Clique em Selecionar arquivo, escolha o arquivo de imagem em seu computador, e depois clique em Generate FlavIcon.ico
Depois faça o download do arquivo compactado.
Descompacte o arquivo (dentro estará o seu ícone com o nome favicon.ico).
Agora acesse seu site no Google Sites. Faça login e vá em Mais > Administrar site. Na barra lateral, clique em Anexos (como na figura abaixo).
Clique em Fazer upload e selecione o arquivo favicon.ico que você criou. Pronto, feito isso o Google Sites irá reconhecer automaticamente seu ícone e irá fazer a mudança.