Docentes: Hugo Tavares e Simão Correia
Horário: 2.ª feira 9h30-11h30, Sala V0.07 (Piso 0 do Pavilhão de Civil)
6.ª feira 9h30-11h30, Anfiteatro VA6 (Piso -1 do Pavilhão de Civil)
Horário de dúvidas (online e presencial): 2.ª e 6.ª feira, 11h30-12h30
Avaliação 40% - trabalhos de casa, 5% para avaliação contínua (0 ou 1 valor), 55% - exame final
Recorde-se que os trabalhos de casa serão dados no início das semanas 4, 7, 10 e 13. O último será mais curto e terá prazo de uma semana, para não interferir com a época de exames.
Recordam-se as regras para o exame: os alunos terão à disposição o formulário partilhado durante as aulas, podendo também levar 6 folhas escritas com o que quiserem, frente e verso.
PDF com a apresentação da 1ª aula: versão não anotada, versão anotada.
PDF com a apresentação do Capítulo 3, parte da aula que teria sido dada a 19.03.2021: versão não anotada, versão anotada.
Página com a lista de exercícios
Página com os quadros das aulas
Página com apontamentos do curso
Algum material interessante para complementar as aulas:
(NOVO) Teoria da Regularidade Elíptica e o 19.º problema de Hilbert: página wikipédia e notas de um curso.
O que tem a desigualdade de Sobolev a ver com a estabilidade da matéria? Artigo de Elliot Lieb (veja-se em particular a primeira coluna da página 555)
Seminário "A matemática do som" , de James Kennedy (Equação das ondas e Séries de Fourier)
Seminário "Superfícies em equilíbrio", de André Neves (onde se fala de superfícies mínimas, absolutamente imperdível para quem tem interesse em geometria).
Artigo: Partial Differential Equations in the 20th century, de H. Brézis e F. Browder
Master thesis topics in Dynamical Systems & Differential Equations (5ª capítulo do vídeo, a partir de 1:57:53, onde se fala muito brevemente dos objetivos gerais das áreas de Equações Diferenciais, Sistemas Dinâmicos, Cálculo das Variações, etc, e se podem ver temas mais avançados)
Avisos
(NOVO) Haverá durante os próximos dois anos bolsas de mestrado disponíveis no âmbito deste projeto. Para mais informações, é favor contactar um dos membros do projeto ou os professores desta cadeira.
Contexto
A modelação matemática é uma das maneiras mais eficientes de compreender fenómenos observáveis e de prever desenvolvimentos futuros. Muitos desses modelos são formulados com o auxílio de Equações com Derivadas Parciais (EDPs), ferramentas matemáticas que captam a essência de mudanças em relação a variáveis contínuas (por exemplo, tempo, espaço ou preço) de certos fenómenos sujeitos a algumas leis como difusão, reação, transporte, competição/cooperação, etc. Assim, as EDPs podem ser utilizadas para modelar uma grande variedade de situações com aplicações à biologia (dinâmica populacional, transmissão de impulsos neurais,...), à física (ondas, mecânica quântica, teoria da relatividade geral, eletromagnetismo, elasticidade,...); à engenharia (vibrações de pontes; dinâmica de fluidos,...) e finanças. Além disso, elas também surgem em diversas outras áreas teóricas, tais como Geometria ou Cálculo de Variações.
Com tantos fenómenos diferentes não há (nem seria expectável) uma teoria geral sobre EDPs. Esta cadeira corresponde portanto a uma introdução fundamental à disciplina, desenvolvendo-se a teoria (tanto a mais "clássica" com soluções regulares, à mais moderna, com a noção de solução "fraca" e sua motivação) em interligação com aplicações. O foco será nas equações de primeira ordem (lineares e quase lineares) e segunda ordem (caso linear), nos fenómenos de transporte, difusão e ondas.
Programa Detalhado
Equações de primeira ordem
Equação do transporte: os casos homogéneo e não homogéneo.
Equações lineares e quase lineares: o método das características para a solução do problema de Cauchy. Leis de evolução. Aplicação à dinâmica de tráfego automóvel (ondas de choque). Referência à noção de solução fraca neste contexto.
Equações lineares de segunda ordem
Classificação: equações parabólicas, elípticas e hiperbólicas. Breves noções sobre características e solução do problema de Cauchy: enunciado e aplicação do Teorema de Cauchy-Kovalevskaya.
A equação de Laplace: solução fundamental, solução em todo o espaço, princípios do máximo, propriedade da média, unicidade de solução. Estimativas para as derivadas e analiticidade das soluções. Função de Green e fórmula de Poisson na bola, desigualdade de Harnack. O princípio de Dirichlet.
A equação do Calor: solução fundamental e núcleo do calor, princípios do máximo e unicidade de solução. Conservação da Massa. Fórmula de Duhamel.
A equação das ondas: solução de D'Alembert's para uma dimensão de espaço. Fórmula de Duhamel. Domínios de dependência e influência. Solução do problema de Cauchy em dimensão 2 e 3.
Métodos de energia para as equações de Laplace, calor e ondas. Motivação para a necessidade de uma noção mais fraca de solução.
Distribuições e Espaços de Sobolev
Breve introdução à teoria das distribuições.
Espaços de Sobolev e suas propriedades básicas. Desigualdade de Sobolev.
O espaço W^{m,p}_0, desigualdade de Poincaré. A noção de traço, teorema de extensão. Caracterização do espaço dual H^{-1}.
Teoria das Soluções Fracas para Problemas Elípticos
Problemas Elípticos: operadores elípticos de segunda ordem, formulação fraca. Aplicação dos teoremas de Riesz e Lax-Milgram à resolução de problemas elípticos com diferentes condições de fronteira.
Resultados de regularidade: regularidade interior e regularidade até à fronteira.
Valores próprios do Laplaciano com condições de Dirichlet e de Neumann. Separação de Variáveis em domínios limitados de R^n: aplicação à resolução de problemas de fronteira na equação do calor e das ondas.
Bibliografia Principal
[1] H. Brézis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer 2011.
[2] L. Evans, Partial Differential Equations, AMS 2010, 2nd edition.
[3] S. Salsa, Partial Differential Equations in Action - From Modelling to Theory, Springer, 2009.
[4] H. Tavares, Partial Differential Equations, notas do curso
Bibliografia Secundária
[5] D. Bleecker, G. Csordas, Basic Partial Differential Equations, International Press, 1997
[6] D. Gilbarg N. S. Trudinger, Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, 2nd edition, Springer, 2011
[7] F. John, Partial Differential Equations, 4th ed., New York: Springer-Verlag, 1982
Bibliografia comentada
A referência [4] será transversal a toda a matéria. Como complemento, para o Capítulo 1 do programa usaremos [3,7], para o Capítulo 2 a referência [2], para o Capítulo 3 as referências [1,2] e para o Capítulo 4 as referências [2,3]. A referência [5] é uma referência mais básica, e a [6] mais avançada.