Mecánica de fluidos I - Principio de Arquímedes

Arquímedes y la corona (I)

Casi todo el mundo conoce la historia de Arquímedes, la corona votiva y el “¡Eureka!”… que muy probablemente es falsa, y si entiendes este artículo seguramente comprendas por qué. Sí hay un núcleo de verdad en la historia, y voy a detenerme en ella porque nos servirá estupendamente como ejemplo en la descripción del principio físico que vamos a estudiar. La versión más popular –y, como digo, falsa– se la debemos al ingeniero romano Marco Vitruvio Polión, y es más o menos así:

El tirano Hierón II de Siracusa ordenó la fabricación de una corona votiva para un templo, y proporcionó el oro puro para su construcción. Cuando el orfebre terminó la corona Hierón empezó a sospechar si el muy sinvergüenza no habría mezclado algo de plata con el oro, quedándose con el oro sobrante. Sin embargo, no tenía manera de saberlo, de modo que pidió ayuda al mayor genio siracusano, Arquímedes. Hasta aquí, por cierto, la historia es probablemente cierta grosso modo.

Arquímedes sabía un modo muy simple de determinar si la corona era de oro puro o no: calcular su densidad, magnitud de la que hablamos en el segundo artículo del bloque. El oro tiene casi el doble de densidad que la plata, con lo que si la corona contuviese algo de plata, su densidad sería ligeramente inferior a la del oro.

Para determinar la densidad, el genio necesitaba la masa de la corona y su volumen. Calcular la masa era muy sencillo: no hay más que utilizar una balanza para pesarla. Pero el volumen no lo era tanto, ya que la corona no tenía una forma regular. Arquímedes hubiera podido simplemente fundir la corona y así medir su volumen, pero supongo que a Hierón no le hubiera hecho la menor gracia, de modo que –de acuerdo con la historia, porque esto yo ya no me lo creo– Arquímedes tenía un problema que no sabía resolver.

Arquímedes pensativo (1620), de Domenico Fetti.

La solución, según Vitruvio, le vino cuando se metió en la bañera y observó el agua subir de nivel según él se sumergía. El usualmente digno Arquímedes saltó en pelota picada del agua y se puso a dar saltos por Siracusa, como Dios lo trajo al mundo, gritando “¡Eureka!” (“¡Lo he encontrado!”). La solución para determinar el volumen de la corona era, evidentemente, sumergirla en agua y ver lo que subía el líquido: el aumento aparente de volumen del agua sería el volumen de la corona. Con la masa y el volumen Arquímedes determinó la densidad del objeto, que resultó ser menor que la del oro, con lo que las sospechas de Hierón se demostraron ciertas y el orfebre, efectivamente, era un sinvergüenza.

Hay dos problemas con esta historia, uno de ellos menos importante que el otro. El menos importante es el hecho de que Arquímedes seguramente no determinó la naturaleza de la corona de este modo. Por una parte no exagero al decir que Arquímedes era un genio como ha habido pocos, y ya ha hecho su aparición enEl Tamiz como matemático. Tal era su fama como físico e ingeniero que según los historiadores romanos, durante el sitio de Siracusa en la Segunda Guerra Púnica, cuando sobre las murallas de la ciudad aparecía alguna viga o polea los soldados romanos ponían pies en polvorosa.

¿Crees que el concepto de que la subida de nivel de un líquido coincide con el volumen del objeto que introduces en él supondría un problema para Arquímedes? Yo no. Además, incluso si todo lo de la bañera fuera cierto –con un poco de color añadido que puede perdonarse, como lo de salir en pelotas por las calles– el problema es que, con una cantidad pequeña de plata aleada con el oro, la diferencia de volumen sería tan pequeña que habría que medir la subida de nivel del agua con una precisión extraordinaria… y hay una manera muchísimo mejor de determinar su naturaleza utilizando el principio de Arquímedes. De hecho, luego volveremos a esta historia pero en una versión diferente, considerada la más probable por Galileo Galilei.

El segundo problema de esta historia es tan importante que le vamos a dedicar su propio cuadro de advertencia: se trata de la idea con la que se queda mucha gente de que la historia que acabo de describir contiene el enunciado del principio de Arquímedes. Eso sí que ha hecho daño pero ¡ay!, poco se puede hacer a estas alturas.

¡Ojo! Esto no es el principio de Arquímedes

El gran problema de la anécdota de arriba es que mucha gente se queda con una idea absolutamente errónea sobre lo que dice el principio de Arquímedes –que, recuerda, no hemos enunciado aún–. Voy a enunciar lo que no es el principio de Arquímedes pero que a veces se oye tras escuchar esta historia:

Cuando se sumerge un cuerpo en un fluido, el aumento en el nivel del fluido coincide con el volumen del cuerpo sumergido en él.

Insisto, esto no es el principio de Arquímedes; es una perogrullada que probablemente era conocida siglos antes del genio siciliano. El principio enunciado por él, como veremos en un momento, tiene que ver con el peso, no con el volumen. El problema es que la anécdota es memorable, pero si quieres recordar algo, recuerda esto: la cara que pondría Arquímedes si le sugirieses que no sabía determinar el volumen de un cuerpo irregular.

El principio de Arquímedes

El verdadero principio de Arquímedes fue enunciado por el siracusano en un tratado en dos tomos probablemente publicado en el año 250 a. C. Digoprobablemente porque, por desgracia, sólo tenemos parte en el griego original, y otra parte traducida al latín muchos años después. El tratado, Sobre los cuerpos flotantes, constituye el primer libro científico sobre hidrostática, y Arquímedes es sin ninguna duda el padre de esta ciencia.

En el primer tomo, Arquímedes enuncia la ley o principio que lleva su nombre, y que en un lenguaje moderno dice lo siguiente:

Cualquier cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido sufre una fuerza vertical hacia arriba, llamada empuje, que es igual al peso del fluido que desaloja.

El físico siciliano dice muchas más cosas en este libro, por cierto, y a una de ellas volveremos luego, pero antes tenemos que desgranar este principio porque es largo y se puede hacer difícil de asimilar. Una vez comprendido, por cierto, intentaré convencerte de que ya no es un principio, pues es posible demostrar su inevitabilidad a partir de conceptos más básicos. Sí lo era en la época de Arquímedes y por eso sigue llamándose así, claro.

¿Qué dice el principio si lo desmontamos en partes? Dice básicamente tres cosas, en orden de detalle:

En primer lugar, algo sucede siempre que un cuerpo (o parte de él) está sumergido en un fluido: líquido, gas o plasma.

En segundo lugar dice en qué consiste ese algo: es una fuerza que lo empuja hacia arriba.

En tercer lugar cuantifica esa fuerza: es idéntica al peso del fluido desalojado por el cuerpo.

De las tres cosas la más difícil de asimilar, con diferencia, es la tercera. Un modo más burdo, pero tal vez más fácilmente visualizable, de expresar el peso del fluido desalojado por el cuerpo es la siguiente: imagina el cuerpo, por ejemplo, la corona de Arquímedes. Ahora imagina que el mismo cuerpo, con la forma exacta de la corona metálica estuviera hecho de agua –pues ése era el fluido en el caso de la historia– en vez de hecho de metal. ¿Cuánto pesaría esa “corona de agua”? Ése es el valor de la fuerza hacia arriba –el empuje– que sufre la corona metálica.

Ese empuje vertical hacia arriba es algo que todos hemos notado, por ejemplo, al intentar meter bajo el agua una pelota en la piscina. Sin embargo, antes de hablar de consecuencias del principio y volver a la historia de la corona quiero intentar explicar por qué se produce este fenómeno, utilizando precisamente el ejemplo de la pelota y la piscina por ser algo con lo que –espero– todos estamos familiarizados.

El porqué del principio de Arquímedes

Es posible demostrar el principio de Arquímedes de un modo mucho más técnico del que voy a usar aquí –daré alguna pista en un cuadro de texto pero lo haremos matemáticamente en un nivel superior de este bloque–, pero por mi experiencia al enseñar esto a lo largo de los años, la explicación que vas a leer es la que más frecuentemente produce un “encendido de bombilla” en quien aprende — si eres profesor sabes a lo que me refiero, la expresión en sus caras de“¡Oooooh, ahora todo tiene sentido!” para la que vives cada día.

Volvamos al ejemplo de la pelota y la piscina. Estás tranquilamente en el agua –seguramente flotando, pero a eso llegaremos luego–, con una pelota junto a ti, e intentas meter la pelota bajo el agua, pero te cuesta muchísimo. ¿Cómo puede ser tan difícil hundir la pelota diez centímetros?

Porque, en tu cabeza, estás haciendo una cosa: hundir la pelota.

Pero, en la realidad, estás haciendo dos cosas, una muy fácil y otra no tanto: bajar la pelota y subir el agua.

Como bien sabía Arquímedes –y era tal obviedad que, insisto, esto no es su principio–, al meter la pelota en el agua estás subiendo agua, puesto que donde está ahora la pelota antes había agua, pero ahora ya no: hay una pelota. Una imagen vale más que mil palabras:

Antes (izquierda) y después (derecha). Las líneas onduladas representan el volumen que ocupa la pelota (no está en proporción).

Bajar la pelota, por lo tanto, no es lo que te está costando, sino lo segundo que haces: levantar agua es difícil, porque como vimos al principio del bloque el agua es bastante densa (una tonelada por cada metro cúbico). Al meter la pelota en agua es como si además levantaras una “pelota fantasma” hecha de agua.

Puedes imaginar la situación, porque es equivalente a ella, como la siguiente: un balancín en el que, en un lado, está tu pelota, y en el otro la “pelota fantasma”:

Pelota real (izquierda) y pelota fantasma hecha de agua (derecha).

Inicialmente el balancín está como se muestra en la figura: como el agua es más densa que tu pelota, pesa más la pelota fantasma que la real, de modo que el balancín está inclinado a la derecha. ¿Ves ahora que al empujar tu pelota hacia abajo, inevitablemente elevas la pelota hecha de agua hacia arriba? Eso puede ser muy difícil si la cantidad de agua que desplaza tu pelota (es decir, su gemela hecha de agua) es muy grande.

Una explicación más rigurosa

Aunque no usemos fórmulas (como dije antes, eso lo haremos en un nivel superior), es posible comprender una demostración más rigurosa del principio de Arquímedes que la que acabo de dar, ya que este fenómeno es una consecuencia inevitable de la existencia de la presión debida al peso del propio fluido, y creo que ese concepto ya lo tienes claro a estas alturas del bloque.

Cuando la pelota está sumergida en el agua, sufre la presión del líquido que empuja hacia dentro las paredes de la pelota, tanto más cuanto más profunda se encuentra la pelota.

Pero no todas las partes de la pelota están a la misma profundidad.

La presión sobre la parte izquierda y la parte derecha de la pelota es idéntica: una empuja la pared de la pelota hacia la derecha, la otra hacia la izquierda, con lo que ambas se anulan. Claro, si fuera una profundidad muy grande estas presiones podrían incluso romper la pelota, pero no estamos hablando de eso ahora.

Pero la presión sobre la pared superior (hacia dentro, es decir, hacia abajo) y la presión sobre la pared inferior (hacia dentro, es decir, hacia arriba) no son iguales. Inevitablemente, la presión hacia arriba sobre la parte inferior va a ser más grande, porque está más profundamente sumergida. De modo que la presión hacia arriba gana a la presión hacia abajo, y la pelota sufre una fuerza neta hacia arriba.

Puedes pensar entonces que dos cuerpos con el mismo volumen pueden sufrir empujes distintos si uno es muy “plano” y el otro no, pero si haces cálculos verás que no es así: si tienen el mismo volumen, el muy “plano” será muy “ancho”, y el otro será muy “delgado”. Así, la diferencia de presiones será mayor para el segundo cuerpo, pero lo que mueve el cuerpo es la fuerza, es decir, la presión multiplicada por la superficie, y ésa será igual para ambos cuerpos.

¿Qué sucede cuando dejas de empujar la pelota hacia abajo cuando está bajo el agua? En términos de nuestra analogía del balancín, que la pelota fantasma de agua (que pesa más que la real) desciende de nuevo, empujando a su vez hacia arriba a la pelota de verdad, de modo que todo vuelve al equilibrio — lo más denso abajo, lo menos denso arriba.

Si te das cuenta, la naturaleza de los fluidos es lo que permite este comportamiento, y pensarlo de este modo es otra manera de ayudarte a asimilar el porqué y cómo del principio. En el caso de los sólidos es posible tener, por ejemplo, una piedra encima de tu cabeza, a pesar de que la piedra es más densa que tu cuerpo. Sí, la piedra pesa, pero tu cabeza sostiene su peso y la piedra se queda ahí arriba.

Pero si la piedra es fluida –por ejemplo, la misma masa pero hecha de agua– entonces la cosa cambia: puesto que la piedra puede fluir, cada partícula descenderá por los lados de tu cabeza hasta llegar al suelo. Ya, ya sé que hasta aquí no has sufrido ningún empuje, ¡paciencia!

Imagina ahora que no se trata de una pequeña piedra, sino de un volumen de agua tan grande como la habitación en la que te encuentras. Una vez más, el agua fluirá hacia abajo, al suelo. Pero como ahora hay mucha agua, una vez se haya cubierto todo el suelo de agua el resto del volumen del líquido tendrá que situarse sobre él, rellenando toda la habitación como si fuera una piscina.

Pero ¿toda la habitación? No, toda la habitación no, porque tú estás dentro de ella.

La única manera de que el agua pueda rellenar el espacio junto al suelo que ocupa tu cuerpo es “colándose” debajo de ti, es decir, empujándote hacia arriba para ocupar tu espacio. Pero si lo consigue y ocupa el espacio bajo tus pies, elevándote un poquito, el problema seguirá ahí: el agua que ocuparía el espacio que rellenas tú ahora mismo no puede hacerlo, porque estás tú ahí. De modo que hará lo mismo, empujándote hacia arriba para rellenar ese espacio… y así hasta que el agua te haya “escupido” por arriba. Esa fuerza que te impulsa hacia arriba tiene por lo tanto como causa el peso del agua hacia abajo: lo que pasa es que ahora, para que ese peso del agua pueda moverla, debe también empujarte a ti hacia arriba. Y esa fuerza es el empuje.

Evidentemente, seguro que estás dándote cuenta de lo que no estamos hablando: ¡tu cuerpo también pesa! No va a dejarse avasallar así por el agua sin luchar por ocupar el espacio del fondo. Y de la relación entre ambas fuerzas (el peso del agua que ocupa tu cuerpo y el peso real de tu propio cuerpo) hablaremos en el siguiente capítulo del bloque, como hizo el propio Arquímedes en su tratado. Como siempre, paciencia.

¿De qué depende el empuje?

Aunque aquí no hagamos demasiados números, sí quiero dejar bien claro de qué factores depende entonces la fuerza vertical hacia arriba que sufre cualquier cuerpo sumergido en un fluido — es decir, en términos arquimedianos, el empuje. Para comprenderlo no hace falta más que visualizar una vez más el balancín con una pelota real en un lado y la pelota fantasma de agua, que debemos elevar para hundir la nuestra, en el otro.

En primer lugar, el empuje es proporcional al volumen del objeto: cuanta más agua desplace nuestra pelota, más agua tendremos que levantar al hundirla y más fuerza tendremos que realizar.

En segundo lugar, el empuje es proporcional a la densidad del fluido. Si en vez de sumergir la pelota en agua lo hacemos en mercurio, que es muchísimo más denso, tendremos que elevar un volumen de mercurio mucho más pesado que si se tratase de agua.

En tercer lugar, el empuje es proporcional a la aceleración de la gravedad. Si intentaras hundir una pelota en una piscina de Júpiter, aunque la masa de agua que elevas fuera la misma que aquí, la fuerza necesaria sería muchísimo mayor por la tremenda gravedad joviana.

Observa, sobre todo, de lo que no depende el empuje: del peso de nuestra pelota. Da exactamente igual cuánto pese, el empuje será siempre el mismo mientras tenga el mismo volumen. Esto no quiere decir, por cierto, que la masa no influya en lo que sucede en absoluto, sino que no influye sobre el empuje. En el siguiente capítulo del bloque introduciremos el peso de la propia pelota en el problema y entonces sí que nos importará la masa (y, por tanto, el peso) de la pelota.

Arquímedes y la corona (II)

Volvamos pues a la historia de Arquímedes y la corona, pero en la versión que Galileo y varios historiadores latinos consideraban correcta. ¿Cómo resolvió el siciliano el problema con precisión e inteligencia utilizando el principio que lleva su nombre, sin necesidad de hacer ningún cálculo de densidad explícito?

Arquímedes puso la corona votiva en uno de los extremos de una balanza, y en el otro fue añadiendo oro puro –del que Hierón tenía mucho– hasta que la balanza quedó completamente equilibrada.

Cuando el siracusano alcanzó esta situación estuvo seguro de algo: el oro puro de la derecha pesaba exactamente lo mismo que la corona de la izquierda. Si la corona estaba hecha de oro puro, por lo tanto, el volumen de la corona y del oro sería exactamente el mismo. Creo que, si has asimilado el principio de Arquímedes, ya imaginas por dónde van los tiros del astuto siciliano.

Dicho en términos de este artículo, eso significaría que al sumergir corona y oro en el agua, ambos objetos sufrirían exactamente el mismo empuje. De modo que eso es exactamente lo que hizo Arquímedes: sumergir la balanza con los dos objetos en agua. Y lo que sucedió fue esto:

La corona sufrió un empuje mayor que el oro. ¡Pero eso era imposible si ambos estaban hechos de la misma sustancia! Si la corona sufría más empuje que la misma masa de oro eso quería decir que la corona ocupaba un volumen ligeramente mayor. Dicho de otro modo, que la corona tenía alguna otra cosa mezclada con el oro, alguna cosa más ligera que ese metal.

El orfebre era un sinvergüenza y Arquímedes, sin duda, un tipo sin igual. Los romanos tenían razón en tenerle miedo.

Sin embargo, hay algo de lo que no hemos hablado aún: sí, un objeto sufre una fuerza hacia arriba al sumergirse en un fluido, pero ¿qué hay de su propio peso? ¿por qué no lo tenemos en cuenta? De eso precisamente hablaremos en la siguiente entrega del bloque, en la que combinaremos peso y empuje para ver quién gana — estudiaremos la flotabilidad.

Ideas clave

Para afrontar el resto del bloque –sobre todo el siguiente capítulo– con garantías, deben haberte quedado meridianamente claros los siguientes conceptos:

El principio de Arquímedes no dice absolutamente nada sobre que el nivel de un fluido suba al introducir en él un objeto.

Al sumergir cualquier cosa en un fluido –líquido, gas o plasma– ese objeto sufre una fuerza hacia arriba, llamada empuje.

La causa del empuje es el hecho de que el fluido tiende a descender debido a su propio peso, y por tanto a empujar hacia arriba los objetos para ocupar el espacio que están ocupando ellos.

El empuje depende del volumen del objeto, la densidad del fluido en el que se sumerge y la gravedad del lugar.

Hasta la próxima…

Una de las cosas interesantes acerca del principio de Arquímedes es que es aplicable a cualquier fluido, no sólo el agua y no sólo los líquidos. El aire que respiramos también es un fluido, luego también pesa y produce un empuje hacia arriba sobre los objetos sumergidos en él: como vimos en el capítulo anterior, vivimos en el fondo de un océano de aire, ¡y sufrimos empuje!

De modo que en el desafío de hoy estimaremos cuánto vale ese empuje que sufrimos: evidentemente es pequeño, pero ¿cuánto? Este tipo de curiosidad es la base de la ciencia, de modo que hagamos ciencia juntos.

Desafío 3 – Empuje atmosférico

El objetivo de este desafío es que estimes el empuje que sufre un cuerpo humano típico. ¡Ojo! Puede que te haga falta consultar capítulos anteriores, como el de la densidad, sin los recuerdas ya. Para tener datos concretos, supongamos lo siguiente (ya que queremos una idea general más que un resultado exacto):

El cuerpo en cuestión tiene una masa de 60 kg.

La densidad del cuerpo humano es de unos 1 000 kg/m3.

La densidad del aire es de unos 1,2 kg/m3.

De modo que ¿qué empuje sufre el cuerpo humano? Puedes resolverlo como te dé la gana, y no te preocupes demasiado por los redondeos porque no importa el número exacto. La respuesta, como siempre, en el siguiente artículo del bloque.