Embedded Files
6.2 Modelul Shanthikumar
Un model mai general cu pondere variabila in timp a erorilor care nu expliciteaza dependenta de timp a ponderii, este modelul
Shanthikumar. Conform acestui model, rata de defectare la un moment XXX are expresia:
(6.23)
Astfel rata de fectare este proportionala cu numarul de erori remanente, dar factorul de proportionalitate este o functie generala de timp XXX
Fie M(t) numarul de defectari in (0,t) si P<sub>r</sub>(t) =P[M(t)=r] procesul aleator de defectare. Scriind
ecuatiile cu diferente finite ale procesului, se obtine sistemul:
(6.24)
Rezolvarea sistemului de ecuatii diferentiale (6.25) conduce la solutia [4]:
(6.26)
Se observa ca procesul de defectare este de tip binomial, cu parametrii N si a(t). Functia a(t) reprezinta probabilitatea
ca o eroare sa nu se manifeste in (0,t). Daca XXX, modelul Shanthikumar se reduce la modelul Jelinski-Moranda.
Modelul Shanthilumar da posibilitatea unei predictii mai detaliate a comportarii programului in timp.
Astfel, numarul mediu de defectari in (0,t)(functia de reinnoire) este:
(6.27)
iar intensitatea defectarilor este:
Se observa ca modelul Shanthikumar este un model de crestere exponentiala a fiabilitatii. Varianta numarului
de defectari este in (0,t) este:
V(t)=N*a(t)[1-a(t)] (6.28)
Din expresia (6.26) a procesului de defectare rezulta distributia numarului de erori remanente la
momentul t.
(6.29)
Rezulta ca numarul mediu de erori remanente la t este:
(6.30)
cu varianta:
(6.31)
Probabilitatea ca la momentul t numarul de erori remanente sa fie cel mult A este:
(6.32)
Pentru A=0, se obtine distributia duratei de testare necesare pentru eliminarea tuturor erorilor:
(6.33)
Fie acum momentul t ∈ (t<sub>n</sub>,<sub>n+1</sub>) la care se efectueaza predictiile asupra comportarii
programului, dupa ce n defectari au fost observate, respectiv de n erori au fost eliminate.
Probabilitatea ca in intervalul suplimentar de testare(t,t+x) sa se manifeste de j erori este:
(6.34)
Numarul mediu de defectari asteptate in acest interval este:
(6.35)
iar varianta numarului de defectari este:
(6.36)
Probabilitatea ca numarul de erori remanente la r+x sa fie k este egala cu probabilitatea aparitiei
a N-n-k defectari in intervalul suplimentar de testare(t,t+x):
(6.37)
Ca urmare, probabilitatea eliminarii tuturor erorilor in intervalul suplimentar(t,t+x) este:
(6.38)
Posibilitatea eliminarii tuturor erorilor depinde de proprietatile functiei φ(t), care exprima ponderea
variabila in timp pe care fiecare eroare o are in rata de defectare aprogramului. Astfel, erorile pot fi in
principiu eliminate printr-o testare suplimentara de durata infinita daca lim a<sub>1<sub>(x)=0.
Avem pe de alta parte:
(6.39)
Predictia, la momentul t, a defectarii se efectueaza cu ajutorul functiei de fiabilitate in interval:
(6.40)
Durata medie de la momentul arbitrar t pana la defectarea n+1 se obtine integrand dupa x functia de fiabilitate
(6.40) intre 0 si ∞ .
In vederea estimarii maxim verosimile a parametrilor modelului SHanthikumar pe baza primelor n defectari
observate, se considera densitatile de probabilitate ale intervalelor(0,t<sub>k</sub>)(k=1,2...n)
scurse de la momentul initial pana la prima, a doua respectiv a n-a defectare.
Cu ajutorul functiei de fiabilitate(6.40) se exprima probabilitatea ca in intervalul (t<sub>k+1</sub>,t<sub>k+1</sub>+1)
sa nu se produca nici o defectare, stiind ca in (0,t<sub>k-1</sub>] s-au produs k-1 defectari:
(6.41)
Printr-o simpla schimbare de variabila, se determina densitatea de probabilitate a intervalului (0,t<sub>k</sub>),
conditionata de aparitia a k-1 defectari in [0, t<sub>k-1</sub>]:
(6.43)
Densitatea de probabilitate a vectorului onservatiilor(t<sub>1</sub>,t<sub>2</sub>...t<sub>n</sub>) este:
(6.44)
Functia de verosimilitate este deci:
(6.45)
In absenta unei precizari asupra formei functiei φ(t), expresia (6.45) poate fi utilizata
doar pentru estimarea numarului initial de erori, N. Derivand functia de verosimilitate(6.40) in
raport cu N si egaland derivata cu 0, se obtine ecuatia:
(6.46)
O posibila forma concreta a functiei φ(t) este [4]:
(6.47)
Tinand seama de (6.47), rezulta:
(6.48)
Expresiile (6.48) pot fi inlocuite cu formulele de predictie deduse anterior (6.27-6.40).
Pentru estimarea parametrilor a si b se inlocuieste expresia (6.47) in expresia (6.45) a functiei
de verosimilitate, obtinandu-se:
(6.49)
Rezolvarea sistemului format din ecuatiile (6.50) si (6.51) conduce la estimatiile maxim verosimileN,
a si b ale modelului.
Modelul Shanthikumar poate fi adaptat sitatiei depanarii imperfecte, cand interventia exterioara nu reuseste
sa elimine eroarea manifestata. Asemenea situatii au fost modelate in cap. 4 in contextul unei ponderi constante
in timp a rorilor. Fata de ipotezele considerate pana acum, se presupune ca o eroare este corectata cu probabilitatea
p. Fie p(t+Δt) probabilitatea ca o eroare sa nu fie eliminata in intervalul (0,t+Δt). Ea este egala
cu probabilitatea ca eroarea sa nu fie eliminata in(0,t) multiplicata cu probabilitatea ca ea sa nu fie corectata
, chiar daca se manifesta in intervalul (t,t+Δt)
(6.52)
Transformand ecuatia (6.52) in ecuatie diferentiala, se obtine:
(6.53)
Rezolvand ecuatia (6.53) cu conditia initiala P(0)=0, rezulta :
(6.54)
Ca urmare, probabilitatea eliminarii unei erori in (0,t) este:
(6.55)
Depanarea imperfecta impune o distinctie neta intre probabilitatea (6.54) ca o eroare sa nu fie eliminata
in (0,t), chiar daca se manifesta in acest interval ca defectare si probabilitatea P*(t) ca eroarea sa nu fie
eliminata datorita faptului ca, in intervalul(0,t) nu apar conditiile ca eroarea sa fie pusa in evidenta.
Un rationament similar ca cel mai sus conduce la expresia lui P*(t)
(6.56)
Procesul aleator de eliminare a erorilor, ca nu coincide cu procesul de defectare, nici cu procesul de aparitie
a erorilor distincte, este de tip binomial cu parametrii N si p(t). Astfel, probabilitatea P<sub>t</sub>(t)
a eliminarii a r erori in (0,t) va fi
(6.57)
Numarul mediu de erori corectate in (0,t) este deci:
(6.58)
iar variatia numarului de erori corectate este:
(6.59)
Densitatea procesului de eliminare a erorilor este
(6.60)
Se observa ca, alaturi de procesul aleator binomial (6.57) care descrie erorile corectate in (0,t),
exista un proces aleator binomial al erorilor distincte manifestate in (0,t).
Procesul efectarilor, adica al manifestariloreventual repetate a erorilor in (0,t),este mai dificil
de caracterizat in mod detaliat. Caracteristicile sala medii pot fi insa obtinutepe baza ipotezei ca probabilitatea
de corectare a unei erorimanifestate este o constanta egala cu p. Astfel, numarul mediu de defectari
(unele dintre ele repetate) observate in (0,t) este H<sub>c</sub>(t)/p.
Distributia numarului de erori remanente la t se obtine direct din expresia procesului aleator (6.57)
(6.61)
Conform distributiei binomiale(6.61), numarul mediu de erori remanente la t este:
(6.62)
Probabilitatea ca numarul de erori remanente la t sa fie inferior lui A este:
(6.63)
Pentru A=0, din (6.62) se obtine distributia duratei de testare pana la eliminarea tuturor erorilor:
(6.64)
Situandu-ne acumla momentul t<sub>n</sub> pana la care s-au manifestat n erori, ne propunem sa efectuam predictii
asupra comportarii ulterioare a programului. In acest scop este necesara cunoasterea distributiei numarului de
erori remanente la t<sub>n</sub>. Numarul de erori la t<sub>n</sub> este o variabila aleatoare
deoarece nu se stie de cate dintre cele K eori distincte manifestate in (0,t<sub>n</sub>] au fost corectate.
Fie K numarul de erori distincte si observate si l = n-k numarul de erori repetate (necorectate la prima aparitie).
Daca eroarea j manifestata la momentul t<sub>j</sub> nu mai apare pana la momentul t<sub>n</sub> de
incheiere a observatiilor, acest fapt se explica fie prin corectarea erorii fie prin absenta conditiilor
de manifestare a ei. probabilitatea ca eroarea sa fi fost corectata, conditionata de neaparitia ei in intervalul
(t<sub>j</sub>,t<sub>n</sub>) este, conform ecuatiei lui Bayes:
Urmand acelasi rationament ca in capitolul 4, admitem ca probabilitatile q<sub>j</sub> sunt egale intre ele
si le notam cu q. Ca urmare, numarul mediu de erori eliminate in (0,t<sub>n</sub>) este qK.
Probabilitatea ca numarul de erori reziduale la t<sub>n</sub> sa fie egal cu i este egala cu probabilitatea
eliminarii a N-i erori in (0,t<sub>n</sub>).
(6.65)
Numrul de erori reziduale la t<sub>n</sub> este deci distribuit binomial avand media N-Kq. Probabilitatea
ca intr-un interval suplimentar de testare (t<sub>n</sub>,t<sub>n</sub>+x) sa se elimine i-j erori conditionata
de existenta a j erori la momentul t<sub>n</sub> se obtine expresia (6.57) tinand seama ca numarul initial de erori
este i, iar probabilitatea eliminarii unei erori in (t<sub>n</sub>,t<sub>n</sub>+x) este:
Ca urmare, probabilitatea ca la momentul t<sub>n</sub>+x sa existe j erori remanente, stiind ca la t<sub>n</sub>
sunt i erori, este egala cu probabilitatea eliminarii a i-j erori in (t<sub>n</sub>,t<sub>n</sub>+x)
(6.66)
Probabilitatea totala a existentei a j erori la t<sub>n</sub>+x se obtine multiplicand probabilitatile
(6.66) si (6.65) si insumand dupa i:
(6.67)
Numarul mediu de erori reziduale la t<sub>n</sub>+x este:
(6.68)
Cu ajutorul distributiei (6.67), se poate evalua probabilitatea ca la momentul t<sub>n</sub>+x numarul
de erori sa fie cel mult egal cu A:
(6.69)
Ca urmare, distributia duratei suplimentare de testare pana la eliminarea tuturor erorilor este:
(6.70)
Ecuatiile (6.67) - (6.70) permit predictia numarului de erori remanente dupa un anumit interval de testare
suplimentara. Prognoza proximei defectari, efectuata la momentul t<sub>n</sub> se bazeaza pe calculul functiei
de fiabilitate in intervalul (t<sub>n</sub>,t<sub>n</sub>+x). In conditiile in care la momentul t<sub>n</sub>
exista i erori, probabilitatea ca niciunadintre ele sa se manifeste in (t<sub>n</sub>,t<sub>n</sub>+x) este:
(6.71)
Multiplicand probabilitatile(6.71) si (6.65) si insumand dupa , se obtine functia de fiabilitate neconditionata:
(6.72)
O formula aproximativa mai simpla a functiei de fiabilitate in (t<sub>n</sub>,t<sub>n</sub>+x) se
obtine considerand numarul de erori la t<sub>n</sub> egal cu valoarea lui medie, N-kq. In aceste conditii:
(6.73)
Estimarea parametrilor modelului Shanthikumar in cazul depanarii imperfecte utilizeaza duratele
t<sub>1/sub>,t<sub>2</sub>...t<sub>n</sub> scurse de la momentul initial al testarii pana la primele aparitii
ale erorilor distincte(in numar de k) din cele n erori manifestate pana la t<sub>n</sub>.
(6.74)
In vederea estimarii parametrului p, se considera numerele r<sub>1</sub>,r<sub>2</sub>...r<sub>k</sub>
de manifestari repetate ale celor k erori distincte inregistrate in (0,t<sub>n</sub>). Numarul de
aparitii repetate ale aceleiasi erori este variabila aleatoare distribuita dupa legea geometrica [6]
cu parametrul p
(6.76)
Modelul Shanthikumar este astfel complet specificat prin ecuatiile (6.75) si (6.77).
Extinderi ale modelului Shanthikumar au fost intreprinse in vederea considerarii distributiei duratei depanarii
programului [7] si a cazului cand interventia exterioara poate elimina sau introduce un numar arbitrar de erori [8] .
Page updated
Google Sites
Report abuse