Hugo Tavares - PDE 2021/22

A modelação matemática é uma das maneiras mais eficientes de compreender fenómenos observáveis e de prever desenvolvimentos futuros. Muitos desses modelos são formulados com o auxílio de Equações com Derivadas Parciais (EDPs), ferramentas matemáticas que captam a essência de mudanças em relação a variáveis contínuas (por exemplo, tempo, espaço ou preço) de certos fenómenos sujeitos a algumas leis como difusão, reação, transporte, competição/cooperação, etc. Assim, as EDPs podem ser utilizadas para modelar uma grande variedade de situações com aplicações à biologia (dinâmica populacional, transmissão de impulsos neurais,...), à física (ondas, mecânica quântica, teoria da relatividade geral, eletromagnetismo, elasticidade,...); à engenharia (vibrações de pontes; dinâmica de fluidos,...) e finanças. Além disso, elas também surgem em diversas outras áreas teóricas, tais como Geometria ou Cálculo de Variações.

Com tantos fenómenos diferentes não há (nem seria expectável) uma teoria geral sobre EDPs. Esta cadeira corresponde portanto a uma introdução fundamental à disciplina, desenvolvendo-se a teoria (tanto a mais "clássica" com soluções regulares, à mais moderna, com a noção de solução "fraca" e sua motivação) em interligação com aplicações. O foco será nas equações de primeira ordem (lineares e quase lineares) e segunda ordem (caso linear), nos fenómenos de transporte, difusão e ondas.

Programa Detalhado

Equações de primeira ordem

Equação do transporte: os casos homogéneo e não homogéneo.

Equações lineares e quase lineares: o método das características para a solução do problema de Cauchy. Leis de evolução. Aplicação à dinâmica de tráfego automóvel (ondas de choque). Referência à noção de solução fraca neste contexto.

Equações lineares de segunda ordem

Classificação: equações parabólicas, elípticas e hiperbólicas. Breves noções sobre características e solução do problema de Cauchy: enunciado e aplicação do Teorema de Cauchy-Kovalevskaya.

A equação de Laplace: solução fundamental, solução em todo o espaço, princípios do máximo, propriedade da média, unicidade de solução. Estimativas para as derivadas e analiticidade das soluções. Função de Green e fórmula de Poisson na bola, desigualdade de Harnack. O princípio de Dirichlet.

A equação do Calor: solução fundamental e núcleo do calor, princípios do máximo e unicidade de solução. Conservação da Massa. Fórmula de Duhamel.

A equação das ondas: solução de D'Alembert's para uma dimensão de espaço. Fórmula de Duhamel. Domínios de dependência e influência. Solução do problema de Cauchy em dimensão 2 e 3.

Métodos de energia para as equações de Laplace, calor e ondas. Motivação para a necessidade de uma noção mais fraca de solução.

Distribuições e Espaços de Sobolev

Breve introdução à teoria das distribuições.

Espaços de Sobolev e suas propriedades básicas. Desigualdade de Sobolev.

O espaço W^{m,p}_0, desigualdade de Poincaré. A noção de traço, teorema de extensão. Caracterização do espaço dual H^{-1}.

Teoria das Soluções Fracas para Problemas Elípticos

Problemas Elípticos: operadores elípticos de segunda ordem, formulação fraca. Aplicação dos teoremas de Riesz e Lax-Milgram à resolução de problemas elípticos com diferentes condições de fronteira.

Resultados de regularidade: regularidade interior e regularidade até à fronteira.

* Possíveis tópicos extra, consoante os interesses dos alunos e o tempo disponível (material que poderá ou não ser alvo de avaliação):

Valores próprios do Laplaciano com condições de Dirichlet e de Neumann. Generalização do conceito de Série de Fourier a dimensões arbitrárias. Separação de Variáveis em domínios limitados de R^n: aplicação à resolução de problemas de fronteira nas equações de Poisson, do calor e das ondas.

Distribuições temperadas, Transformada de Fourier e sua aplicação à resolução de EDPs e desigualdades de Sobolev.

Problemas de Evolução: teoria de semigrupos e teorema de Hille-Yosida. Aplicação às equações do calor e das ondas.

Bibliografia Principal

[1] H. Brézis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer 2011.

[2] L. Evans, Partial Differential Equations, AMS 2010, 2nd edition.

[3] S. Salsa, Partial Differential Equations in Action - From Modelling to Theory, Springer, 2009.

[4] H. Tavares, Partial Differential Equations, notas do curso

Bibliografia Secundária

[5] D. Bleecker, G. Csordas, Basic Partial Differential Equations, International Press, 1997

[6] W. Craig, A course on Partial Differential Equations, AMS 2018.

[7] D. Gilbarg N. S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, 2nd edition, Springer, 2011

[8] F. John, Partial Differential Equations, 4th ed., New York: Springer-Verlag, 1982

Bibliografia comentada

A referência [4] será transversal a toda a matéria. Como complemento, para o Capítulo 1 do programa usaremos [3,8], para o Capítulo 2 a referência [2], para o Capítulo 3 as referências [1,2] e para o Capítulo 4 as referências [2,3]. A referência [5] é uma referência mais básica, e a [7] mais avançada. A referência [6] é ótima como complemento para quem já sabe transformada de Fourier.