CONCLUSIONI

Si può concludere che il Paradosso di Epimenide, da me riportato alla sua espressione più semplice ovvero alla dichiarazione "io sono mentitore", presenta incongruenze logiche che ne pregiudicano la consistenza. L'inconsistenza della dichiarazione, tenuta nella dovuta considerazione, dovrebbe persuaderci a fare una passeggiata e a non perdere tempo a risolvere problemi creati dalla Mente umana.

Il paradosso è centrato su di una ambiguità ovvero sul duplice significato della parola "mentitore": da una parte semplice dichiarante generico, dall'altra speciale contraffattore di verità ovvero invertitore del valore di verità, ovvero Operatore Logico NOT.

Considerato come un dichiarante generico un Mentitore può fare qualsiasi dichiarazione e può dichiarare di essere "mentitore". In questo caso, essendoci identità tra status dichiarato e status realmente posseduto, la dichiarazione è vera. La dichiarazione "io sono mentitore" è in questo caso assimilabile alla dichiarazione "io sono biondo" fatta da una persona che ha i capelli biondi.

Considerato come un invertitore del valore di verità ovvero come una persona che dichiara sempre e solamente frasi false, il Mentitore diventa un Operatore Logico Speciale, di solito definito "inverter" ovvero Operatore-NOT. In questo caso il dichiarante può dichiarare soltanto frasi false.

Nella Figura W soprastante è rappresentata questa ambiguità. Il dichiarante della frase è presunto essere un mentitore ( Ms ) Il valore di verità della frase, valutato attraverso il rivelatore di verità XNOR, fornisce una valutazione di frase vera. In realtà, valutando il modo di operare di un mentitore, rappresentato dalla linea tratteggiata in alto, ci saremmo aspettati una frase falsa. Ecco il Paradosso !

Si può rimediare a questa situazione paradossale ricorrendo ad un "artifizio" descritto lella figura sottostante.

Figura Z - Il dichiarante mentitore ha utilizzato il TEMPO messo a disposizione dalla durata della dichiarazione per cambiare status. Il dichiaranrte che prima della dichiarazione aveva lo status di mentitore Ms , a fine dichiarazione ha assunto un nuovo status di non-mentitore Ms . L'effetto di questa trasformazione è notevole: adesso la frase dichiarata risulta comunque falsa, sia valutata attraverso l'operatore XNOR sia valutata attraverso il modus operandi tipico del mentitore. Il paradosso della doppia verità sembra risolto.

Con l'artifizio del cambiamento di status a fine dichiarazione le cose si mettono a posto anche nel caso che lo status del dichiarante, prima della dichiarazione, sia quello di non-mentitore Ms . In questo caso ci si aspetta una dichiarazione vera sia attraverso il modus operandi sia attraverso l'operatore logico XNOR. Di fatto la dichiarazione risulta vera, come dimostrato nella Figura Y sottostante.

Da questa mia ricerca credo sia nata una proposta di parziale o pseudo-soluzione del Paradosso ovvero una possibile via di uscita per chi ha voglia di seguire la Mente umana nei labirinti sotterranei di un castello maledetto, il Castello della Logica. L'uscita dal Castello non è facile e sopratutto occorre pagare un prezzo elevato.

La tecnica di fuga si appoggia su di un grimaldello che si chiama Flip-Flop. Ho usato un Flip-Flop particolare detto Flip-Flop D e per di più in una configurazione particolare detta "toggle". Questo Flip-Flop fa il lavoro descritto nelle figure soprastanti ovvero fornisce, a fine dichiarazione, uno status con valore di verità complementare a quello di partenza. Il Flip-Flop è definito come Oscillatore Bistabile. Ha infatti due stati stabili nel tempo e, guarda guarda.. .... due uscite complementari, una vera..... ed una falsa.....

Sarebbe stato bello se anche ad Epimenide fosse stato concesso di avere due uscite complementari !!!

Oltre alle uscite complementari il congegno possiede anche due ingressi. Uno è l'ingresso D dove arriva l'input logico, l'altro è l'ingresso del segnale di sincronizzazione o segnale di clock. Nello stato di riposo le uscite sono elettricamente e anche logicamente separate dal segnale presente all'ingresso D. Il valore logico presente all'ingresso D è trasferito alle uscite solo durante l'impulso di clock. L'impulso di clock è fondamentale nel modello perchè introduce un fattore che era sempre stato trascurato, il fattore TEMPO.

L'introduzione del fattore Tempo è fondamentale perchè permette di falsificare l'idea che lo status del dichiarante sia posto in un modello atemporale ovvero al di fuori di ogni sviluppo o modifica nel Tempo. La dichiarazione richiede del Tempo, almeno il tempo necessario a comunicare l'informazione. Se nel nostro modello introduciamo il fattore Tempo, allora diamo la possibilità allo status del dichiarante di modificarsi nel tempo.

Ed infatti lo status del dichiarante a fine dichiarazione è complementare allo status che possedeva prima della dichiarazione, proprio come avviene nel Flip-Flop D "toggle". Il segnale di clock è costituito dalla durata della dichiarazione e a fine dichiarazione lo status del dichiarante è cambiato perché viene reimmesso in ingresso (loop) il valore logico che emerge dall'uscita Q-negata ossia un valore logico opposto a quello iniziale. La cosa interessante è che il vecchio ed il nuovo valore non si scontrano mai, né elettricamente né logicamente. Essi accadono in tempi diversi, come accade nei diagrammi di flusso, ed il nuovo valore va semplicemente a sostituire il vecchio valore. Questa trasformazione avviene ad ogni impulso di clock ovvero ogni volta che viene fatta la dichiarazione "io sono mentitore". Lo status del dichiarante non oscilla continuamente ed inevitabilmente come già proposto in una interpretazione che prendeva a modello un oscillatore astabile. In questo modello lo status è mantenuto stabile fino all'arrivo di una nuova dichiarazione che può arrivare tra due minuti, un ora, un anno, mai più.

Uno schema di Flip-Flop D "toggle" è fornito nella Figura T sottostante.

Se usiamo il Flip-Flop D "toggle" come modello interpretativo del Paradosso, risolviamo i problemi di conflitto logico dovuto all'esistenza contemporanea di due status diversi. Nella figura T si suppone che lo status iniziale del dichiarante, quello status che compare all'ingresso D del Flip-Flop, sia quello di Mentitore Ms. Quindi ci si aspetta che la sua dichiarazione sia falsa. Il Flip-Flop realizza questa aspettativa ed infatti a fine dichiarazione lo status del dichiarante diventa Ms e la dichiarazione è falsa. Il vecchio status Ms scompare ed è sostituito dal nuovo status Ms . Nella figura il vecchio status Ms continua ad essere rappresentato ma viene spostato a sinistra della figura dal nuovo status Ms . Il nuovo status Ms è stabile e a sua volta verrà sostituito da un successivo status Ms soltanto con una nuova dichiarazione.

I Flip-Flop hanno due uscite che emettono nello stesso momento valori di verità opposti. L'ambivalenza della parola "mentitore" si trascina dietro l'ambivalenza della valutazione del valore di verità della frase. Questo aspetto del paradosso è superato utilizzando il trucco di non sottoporre ad ulteriori deduzioni logiche il valore di verità (status) emesso all'uscita vera Q del Flip-Flop.

PREZZO DA PAGARE

Ho anticipato che c'è un prezzo da pagare per evadere dal labirinto sotterraneo del Castello della Logica.

I principali sacrifici sono i seguenti:

1) in qualsiasi momento non possiamo sapere se il dichiarante è Sincero o Mentitore. Possiamo solo dire che se prima della dichiarazione il dichiarante aveva uno status di Mentitore, dopo la dichiarazione "io sono mentitore" assumerà lo status di Sincero, e viceversa. In ogni caso il dichiarante non ha mai due valori di status opposti e coesistenti nello stesso momento;

2) ad ogni dichiarazione lo status (non conosciuto) del dichiarante cambia di valore logico;

3) il nuovo valore di satus è mantenuto stabilmente fino alla successiva dichiarazione. Questa alternanza di valori causata da ogni impulso di clock ovvero da ogni dichiarazione, è proprio quello che determina l'effetto "toggle".

Per evitare il conflitto tra valori logici di status opposti il prezzo da pagare è alto: non potremo mai sapere se la dichiarazione è vera o falsa, non possiamo sapere se prima della dichiarazione lo status del dichiarante è quello di Mentitore o di Sincero. Possiamo solo dire che se lo status del dichiarante, prima della dichiarazione, era X, dopo la dichiarazione il suo status sarà senza dubbio quello di X-Negato ovvero X.

NOTA: Se avete difficoltà ad accettare che alla fine di una dichiarazione vi possa essere un cambiamento di status, pensate ad una sposa che, davanti al prete, sta per pronunciare il suo "SI". Prima della dichiarazione ha lo status di Signorina (nubile), subito dopo la dichiarazione assume una status diverso, lo status di Signora (sposata).

Il modello del Flip Flop D "toggle", basato su di un oscillatore bistabile, evidenzia l'importanza del fattore TEMPO e pone il trasferimento di informazione, dovuto all'atto della dichiarazione, in un contesto temporale. Il trasferimento di informazione non è automatico e continuo come nell'oscillatore astabile ma avviene solo durante la volontaria dichiarazione fatta dal dichiarante.

Il modello non risolve tutti i problemi sollevati da una dichiarazione inconsistente ma sembra interpretare in modo non contraddittorio gli strani percorsi della Mente umana.

Il modello mostra anche che vi sono pesanti limiti interpretativi del Paradosso di Epimenide dovuti alla variazione di status che avviene ad ogni dichiarazione. In questo senso ci siamo sentiti autorizzati a dichiarare che il Paradosso di Epimenide era un "toggle" proposto 2500 anni fa.

Ringrazio il lettore per la pazienza di avermi seguito fino a questo punto in un percorso di logica dove era facile perdere l'orientamento. Grazie.

C'è un altro mio sito in lingua inglese in cui descrivo questa interpretazione del paradosso: sites.google.com/site/epimenidetoggleflipflop/home

Qualsiasi nota od osservazione può essere indirizzata alla mia e-mail:

• l.tellini77@gmail.com.
• Risponderò a tutti.

Aristodemo