SIMETRIA.

De acuerdo con [1, Pag. 151], “en la ciencias, particularmente, en la Física, investigando un círculo de fenómenos, por ejemplo, la dispersión elástica, deducimos algunas regularidades, las leyes de conservación de la energía y el impulso, les damos un carácter mas general y después tratamos de aplicarlas a otro círculo de  fenómenos, por ejemplo al surgimiento y descomposición de las partículas relativistas o a sus transformaciones mutuas. Y, como regla, la naturaleza accede a nuestros deseos, o sea, muchas predicciones se confirman experimentalmente. De este modo ocurren los descubrimientos en la punta de la pluma”. Un concepto fundamental, mediante el cual podemos entender las regularidades referidas anteriormente, es el de simetría. En efecto, en [2] se afirma:

“la simetría gobierna también las leyes fundamentales de la física y constituye un principio matemático básico para comprender la estructura del universo: desde los elementos más recónditos de la materia hasta la infinitud de los espacios cósmicos.”

 En este sentido se tiene el particularmente interesante, Teorema de E. Noether, el cual afirma a “cada simetría continua da lugar a una magnitud conservada” [3].

Naturalmente, el concepto de simetría también en las Matemáticas juega un papel fundamental, basta observar que figura en la profunda y unificadora definición de geometría de  Felix Klein:

“Una geometría en un espacio es el estudio de los invariantes (conjuntos simétricos) bajo cierto grupo de transformaciones”. 

En particular, en cada Espacio (escenario geométrico), uno se puede preguntar:

 ¿Cómo las simetrías de las secciones transversales (subconjuntos) de un sólido en el espacio determinan la simetrías de este sólido?

Por ejemplo, fácilmente se puede probar que si todas las 2-secciones transversales de un cuerpo convexo, en el espacio euclideano En de dimensión n, son círculos, entonces K es una n-esfera. También se puede ver, aunque esta vez la prueba es considerablemente más complicada, que si todas las 2-secciones son elipses, entonces el cuerpo convexo es un n-elipsoide. 

 Existe una gran cantidad de interesantes problemas abiertos que son casos particulares de la pregunta de anterior. 

Un resultado famoso, característico y representativo de esta área de las geometría, es el Teorema del Falso Centro de Simetría, demostrado en [4], [5] y [6], y generalizado en [7]. Este profundo resultado fue particularmente atractivo por que fue formulado como un problema que involucro conceptos muy elementales.

 El primer progreso fue dado por Rogers, quien lanzó el reto, el cual consiste en el teorema:

“Si todas las 2-secciones transversales de un cuerpo convexo K en el espacio euclideano de dimensión n, son centralmente simétricas, entonces K es centralmente”.

No obstante, lo anterior, una pequeña variante en la hipótesis del Teorema del Falso Centro, da lugar a un problema para el cual a la fecha no hay logros significativos. 

Problema. Demostrar que si todas las 2-secciones transversales de un cuerpo convexo K en el espacio euclideano En de dimensión n, tiene una línea de simetría, entonces el grupo de simetrías de K es isomorfo al grupo ortogonal O(n-1) (y el cuerpo es el análogo n dimensional a un cuerpo de revolución) o K es  n-elipsoide”.

Un progreso en la solución de este problema, en [8], se demuestra que K tiene un hyperplano de simetría.

Para dar un ejemplo mas, muy interesante, de este tipo de problemas, necesitamos una definición:

 Sea K un cuerpo convexo en En y p un punto en En. Decimos que p es un punto equicordal si todas las cuerdas de K que pasan por p tienen la misma longitud. Es interesante observar que existen figuras convexas diferentes del círculo con un punto equicordal, pero ninguna puede tener mas de un punto equicordal.

Conjetura. Sean K un cuerpo convexo y p un punto en En, n mayor que 2. Demostrar que si todas las secciones de K por p tiene un punto equicordal, entonces K tiene un punto equicordal. Más aún, si el punto equicordal de las secciones es diferente de p, entonces K es una esfera.

1.    1. V. Dubrovski, Ya. Smorodinski, E. Surkov: El Mundo relativista. Mir Moscú. 1987. 

       2. L.M. Lederman y C.T. Hill: La simetría y la belleza del universo. Tusquets Editores. 2006.

3.    3. C. Lanczos. The variational principles of Mechanics. Fourth Edition. Dover Publication Inc. New York. 1949.

4.    4. P.W. Aitchison, C. M.Petty, A. Rogers. A convex body with a false centre is an ellipsoid. Mathematika 18 (1971), 50-59.

5.    5. D. Larman. A note on the false center problem, Mathematika 21 (1974), 216-217.             

       6. L. Montejano and E. Morales, Variations of classic characterizations of ellipsoid and a short proof of the false centre theorem,  Mathematika 54 (2007), 37-42.

7.    7. L. Montejano and E. Morales, Shaken False Centre Theorem I, Mathematika 54 (2007), 43-48.

8.    8.  E. Morales Amaya. On the symmetry of  convex body with symmetrical sections. En preparación.