Решение задач вечерней математической школы при МГУ

Играют двое. Из кучки, где имеется 25 спичек, каждый берёт себе по очереди одну, две или три спички.

Выигрывает тот, у кого в конце игры — после того, как все спички будут разобраны,— окажется чётное число спичек.

Кто выиграет при 2 правильной игре — начинающий или его партнёр?

Как он должен играть, чтобы выиграть?

Как изменится ответ, если считать, что выигрывает забравший нечётное число спичек?

Исследуйте эту игру в общем случае,

когда спичек 2n + 1 и разрешено брать любое число спичек от 1 до m.

Решение — на онлайн уроке репетитора СУНЦ МГУ Алексея Э. Султанова

Рассмотрим следующие свойства тетраэдра

(справка онлайн репетитора:

тетраэдр — это произвольная треугольная пирамида):

• 1. • все грани одной площади;

  2. • каждое ребро равно противоположному;

  3. • все грани конгруэнтны;

  4. • центры описанной и вписанной сфер совпадают;

  5. • для любой вершины тетраэдра сумма величин, сходящихся в этой вершине плоских углов, равна 180

Докажите, что все эти свойства эквивалентны.

Найдите ещё несколько равносильных им свойств тетраэдра.