно продолжить на разрывное множество. После дифференцирования на субинтервалах получим уравнения неподвижности
(3) [f ’(1/g(y))]/=g(y) и [g’(1/f(x))]/=f(x).
2. Если функция не является строго монотонной на субинтервале , то она не может быть обратимой, то есть является вырожденной. Для функций не строго монотонных на любом субинтервале, для точек, где
есть хотя бы одна пара точек, где
.
Переходим к пределу по каждому виду таких точек для вложенных субинтервалов. Тогда, если производная существует и конечна, то она обязана быть нулем.
3. Пусть производная невырождена. Тогда на субинтервале F(x) =g’(1/f(x)). Причем f одного строгого знака и строго монотонна, поскольку обратима вместе с g. Пусть g’(1/a), где субинтервал значений f совпадает с a, представима рядом Тейлора по 1/a. Заменим в разложении a=f(x) и a0=f(x0)
Пусть g’(1/a) представима рядом Тейлора по a, тогда
Находим коэффициенты. Из (1) g’/(1/f)=g’/(g)=1/g/. Величина g/ находится из g=1/ f дифференцированием по y g/=-f // f 3. Отсюда
g’/ (1/f)=-f 3/ f /.
Для нахождения дальнейших коэффициентов (4) надо дифференцировать последнее равенство по x и делить на -f / / f 2. А с результатом проделывать то же. Умножим обе части последнего равенства на -1/ f 2, получим
Для нахождения дальнейших коэффициентов (5) надо дифференцировать обе части последнего равенства по x и делить на f /. А с результатом проделывать то же.
Используя фундаментальное уравнение можно разложить на субинтервале приращение производной f и 1/f по степеням приращения примитивной.
4. Пусть дана невырожденная производная f(x). Для нахождения на субинтервале сопряженной g(y) рассмотрим уравнение неподвижности в котором предположим дифференцирование возможным
Это операторное уравнение относительно g. Рассмотрим итерации
где величина f /(x)/f(x) является неизменной при итерациях, g0(y) начальная точка, а x и y произвольные допустимые.
Пусть условия при которых итерации дают единственную неподвижную точку G(x,y) выполнены.
Если x=x(y) в (6) есть примитивная для искомой g(y) то (6) равносильно (3). Тогда единственная g(y)=G(x(y),y).
Тогда после подстановки G(x(y),y) в фундаментальное
f(x) G(x,y) = 1,
оно неявно задает примитивную y(x). Таким образом примитивную можно находить без интегрирования-суммирования.
Если производная вырождена на субинтервале, то этот способ нахождения примитивной возможно неприменим. Однако ее примитивная, как и примитивная невырожденной, является абсолютно непрерывной функцией. Поэтому вырожденная поддается интегрированию Лебега.
5. Фундаментальное уравнение (1) называем уравнением нулевого порядка. Для определенности сопряженные считаем положительными. Тогда
lnf(x) + lng(y) = 0.
Фундаментальные следующих порядков получаются дифференцированием предыдущих и приведением их к виду с равноразделенными f и g. Дифференцируем последнее по x (по y действия аналогичны)
f // f + g //g 2=0
Умножим его на -1/2sqr(f)=-sqr(g)/2, получим единообразное представление фундаментального первого порядка
Дифференцируем его по x или y. Обозначив оператор 1/sqr(...)=u(...) получим фундаментальное второго порядка
(8) uxx u+ uyy u = 0.
Фундаментальные следующих порядков получаются аналогично. Для фундаментального любого порядка определено понятие вырожденности и невырожденности. Если оно не вырождено, то можно выразить x и y и перейти к соответствующему уравнению неподвижности типа (3). Вырожденность будем понимать упрощенно - как равенство слагаемого некоторой ненулевой константе. Рассмотрение вырожденных фундаментальных приводит к некоторым функциям. Так, рассмотрение вырожденного исходного приводит к линейной функции.
6. Пусть x(t) невырожденная функция с соответствующими производными. Тогда
Тогда имеет место тождество
Если существует соответствующая функция F, то имеем второй закон Ньютона
При этом
Таким же образом
(11)
Все принципы механики лежат между вторым законом Ньютона второго и третьего порядка?
Закон Галилея. Если Fxx = Fyy = Fzz = 0, то движение равноускоренно. При этом v^2/2 = a + bx +
cy + dz.
Пусть F=F(r), дифференцируем обе части (11) по x, y, z.
7. Общий вид силы тяготения F(r).
Правая часть последнего равенства есть некоторая функция от r. Решение этого линейного неоднород-
ного дифференциального уравнения дает общий вид силы тяготения F'=const/r^2+что-то.
Дополнение. Таким же образом вычисляем силы тяготения не только для трехмерного пространства: c/r, c/r^2, c/r^3... Известно, что c/r^2 в трехмерном пространстве порождает замкнутые траектории, а другие не устойчивы. Может поэтому наш физический мир трехмерен?
8. F=F(r), вычисляем оператор
Правая часть последнего равенства есть некоторая функция от r. Решение этого линейного неоднород-
ного дифференциального уравнения дает общий вид силы тяготения высшего порядка F'=с1r+с2/r^6. Тяготение центра галактики?
9. F'(r)=p/r^2, v^2/2=F+const
10. F'(r)=p/r^2, v^2/2=F+a+bx+cy+dz
Величина (b,c,d) характеризует мгновенное изменение энергии.
11. F'(r)=p/r^2, v^2/2=F+a+bx+cy+dz+exy+hxz+kyz+lxyz
Эта система из трех уравнений относительно трех неизвестных определяет движение частицы в общем виде.
12. Новые переменные
13.Закон Площадей для v^2/2=F(r)+const
14.Законы Галилея. Закон о равномерном прямолинейном движении есть следствие второго Закона Ньютона: Fx=Fy=Fz=0. Следующий закон Галилея есть следствие второго Закона Ньютона третьего порядка: Fxx=Fyy=Fzz=0. Законы Ньютона следующих порядков не дают новых Законов Галилея.
15. Замечание. Хвост энергии скорее будет таким a+bx+cy+dz?
Публикация
http://journale.auris-verlag.de/index.php/EESJ/article/view/336/334
http://www.geocities.ws/knyshus/
http://lchr.org/d/science/physics/classical-mechanics/
сс
Page updated
Google Sites
Report abuse