Istituzioni di Geometria Superiore
Questo corso è diretto agli studenti del terzo anno della Laurea Triennale in Matematica, ed è inoltre mutuabile dagli studenti della Laurea Magistrale in Matematica come Topics in Advanced Geometry A.
Qui si trovano varie informazioni sul corso: programma, modalità d'esame, bibliografia...
Il corso inizia lunedì 9 marzo e termina il 19 giugno.
Le lezioni si terranno sulla piattaforma Microsoft Teams:
lunedì, dalle 14:00 alle 16:00;
venerdì, dalle 10:00 alle 13:00.
Note del corso
Versione del 9 luglio 2020. Corretti ancora errori. Grazie a tutti per le segnalazioni!
Fogli di esercizi
Foglio 1 I problemi 1, 2, 6 e 7 sono sostanzialmente richiami di topologia generale. Nel problema 3 si construisce una struttura differenziabile sulla sfera. Il problema 4 dà una caratterizzazione alternativa delle mappe lisce tra varietà differenziali. Il problema 5 presenta una struttura differenziabile diversa da quella standard sulla retta reale (nel senso che cambiano le funzioni differenziabili), ma a lei diffeomorfa. Il problema 8 construisce una struttura differenziabile sulla Grassmanniana.
Foglio 2 I problemi 1-5 vertono su mappe lisce; i problemi 6 e 7 sulla nozione di gruppo di Lie; il problema 8 è un'applicazione sulla teoria di azioni di gruppi in varietà. I problemi 9, 10 e 11 sono semplici verifiche di definizioni sull'anello dei germi di funzioni lisce.
Foglio 3 Gli esercizi 1, 3, 4 e 6 contengono alcuni risultati teorici a cui ho accennato a lezione. I problemi 2 e 5 trattano di esempi concreti di sottovarietà. I problemi 7-14 sono applicazioni più o meno concrete del teorema della funzione implicita.
Foglio 4 I problemi 1, 2 e 3 trattano di proprietà dei campi vettoriali e della loro relazione con mappe tra varietà. I problemi 4-7 si occupano della nozione di campo vettoriale invariante a sinistra su un gruppo di Lie. I problemi 8-11 trattano di campi vettoriali e loro flussi. I problemi 12-14 trattano di distribuzioni involutive e del teorema di Frobenius.
Foglio 5 I problemi 1, 5 e 6 trattano di tensori e forme decomponibili; i problemi 2, 3 e 4 della nozione di orientazione di uno spazio vettoriale; il problema 7 serve per praticare il prodotto wedge; il problema 8 introduce la nozione di forma simplettica; i problemi 9 e 10 trattano la Grassmanniana Gr(2,4) e la sua inclusione differenziale nello spazio proiettivo.
Foglio 6 I problemi 1 e 12 si occupano di tensori. I problemi 2 - 5 trattano di forme differenziali, in varie salse. I problemi 6 - 8 introducono la nozione di struttura simplettica su una varietà differenziale. Il problema 9 introduce un altro operatore sulle forme differenziali. Nel problema 10 si definisce una struttura di algebra sulla coomologia di de Rham. Il problema 11 mostra che il gradiente, il rotore e la divergenza di campi vettoriali sono manifestazioni del differenziale esterno. Il problema 13 descrive una distribuzione in termini di forme differenziali.
Foglio 7 I problemi 1 e 2 sono sull'orientazione. I problemi 3, 4, 5, 8 e 9 sono sulla coomologia di de Rham. I problemi 6 e 7 sono sull'integrazione.
Lezioni di Topologia Differenziale di John Milnor
Tre lezioni tenute da J. Milnor nell'agosto del 1962, poco dopo aver ricevuto la medaglia Fields, presso un congresso della Mathematical Association of America. Si tratta di argomenti connessi solo in modo tangenziale al contenuto del corso, ma vale la pena vederli.
Materiale aggiuntivo
Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra, di Desmond Fearnley-Sander: un'introduzione all'algebra esterna come la immaginava il suo creatore.
Why is the exterior algebra so ubiquitous? (discussione su Mathoverflow)
Div, Grad, Curl are dead, di William Burke (lunga vita al differenziale esterno)
Note di Terence Tao sulle forme differenziali e sulla loro integrazione