Загрузка заметки

E-mail: knysh2@yandex.ru

В. В. Кныш

О симметрии дифференцируемых функций

В определении дифференцирования рассматривается предел по одной (“независимой”) переменной от отношения приращений. И ничего не утверждается относительно предела по другой переменной (“функции”). Означает ли это некоторую неполноту определения? Введение определения требующего существования сразу двух пределов дает новые возможности в определении обратной дифференцированию операции через прямую в виде формул (1)-(3). И позволяетнаходить примитивную без интегрирования суммирования.

1. Функцию y=y(x) называем дифференцируемой в (x₀,y₀ ), где y₀ = y(x₀), если существуют и конечны сразу два предела:

В точке (x₀,y₀), где такая дифференцируемость имеет место, функция y=y(x) является биективной. Иначе один из этих пределов не имеет смысла.

Пусть функция y=y(x)=F(x) дифференцируема таким образом на интервале. Как дифференцируемая она непрерывна и биективна. Поэтому она строго монотонна и имеет обратную F’(y). Тогда x->x₀ равносильно y->y₀. Рассмотрим

(y(x)-y(x₀))/(x-x₀)=1/[(x(y)-x(y₀))/(y-y₀)].

При x->x₀ предел правой части существует и конечен. Поскольку x->x₀ равносильно y->y₀, то то же имеет место и для правой части. Отсюда фундаментальное уравнение

(1) f(x) g(y) = 1,

где f и g сопряженные производные прямой и обратной функции. Каждая конечна, следовательно не может иметь нулевых значений и принимая все промежуточные значения имеет один строгий знак.

Рассмотрим (1) как уравнение при известных производных f или g. Это приводит к необходимости обсуждения обратимости производных. Если g обратима, то g(F(x)) = 1/f(x), где F(x) обратима. Тогда f тоже обратима. То есть сопряженные обратимы одновременно. Отсюда определение.

Производная (или любая функция определенная на интервале) вырождена если она необратима на любом подинтервале интервала ее определения. Примером функции с вырожденной производной и, соответственно, уравнением (1) является линейная функция.

Пусть производная не является вырожденной. Тогда существует хотя бы один подинтервал, как можно больший, где производная обратима. После выбрасывания всех таких подинтервалов обратимости останется множество.

Если оно разрывно, то производную называем невырожденной.Пример sinx.

Если оно не разрывно, то содержит в себе подинтервалы. На любом из них она вырождена. Выбросим все такие подинтервалы вырожденности. Оставшееся множество разрывно, а такую производную называем полувырожденной.

Поскольку полувырожденная (невырожденная ее частный случай) производная является отрицанием вырожденной, то любая производная 1 попадает в один из упомянутых классов.

Пусть производная невырождена, тогда на подинтервалах

(2) y(x)=g’(1/f(x)) и x(y)=f ’(1/g(y)).

Учитывая непрерывность примитивных равенства можно продолжить на разрывное множество. После дифференцирования на подинтервалах получим уравнения неподвижности

(3) [f ’(1/g(y))]^/=g(y) и [g’(1/f(x))]^/=f(x).

Добавление. Из 1 следует что дифференцируемая на интервале F(x) обратима то есть невырожденная. Для непрерывной вырожденной на интервале функции определим дифференцирование как обычно одним пределом.

2. Более общий класс функций дифференцируемых 1 на подинтервалах интервала определения, а в точках дополнительного разрывного множества имеющих один из двух вышеупомянутых пределов нуль.

3. Пусть производная невырождена. Тогда на подинтервале F(x) = g’(1/f(x)). Причем f одного строгого знака и строго монотонна, поскольку обратима вместе с g. Пусть g’(1/a), где подинтервал значений f совпадает с a, представима рядом Тейлора по 1/a. Заменим в разложении a=f(x) и a₀=f(x₀)

Пусть g’(1/a) представима рядом Тейлора по a, тогда

Находим коэффициенты. Из (1) g’^/(1/f)=g’^/(g)=1/g^/. Величина g^/ находится из g=1/ f дифференцированием по y g^/=-f ^// f ³. Отсюда

g’^/ (1/f)=-f ³/ f ^/.

Для нахождения дальнейших коэффициентов (4) надо дифференцировать последнее равенство по x и делить на -f ^/ / f ². А с результатом проделывать то же. Умножим обе части последнего равенства на -1/ f ², получим

Для нахождения дальнейших коэффициентов (5) надо дифференцировать обе части последнего равенства по x и делить на f ^/. А с результатом проделывать то же.

Используя фундаментальное уравнение можно разложить на подинтервале приращение производной f и 1/f по степеням приращения примитивной.

4. Пусть дана невырожденная производная f(x). Для нахождения на подинтервале сопряженной g(y) рассмотрим уравнение неподвижности в котором предположим дифференцирование возможным

Это операторное уравнение относительно g. Рассмотрим итерации

где величина f ^/(x)/f(x) является неизменной при итерациях, g₀(y) начальная точка, а x и y произвольные допустимые.

Пусть условия при которых итерации дают единственную неподвижную точку G(x,y) выполнены.

Если x=x(y) в (6) есть примитивная для искомой g(y) то (6) равносильно (3). Тогда единственная g(y)=G(x(y),y).

Тогда после подстановки G(x(y),y) в фундаментальное

f(x) G(x,y) = 1,

оно неявно задает примитивную y(x). Таким образом примитивную можно находить без интегрирования-суммирования.

Поскольку уравнение неподвижности получается из фундаментального, то на основании фундаментального есть возможность подбирать оператор для итераций. Пусть h некоторая известная функция. Тогда h(fg) = h(1). Отсюда можно выразить g для итераций или использовать метод Ньютона-Канторовича.

Уравнение (6) и подбор оператора можно также использовать для нахождения решений обыкновенного дифференциального уравнения.

Если производная вырождена на подинтервале, то этот способ нахождения примитивной возможно неприменим. Однако ее примитивная, как и примитивная невырожденной, является абсолютно непрерывной функцией. Поэтому вырожденная поддается интегрированию Лебега.

5. Фундаментальное уравнение (1) называем уравнением нулевого порядка. Для определенности сопряженные считаем положительными. Тогда

lnf(x) + lng(y) = 0.

Фундаментальные следующих порядков получаются дифференцированием предыдущих и приведением их к виду с равноразделенными f и g. Дифференцируем последнее по x (по y действия аналогичны)

f ^// f + g ^//g ²=0

Умножим его на -1/2sqr(f) = - sqr(g)/2, получим единообразное представление фундаментального первого порядка

Дифференцируем его по x или y. Обозначив оператор 1/sqr(...)=u(...) получим фундаментальное второго порядка

(8) u_xx u+ u_yy u = 0.

Фундаментальные следующих порядков получаются аналогично. Для фундаментального любого порядка определено понятие вырожденности и невырожденности. Если оно невырождено, то можно выразить x и y и перейти к соответствующему уравнению неподвижности типа (3). Вырожденность будем понимать упрощенно - как равенство слагаемого некоторой ненулевой константе. Рассмотрение вырожденных фундаментальных приводит к некоторым функциям. Так, рассмотрение вырожденного исходного приводит к линейной функции.Равномерное прямолинейное движение.

Рассмотрим вырожденное фундаментальное первого порядка. Каждое из слагаемых это, как и вырожденном исходном, ненулевая конечная константа разных знаков для каждого. Пусть

тогда его общее решение имеет вид (1/m^2=M)

Считая произвольную постоянную C сколь угодно большой получим f=M/x². M по определению есть масса(заряд). С универсальная кинематическая постоянная. Если М сколь угодно большая получим f=const. То есть ускорение постоянно.Очень важно что при интегрировании знак перед const неизменен и идет в уравнение сохранения энергии. Поэтому кривая энергии для f=const имеет ту же форму как для f=M/x ² . Следовательно траектории находятся в кольце, но не замкнуты (как и у Меркурия). Очевидно что общее решение (#) для малых p= M/C имеет незамкнутые траектории находящиеся в кольце. То есть предлагается f=M/(x+p) ² для описания плоского движения любой планеты. Разложение по степеням p дает M/x ² и M/x ² +a/x ³ .

Рассмотрим вырожденное второго порядка, тогда u_xx u=1/E=e, где E характеризует величину более высокого порядка чем ту, которая задана M. Понизим порядок уравнения

u^/2 =1/M + 2ln u/E.

После перехода к f

(*) f ^/2= 4f ³ (1/M - ln f/ E ).

Проверка показывает, что f=a/x² + b/x³ которая может использоваться для описания движения Меркурия приблизительно удовлетворяет последнему уравнению, которое следовательно тоже способно описать это движение. Пусть e=0=u''u -> u'=const. Это второй порядок. Пусть m=const=0 -> f=const.Это первый порядок.

В предыдущих рассмотрениях в 5 x это расстояние r, а y=t время и t=t(r) функция рассотяния.

Приложение. Функция f во втором случае есть ускорение заданное точкой М, а ее примитивная - потенциал. По симметрии f=1/g и g=1/f можно рассматривать два равенства как одно. Положим y=t тогда

Второе в векторной форме

Равенства (9)-(10) существуют всегда. Задача (10) где правая часть содержит заранее известные функции есть задача об определении движения или кинематическое (a=F/m) уравнение Ньютона второго порядка.

Если x(t) дифференцируема то выполняются тождества (9)-(10). Это и есть законы Ньютона первого, второго(собственно Ньютона), третьего итд порядков. Умножим второе тождество (9) на массу. Тогда его правую часть можно назвать силой.

Третий порядок на примере (9), где 1/f ² = v ².Третья производная по t от левой части будет равна производной по x от правой умноженной на производную по t от x (v или 1/f(x)).

Потенциальная функция F(x,y,z). Для первого члена в законе Ньютона третьего порядка X^///(t)=(v^2(x)/2)_xt =(v^2(x)/2)_xxv(x)=(v^2/2)_xxv(x). Тогда (v^2/2)_xx=F_xx(x,y,z). Для двух других членов x(t) и z(t) получаются аналогичные равенства.

Энергия. Положим, что все несмешанные производные второго порядка по x,y,z от v^2/2=v^2(x)/2+v^2(y)/2+v^2(z)/2 есть производные функции -F(x,y,z). Дважды интегрируем каждое равенство по соответствующей переменной. Получим три представления для v^2/2+F, которые должны совпадать тождественно. Тогда закон сохранения энергии третьего порядка имеет вид

(11) v^2/2 = F(x,y,z) + a + bx + cy + dz + exy + hxz + kyz + lxyz=F,

где F потенциальная функция.

Прим обозначает производную по t. Если F=F(r), тогда после дифференцирования (11) по x,y,z получим

(12) (x''- b - ey - hz - lyz)/x=(y''-c - ex - kz - lxz)/y=(z''-d - hx - ky - lxy) /z=f(r)/r,

где f некоторая функция.См. (*). (12) вместе с условием сохранения энергии описывает линию тока поля или движениечастицы в пространстве.

Если b=c=d=e=h=k=l=0, тогда (12) описывает движение планеты.

(12) без правой части:

(x''- b - ey - hz - lyz)/x=(y''-c - ex - kz - lxz)/y=(z''-d - hx - ky - lxy) /z.

Это и есть закон Кеплера для пространства.Если b=c=d=e=h=k=l=0, то из этого соотношения можно получить закон Кеплера в классическом виде, при [(v^2/2)_x=x^''(t),...].

Пояснение. Функции f(r)=const,(*),(#) являются уникальными по симметрии среди функций одной переменной. Если их рассматривать в качестве потенциалных функций,то они будут описывать уникальные центральные движения.

6. Область, где правая часть (11) > 0, дает приближение области движения. Поскольку (12) есть следствие (11), то решать надо (11).

7. Два тела. Гравитационная масса M сообщает гравитационной массе m ускорение

a_m= M/(r+p)^2=f_M,

и наоборот

a_M= m/(r+p)^2=f_m.

Откуда ma_m=Ma_M=F, иначе a_mf_m=a_Mf_M=f_mf_M.

Аналогичное последнему должно иметь место для третьего порядка.