Mates

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Joaquin Retamosa Granado iokin@nuc3.fis.ucm.es http://nuc3.fis.ucm.es

Pablo M. García Corzo ozrocpablo@gmail.com http://alqua.org

Cálculo multivariable

versión 0.1

20/10/2007

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Pablo M. García Corzo ozrocpablo@gmail.com

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Índice general

Copyleft II

Índice general V

1 Geometría y topología de Rq 1

1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 El espacio euclídeo Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Producto escalar y distancia euclídea . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2. Bases ortogonales en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3. Volumen de un sistema de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Clasificación de los subconjuntos de Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.1. Bolas en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.2. Intervalos en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.3. Conjuntos abiertos, cerrados y compactos . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Primera toma de contacto con las funciones reales . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.5 Curvas en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5.1. Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5.2. Ecuaciones vectoriales y paramétricas de una curva . . . . . . . . . . 32

1.6 Superficies en Rq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6.1. Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6.2. Ecuaciones escalares de una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.7 Otros sistemas de Coordenadas en R2 y R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.7.1. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.7.2. Coordenadas polares generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1.7.3. Coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.7.4. Coordenadas esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.A Caracterización de regiones en el plano y el espacio . . . . . . . . . . . . . . . 44

1.A.a. Caracterización de regiones en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.A.b. Caracterización de regiones .sólidas.en el espacio . . . . . . . . . 47

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2 Funciones reales escalares 51

2.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2 Representación gráfica de funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2.1. Gráfica de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2.2. Conjuntos de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2.3. Secciones de una gráfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.3 Límites y continuidad de funciones escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.4 Derivabilidad de una función escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4.1. Interpretación geométrica de las derivadas . . . . . . . . . . . . . . 78

2.5 Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

2.A Representación de superficies cuádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.A.a Elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

BORRADOR

ÍNDICE GENERAL

2.A.b Hiperboloide de una hoja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.A.c Hiperboloide de dos hojas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

2.A.d El Cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.A.e El paraboloide elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2.A.f El paraboloide hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2.B Caracterización de regiones delimitadas por superficies cuádricas . . . . . . . . 96

2.C Algunos trucos para el cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.C.a Límites de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

2.C.b Cálculo de límites en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3 Diferenciabilidad de las funciones escalares 107

3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

3.2 Definición de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.3 Propiedades de las funciones escalares diferenciables . . . . . . . . . . . . . . 113

3.4 Propiedades del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

3.5 Plano tangente y recta normal a una superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

3.6 Algunos teoremas de las funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.6.1. El teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

3.6.2. La regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

3.6.3. Diferenciación implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.6.4. Funciones continuamente diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . 135

3.6.5. Desarrollo finito de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

4 Funciones vectoriales 145

4.1 Definición de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.2 Diferenciabilidad de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.2.1. Límites y continuidad de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . 147

4.2.2. Diferenciabilidad de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . 151

4.3 Campos escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.3.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.3.2. Representación gráfica de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . 160

4.3.3. Gradiente, divergencia y rotacional de un campo . . . . . . . . . . . 161

4.3.4. Interpretación de la divergencia y el rotacional . . . . . . . . . . . . 162

4.3.5. Algunas relaciones básicas del operador ∇ . . . . . . . . . . . . . . 165

4.3.6. Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

4.4 Curvas parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

4.4.1. Derivadas de una trayectoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

4.4.2. Curvas suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

4.5 Integrales sobre curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.5.1. Partición y medida de un arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

4.5.2. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

4.5.3. Integrales de línea y arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

4.5.4. Influencia de la orientación de la curva . . . . . . . . . . . . . . . . 183

4.5.5. Integrales de línea de campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . 185

4.A Curvatura y sistema intrínseco de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4.A.a Definición de Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

4.A.b Triedro intrínseco de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

ÍNDICE GENERAL VII

5 Extremos de las funciones escalares 197

5.1 Definición de extremo local o relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5.2 Condición necesaria de extremo local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

5.3 Condición suficiente de extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

5.3.1. Desarrollo de Taylor alrededor de un punto crítico . . . . . . . . . . 203

5.3.2. La diferencial segunda como forma cuadrática . . . . . . . . . . . . 204

5.3.3. Criterio de suficiencia de la diferencial segunda . . . . . . . . . . . . 205

5.3.4. Criterio de la diferencial segunda en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5.4 Extremos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

5.5 Extremos condicionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

El proyecto libros abiertos de Alqua 221

Otros documentos libres 226

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

Tema 1

Nociones sobre la geometría y topología de Rq

1.1 Introducción

Uno de los conceptos fundamentales de las matemáticas es el número. Introducido en la antigüedad,

el concepto se ha ido generalizando y profundizando con el tiempo. El número es

esencial en el desarrollo de diversas disciplinas como la Física, la Química, la Economía o la

Informática. Las magnitudes físicas1 están definidas por un valor numérico, un error (también

numérico) asociado a las limitaciones del proceso de medida y una unidad adecuada a su dimensión.

Las matemáticas estudian las magnitudes haciendo abstracción de su naturaleza y de como

han sido medidas, es decir, no tienen en consideración unidades o posibles errores. De forma genérica

consideraremos que los valores numéricos carecen de dimensiones y en los pocos casos

en que les asociemos una dimensión no utilizaremos un sistema de unidades concreto.

El cero, los números naturales N y sus opuestos constituyen el conjunto de los números enteros

Z. Todas las razones de dos números enteros p/q (con q 6= 0) dan lugar a los números

racionales que se denotan por Q. Los números enteros son un subconjunto de los racionales,

Z ⊂ Q, ya que cualquier entero p se puede escribir como la razón p/1 de dos números enteros.

Los números fraccionarios se pueden representar por fracciones finitas o por fracciones

periódicas infinitas; por ejemplo

= 2.5,

= 3.333 . . .

Existen además números en forma de fracciones indefinidas aperiódicas que se denominan

irracionales. Ejemplos de estos números son

√2, lím

n→∞

1 +

La unión de ámbos tipos de números, racionales e irracionales, da lugar al conjunto de los

números reales R. Los números reales están ordenados: para cualquier par x e y se cumple una

y sólo una de las siguientes relaciones x < y, x = y, x > y.

Otro hecho importante es que R puede representarse geométricamente como una recta. Se

llama recta real o eje númerico a una recta infinita en la que se han establecido: i) un origen que

se denota habitualmente como O, ii) un sentido positivo (señalizado mediante una flecha) y iii)

una escala para medir longitudes. Normalmente la recta real se representa en posición horizontal

y se considera positivo el sentido izquierda-derecha. Cuando x es positivo se representa mediante

un punto P situado a la derecha de O y a una distancia d(O, P) = x. Si es negativo se le

representa por un punto Q situado a la izquierda de O y a una distancia d(O, P) = −x. El cero

corresponde al propio origen O.

Por este método cada número real x está representado por un punto P de la recta real. Diremos

que el valor numérico x (incluyendo el signo) es la .distancia orientada.del punto P al origen.

1Elegimos este ejemplo ya que el curso está orientado a los alumnos de la Licenciatura en Física.

BORRADOR

TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

P X

Figura 1.1: La recta real

La relación es biunívoca: dos puntos distintos caracterizan números reales distintos. Y por ello

los términos número real y punto del eje real son sinónimos y así los utilizaremos.

En lo que sigue utilzaremos las siguientes propiedades de los números reales, que aceptaremos

sin demostración:

1. Dados dos números reales arbitrarios x < y, existen números reales z, tanto racionales

como irracionales, que verifican que x < z < y.

2. Todo número irracional se puede expresar con grado de precisión arbitrario mediante

números racionales.

1.2 El espacio euclídeo Rq

1.2.1 Producto escalar y distancia euclídea

De forma análoga existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de un plano y pares

ordenados de números reales, que reciben el nombre de coordenadas del punto. Consideremos

dos rectas perpendiculares situadas sobre el plano a las que llamaremos ejes coordenados X e

Y ; elegiremos su intersección O como origen de coordenadas, definiremos sobre ámbos ejes

una escala adecuada y asociaremos el origen de coordenadas con el par (0, 0). Dado un punto

P trazamos dos segmentos que pasan por él y son perpendiculares a los ejes. Sus intersecciones

con los ejes definen dos puntos a los que corresponden valores numéricos x0 e y0, tal como se

muestra en la figura 1.2. Los dos números del par ordenado (x0, y0) se denominan coordenadas

cartesianas del punto P.

y0 P

Figura 1.2: Coordenadas cartesianas en el plano

Los puntos en el espacio se caracterizan de forma similar mediante ternas de números reales

ordenados. Elijamos tres rectas perpendiculares entre sí, que se cortan en un punto del espacio.

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

1.2. EL ESPACIO EUCLÍDEO RQ 3

Las tres rectas reciben el nombre de ejes coordenados X, Y y Z y su intersección O el nombre

de origen de coordenadas. Definimos una escala adecuada sobre los tres ejes coordenados y

asociamos la terna (0, 0, 0) al origen de coordenadas. Dado un punto P procedemos como antes:

trazamos segmentos que pasan por dicho punto y son perpendiculares a los ejes coordenados;

sus intersecciones con dichos ejes definen tres puntos caracterizados por los números x0, y0 y

z0, que reciben el nombre de coordenadas cartesianas del punto P.

La elección de los ejes X, Y y Z es arbitraria a excepción de las dos reglas siguientes:

1. Los tres ejes son perpendiculares entre sí.

2. Su sentido positivo queda establecido por los dedos pulgar, índice y corazón de la mano

derecha situada sobre la terna de ejes.

$x$

$x_0$

$y_0$

\bf P

$z$

$z_0$

$y$

Figura 1.3: Coordenadas cartesianas en el espacio

Cuando se introduce el concepto de distancia euclídea entre dos puntos, la recta, el plano y el

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

BORRADOR

TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

espacio son ejemplos particulares de lo que se llaman espacios euclídeos

Definición 1.1 (Espacio Euclídeo)

El espacio euclídeo (q − dimensional) Rq, con q ∈ N, es el conjunto formado por

todas la sucesiones −→x = (x1, x2, · · · , xq) de q números reales.

Un elemento de Rq se denomina frecuentemente un punto en Rq; R1, R2 y

R3 se denominan la recta, el plano y el espacio respectivamente. Los números

x1, x2, · · · , xq son las coordenadas cartesianas de −→x .

Los elementos de Rq se denominan también vectores en Rq, ya que este espacio es

un espacio vectorial con las operaciones usuales:

−→x + −→y = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xq + yq),

λ−→x = (λx1, λx2, · · · , λxq),

y por tanto también será correcto denominar a los números x1, x2, · · · , xq componentes

del vector −→x .

En este espacio se introducen los conceptos de producto escalar de dos vectores

−→x ,−→y

i=1

xiyi,

y se definen la norma euclídea de un vector −→x ∈ Rq

−→x

−→x ,−→x

x2i

y la distancia entre dos elementos de Rq

􀀀−→x ,−→y

−→y − −→x

(xi − yi)2

En el caso particular de R la norma coincide con el valor absoluto, es decir, kxk =

|x| y por tanto d (x, y) = |x − y|.

Dado que la norma y la distancia se definen de forma subsidiaria al producto escalar de dos

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

1.2. EL ESPACIO EUCLÍDEO RQ 5

elementos de Rq, todas sus propiedades serán consecuencia directa de las propiedades de éste.

Teorema 1.1 (Propiedades del producto escalar)

Si −→x , −→x 1, −→x 2 e −→y , −→y 1, −→y 2 son elementos del espacio Rq y λ ∈ R, entonces se

cumple que:

1. Simetría:

−→x ,−→y

−→y ,−→x

2. Bilinealidad:





λ−→x ,−→y

−→x , λ−→y

= λ

−→x ,−→y

−→x ,−→y 1 + −→y 2

−→x ,−→y 1

−→x ,−→y 2

−→x 1 + −→x 2,−→y

−→x 1,−→y

−→x 2,−→y

3. Positividad:

−→x ,−→x

≥ 0 y

−→x ,−→x

= 0 sys −→x = −→0 .

Demostración 1.1

−→x ,−→y

i=1

xiyi =

i=1

yixi =

−→y ,−→x

2. En virtud de la propiedad precedente bastará con demostrar que

λ−→x ,−→y

= λ

−→x ,−→y

−→x ,−→y 1 + −→y 2

−→x ,−→y 1

−→x ,−→y 2

para completar la demostración del punto 2. En efecto,

λ−→x ,−→y

i=1

λxiyi = λ

i=1

xiyi = λ

−→x ,−→y

−→x ,−→y 1 + −→y 2

i=1

xi(y1i + y2i) =

i=1

xiy1i +

i=1

xiy2i =

−→x ,−→y 1

−→x ,−→y 2

−→x ,−→x

i=1 x2i

, y la suma de un número finito de sumandos positivos o cero es siempre

positiva o nula; para que la suma sea cero todos y cada uno de los sumandos deben ser nulos.

Las propiedades de la norma de un vector se deducen de forma trivial a partir de las ecuaciones

enunciadas en el teorema 1.1

Teorema 1.2 (Propiedades de la norma)

Si −→x , −→y son elementos del espacio Rq y λ ∈ R, entonces

−→x

≥ 0 y

−→x

= 0 sys −→x = −→0 ,

λ−→x

= |λ|

−→x

−→x ,−→y

≤

−→x

−→y

−→x

−→y

≤

−→x

−→y

Demostración 1.2

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

BORRADOR

TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

Dejando como ejercicio la demostración de las dos primeras propiedades, nos centraremos en las

dos últimas.

3. Si −→x ó −→y son nulos la igualdad se satisface de forma trivial. Supongamos que −→x e −→y son no

nulos y linealmente dependientes (−→y = λ−→x); entonces

−→x ,−→y

i=1

xi(λxi) = λ

i=1

x2i

= λ

−→x

= λ/|λ|

−→x

−→y

Por lo tanto

(

−→x,−→y

−→x

−→y

, si λ > 0,

−→x,−→y

= −

−→x

−→y

< kxk kyk , si λ < 0.

Si, por el contrario, −→x e −→y son linealmente independientes, es decir, −→y − λ−→x 6= −→0 ∀λ ∈ R,

entonces

0 <

λ−→x − −→y

λ−→x − −→y , λ−→x − −→y

= λ2

−→x

−→y

− 2λ

−→x ,−→y

El miembro de la derecha define una parábola en la variable λ; para que dicha parábola no corte al

eje λ = 0 debe cumplirse que

−→x ,−→y

− 4

−→x

−→y

< 0,

de donde se deduce fácilmente que −

−→x

−→y

−→x ,−→y

−→x

−→y

. Así, cualquiera que

sea el caso la propiedad 3 es correcta.

−→x + −→y

−→x + −→y ,−→x + −→y

−→x

−→y

+ 2

−→x ,−→y

≤

−→x

−→y

+ 2

−→x

−→y

􀀀

−→x

−→y

Calculando la raiz cuadrada positiva de esta relación obtenemos inmediatamente la propiedad

enunciada en cuarto lugar.

Enunciamos a continuación las propiedades fundamentales de la distancia euclídea, cuya demostración

dejamos como ejercicio para el lector

Teorema 1.3 (Propiedades de la distancia euclídea)

Bajo las mismas condiciones que en el teorema 1.2 se verifica

1. d

􀀀−→x ,−→y

≥ 0 y d

􀀀−→x ,−→y

= 0 sys −→x = −→y ,

2. d

􀀀−→x ,−→y

= d

􀀀−→y ,−→x

3. d

􀀀−→x ,−→z

≤ d

􀀀−→x ,−→y

+ d

􀀀−→y ,−→z

Ejemplo 1.1

Demostremos que la función d1

􀀀−→x ,−→y

= |x1 − y1| + |x2 − y2|, definida en R2, satisface todas las

propiedades de la distancia euclídea y que por tanto es una definición alternativa de distancia en R2 (la

generalización a un número arbitrario de dimensiones es inmediata).

1. La positividad de d1 es evidente: d1

􀀀−→x ,−→y

= |x1 − y1| + |x2 − y2| ≥ 0. Además

􀀀−→x ,−→y

= 0 ⇔ |x1 − y1| + |x2 − y2| = 0

⇔

|x1 − y1| = 0 ↔ x1 − y1 = 0 ↔ x1 = y1

|x2 − y2| = 0 ↔ x2 − y2 = 0 ↔ x2 = y2

⇔ −→x = −→y .

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

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1.2. EL ESPACIO EUCLÍDEO RQ 7

2. d1

􀀀−→x ,−→y

= |x1 − y1| + |x2 − y2| = |y1 − x1| + |y2 − x2| = d1

􀀀−→y ,−→x

3. d1

􀀀−→x ,−→y

= |x1 − y1| + |x2 − y2| = |x1 − z1 + z1 − y1| + |x2 − z2 + z2 − y2|, y utilizando

que |A + B| ≤ |A| + |B|, resulta

􀀀−→x ,−→y

≤ |x1 − z1| + |x2 − z2| + |z1 − y1| + |z2 − y2| = d1

􀀀−→x ,−→z

+ d1

􀀀−→z ,−→y

Una vez que el lector ha aceptado a d1 en el .club de las distancias respetables.podemos estudiar

el aspecto de la circunferencia asociada a la nueva distancia. La definición general de circunferencia de

radio R (centrada en el origen de coordenadas) es

C ,

(x, y) ∈ R2 \. d (x, y , 0, 0) = R

y particularizando para la distancia d1

C ,

(x, y) ∈ R2 \. |x| + |y| = R

Por cuadrantes la expresión precedente se escribe como

1. x > 0, y > 0. x + y = R −→ y = R − x.

2. x < 0, y > 0. −x + y = R −→ y = R + x.

3. x < 0, y < 0. −x − y = R −→ y = −R − x.

4. x > 0, y < 0. x − y = R −→ y = −R + x.

Así, en cada cuadrante la circunferencia coincide con un segmento de recta. Uniendo los cuatro segmentos

concluimos que la circunferencia es un polígono de cuatro lados perpendiculares entre sí y que

forman ángulos de 45 grados con los ejes.

Figura 1.4: Esto también es una circunferncia

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

BORRADOR

TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

1.2.2 Bases ortogonales en Rq

El siguiente teorema muestra que el ángulo interno que forman dos vectores del plano o del

espacio está estrechamente ligado a su producto escalar

Teorema 1.4 (Ángulo entre dos vectores del espacio)

Sean −→u y −→v dos vectores del plano o del espacio y θ ∈ [0, π] el ángulo interno que

forman dichos vectores, entonces se cumple que

−→u,−→v

−→u

−→v

cos θ.

Demostración 1.4

k−→b − −→a k

−→b − −→a

−→b

−→a

Figura 1.5: Ley de los cosenos

Acudimos a la trigonometría para demostrar este teorema.

Aplicando la ley de los cosenos al triángulo que

tiene un vértice en el origen de coordenadas y dos de

sus lados adyacentes definidos por los vectores−→u y −→v ,

tal como se muestra en la figura, obtenemos

−→v − −→u

−→u

−→v

− 2

−→u

−→v

cos θ.

y por la definición de norma

−→v − −→u

−→v − −→u,−→v − u

−→v

−→v ,−→v

−→v

−→u,

resulta

−→v − −→u,−→v − −→u

−→v ,−→v

−→u,−→u

− 2

−→u

−→v

cos θ.

Ahora bien

−→v − −→u,−→v − −→u

−→v ,−→v

−→u,−→u

− 2

−→u,−→v

con lo cual

−→v ,−→v

−→u,−→u

− 2

−→u,−→v

−→v ,−→v

−→u,−→u

− 2

−→u

−→v

cos θ,

o lo que es lo mismo

−→u,−→v

−→u

−→v

cos θ.

Si los vectores −→u y −→v son no nulos podemos despejar

cos θ =

−→u,−→v

−→u

−→v

Para generalizar este resultado utilizamos que cualquiera que sea la dimensión del espacio

euclideo se cumple que (veáse la demostración 1.2 )

−

−→x

−→y

−→x ,−→y

−→x

−→y

y si los dos vectores son distintos del vector nulo tenemos

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

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1.2. EL ESPACIO EUCLÍDEO RQ 9

−1 ≤

−→x ,−→y

−→x

−→y

≤ 1.

Teniendo en cuenta que |cos(θ)| ≤ 1 y el teorema 1.4 convenimos en definir el ángulo interno

que forman dos vectores no nulos como

Definición 1.2

Sean −→x y −→y dos vectores no nulos de Rq; se define el agulo interno (agudo) θ que

forman estos dos vectores como

cos θ ,

−→x ,−→y

−→x

−→y

Dos vectores no nulos −→x ,−→y ∈ Rq se dicen ortogonales si el ángulo interno que forman es

θ = π/2, lo cual, según la definición precedente, implica que

−→x ,−→y

= 0.

Definición 1.3 (Base de Rq)

Todo conjunto formado por q vectores de Rq linealmente n independientes,

−→b i, i = 1, 2, . . . , q

, es una base de dicho espacio vectorial. Puede demostrarse

que cualquier vector −→x ∈ Rq puede descomponerse de forma única como una

combinación lineal de los vectores de la base, es decir

−→x = α1−→b 1 + α2−→b 2 + · · · αq−→b q =

i=1

αi−→b i,

donde α1, α2, . . . , αq son números reales. La combinación lineal anterior se llama

descomposición del vector −→x según la base y los números αi se denominan

componentes (o coordenadas) del vector −→x en la base dada.

El hecho de que el vector se defina mediante las componentes αi (en la base dada) se denota

habitualmente como

−→x = (α1, α2, · · · , αq) ,

y no será necesario precisar a qué base nos referimos siempre que esto no conduzca a ningún

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

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TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

tipo de ambigüedad.

Definición 1.4 (Bases ortogonales)

Una base del espacio euclídeo Rq,

−→b i, i = 1, 2, . . . , q

, se dice que es ortogonal

si sus vectores son ortogonales entre sí dos a dos, es decir

−→b i,−→b j

= 0, si 1 ≤ i 6= j ≤ q.

Si además se verifica que

−→b i,−→b j

= δi,j =

(

1, si i = j,

0, si i 6= j,

la base es ortonormal.

De forma más fundamental puede demostrarse que todo conjunto de vectores ortogonales entre

sí dos a dos es siempre un sistema linealmente independiente y que en todo espacio vectorial

existen bases ortogonales.

A lo largo de este curso sólo consideraremos bases de este tipo lo que nos permite aplicar una

variedad de corolarios útiles. Sabemos que todo vector −→x ∈ Rq admite una descomposición

única

−→x =

j=1

αj−→b j .

Multiplicando escalarmente la igualdad anterior por el vector −→b i resulta

−→x ,−→b i

j=1

αj

−→b j ,−→b i

= αi

−→b i

por lo que podemos despejar la componente αi

αi =

−→x ,−→b i

−→b i

2 , i = 1, 2, . . . , q,

y utilizando la relación entre el producto escalar de dos vectores y el ángulo que forman

αi =

−→x

−→b i

cos θi

−→b i

2 =

−→x

cos θi

−→b i

donde θi es el ángulo agudo que forman el vector −→x y el i-ésimo vector de la base. Si para otro

vector −→y tiene lugar la descomposición

−→y =

j=1

βj−→b j ,

entonces el producto escalar de ámbos vectores puede escribirse como

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

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1.2. EL ESPACIO EUCLÍDEO RQ 11

−→x ,−→y

*Xq

i=1

αi−→b i,

j=1

βj−→b j

i,j=1

αiβj

−→b i,−→b j

i=1

αiβi

−→b i

En particular la norma del vector −→x se escribe

−→x

i=1

α2i

−→b i

Si la base es ortonormal las expresiones anteriores se simplifican bastante ya que todas las

normas se reducen a la unidad, es decir

αi =

−→x ,−→b i

−→x ,−→y

i=1

αiβi,

−→x

i=1

α2i

Definición 1.5 (Proyección ortogonal)

El vector

−→P i = αi−→b i =

−→x ,−→b i

−→b i

2 −→b i, i = 1, 2, . . . , q,

se denomina proyección ortogonal del vector −→x sobre el vector −→b i

θi

−→x

−→bi

−→Pi

Figura 1.6: Proyeccion ortogonal

Para comprender el significado del vector −→P i

consideremos, tal como se muestra en la figura,

los dos vectores −→x y −→b i. Trazamos un segmento

de recta que pasa por el extremo del vector −→x

y que corta perpendicularmente a la recta definida

por el vector −→b i; el segmento dirigido que parte

del origen de coordenadas y termina en la intersección

es −→P i. No resulta muy difícil comprobarlo:

el segmento dirigido en cuestión es paralelo al

vector unitario −→b i/

−→b i

y tiene como longitud

(orientada)

−→x

cos θi, esto es

􀀀

−→x

cos θi

. −→b i

−→b i

= αi−→b i = −→P i.

Trabajaremos habitualmente con la base estándar, cuyos elementos se denotan por {−→e i \. i =

1, 2, · · · , q}. Se trata de vectores unitarios definidos de tal forma que −→e i está dirigido según el

sentido positivo del i-ésimo eje de coordenadas. Los vectores de la base estándar forman por

definición un sistema ortonormal, esto es,

−→e i,−→e j

= δi,j . Cuando trabajemos en el plano o

en el espacio, los tres vectores de la base estándar −→e 1,−→e 2 y −→e 3 se denotarán frecuentemente

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TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

por los símbolos −→ı , −→ y −→k respectivamente. También es habitual en este caso denotar las

coordenadas cartesianas de un punto por x, y, z en lugar de x1, x2, x3.

Ejemplo 1.2 (Ángulos directores de un vector)

Llamamos ángulos directores de un vector a los ángulos internos entre éste y los vectores −→b i de la

base. Según hemos visto en la sección precedente la descomposición de un vector en una base se puede

expresar como

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1.2. EL ESPACIO EUCLÍDEO RQ 13

−→x =





−→x

cos θi

−→b 1

−→x

cos θ2

−→b 2

, · · · ,

−→x

cos θq

−→b q



,

es decir,

αi =

−→x

cos θi

−→b i

y como por otra parte

αi =

−→x ,−→b i

−→b i

2 ,

resulta que

cos θi =

−→x ,−→b i

−→x

−→b i

Obviamente, si la base es ortonormal

−→x =

􀀀

−→x

cos θ1,

−→x

cos θ2, · · · ,

−→x

cos θq

cos θi =

−→x ,−→b i

−→x

Utilizando estas expresiones obtendremos los ángulos directores del vector −→x = (1, 2, 3), en la base

estándar −→ı ,−→ ,−→k . La norma del vector se calcula como

−→x

= √12 + 22 + 32 = √14. Prosiguiendo

con el cálculo tenemos

−→x ,−→ı

= 1 → cos θ1 =

√14 → θ1 = cos−1

√14

≃ 1.30

−→x ,−→

= 2 → cos θ1 =

√14 → θ1 = cos−1

√14

≃ 1.00

−→x ,−→k

= 3 → cos θ1 =

√14 → θ1 = cos−1

√14

≃ 0.64

1.2.3 Volumen de un sistema de vectores

Como paso previo a la definición del (hiper)volumen subtendido por un cierto conjunto de

vectores de Rq debemos introducir el producto vectorial y el producto mixto.

Definición 1.6 (Producto vectorial en R3)

Dados dos vectores −→a = (a1, a2, a3) y −→b = (b1, b2, b3), definimos su producto

vectorial como el nuevo vector:

−→a × −→b ,

−→i −→j −→k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

a2 a3

b2 b3

−→i −

a1 a3

b1 b3

−→j +

a1 a2

b1 b2

−→k

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TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

Conviene notar aquí que la primera identidad tiene un marcado caracter formal y sólo adquiere

sentido real cuando el determinante se desarrolla por la primera fila.

Teorema 1.5 (Propiedades del producto vectorial)

El producto vectorial de dos vectores del plano o del espacio verifica las siguientes

propiedades:

1. −→a × −→b = −−→b × −→a ; en consecuencia −→a × −→a = −→0 .

−→a

−→b

−→a

−→b

sen θ, donde θ es el ángulo agudo que forman los

dos vectores. Por lo tanto la norma del producto vectorial es igual al área del

paralelogramo subtendida por los vectores −→a y −→b .

3. (λ−→a ) × −→b = −→a × (λ−→b ) = λ(−→a × −→b ).

4. −→a × (−→b + −→c ) = −→a × −→b + −→a × −→c .

5. (−→a + −→b ) × −→c = −→a × −→c + −→b × −→c .

6. −→a × (−→b × −→c ) =

−→a ,−→c

.−→b −

−→a ,−→b

−→c .

Demostración 1.5

Las propiedades 1, 3, 4 y 5 se deducen de forma directa a partir de las propiedades de los determinantes;

aconsejamos al lector que utilice sus conocimientos de álgebra (y cierta fuerza de voluntad) para

demostrarlas. La demostración de la última propiedad se plantea como problema al final del capítulo, con

lo que nos contentaremos aquí con demostrar la propiedad número 2.

−→a

−→b

a2 a3

b2 b3

a1 a3

b1 b3

a1 a2

b1 b2

= (a2b3 − a3b2)2 + · · ·

= (a21

+ a22

+ a23

)(b21

+ b22

+ b23

) − (a1b1 + a2b2 + a3b3)2

−→a

−→b

−

−→a ,−→b

−→a

−→b

sen2 θ

(1.1)

Como θ es el ángulo agudo formado por los dos vectores y sen θ ≥ 0 si θ ∈ [0, π] podemos escribir

−→a

× −→b

−→a

−→b

sen θ.

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

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1.2. EL ESPACIO EUCLÍDEO RQ 15

−→b

−→a

Figura 1.7: Área de un paralelogramo

No resulta muy arduo convencerse de que el

miembro de la derecha nos proporciona el área

del paralelogramo definido por los dos vectores.

Imaginemos tal como muestra la figura, los dos

vectores reducidos al origen y completado el paralelogramo

mediante otros dos vectores paralelos

a los originales. Si tomamos como base del paralelogramo

al vector −→a la altura del mismo viene

dada trivialmente por

−→b

sen θ con lo cual

A = base × altura =

−→a

−→b

sen θ.

Definición 1.7 (Producto mixto en R3)

Dados tres vectores −→a , −→b y −→c del espacio, el número real

−→a ,−→b × −→c

se llama producto mixto de −→a , −→b y −→c (en dicho orden).

Teorema 1.6 (Propiedades del producto mixto)

Las propiedades básicas del producto mixto de tres vectores del espacio −→a =

(a1, a2, a3), −→b = (b1, b2, b3) y −→c = (c1, c2, c3) son:

−→a ,−→b × −→c

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

2. El producto mixto es invariante bajo permutaciones cíclicas

−→a ,−→b × −→c

−→b ,−→c × −→a

−→c ,−→a × −→b

3. El producto mixto de tres vectores linealmente dependientes o coplanares es

nulo, es decir

α−→a + β−→b ,−→a × −→b

= 0.

Demostración 1.6

1. La primera propiedad se demuestra de forma directa a partir de la definición

−→a ,−→b × −→c

a1−→ı + a2−→ + a3−→k ,

b2 b3

c2 c3

−→ı −

b1 b3

c1 c3

−→ +

b1 b2

c1 c2

−→k

= a1

b2 b3

c2 c3 − a2

b1 b3

c1 c3

+ a3

b1 b2

c1 c2

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

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TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

2,3 Estas propiedades se deducen subsidiariamente de la primera utilizando determinantología elemental.

Ejemplo 1.3

Utilizaremos el producto mixto para demostrar que los vectores −→a = (1, 4,−7), −→b = (2,−1, 4) y

−→c = (0,−9, 18), son coplanares. Utilizando la forma determinantal del producto mixto tenemos

−→a ,−→b × −→c

1 4 −7

2 −1 4

0 −9 18

= 0,

y de acuerdo con la tercera propiedad del producto mixto deducimos la coplanariedad de los vectores.

Teorema 1.7 (Volumen de un paralelepípedo)

EL producto mixto

−→a ,−→b × −→c

es, salvo un signo, igual al volumen del paralelepípedo

construido sobre los tres vectores −→a , −→b y −→c , reducidos a un origen

común.

Según afirma el teorema precedente, el volumen del paralelepípedo

construido a partir de

los tres vectores −→a = (a1, a2, a3), −→b = (b1, b2, b3) y −→c = (c1, c2, c3) viene dado por

V (

) =

...

−→a ,−→b × −→c

E...

......

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

......

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1.2. EL ESPACIO EUCLÍDEO RQ 17

Demostración 1.7

−→b × −→c

−→c

−→b

−→a

Figura 1.8: Volumen de un paralelepípedo

Considérese el sistema formado por los tres vectores

−→a , −→b y −→c que parten de un mismo punto; dicho sistema

permite construir, tal como se muestra en la figura,

un paralelepípedo. Los vectores −→b y −→c forman la base

del paralelepípedo cuyo área es A =

−→b × −→c

θ es el ángulo que forman los vectores −→a y −→b × −→c

(ortogonal a la base), la altura del paralelepípedo viene

dada por h =

−→a

|cos θ|. Así el volumen se escribe

V (

) = Ah =

−→b × −→c

−→a

|cos θ| ,

y aplicando la definción del coseno del ángulo formado por dos vectores, resulta

V (

) =

.....

−→b × −→c

kak cos θ

.....

−→a ,−→b × −→c

.....

Las definiciones de los productos vectorial y mixto en el espacio, se pueden generalizar sin

gran dificultad al caso de un espacio de dimensión arbitraria

Definición 1.8 (Producto vectorial en Rq)

Dados q − 1 vectores −→v 1,−→v 2, · · ·−→v q−1 pertenecientes a Rq(q ≥ 3) se define su

producto vectorial como

−→v 1 × −→v 2 × · · · × −→v q−1 ,

...........

−→e 1 −→e 2 · · · −→e q

v11 v12 · · · v1q

v21 v22 · · · v2q

...

. . .

...

v(q−1)1 v(q−1)2 · · · v(q−1)q

...........

Se trata de una definición formal cuyo significado es el siguiente: el vector que

denominamos producto vectorial tiene por componentes los números que resultan

de desarrollar el determinante anterior por su primera fila.

También es este caso las propiedades más importantes del producto vectorial general son

consecuencia directa de las propiedades de los determinantes; en entre ellas destacaremos las

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

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TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

que se enuncian en el siguiente teorema

Teorema 1.8 (Propiedades del producto vectorial en Rq)

1. −→v 1 × · · · × −→v i × · · · × −→v j × · · · = −−→v 1 × · · · × −→v j × · · · × −→v i × · · · ;

en particular, el producto vectorial se anula cuando el mismo vector se repite

dos o más veces

2. −→v 1 × · · · × (λ−→v i) × · · · × −→v q−1 = λ−→v 1 × · · · × −→v i × · · · × −→v q−1.

3. −→v 1 × · · · × (−→ui + −→v i) × · · · = −→v 1 × · · · × −→ui × · · ·+

−→v 1 × · · · × −→v i × · · ·

Las dos últimas propiedades se puden resumir en una sola que establece la linealidad del

producto vectorial en cualquiera de sus argumentos

Definición 1.9 (Producto mixto en Rq)

Dados q vectores −→v 1,−→v 2, · · ·−→v q pertenecientes a Rq(q ≥ 3) se define su producto

mixto como el número

−→v 1,−→v 2 × · · · × −→v q

...........

v11 v12 · · · v1q

v21 v22 · · · v2q

...

. . .

...

v(q−1)1 v(q−1)2 · · · v(q−1)q

vq1 vq2 · · · vqq

...........

Como en los casos anteriores, las propiedades del producto mixto se obtienen de forma directa

a partir de su definición como un determinante

Teorema 1.9 (Propiedades del producto mixto en Rq)

1. El producto mixto es invariante bajo permutaciones cíclicas de sus argumentos

−→v 1,−→v 2 × · · · × −→v q

−→v q,−→v 1 × · · · × −→v q−1

2. El producto mixto es lineal en todos y cada uno de sus argumentos, es decir

−→v 1, · · · × (α−→ui + β−→v i) × · · ·

= α

−→v 1, · · · × −→ui × · · ·

+ β

−→v 1, · · · × −→v i × · · ·

Cuando dos vectores del plano se reducen a un mismo punto definen un paralelogramo cuyo

área A podemos obtener utilizando la propiedad 1.5 (2); análogamente tres vectores del espacio

situados sobre el mismo origen definen un paralelepípedo cuyo volumen V viene dado por el

teorema 1.7 . En Rq (q > 3), q vectores reducidos a un mismo punto definen un hiperparalelepípedo

que contiene un cierto hipervolumen. De ahora en adelante para referirnos de forma

indistinta al área, al volumen o al hipervolumen de una región utilizaremos la palabra .medi-

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

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1.3. CLASIFICACIÓN DE LOS SUBCONJUNTOS DE RQ 19

da., que denotaremos por la letra griega μ. En su momento definiremos de forma más precisa

el concepto de medida de ciertas regiones de Rq; de momento nos basta con saber que si q = 2,

entonces μ = A, y si q = 3 entonces μ = V .

Definición 1.10 (Volumen de un hiperparalelepípedo)

La medida del (hiper)paralelepípedo

formado . por los q vectores −→v i = (vi1, vi2, · · · , viq)

i=1,2,...,q (con q ≥ 2) se define como

μ (

) ,

...........

v11 v12 · · · v1q

v21 v22 · · · v2q

...

. . .

...

v(q−1)1 v(q−1)2 · · · v(q−1)q

vq1 vq2 · · · vqq

...........

Cuando q ≥ 3 el volumen puede reescribirse como un producto mixto

μ (

) =

−→v 1,−→v 2 × · · · × −→v q

...

Ejemplo 1.4

Demostremos que el área del paralelogramo . construido sobre los dos vectores (a1, a2) y (b1, b2)

viene dada por

A(.) =

....

a1 a2

b1 b2

....

Comenzaremos transformando los dos vectores en elementos de R3 añadiendo para ellol una tercera

componente nula, es decir

−→a −→ (a1, a2, 0) ,

−→b −→ (b1, b2, 0) .

Sabemos que el área del paralelogramo.es igual a la norma del producto vectorial de los dos vectores,

es decir

A(.) =

−→a

−→b

...... ...... ......

−→ı −→ −→k

a1 a2 0

b1 b2 0

......

y desarrollando el determinante por la primera fila

A(.) =

....

a1 a2

b1 b2

....

−→k

....

a1 a2

b1 b2

....

−→k

....

a1 a2

b1 b2

....

1.3 Clasificación de los subconjuntos de Rq

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

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TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

1.3.1 Bolas en Rq

Los intervalos unidimensionales, abiertos (a, b) o cerrados [a, b], tienen una gran importancia

en el análisis de la recta real R. En el espacio euclídeo Rq existen subconjuntos que juegan

un papel similar al de los intervalos unidimensionales. Los más importantes son las bolas y los

intervalos generalizados en q dimensiones. A modo de ejemplo podemos decir que el concepto

de bola nos permitirá, en su momento, introducir de manera sencilla los límites de funciones

reales definidas en Rq. Por su parte, los intervalos juegan en la mayor parte de los textos de

cálculo un papel importante en la definición de la integral de Riemann en más de una dimensión.

Definición 1.11 (Bolas en Rq)

Se llama bola abierta de centro −→x 0 ∈ Rq y radio ρ > 0 al conjunto:

􀀀−→x 0, ρ

.−→x ∈ Rq \. d

􀀀−→x 0,−→x

< ρ

Análogamente se denomina bola cerrada de centro −→x 0 ∈ Rq y radio ρ > 0 al

conjunto:

􀀀−→x 0, ρ

.−→x ∈ Rq \. d

􀀀−→x 0,−→x

≤ ρ

Por último se llama bola reducida de centro −→x 0 ∈ Rq y radio ρ > 0 a:

B∗ 􀀀−→x 0, ρ

= B − {−→x 0} =

.−→x ∈ Rq \. 0 < d

􀀀−→x 0,−→x

< ρ

De ahora en adelate, cuando se afirme que una función posee determinada propiedad .cerca

del punto.−→x 0 o en la .vecindad del punto.−→x 0 el lector deber interpretar que existe un radio

positivo ρ > 0 de tal suerte que en todos los puntos de la bola B

􀀀−→x 0, ρ

se cumple la propiedad

mencionada.

La figura 1.9 representa tres ejemplos de bolas en el plano. En R2 es habitual denominar discos

(abiertos, cerrados y reducidos) a las bolas. En la recta real las bolas se reducen a simples

intervalos unidimensionales. Introducimos en este ejemplo un convenio que emplearemos habitualmente

en el futuro: los discos abiertos se representan mediante líneas discontinuas mientras

que los cerrados vienen delimitados por líneas continuas.

−→x 0

−→x ∈ B

−→x ′ /∈ B

−→x ′′ /∈ B

−→x 0

−→x ∈ B

−→x ′ ∈ B

−→x ′′ /∈ B

−→x 0 /∈ B∗

−→x ∈ B∗

−→x ′ /∈ B∗

−→x ′′ /∈ B∗

B∗

Figura 1.9: Bolas en el plano

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1.3. CLASIFICACIÓN DE LOS SUBCONJUNTOS DE RQ 21

Propiedades de las bolas

A continuación enumeraremos sin demostración algunas de las propiedades más importantes

de este tipo de conjuntos; en lugar de una demostración nos bastará con mostrar un gráfico

justificativo.

1. Dados −→x 0,−→y 0 ∈ Rq, (−→x 0 6= −→y 0), ∃ρ, σ > 0 \. B

􀀀−→x 0, ρ

∩ B

􀀀−→y 0, σ

= ∅

σ −→x 0

−→y 0

Figura 1.10: Propiedades de las bolas 1

2. Si −→x 0 ∈ Rq y −→x ∈ B

􀀀−→x 0, ρ

, ∃σ > 0 \. B

􀀀−→x , σ

⊂ B

􀀀−→x 0, ρ

−→x 0

−→x

Figura 1.11: Propiedades de las bolas 2

1.3.2 Intervalos en Rq

−→a

−→b

Figura 1.12: Intervalo en el plano

El concepto de intervalo se puede generalizar

sin esfuerzo a un número cualquiera de dimensiones

de tal suerte que estos subconjuntos guarden

una fuerte similitud con los intervalos de la

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

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TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

recta real. Utilizaremos la siguiente definición

Definición 1.12 (Intervalos en Rq)

1. Dados −→a = (a1, a2, · · · , aq) ,−→b = (b1, b2, · · · , bq), ambos pertenecientes a

Rq, se llama intervalo abierto al subconjunto:

−→a ,−→b

.−→x ∈ Rq \. ai < xi < bi∀i

Un intervalo abierto en q dimensiones se puede expresar como el producto

cartesiano de q intervalos unidimensionales abiertos de la recta real, es decir

−→a ,−→b

= (a1, b1) × (a2, b2) × · · · × (aq, bq).

2. Análogamente se denomina intervalo cerrado al subconjunto:

−→a ,−→b

.−→x ∈ Rq \. ai ≤ xi ≤ bi∀i

−→a ,−→b

= [a1, b1] × [a2, b2] × · · · × [aq, bq].

Ejemplo 1.5 (Primeros ejemplos de intervalos)

Veamos algunos ejemplos sencillos de intervalos en dos dimensiones:

I ((2, 3), (4, 5)) = (2, 3) × (4, 5) =

(x, y) ∈ R2 \. 2 < x < 4, 3 < y < 5

I ((2, 3), (4, 5)) = [2, 3] × [4, 5] =

(x, y) ∈ R2 \. 2 ≤ x ≤ 4, 3 ≤ y ≤ 5

1.3.3 Conjuntos abiertos, cerrados y compactos

Después de un cuatrimestre de Cálculo los conceptos de intervalo abierto y cerrado serán

familiares al lector. Es fundamental que generalicemos estos conceptos al caso de subconjuntos

genéricos de Rq. Nos limitaremos, no obstante, a las cuestiones más básicas que utilizaremos a

lo largo del curso: dé por hecho el lector que los conceptos que vamos a introducir ahora no son

más que la .parte visible de un iceberg de conocimiento denominado topología.. Tendremos la

oportunidad de comprobar que muchas propiedades de las funciones multivariable, enunciadas

como teoremas, sólo son válidas en dominios abiertos; otras por el contrario requieren que el

dominio sea cerrado.

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1.3. CLASIFICACIÓN DE LOS SUBCONJUNTOS DE RQ 23

Definición 1.13 (Puntos interiores, exteriores y frontera)

Sean un conjunto

⊂ Rq y su complementario Rq −

. Dado −→x 0 ∈ Rq se dice

que:

1. −→x 0 es un punto interior de

si ∃ ǫ > 0 \. B

􀀀−→x 0, ǫ

⊂

2. −→x 0 es un punto exterior de

si ∃ ǫ > 0 \. B

􀀀−→x 0, ǫ

⊂ Rq −

3. −→x 0 es un punto frontera de

si ∀ ǫ > 0 se cumple simultáneamente que

􀀀−→x 0, ǫ

∩

6= ∅,

􀀀−→x 0, ǫ

∩ (Rq −

) 6= ∅.

Exterior

Frontera

Interior

Figura 1.13: Puntos interiores, exteriores y frontera

De la definición anterior se deduce que todo punto exterior de

es un punto interior de su

complementario Rq −

. Es importante destacar que en la definición de punto interior (exterior)

de un conjunto basta con que exista una (sola) bola de radio ǫ > 0 que satisfaga la condición

correspondiente para que el punto sea interior (exterior). Por el contrario la definición de punto

frontera es mucho más restrictiva; debe cumplirse que, cualquiera que sea el radio, la bola centrada

en el punto −→x 0 contenga de forma simultánea puntos pertecientes a

y puntos que no

pertenecen a dicho conjunto.

Definición 1.14 (Puntos adherentes y de acumulación)

Sea un conjunto

⊂ Rq y un punto −→x 0 ∈ Rq, se dice que:

1. −→x 0 es un punto adherente de

si ∀ ǫ > 0, B

􀀀−→x 0, ǫ

∩

6= ∅.

2. −→x 0 es un punto de acumulación de

si ∀ ǫ > 0, B∗

􀀀−→x 0, ǫ

∩

6= ∅.

Las definiciones de punto frontera, adherente y de acumulación pueden confundirse ya que

sus diferencias son sutiles. Un punto −→x 0 es adherente al conjunto

si toda bola centrada en −→x 0

contiene puntos pertenecientes al conjunto; para que sea frontera debe contener además puntos

que no pertencen a

. La distinción entre puntos adherentes y de acumulación es aún más sutil.

Todo punto −→x 0 ∈

aislado es un punto adherente (y frontera), pero no lo es de acumulación ya

que existen bolas centradas en él que sólo contienen un punto de

: el propio −→x 0

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TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

Una vez clasificados los puntos de Rq en los tipos interior, exterior y frontera con respecto a

un determinado conjunto, conviene definir los conceptos de interior, exterior y frontera de dicho

conjunto.

Definición 1.15 (Interior, frontera y exterior de un conjunto)

Dado un conjunto cualquiera

⊂ Rq, se definen los siguientes conjuntos relacionados:

1. El interior de

es el conjunto °

formado por todos los puntos interiores de

, es decir

= {−→x ∈ Rq \. −→x es punto interior de

2. El exterior de

es el conjunto Ex(C) formado por todos los puntos exteriores

, es decir

Ex(

) = {−→x ∈ Rq \. −→x es punto exterior de

3. La frontera de

es el conjunto ∂

formado por todos los puntos frontera de

, es decir

∂C = {−→x ∈ Rq \. −→x es punto frontera de

Una definición alternativa de Exterior de un conjunto es Ex(

) =

z }°| {

Rq −

. Los conjuntos °

Ex(

) y ∂

son una partición de Rq porque todo punto de Rq es necesariamente una y sólo

una de las siguientes cosas: o punto interior de

o punto exterior de

o punto frontera de

;

es imposible que sea simultáneamente dos de ellas. De manera más formal podemos enumerar

algunas de las propiedades más importantes de estos conjuntos como sigue

Teorema 1.10 (Propiedades de los conjuntos°

, Ex(

) y @

)

1. Los conjuntos °

, Ex(

) y ∂

son disjuntos.

2. Rq = °

∪ Ex(

) ∪ ∂

C ˙C ∂C

C = ˙C + ∂C

(frontera incluida)

Figura 1.14: Interior, frontera y adherencia

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1.3. CLASIFICACIÓN DE LOS SUBCONJUNTOS DE RQ 25

La demostración de las propiedades anteriores se deja para los problemas del tema. Ahora

definiremos la adherencia de un conjunto y su conjunto derivado

Definición 1.16 (Adherencia y derivado de un conjunto)

Dado un conjunto cualquiera

⊂ Rq, definimos también los siguientes conjuntos:

1. La adherencia de

es el conjunto

formado por todos los puntos de adherencia

2. Se denomina conjunto derivado de

al conjunto

′ formado por todos los

puntos de acumulación de

Todos punto interior o frontera de un conjunto pertenece a la adherencia del mismo. Asimismo

los puntos interiores son puntos de acumulación del conjunto. Todo punto de acumulación es un

punto adherente; sin embargo existen puntos de adherencia que no son de acumulación: éstos se

denominan puntos aislados del conjunto.

Teorema 1.11 (Propiedades de

′)

La adherencia, frontera y derivado de un conjunto

⊂ Rq verifican que:

= °

∪ ∂

∪

′.

−

′ = Conjunto de puntos aislados de

4. °

⊂

′.

Ejemplo 1.6

Dado el siguiente conjunto de puntos del plano

. =

(x1, x2) ∈ R2 \. x1 6= n, n ∈ N

obtenga el interior, la frontera y la adherencia del mismo.

Tal como se observa en la definición . está formado por todos los puntos del plano excepto aquellos

cuya primera coordenada es un número natural (x1 = 1, 2, · · · ). No es díficil darse cuenta que son

precisamente estos puntos los que constituyen la frontera de .: en cualquier entorno de los mismos

hay simultáneamente puntos que pertencen y que no pertenecen a .. El resto de los puntos de R2, que

constituyen ., forman el interior del conjunto ya que siempre podemos encontrar un entorno de los

mismos que sólo contiene puntos de .. Por tanto conjunto e interior del conjunto coinciden en este caso.

Además, el conjunto no contiene puntos aislados por lo que adherencia y conjunto derivados coinciden.

Así

°.

= ., ∂. =

(x1, x2) ∈ R2 \. x1 = n ∈ N

, . = . ∪ ∂. = R2.

Ejercicio:

Dado el conjunto de puntos

. =

(x1, x2) ∈ R2 \. x1 = 1/n, x2 = 1/m, n,m = 1, 2, . . .

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TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

se propone como ejercicio que el lector encuentre sus puntos interiores, frontera, adherentes y

de acumulación.

Finalmente, los conceptos de punto interior, exterior y frontera dan lugar a los de conjunto

abierto y de conjunto cerrado, que son se exponen en la definición 1.18

Definición 1.17 (Conjuntos abiertos y cerrados)

Un conjunto

⊂ Rq es abierto si todos sus puntos son interiores y ninguno

de sus puntos frontera le pertenece, es decir, si

= °

Por el contrario, un conjunto

⊂ Rq se dice que es cerrado si tanto sus

puntos interiores como sus puntos frontera le pertenecen, es decir, si

C C

Abierto

Cerrado

Figura 1.15: Abierto y cerrado

La figura lateral muestra dos conjuntos en el

plano, uno abierto cuya frontera se representa mediante

una línea a trazos, y otro cerrado delimitado

por una línea continua. Se trata del convenio que

establecimos para representar discos en el plano,

y que de ahora en adelante utilizaremos para representar

conjuntos genéricos del plano abiertos y

cerrados.

La distinción entre conjuntos abiertos y cerrados

es de gran importancia; por ejemplo las derivadas

parciales (que estudiaremos más adelante)

sólo pueden definirse en un punto interior del

dominio de definición de una función. En consecuencia

muchos teoremas y criterios, que se basan en el concepto o en las propiedades de las

derivadas parciales, sólo son válidos en conjuntos abiertos.

El teorema 1.12 , que damos sin demostrarción, enumera las propiedades básicas de los conjuntos

abiertos y cerrados en espacios euclídeos

Teorema 1.12 (Propiedades básicas de los abiertos y cerrados)

1. Rq y ∅ son simultáneamente conjuntos abiertos y cerrados.

2. La unión de conjuntos abiertos (cerrados) es a su vez un conjunto abierto

(cerrado).

3. La intersección de un número finito de abiertos (cerrados) es un conjunto

abierto (cerrado).

4. Para todo

⊂ Rq, los conjuntos °

, Ec(

) son abiertos, y los conjuntos ∂

son cerrados.

5. Para todo

⊂ Rq,

es el menor cerrado que contiene a

. Es decir, si 􀀀 es

cerrado y

⊂ 􀀀, entonces

⊆ 􀀀.

6. Un conjunto

es cerrado si y sólo si Rq −

es abierto.

7. Un conjunto

es cerrado si y sólo si

′ ⊆

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1.4. PRIMERA TOMA DE CONTACTO CON LAS FUNCIONES REALES 27

Definición* 1.18 (Conjuntos compactos y conexos)

Un conjunto

⊂ Rq se dice compacto si, además de ser cerrado, cumple que

∃−→x ∈

, ρ > 0 \.

⊂ B

􀀀−→x , ρ

Un conjunto

⊂ Rq se dice conexo si ∀−→x 1,−→x 2 ∈ C, existe (al menos) una

curva que une dichos puntos y que está completamente contenida en

$C$

$\rho $

$B$

Figura 1.16: Conjunto compacto

Tal como se muestra en la figura adjunta al párrafo,

un conjunto compacto es un conjunto cerrado

que puede delimitarse mediante una bola de radio

finito; en realidad, si el conjunto es compacto

existen infinitas bolas de radio finito que contienen

al conjunto. Ejemplos de conjuntos compactos son

el intervalo [a, b] de la recta real, cualquier disco

de radio finito, etc. Por el contrario, la recta real,

el plano o el espacio son ejemplos de conjuntos no

compactos.

−→x1

−→x2

Conjunto Conexo

−→x2

−→x1

Conjunto Desconexo

Figura 1.17: Conjuntos conexo y disconexo

En esta figura presentamos dos subconjuntos del

plano: el de la izquierda es conexo ya que, dados

dos puntos cualesquiera del mismo, siempre podemos

encontrar una curva dentro del conjunto que

va de un punto a otro; no sucede lo mismo en el

conjunto de la derecha puesto que existen puntos

que no se pueden conectar mediante ninguna curva

que pertenezca integramente al conjunto.

Ejercicio:

En todos los casos obtenga el interior, la frontera y la adherencia de los conjuntos propuestos;

además determine si el conjunto es abierto o cerrado, compacto y conexo:

1. . =

(x, y) ∈ R2 \. 0 < x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

(x, y, z) ∈ R3 \. z ≥ x2 + y2

1.4 Primera toma de contacto con las funciones reales

En esta breve sección introducimos por primera vez las funciones reales definidas en espacios

euclídeos de dimesión superior a uno. Dados dos espacios euclídeos Rq y Rp, donde p y q son

números naturales cualesquiera, podemos definir una función real como una regla que a todo

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TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

punto (o vector) −→x ∈ . ⊂ Rq le asocia un punto (o vector) −→ϕ

􀀀−→x

∈ Rp. De manera más

formal

−→ϕ : . ⊂ Rq −→ Rp ; (x1, x2, · · · , xq) ∈ . −→ −→ϕ (x1, x2, · · · , xq ) ,

donde el .valor de la función.se expresa en términos de sus componentes como

−→ϕ

􀀀−→x

= (ϕ1 (x1, x2, · · · , xq )ϕ2 (x1, x2, · · · , xq ) · · · ,ϕp (x1, x2, · · · , xq )) ∈ Rp.

Algunas comentarios pertinentes son:

El subconjunto . donde la función toma valores se denomina dominio de definición de

la función . El conjunto de valores (numéricos o vectoriales) que toma la función recibe

el nombre de imagen de la misma.

Si p = 1 la función se llama función escalar real de varias variables reales; es frecuente

hablar simplemente de funciones reales de varias variables reales. En este caso la regla

asocia a cada punto de Rq un número real. Un caso particular de estas funciones son las

que se han estudiado en el primer cuatrimestre (donde q = 1).

Si p ≥ 2 la función recibe el nombre de función vectorial (de varias variables reales).

Las funciones ϕi(x1, x2, · · · , xq) se denominan componentes de la función.

Dadas dos funciones −→ϕ y −→φ podemos definir las siguientes funciones:

(−→ϕ + −→φ)(−→x ) = −→ϕ(−→x ) + −→φ(−→x ),

(λ−→ϕ(−→x )) = λ−→ϕ(−→x ),

(−→ϕ · −→φ)(−→x ) = −→ϕ(−→x ) · −→φ(−→x ) =

i=1 ϕi(−→x ) · φi(−→x ).

En el caso de dos funciones escalares (p = 1) f

􀀀−→x

y g

􀀀−→x

se pueden definir además

(fg)(−→x ) = f(−→x )g(−→x ), (f/g)(−→x ) = f(−→x )/g(−→x ).

Ejemplo 1.7

Consideremos los siguientes ejemplos:

Un alambre rectilíneo se sitúa sobre el eje X del sistema de coordenadas del laboratorio y con su

extremo izquierdo en x = 0. En este punto se coloca un mechero cuya llama calienta el alambre;

transcurrido un tiempo prudencial se mide la temperatura del alambre a distintas distancias del

origen. Es razonable pensar en la temperatura del alambre como una función T de la coordenada

x, esto es

T : R −→ R ; x −→ T (x) , ∀x ≥ 0.

Repetimos el .experimento.anterior con una placa muy fina. Elegimos un sistema de referencia

cuyo origen coincida con el vértice inferior izquierdo de la placa y tal que sus dos ejes X e Y

coincidan con dos de los lados de la placa. A continuación se coloca el mismo mechero en el

vértice que hace las veces de origen de coordenadas y calentamos la placa durante un cierto tiempo.

Midiendo la temperatura de la placa en distintos puntos (x, y) obtenemos una idea de como varía

sobre la placa. En este caso la temperatura es una función T de las coordenadas x e y, esto es

T : R2 −→ R ; (x, y) −→ T (x, y ) , ∀x, y ≥ 0.

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1.5. CURVAS EN RQ 29

La posición de una partícula (puntual) que se desplaza por el espacio nos proporciona un ejemplo

de función vectorial

−→r : R1 −→ R2 ; t −→ −→r (t) = (x (t) , y (t) , z (t)) ,

que a cada valor del tiempo t le asocia el vector de posición de la particula (con respecto a un

cierto sistema de referencia).

Otro ejemplo de funciones vectoriales lo proporcionan los campos electromagnético y gravitatorio.

Consideremos una carga eléctrica Q que se encuentra situada en el origen de referencia que

utilizamos en el laboratorio. El campo electrostático generado por la misma es

−→E : R3 −→ R3 ; (x, y, z) −→ −→E (x, y, z ) = KQ

x−→ı + y−→ + z−→k

(x2 + y2 + z2)3/2 ,

donde K es una constante que depende del sistema de unidades que estemos utilizando (K = 1 en

el sistema C.G.S. y K = 1/4πǫ0 en el M.K.S., siendo ǫ0 la constante dieléctrica del vacio).

1.5 Curvas en Rq

El objeto de nuestro estudio inmediato son las curvas y superficies en el espacio euclídeo.

Una vez elegido un sistema de referencia, las coordenadas de los puntos ubicados sobre una

curva o sobre una superficie no pueden ser arbitrarias, sino que deben obedecer correlaciones

determinadas. Estas correlaciones se caracterizan mediante ecuaciones, escalares o vectoriales.

Pasamos ahora a considerar de forma breve dichas ecuaciones

1.5.1 Rectas

La recta es el tipo de curva más sencillo que podemos encontrar en un espacio euclídeo. Obtendremos

de manera simple algunas de las ecuaciones que la definen. Deduciremos primero la

ecuación vectorial de una recta en R3 para generalizarla posteriormente a un número cualquiera

de dimensiones (q ≥ 2).

(x0, y0, z0) −→a

x−→ı + y−→ + z−→k

−→v

−→x 0

−→x

Figura 1.18: Definición de recta

Consideremos la recta L que pasa por el punto

−→r 0 = x0−→ı + y0−→ + z0−→k ∈ R3 y es paralela al

vector −→v = (v1, v2, v3). Tal como se muestra en

la figura cualquier punto −→r ∈ L puede escribirse

como

−→r = −→r 0 + −→a ,

donde −→a es el vector con origen en −→r 0 y extremo

en −→r . Ahora bien,

−→a k−→v ⇒ ∃ t ∈ R \. −→a = t−→v ,

y por lo tanto se verifica la siguiente relación

−→r = −→r 0 + t−→v , t ∈ R,

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TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

que recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta.

En realidad, esta ecuación es válida cualquiera que sea el número de dimensiones con que

trabajemos; la diferencia radica en que la descomposición en coordenadas o componentes es

distinta. Sea −→x = (x1, x2, · · · , xq) un punto genérico de la recta, −→x 0 = (x01, x02, · · · , x0q) y

−→v = (v1, v2, · · · , vq) el punto y el vector que definen la recta; entonces

Definición 1.19 (Ecuación vectorial de la recta)

La relación

−→x = −→x 0 + t−→v , t ∈ R,

se denomina ecuación vectorial de la recta L ⊂ Rq que pasa por el punto −→x 0 y

tiene como vector director a −→v

Al descomponer la ecuación vectorial en componentes obtenemos una representación alternativa

de la recta. En efecto

Definición 1.20

El sistema de ecuaciones

x1 = x01 + tv1; x2 = x02 + tv2; · · · ; xq = x0q + tvq, t ∈ R,

recibe el nombre de ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por −→x 0 =

(x01, x02, · · · , x0q) y tiene como vector director a −→v = (v1, v2, · · · , vq).

Supongamos que vi 6= 0 cualquiera que sea el valor del subíndice y que depejamos t en todas

y cada una de las ecuaciones del sistema de ecuaciones paramétricas; entonces

t =

x1 − x01

x2 − x02

= · · · =

xq − x0q

Estas igualdades definen q − 1 ecuaciones independientes llamadas ecuaciones simétricas de

la recta. En tres dimensiones se escriben como

t =

x − x0

y − y0

z − z0

donde a, b y c son en este caso las componentes del vector director de la recta.

Ejercicio:

Dejamos como ejercicio para el lector la obtención de las ecuaciones simétricas si a = 0 y

b, c 6= 0.

Tomando como ejemplo el resultado de este ejercicio estamos en disposición de dar el caso

general, es decir, aquel en el que parte de las componentes del vector director son nulas

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1.5. CURVAS EN RQ 31

Definición 1.21

Sea L ⊂ Rq la recta que pasa por −→x 0 = (x01, x02, · · · , x0q) y tiene como vector

director a −→v = (v1, v2, · · · , vq), cuyas componentes cumplen que vi1 = vi2 =

. . . vin = 0 y vj1, vj2 , . . . , vjm 6= 0, con n + m = q. Entonces, el sistema

xj1 − x0j1

vj1

xj2 − x0j2

vj2

= . . . =

xjm − x0jm

vjm

xi1 = x0i1

; xi2 = x0i2

; . . . ; xin = x0in ,

recibe el nombre de ecuaciones simétricas de la recta.

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TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

Ejemplo 1.8 (Recta que pasa por dos puntos distintos)

Por supuesto, las ecuaciones anteriores no agotan las formas en las que podemos caracterizar una recta

en el espacio (ni en Rq en general). Una de ellas consiste en expresar la recta como la intersección de dos

planos, otra en proporciar las coordenadas de dos puntos por los que pasa la recta; en este último caso es

trivial adaptar las ecuaciones simétricas.

−→v

(x0, y0, z0)

(x1, y1, z1)

Figura 1.19: Recta que pasa por dos

puntos

Puesto que conocemos dos puntos −→x 0 y −→x 1 por los que

pasa la recta, podemos utilizar como vector director el segmento

dirigido que tiene origen en uno de los puntos y extremo

en el otro; las componentes de tal vector se obtienen

como sigue: −→v = −→x 1 −−→x 0 = (x1 −x0, y1 −y0, z1 −z0).

Substituyendo este resultado en las ecuaciones simétricas,

es decir, tomando a = x1 − x0, b = y1 − y0 y c = z1 − z0,

resulta

x − x0

x1 − x0

y − y0

y1 − y0

z − z0

z1 − z0

Para finalizar es conveniente realizar un par de comentarios, que el lector atento ya habrá

tenido en cuenta:

1. A diferencia de las ecuaciones simétricas, las ecuaciones paramétricas y la ecuación vectorial

no sólo definen la recta sino que la dotan de una orientación, esto es, indican en qué

orden se recorren los puntos de la misma. A medida que damos valores al parámetro t

recorremos la curva según el sentido del vector director.

2. Independientemente de las dimensiones del espacio euclídeo, una recta viene caracterizada

por un único grado de libertad, es decir, basta un parámetro real para describir las

coordenadas de todos los puntos de la recta.

1.5.2 Ecuaciones vectoriales y paramétricas de una curva

Consideremos, para fijar ideas, una función vectorial continua

−→r (t) = x (t)−→ı + y (t)−→ + z (t)−→k \. t ∈ I ⊂ R,

cuyos valores son vectores de posición que fijan la posición de distintos puntos P del espacio.

Aunque no hemos definido la continuidad de una función vectorial, el lector con conocimientos

sobre las funciones de una variable podrá admitir sin dificultad que si la función es continua dos

puntos P1 y P2, correspondientes a valores t1 y t2, se encontrarán tan próximos como se quiera

sin más que exigir que |t1 − t2| ≪ 1. Por tanto, es razonable afirmar que la imagen

C =

x−→ı + y−→ + z−→k ∈ R3 \. x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ I

de la función anterior define una curva en el espacio, que denotamos C y que no posee saltos ni

agujeros. En numerosas ocasiones se utiliza la notación

C : −→r (t) = x (t)−→ı + y (t)−→ + z (t)−→k , t ∈ I,

para señalar de forma simplificada que la curva C viene parametrizada por dicha función vectorial.

Las ecuaciones

x = x(t); y = y(t); z = z(t),

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1.5. CURVAS EN RQ 33

reciben el nombre de ecuaciones paramétricas de la curva C.

Para convencernos de que existe una relación muy estrecha entre funciones vectoriales y curvas

en el espacio estudiaremos unos pocos ejemplos:

Ejemplo 1.9 (Parametrización de la recta)

Una recta es un caso especial de curva, quizá el más simple de todos. Hemos visto que las ecuaciones

paramericas de la recta L que pasa por el punto −→x 0 = (x0, y0, z0) y tiene como vector director −→v =

(a, b, c) son x = x0+at; y = y0+bt; z = z0+ct, y en forma vectorial L : −→r (t) = −→x 0+t−→v , t ∈ R.

Ejemplo 1.10 (Parametrización de la circunferencia de radio unidad)

Sea la función vectorial

−→r (t) = cos(t)−→ı + sen(t)−→ + 0−→k , t ∈ [0, 2π) .

De acuerdo con las ideas precedentes, la curva asociada tiene por ecuaciones paramétricas

x = cos(t); y = sen(t); z = 0.

Dado que z = 0 podemos restringirnos al plano XY . Para determinar de qué curva se trata vamos a

efectuar una representación gráfica; elaboraremos una tabla con los valores de las coordenadas x e y de

los puntos de la curva correspondientes a diversos valores seleccionados de t.

4 1 √2

1 √2

t = π

t = 0

Figura 1.20: Función vectorial: Circunferencia

t x y z

0 1 0 0

√2

0 1 0

3π

4 −

√2

π −1 0 0

...

La representación en el plano de estos pocos

puntos basta para darse cuenta de que es una circunferencia

de radio a = 1 (además es una circunferencia

orientada porque recorremos la curva

en sentido contrario a las agujas del reloj, según vamos dando valores a t).

Aun podemos obtener una verificación adicional de que se trata de una circunferencia de radio unidad;

en efecto

x2(t) + y2(t) = cos2(t) + sen2(t) = 1.

Ejemplo 1.11

En este ejemplo deduciremos la forma de la función vectorial que caracterice la curva C intersección

del cilindro de radio 1 centrado sobre el eje Z (x2 + y2 = 1) y el plano de ecuación y + z = 2.

La figura 4.6 muestra de forma esquemática como se obtiene la curva C como intersección de las dos

superficies. Resulta patente que la proyección de C sobre el plano XY coincide con la base del cilindro,

que denominaremos Cxy

Según el ejemplo precedente una circunferencia en el plano se parametriza como

Cxy : −→r (t) = cos(t)−→ı + sen(t)−→ \. t ∈ [0, 2π)

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TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

Figura 1.21: Intersección plano-cilindro

La diferencia entre los puntos de C y de Cxy radica en el valor de la coordenada z; utilizando la ecuación

del plano podemos despejar z en función de y, con lo que obtenemos que z = 2 − y. Ahora bien, sobre

C se cumple que y = sen(t), y por tanto las ecuaciones paramétricas de la curva son

x = cos(t); y = sen(t); z = 2 − sen(t),

lo que da lugar a la siguiente función vectorial

C : −→r (t) = cos(t)−→ı + sen(t)−→ + 2_ sen(t)−→k , \. t ∈ [0, 2π).

Confiamos en que estos ejemplos hayan convencido al lector de que una curva en el espacio

(o en el plano) puede caracterizarse mediante una función vectorial. Convenimos en dar una

definición general de la siguiente forma

Definición 1.22 (Curva en el espacio euclídeo)

Una curva C ⊂ Rq es la imagen de una función vectorial, es decir

C =

.−→x ∈ Rq \. x1 = x1 (t) ; x2 = x2 (t) ; . . . ; xq = xq (t) , t ∈ I

donde I es un intervalo de la recta real. De forma equivalente diremos que C está

parametrizada por la función vectorial −→r (t), y lo denotaremos como

C : −→r (t) = x1 (t)−→e 1 + x2 (t)−→e 2 + · · · + xq (t)−→e q, t ∈ I,

o que sus ecuaciones paramétricas son

C : x1 = x1 (t) ; x2 = x2 (t) ; . . . ; xq = xq (t) , t ∈ I.

Si las funciones xi (t) son continuas (si la función vectorial es continua) se dice que

la curva C es continua.

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1.6. SUPERFICIES EN RQ 35

Antes de dar por finalizado este apartado conviene realizar algunos comentarios sobre lo tratado

aquí:

En sentido estricto la definición precedente introduce el concepto de curva hodógrafa

asociada a la función −→r (t). Es posible construir curvas más generales a partir de la unión

de varias curvas de este tipo.

La función vectorial no sólo define la curva como un lugar geométrico formado por puntos

de Rq, sino que la dota de una orientación.

Independientemente de cuál sea la dimension del espacio euclídeo, las curvas están definidas

por un sólo grado de libertad.

1.6 Superficies en Rq

Una superficie S ⊂ Rq puede definirse como el lugar geométrico formado por los puntos

cuyas coordenadas satisfacen determinada ecuación de ligadura. Por lo tanto, dado que hacen

falta q coordenadas para caracterizar univocamente un punto en Rq, los puntos situados sobre

una superficie solo poseen q − 1 coordenadas independientes. Así, una superficie en Rq posee

q − 1 grados de libertad, y en particular, en el espacio sólo posee dos grados de libertad.

1.6.1 Planos

El ejemplo de superficie más sencillo es el plano. Existen diversas formas de caracterizar un

plano . ⊂ Rq. Una de ellas consiste en dar un punto −→x 0 perteneciente al plano y un vector −→n

ortogonal al mismo. Trabajaremos primero el caso de un plano en R3, para luego generalizar las

expresiones obtenidas a un número

−→n

−→x 0

−→x

Figura 1.22: Definición de plano

superior de dimensiones. Dados

−→r 0 = (x0, y0, z0) ,

−→n = (nx, ny, nz),

y un punto genérico −→r = (x, y, z) ∈ . se

cumple que

(−→r − −→r 0)⊥−→n,

es decir

(−→r − −→r 0),−→n

= 0,

expresión que se denomina ecuación vectorial

del plano. Para obtener una ecuación escalar

escribiremos explícitamente las componentes de los vectores, es decir

h(x − x0, y − y0, z − z0), (nx, ny, nz)i = 0,

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TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

con lo cual llegamos a

nx(x − x0) + ny(y − y0) + nz(z − z0) = 0,

ó bien

nxx + nyy + nzz + d = 0,

con d = −(nxx0 + nyy0 + nzz0).

Cualquiera de estas ecuaciones representa la ligadura que deben satisfacer las coordenadas

de los puntos situados sobre el plano. Como los punto del espacio están caracterizados por tres

coordenadas, la ecuación del plano introduce una correlación que reduce el número de coordenadas

independientes a sólo dos: es decir, tal como hemos comentado al principio de la sección

un plano en el espacio está caracterizado por dos grados de libertad.

Ejemplo 1.12 (Otras ecuaciones del plano en R3)

Sean −→u y −→v son dos vectores paralelos al plano . de forma que su producto vectorial nos proporciona

un vector normal al mismo, esto es

−→n = −→u × −→v ⊥..

En consecuencia la ecuación vectorial del plano se podrá escribir como

−→r − −→r 0,−→u × −→v

= 0,

donde reconocemos en el miembro de la izquierda el producto mixto de los tres vectores −→r − −→r 0, −→u y

−→v . Utilizando la descomposición en componentes de los vectores −→u y −→v

−→u = (u1, u2, u3) ,

−→v = (v1, v2, v3) ,

la ecuación anterior puede reescribirse como

......

x − x0 y − y0 z − z0

u1 u2 u3

v1 v2 v3

......

= 0.

Esta expresión refleja el hecho de que los tres vectores −→r − −→r 0, −→u y −→v son coplanares y que por tanto

el volumen del paralelepípedo que definen es nulo.

Otra forma de caracterizar un plano consiste en identificar tres puntos no colineales pertenecientes al

mismo; supongamos, por fijar ideas, que esos puntos son

−→r 0 = (x0, y0, z0) ,

−→r 1 = (x1, y1, z1) ,

−→r 2 = (x2, y2, z2) .

Partiendo de ellos es posible construir dos vectores no colineales y paralelos el plano, es decir

−→u = −→r 1 − −→r 0 = (x1 − x0, y1 − y0, z1 − z0) ,

−→v = −→r 2 − −→r 0 = (x2 − x0, y2 − y0, z2 − z0) ,

lo cual da lugar a la siguiente forma de la ecuación del plano

......

x − x0 y − y0 z − z0

x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0

x2 − x0 y2 − y0 z2 − z0

......

= 0,

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1.6. SUPERFICIES EN RQ 37

La generalización a una dimensión arbitraria q (con q > 2) no presenta ninguna dificultad

especial; la diferencia sólo afecta a la descomposición en componentes (coordenadas) de los

vectores (puntos) involucrados

Definición 1.23

Sea . ⊂ Rq un plano contenido en el espacio euclídeo de dimensión q; si −→x 0 =

(x01, x02, · · · , x0q) es un punto perteneciente al plano y −→n = (n1, n2, · · · , nq) un

vector normal al mismo, la ecuación vectorial del plano es

(−→x − −→x 0),−→n

= 0,

que desarrollada en componentes da lugar a la siguiente ecuación escalar

n1(x1 − x01) + n2(x2 − x02) + · · · + nq(xq − x0q ) = 0,

n1x1 + n2x2 + · · · + nqxq + d = 0,

con d = −

i=1 nix0i .

Ejercicio:

Conteste a las siguientes preguntas: (a) ¿ Cuántos vectores linealmente independientes definen

un plano en Rq? (b) ¿ Cuántos puntos son necesarios para definir un plano en Rq? (c) Escriba

la ecuación del plano en términos de las coordenadas de dichos puntos.

1.6.2 Ecuaciones escalares de una superficie

Definición* 1.24 (Superficie en Rq)

Una superficie S ⊂ Rq es el lugar geométrico de todos los puntos −→x ∈ Rq que

satisfacen una ecuación de la forma

f (x1, x2, · · · , xq ) = 0,

donde f es una función escalar de q variables. Si la función es continua diremos

que S es una superficie continuaa

aAunque el lector con conocimientos previos sobre funciones de una variable no debe tener problemas en este punto,

solicitamos su indulgencia ya que no hemos definido aún la continuidad de una función escalar. El lector impaciente

puede .saltar.momentáneamente al siguiente tema.

La debilidad de la definición 1.24 radica en que cualquier superficie embebida en Rq puede

caracterizarse mediante una ecuación escalar, pero no toda ecuación escalar define una superficie.

Veámoslo en el siguiente ejemplo

Ejemplo 1.13 (La esfera)

En el próximo tema veremos la ecuación general que caracteriza una cuádrica en Rq. De momento

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TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

nos centraremos en la esfera. La esfera de radio a centrada en el origen de coordenadas de un sistema de

referencia de R3 es el lugar geométrico de todos los puntos (x, y, z) qua satisfacen la ligadura

x2 + y2 + z2 = a2.

De forma análoga, en Rq la ecuación de la esfera centrada en el origen viene dada por

x21

+ x22

+ · · · + x2q

= a2.

Sin embargo la ecuación

x21

+ x22

+ · · · + x2q

= −a2,

no admite soluciones en el campo de los números reales y, por tanto, define el conjunto vacío. Y la

ecuación

x21

+ x22

+ · · · + x2q

= 0,

admite como solución única x1 = x2 = · · · = xq = 0, es decir, el origen de coordenadas. En ningún

caso aceptaríamos como superficie el vacío o un punto aislado.

Bajo ciertas condiciones la ecuación f (x1, x2, · · · , xq ) = 0 define implícitamente cualquiera

de las coordenadas en función de las q − 1 restantes; supongamos que es posible despejar la

última coordenada xq, de manera que

f (x1, x2, · · · , xq ) = 0 −→ xq = g (x1, x2, · · · , xq−1 ) .

Entonces podemos definir la superficie S como el lugar geométrico de todos los puntos −→x ∈ Rq

que satisfacen la ecuación

xq = g (x1, x2, · · · , xq−1 ) .

Ejemplo 1.14 (La semiesfera en q dimensiones)

Partiendo de la ecuación de la esfera centrada en el origen y radio a

x2 + y2 + z2 = a2,

y despejando la tercera coordenada como función de x e y, resulta

x2 + y2 + z2 = a2 −→ z = ±

a2 − x2 − y2.

El signo positivo (negativo) delante del signo de la raiz define la semiesfera de radio a superior (inferior).

Cuando consideramos el espacio euclídeo general Rq también podemos despejar la última coordenada

xq = ±

a2 − x21

− x22

− · · · − x2q

−1,

de manera que los dos signos están asociados a cada una de las semiesferas con xq ≥ 0 y xq ≤ 0.

1.7 Otros sistemas de Coordenadas en R2 y R3

Cualquier punto de Rq está definido por una sucesión ordenada de q números reales que

llamamos sus coordenadas. Además de las coordenadas que hemos dado en llamar cartesianas,

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1.7. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS EN R2 Y R3 39

existen otros sistemas de coordenadas que permiten caracterizar los puntos del espacio Rq. Nos

limitaremos aquí a dar los sistemas más habituales en el plano y en el espacio, que se muestran

en la siguiente tabla

Espacio Sistema de coordenadas

R2 cartesianas (x, y) polares (r, θ)

R3 cartesianas (x, y, z) cilíndricas (r, θ, z) esféricas (r, θ, φ)

Estos sistemas de coordenadas pueden ser muy útiles para resolver ciertos problemas en el

plano y en el espacio, en particular para el cálculo de integrales múltiples mediante un cambio

de variables.

1.7.1 Coordenadas polares

P(x0, y0)

Figura 1.23: Coordenadas cartesianas y polares

Tal como se muestra en la figura 1.23 las coordenadas polares de un punto, que denotaremos

por (r, θ), son la distancia del mismo al origen y el ángulo que forma su vector de posición

con el semieje X positivo, medido en sentido contrario a las agujas del reloj. Para poder cubrir

todos los puntos del plano es necesario que r ≥ 0 y que θ ∈ [0, 2π). La siguiente tabla muestra

los intervalos genéricos donde las coordenadas cartesianas y polares toman respectivamente sus

valores

Coordenadas Cartesianas Coordenadas polares

x ∈ (−∞,∞) r ∈ [0,∞)

y ∈ (−∞,∞) θ ∈ [0, 2π)

Existe una correspondencia entre los dos tipos de coordenadas, es decir, podemos escribir

las coordenadas cartesianas de un punto en función de sus coordenadas polares y viceversa.

Llamaremos relación directa a la que proporciona los valores de x e y en función de los de r y

θ. Esta relación se obtiene por trigonometría elemental como

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TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

x(r, θ) = r cos θ, y(r, θ) = r sen θ.

El cálculo de la relación inversa, que da los valores de r y θ en función de los de x e y, es

bastante más delicado. De la relación directa es evidente que r =

x2 + y2 y un razonamiento

rápido y poco cuidadoso nos lleva a que θ = arctan(y/x). Sin embargo esta expresión tiene

dos problemas: por un lado no está definida cuando x = 0, y por otro, la arcotangente es una

función multivaluada de modo que a un valor de su argumento le corresponden diversos valores

de la función . Eligiendo como rama de esta función la que asocia a su argumento un ángulo

θ ∈ (−π/2, π/2) encontramos que

r =

x2 + y2, θ =





arctan

si x > 0, y ≥ 0,

arctan

+ 2π si x > 0, y < 0,

arctan

+ π si x < 0,

si x = 0, y > 0,

3π

si x = 0, y < 0,

− si x = y = 0.

Este resultado muestra claramente que la relación entre las ooordenadas cartesianas y las

correspondientes coordenadas polares de un punto no es una biyección: todos los puntos con

r = 0 se aplican en (0, 0), independientemente del valor que tome θ. Dicho de otro modo, el

ángulo θ no está bien definido en el origen de coordenadas.

Se denomina cuña polar2 a la región del plano limitada por dos semirectas definidas por θ1

y θ2 y por dos arcos de circunferencia con radios r1 y r2(r2 > r1), tal como muestra la figura

adjunta.

ϑ1

ϑ2

L1 = r1(ϑ2 − ϑ1)

L2 = r2(ϑ2 − ϑ1)

Figura 1.24: Elemento de área en polares

Definamos

r =

r1 + r2

.r = r2 − r1,

.θ = θ2 − θ1.

Cuando .r y .θ se hacen suficientemente

pequeños la cuña se asemeja a un recinto

rectángular de lados .r y r.θ. Entonces, el

área de la cuña puede aproximarse como

.A ≃ r.r.θ.

Este resultado deviene exacto cuando los incrementos de coordenadas son infinitesimales, de

manera que podemos escribir

.A → dA = rdrdθ, .r → dr, .θ → dθ.

2También se encuentra en la literatura el nombre de segmento de corona circular

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1.7. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS EN R2 Y R3 41

1.7.2 Coordenadas polares generalizadas

La ecuación de una circunferencia centrada en el origen y radio a se escribe de forma trivial

en coordenadas polares como r = a ya que

x2 + y2 = a2 → r2 = a2 → r = a.

No sucede lo mismo con las elipses con centro en el origen y ejes paralelos a los de coordenadas.

En efecto, si dada la ecuación de la elipse de semiejes a y b

a2 +

b2 = 1,

efectuamos el cambio a coordenadas polares, obtenemos la expresión

r2 cos2 θ

a2 +

r2 sen2 θ

b2 = 1,

que no es más sencilla que la expresión original. Ahora bien, es posible definir coordenadas

polares generalizadas que simplifiquen realmente la ecuación de la elipse. Sea

x(r, θ) = ar cos θ, y(r, θ) = br sen θ,

donde a y b son factores positivos que denominamos .factores de dilatación.de los ejes coordenados.

Efectuando el cambio de coordenadas tenemos

= 1 →

x (r, θ)

y (r, θ)

= r2 = 1,

es decir, en el nuevo sistema de coordenadas la ecuación de la elipse con semiejes a y b es

simplemente r = 1.

Ejercicio:

Obtenga las relaciones inversas en este sistema de coordenadas polares. ¿ Representa r la

distancia de un punto genérico al origen?

1.7.3 Coordenadas cilíndricas

La relación entre las coordenadas cartesianas (x, y, z) de un punto del espacio y sus correspondientes

coordenadas cilíndricas (r, θ, z) está definida por las siguientes ecuaciones

x(r, θ, z) = r cos θ, y(r, θ, z) = r sen θ, z(r, θ, z) = z.

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TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

Figura 1.25: Coordenadas cilíndricas

Introducimos el significado geométrico de

las nuevas coordenadas con ayuda de la figura

adjunta. Tal como se muestra, un punto

P ∈ R3 queda perfectamente determinado

por la terna de números reales r, θ y z, donde

r es la distancia del punto al eje Z, θ es

el ángulo que forma el vector de posición de

la proyección de P sobre el plano XY con el

semieje X positivo, medido en sentido antihorario

y z es la tercera coordenada cartesiana

o cota.

El lector ya habrá apreciado la similitud

entre las coordenadas cilíndricas en el espacio

y las coordenadas polares en el plano. De

hecho podríamos definirlas del siguiente modo:

dado un punto genérico (x, y, z) expresamos

x e y en términos de las coordenadas

polares de (x, y) y completamos la caracterización

del punto mediante la cota z.

Los intervalos genéricos en los que las coordenadas

de uno y otro sistema de coordenadas pueden tomar valores son

Coordenadas Cartesianas Coordenadas cilíndricas

x ∈ (−∞,∞) r ∈ [0,∞)

y ∈ (−∞,∞) θ ∈ [0, 2π)

z ∈ (−∞,∞) z ∈ (−∞,∞)

Con el fin de minimizar esfuerzos explotaremos la relación entre coordenadas polares y cilíndricas

para la relación inversa entre éstas y las coordenadas cartesianas de un punto. Resulta

sencillo deducir que

r = r (x, y, z) =

x2 + y2, θ = θ (x, y, z) = θ (x, y)

...

pol

donde el subíndice .pol.indica que se trata de la misma función que aparece en el sistema de

coordenadas polares.

Las ecuaciones precedentes muestran que la relación entre coordenadas cartesianas y cilíndricas

tampoco es una biyección, ya que todos los puntos de la forma (r, θ, z) = (0, θ, z) se aplican

en un sólo punto (x, y, z) = (0, 0, z), cualquiera que sea θ. Esto implica que el ángulo θ no está

bien definido para los puntos del eje Z.

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1.7. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS EN R2 Y R3 43

r1 r2

ϑ2

ϑ1

Figura 1.26: Elemento de volumen en cilindricas

La figura muestra una cuña cilíndrica caracterizada

por dos semiplanos radiales con θ2 > θ1, dos

cilindros con radios r2 > r1 y dos planos z2 > z1.

Mediante un procedimiento similar al que seguimos

en coordenadas polares introducimos las cantidades

r =

r1 + r2

.r = r2 − r1,

.θ = θ2 − θ1,

.z = z2 − z1.

Cuando los incrementos de las variables son suficientemente

pequeños la cuña se asemeja a un paralelepípedo

de lados .r, r.θ y .z, de manera

que

.V ≃ r.r.θ.z.

En el límite en que los incrementos de r y θ se hacen infinitesimales el resultado anterior es

exacto y por lo tanto podemos escribir

.V → dV = rdrdθdz, .r → dr, .θ → dθ.

1.7.4 Coordenadas esféricas

Las coordenadas esféricas (r, θ, φ) de un punto P ∈ R3 se denotan habitualmente con los

caracteres r, θ y φ. La coordenada r representa la distancia de P al origen de cordenadas, θ es

el ángulo entre la proyección del vector de posición de P sobre el plano XY y el semieje X

positivo, medido en sentido antihorario3 , y finalmente φ es el ángulo que forma dicho vector de

posición con el semieje Z positivo, medido en el sentido de las agujas del reloj.

P (x, y, z)

Figura 1.27: Coordenadas esféricas

La figura muestra gráficamente como se definen

las tres coordenadas. Por razones prácticas

introducimos la distancia d del punto al

eje Z. Utilizando polares para representar los

valores de x e y tenemos

x = d cos θ; y = d sen θ.

Por otro lado, utilizando trigonometría elemental

resulta

z = r cos φ; d = r sen φ.

Entonces, la relación directa que nos permite escribir (x, y, z) en términos de (r, θ, φ) viene

dada por

x(r, θ, φ) = r cos θ sen φ, y(r, θ, φ) = r sen θ sen φ, z(r, θ, φ) = r cos φ.

3Y por tanto tiene el mismo significado que en coordenadas cilíndricas

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TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

Para poder .barrer.todos el espacio debemos permitir que las coordenadas de los dos conjuntos

tomen valores en los intervalos que se muestran a continuación

Coordenadas Cartesianas Coordenadas esféricas

x ∈ (−∞,∞) r ∈ [0,∞)

y ∈ (−∞,∞) θ ∈ [0, 2π)

z ∈ (−∞,∞) φ ∈ (0, π)

El razonamiento que permite deducir la forma de la transformación inversa es algo más complicado.

Teniendo en cuenta que r es la distancia entre un punto genérico y el origen de coordenadas,

que el significado de θ es el mismo que en coordenadas cilíndricas y utilizando que

z = r cos φ, no resulta complicado llegar a las siguientes ecuaciones

r = r (x, y, z) =

x2 + y2 + x2,

θ = θ (x, y, z) = θ (x, y)

...

pol

φ = φ (x, y, z) =





arc cos

z p

x2 + y2 + z2

si (x, y, z) 6= (0, 0, 0) ,

− si (x, y, z) = (0, 0, 0) .

La transformación inversa pone en evidencia que no estamos ante una biyección: los ángulos

θ y φ no están bien definidos en los puntos del eje Z y en particular en el origen de coordenadas;

en efecto,

(r, θ, z) = (r, θ, 0) −→ (x, y, z) = (0, 0, r),

(r, θ, z) = (r, θ, π) −→ (x, y, z) = (0, 0,−r),

(r, θ, z) = (0, θ, φ) −→ (x, y, z) = (0, 0, 0),



 ∀ θ, φ.

Ejercicio:

Se deja como ejercicio para el lector el cálculo del volumen de una cuña esférica

S 1.A Caracterización de regiones en el plano y el espacio

En los siguientes ejemplos mostramos como caracterizar algunas regiones del plano y del espacio

utilizando coordenadas cartesianas, polares, cilíndricas o esféricas. Consideraremos conjuntos

conexos cuya frontera es siempre una curva continua y cerrada o una superficie continua

y cerrada. En el espacio, los conjuntos de este tipo y que además son compactos se denominan

regiones .sólidas.. Nos interesan especialmente los llamados conjuntos simples o que pueden

descomponerse fácilmente en subcojuntos que sí lo son. Un conjunto . ⊂ R2 se demonina

simple si existe un sistema de coordenadas (c1, c2) tal que

. ,

(c1, c2) ∈ R2 \. c1 ∈ {ϕ1,ψ1} , c2 ∈ {ϕ2 (c1) ,ψ2 (c1)}

donde ϕ1 y ψ1 son constantes, ϕ2 (c1) y ψ2 (c1) son funciones continuas de la primera variable,

y {a, b} representa tanto un intervalo abierto, como cerrado o semicerrado. De forma análoga

diremos que

⊂ R3 es simple si existe un sistema de coordenadas (c1, c2, c3) que permiten

definirlo como

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1.A. CARACTERIZACIÓN DE REGIONES EN EL PLANO Y EL ESPACIO 45



(c1, c2, c3) ∈ R3 \.

c1 ∈ {ϕ1,ψ1}

c2 ∈ {ϕ2 (c1) ,ψ2 (c1)}

c3 ∈ {ϕ3 (c1, c2) ,ψ3 (c1, c2)}



,

con ϕ1 y ψ1 constantes y ϕ2(3) y ψ2(3) funciones continuas.

En general cuando un conjunto simple se define estableciendo de forma explícita los intervalos

en los que varían todas y cada unas de las coordenadas de sus puntos se dice que se ha

caracterizado de forma simple4. Conviene comentar que la dificultad para obtener este tipo de

caracterización es casi siempre muy notable; sólo en algunos casos (en la mayor parte de ellos

se trata de regiones delimitadas por planos y superficies cuádricas) podremos obtener caracterizaciones

simples en términos de funciones elementales.

1.A.a Caracterización de regiones en el plano

Entre éstas se encuentran los intervalos compactos, los discos abiertos y cerrados, y toda una

colección de regiones de R2 delimitadas por curvas cuádricas. En este ejemplo nos centraremos

en el disco, que por sencillez supondremos centrado en el origen de coordenadas.

Ejemplo 1.15 (Disco cerrado de radio a centrado en el origen)

y = √a2 − x2

y = −√a2 − x2

Figura 1.28: Disco en cartesianas

La definición en coordenadas cartesianas del disco

cerrado de radio a y centrado en el origen es tan sencilla

como

(x, y) ∈ R2 \. x2 + y2 ≤ a2

Utilizando esta definición deduciremos los intervalos

en los que pueden tomar valores las coordenadas x e

y de los puntos pertenecientes al disco. De la figura

resulta evidente que x ∈ [−a, a]; por otra parte, los

límites de variación de la ordenada y se obtienen de la

desigualdad que define el disco

x2 + y2 ≤ a2 → y2 ≤ a2 − x2 → |y| ≤

a2 − x2

y por tanto −√a2 − x2 ≤ y ≤ √a2 − x2.

Como se comentó al comienzo de la sección, las definiciones de una región (de Rq) que establecen de

forma explícita los intervalos en los que varían las coordenadas de sus puntos se denominan caracterizaciones

simples. Así la caracterización simple en coordenadas cartesianas de la región problema es

xy =

(x, y) ∈ R2 \. x ∈ [−a, a], y ∈

−

a2 − x2,

a2 − x2

donde el subíndice xy se utiliza para enfatizar que es una caracterización en coordenadas cartesianas.

4No hace falta decir que sólo un conjunto simple admite una definición de este tipo, pero los conjuntos simples

se pueden definir mediante caracterizaciones diferentes, por ejemplo mediante una desigualdad de la forma

f (c1, c2, c3) ≤ 0.

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BORRADOR

TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

ϑ x

Figura 1.29: Disco en polares

Pasamos a describir lamisma región utilizando coordenadas

polares. En este sistema de coordenadas el disco

cerrado de radio a y centrado en el origen se define

por la relación r ≤ a. En consecuencia el ángulo θ

no está limitado por ninguna condición y puede tomar

cualquier valor dentro del intervalo genérico [0, 2π).

Por tanto, la caracterización simple del disco en estas

coordenadas polares es

r. =

(r, θ) ∈ R2 \. r ∈ [0, a], θ ∈ [0, 2π)

Ejemplo 1.16 (El .disco.elíptico de semiejes a y b)

Como tal entendemos la región del plano limitada por la elipse de semiejes a y b

(x, y) ∈ R2 \.

≤ 1

Procediendo como en el ejemplo precedente encontramos sin dificultad las caracterizaciones simples de

esta región en coordenadas cartesianas y polares. En el primer caso tenemos

xy =

(x, y) ∈ R2 ; x ∈ [−a, a], y ∈

−b

1 − (x/a)2, b

1 − (x/b)2

y utilizando coordenadas polares generalizadas

r. =

(r, θ) ∈ R2 \. r ∈ [0, 1], θ ∈ [0, 2π)

Ejemplo 1.17 (El cuadrado de lado a)

P(a, a)

π/4

Figura 1.30: Cuadrado de lado a

Por sencillez utilizaremos un cuadrado cuyo vértice

inferior izquierdo coincida con el origen de

coordenadas y cuyos lados sean paralelos a los

ejes coordenados. El lector coincidirá con nosotros

en que la caracterización de esta región en

coordenadas cartesianas resulta particularmente fácil

xy ,

(x, y) ∈ R2 ;

x ∈ [0, a]

y ∈ [0, a]

Sin embargo, la caracterización simple en coordenadas

polares es muy complicada; de hecho, resulta

del todo imposible a menos que dividamos

en dos subconjuntos

2 tal como se muestra

en la figura. Admitiendo que la frontera entre

1 y

2 pertence al primero parece obvio que en

el subconjunto

1 la cordenada angular varía como

θ ∈

0, .

. La figura también resulta útil para

deducir el valor máximo que puede tomar la coordenada r. Éste depende de θ, es decir r ∈ [0,R1(θ)], y

para deducir la cota R1(θ) nos fijamos en que

R(θ) cos θ = a → R(θ) =

cosθ

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1.A. CARACTERIZACIÓN DE REGIONES EN EL PLANO Y EL ESPACIO 47

Podemos verificar esta resultado dando algunos valores a θ; así cuando θ = 0 → R1(θ) = a y para

θ =

4 → R1(θ) = √2a, lo que sugiere que dicha relación es correcta. Por lo tanto la caracterización

simple de

1 será

1r. =

(r, θ) ∈ R2 \. r ∈

cosθ

, θ ∈

Procediendo de forma similar para

2 tenemos

θ ∈

.π

; r ∈ (0,R2(θ)] ,

donde hemos excluido el origen (r = 0), que por hipótesis pertenece a

1. Puesto que R2(θ)senθ = a

deducimos que R2(θ) =

senθ

. Dando valores a θ para comprobar su validez tenemos: cuando θ =

4 → R2(θ) = √2a y si θ =

2 → R2(θ) = a, por lo que aceptamos dicha relación como correcta. En

definitiva

2r.

(r, θ) ∈ R2 \. r ∈

senθ

, θ ∈

.π

1.A.b Caracterización de regiones .sólidas.en el espacio

Ejemplo 1.18 (Parametrización de una bola cerrada)

Figura 1.31: Bola centrada en el origen

Un ejemplo de región sólida en el espacio es

la bola; por fijar ideas consideraremos el caso de

una bola cerrada de radio a y centrada en el origen

de coordenadas. De manera formal podemos

definirla como el lugar geométrico de los puntos

(x, y, z) que satisfacen la ecuación x2+y2+z2 ≤ a2, es decir

(x, y, z) ∈ R3 \. x2 + y2 + z2 ≤ a2

Comenzaremos buscando una caracterización

simple en coordenadas cartesianas; para ello estudiamos

la proyección de los puntos de la bola

sobre el plano XY . Esta proyección se obtiene

imponiendo que z = 0. Entonces la restricción

que define la bola queda reducida a x2+y2 ≤ a2,

desigualdad que caracteriza el disco cerrado de

radio a y centrado en el origen (ver 1.28). Por tanto

las coordenadas x e y de los puntos de la bola

satisfacen

x ∈ [−a, a] y ∈

−

a2 − x2,

a2 − x2

Los límites de la coordenada z podemos deducirlos de la desigualdad que define la región

x2 + y2 + z2 ≤ a2 → z2 ≤ a2 − x2 − y2 → |z| ≤

a2 − x2 − y2,

−

a2 − x2 − y2 ≤ z ≤

a2 − x2 − y2,

con lo que la caracterización simple en cartesianas viene dada por

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TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

xyz =





(x, y, z) ∈ R3 \.

x ∈ [−a, a]

y ∈

−√a2 − x2,√a2 − x2

z ∈

−

a2 − x2 − y2,

a2 − x2 − y2





Figura 1.32: Bola en coordenadas cilíndricas

La caracterización simple en coordenadas cilindricas resulta más sencilla si cabe; en efecto, como la

proyección sobre el plano XY es un disco, los límites de variación de las coordenadas r y θ pueden

escribirse como θ ∈ [0, 2π) y r ∈ [0, a]. Una vez fijados estos límites, los de z los deduciremos de la

ecuación de la bola x2 + y2 + z2 ≤ a2. Ahora bien, en cilíndricas r2 = x2 + y2, luego:

r2 + z2 ≤ a2 → |z| ≤

a2 − r2 → z ∈

−

a2 − r2,

a2 − r2

y en consecuencia

r.z =



(r, θ, z) ∈ R3 \.

r ∈ [0, a]

θ ∈ [0, 2π)

z ∈

−√a2 − r2,√a2 − r2





Por último, en coordenadas esféricas la caracterización simple es inmediata: la desigualdad que define

en este sistema de coordenadas una bola cerrada es r ≤ a con θ y φ libres. Entonces

r.. =



(r, θ, φ) ∈ R3 \.

r ∈ [0, a]

θ ∈ [0, 2π)

φ ∈ [0, π]





Ejemplo 1.19 (Parametrización de una bola .elíptica.)

Sea el lugar geométrico de todos los puntos del espacio que satisfacen

(x, y, z) ∈ R3 \.

≤ 1

con a, b, c > 0. Se trata de la región compacta del espacio delimitada por una elipse de semiejes a, b y c.

Dejamos como ejercicio que el lector demuestre que la caracterización simple en cordenadas cartesianas

xyz =





(x, y, z) ∈ R3 \.

x ∈ [−a, a]

y ∈

−b

1 − (x/a)2, b

1 − (x/a)2

z ∈

−c

1 − (x/a)2 − (y/b)2, c

1 − (x/a)2 − (y/b)2





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1.A. PROBLEMAS 49

La caracterización simple en coordenadas esféricas se simplifica de manera apreciable introduciendo

un sistema de coordenas esféricas modificado. Consideremos la siguiente transformación de coordenadas

x(r, θ, φ) = ar cos θ sen φ, y(r, θ, φ) = br sen θ sen φ, z(r, θ, φ) = cr cos φ,

con los tres factores de escala iguales a los semiejes de la elipse. Entonces, substituyendo en la ecuación

que define la región

≤ 1 →

x (r, θ, φ)

y (r, θ, φ)

z (r, θ, φ)

= r2 ≤ 1,

obtenemos que la definición de ésta en el nuevo sistema de coordenadas es r ≤ 1. Obsérvese que esta

relación deja libres los dos ángulos con lo que

r.. =



(r, θ, φ) ∈ R3 \.

r ∈ [0, 1]

θ ∈ [0, 2π)

φ ∈ [0, π]





Problemas

Problema 1.1 Sean P , (x1, x2) y Q , (y1, y2). Demuestre que la función d2 (P,Q) = Sup {|x1 − y1| , |x2 − y2|} satisface todas las propiedades de una distancia. Determine la forma de la circunferencia de radio a centrada

en (0, 0) asociada a esta distancia.

Problema 1.2 Pruebe que A =

(x, y) ∈ R2 \. x > 0

es un conjunto abierto. Obtenga la frontera y

la adherencia de A.

Problema 1.3 Sea −→u un vector unitario. Demuestre que cualquier vector −→a puede descomponerse de

la siguiente manera en una parte paralela y otra perpendicular a −→u.

−→a =

􀀀−→a · −→u

.−→u +

􀀀−→u × −→a

× −→u.

Problema 1.4 Sean l : y = mx + b, l1 : y = m1x + b1 y l2 : y = m2x + b2 rectas en el plano XY . Se

pide que:

1. encuentre una parametrización vectorial de la recta l.

2. demuestre que las dos rectas l1 y l2son ortogonales si y solo si m1m2 = −1.

Problema 1.5 Considere la recta l que pasa por el punto (x0, y0, z0) y cuyo vector director es −→v =

(v1, v2, v3). Obtenga por métodos vectoriales la distancia de la recta a un punto (x, y, z) genérico.

Problema 1.6 Considere la recta l que pasa por el punto P0 , (x0, y0, z0) y cuyo vector director es

−→d = (d1, d2, d3). Sea P1 , (x1, y1, z1) un punto externo a la recta. Se pide que:

1. exprese la distancia de los puntos Q de la recta l al punto P1 como función de una variable real.

2. minimice el cuadrado de dicha función y verifique que dicho mínimo coincide con la expresión

obtenida en el problema anterior.

Problema 1.7 Dado el plano de ecuación Ax+By +Cz +D = 0 y un punto (x1, y1, z1) genérico del

espacio, encuentre una expresión vectorial para la distancia de dicho punto al plano.

Problema 1.8 Demuestre que la distancia entre dos rectas no paralelas l1 : −→r (r1) t = −→a 1 + t−→v 1 y

l2 : −→r (r2) t = −→a 2 + t−→v 2 está dada por

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TEMA 1. GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA DE RQ

d =

􀀀−→a 2 − −→a 1

􀀀−→v 1 × −→v 2

...

−→v 1 × −→v 2

Problema 1.9 Sea

la región compacta limitada por el elipsoide de revolución 3x + 3y + x = 4:

Indique cuál es su eje de simetría.

Obtenga caracterizaciones simples en coordenadas cilíndricas y esféricas.

Utilice un sistema de coordenadas definido por x = acosθsenφ, y = bsenθsenφ, z = ccosφ, y

elija los valores de a, b y c de manera que las expresiones sean lo más sencillas posible.

Problema 1.10 Caracterice en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas la región cerrada

limitada

por una esfera de radio R centrada en el punto (x0 , y0 , z0).

Problema 1.11 Dado el comjunto

⊂ Rq demuestre que:

1. Los conjuntos°

, Ex(

) y ∂

son disjuntos.

2. Rq = °

∪ Ex(

) ∪ ∂

Problema 1.12 Dado el comjunto

⊂ Rq demuestre que:

1. Los conjuntos°

y Ex(

) son abiertos.

2. Un conjunto

es cerrado si Rq −

es abierto.

3. Los conjuntos ∂

son cerrados.

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Tema 2

Funciones reales escalares

A lo largo de este tema sentaremos las bases del cálculo diferencial de funciones reales de varias

variables reales. Las denominaremos funciones escalares de forma genérica. Aprenderemos

a caracterizar una función escalar mediante la elaboración de gráficas e introduciremos los conceptos

de límite y continuidad. El alumno no deberá extrañarse de que estos conceptos planteen

dificultades importantes. Finalizaremos el capítulo definiendo los conceptos de derivada parcial

y derivada direccional, insistiendo en el significado geométrico de las mismas.

2.1 Definiciones

Definición 2.1 (Función escalar)

Una aplicación

f : D ⊂ Rq −→ R \. ∀−→x ∈ D ⇒ f

􀀀−→x

∈ R,

se denomina función real escalar de varias variables reales. El conjunto D ⊂ Rq se llama dominio de definición de la función; . el conjunto f (D) =

􀀀−→x

; \. −→x ∈ D

recibe el nombre de imagen de la función.

Utilizaremos la notación z = f

􀀀−→x

o z = f (x1, x2, · · · , xq ) para hacer explícito

el valor que toma la función f en un punto de su dominio. Las q variables

x1, x2, · · · , xq se denominan variables independientes, mientras que z es la variable

dependiente.

Ejemplo 2.1 (Ejemplo de función escalar)

Este ejemplo proporciona un caso sencillo de función escalar real de dos variables reales

f (x, y ) =

1 p

1 − (x2 + y2)

que está bien definida en el disco abierto D =

(x, y) ∈ R2 ; \. x2 + y2 < 1

En general cuando una función f se define mediante una fórmula y no se especifica su dominio

de definición debe entenderse que éste es el conjunto de todos los puntos −→x para los que f(−→x )

es un número real bien definido.

Asimismo, como norma general, debemos entender que cuando una función posee cierta propiedad

.cerca.de un punto −→x 0 esto quiere decir que existe una bola centrada en −→x 0 de manera

que en todos los puntos de la misma se cumple la mencionada propiedad.

Ejemplo 2.2 (Dominio e imagen de una función)

Determinemos el dominio y la imagen de la función escalar

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

f (x, y ) = 1/

4x − y.

Para que f (x, y ) sea un número real debe cumplirse que 4x − y > 0; si el radicando fuese negativo

la raiz tomaría valores complejos, y si fuese nulo la fracción divergería. Por tanto 4x2 − y2 > 0 ⇒ y2 <

4x2 ⇒ |y| < 2|x| ⇒ −2|x| < y < 2|x|. Concluimos que el dominio de definición de f es la región

sombreada y delimitada por las rectas y = ±2x.

y = 2|x|

y = −2|x|

Figura 2.1: Dominio de la función propuesta

Para establecer la imagen de la función conviene considerar los siguientes límites

Cuando 4x2 − y2 → 0+ ⇒

4x2 − y2 → 0+ ⇒ f (x, y ) =

1 p

4x2 − y2 → ∞

Cuando 4x2 − y2 → ∞ ⇒

4x2 − y2 → ∞ ⇒ f (x, y ) =

1 p

4x2 − y2 → 0+

Este resultado muestra con claridad que la imagen f (D) contiene todos los números reales positivos, y

por lo tanto, según la definición que presentamos a continuación f no es una función acotada.

Definición 2.2 (Función acotada)

Se dice que una función f es acotada si ∃K > 0 \. f

􀀀−→x

≤ K ∀−→x ∈ D.

Al igual que ocurre con las funciones escalares de una variable real, podemos combinar dos (o

más) funciones para generar una nueva función. Las operaciones con funciones más importantes

son

Definición 2.3 (Operaciones elementales con funciones)

Dadas f : D ⊂ Rq −→ R, g : D ⊂ Rq −→ R y h : f (D) ⊂ R −→ R definimos

las siguientes funciones con dominio D:

1. suma, (f + g)(−→x ) , f

􀀀−→x

+ g

􀀀−→x

2. producto, (fg)(−→x ) , f

􀀀−→x

3. producto por un escalar, (λf)(−→x ) , λf

􀀀−→x

4. cociente, (f/g)(−→x ) , f

􀀀−→x

si g

􀀀−→x

6= 0

5. composición de h y g, (h ◦ f)(−→x ) , h

􀀀

􀀀−→x

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2.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES ESCALARES 53

2.2 Representación gráfica de funciones escalares

2.2.1 Gráfica de una función

Comenzaremos por recordar que la gráfica de una función escalar de una variable real y =

f (x), definida en el intervalo [a, b], es el conjunto de todos los puntos (x, y) ∈ R2 tales que

y = f (x) y x pertence a [a, b]. De manera más formal escribiremos

Si f : [a, b] ⊂ R −→ R, entonces Gf ,

(x, f (x)) ∈ R2 \. x ∈ [a, b]

Figura 2.2: Gráfica de y = x

El aspecto de la gráfica de una función de una

sola variable real es el que se muestra en la figura

adjunta. Elegimos unos cuantos valores reales

xi ∈ [a, b], calculamos su imagen f(xi) y formamos

los puntos Pi ≡ (xi, f(xi)). Al representar el

conjunto de puntos Pi en el plano surge (de forma

aproximada) el aspecto de la gráfica de la función.

Por supuesto, existen elementos adicionales que

proporcionan una ayuda bastante valiosa en la elaboración

de la gráfica de una función : el estudio

de discontinuidades, el cálculo de los puntos donde

la función alcanza sus extremos locales y el estudio

del comportamiento asintótico de la misma cuando x → ±∞, etc.

De forma análoga la gráfica de una función escalar de dos variables reales z = f (x, y ),

con dominio D, es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) ∈ R3 tales que z = f (x, y ) y

(x, y) ∈ D, es decir:

si f : D ⊂ R2 −→ R ; (x, y) ∈ D −→ f (x, y ) ,

entonces su gráfica es el conjunto

Gf ,

(x, y, f (x, y)) ∈ R3 \. (x, y) ∈ D

Ejemplo 2.3

Estudiemos la gráfica de la función escalar

f :

(x, y) ∈ R2 \. x2 + y2 ≤ 1

−→ z =

1 − x2 − y2

Una simple transformación nos permite escribir que

z =

1 − x2 − y2 ⇒ z = 1 − x − y ⇒

x2 + y2 + z2 = 1,

z ≥ 0

de manera que se trata del hemisferio superior de la esfera de radio unidad centrada en el origen. Sabemos

que su representación gráfica es la siguiente superficie

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

Figura 2.3: Semiesfera de radio unidad

La elaboración de la gráfica de una función escalar de dos variables reales resulta en general

muy laboriosa y compleja, cuando no imposible; afortunadamente existen diversos programas

informáticos que facilitan o realizan esa tarea. Veamos algunos ejemplos de funciones escalares

de dos variables graficadas con el programa de cálculo simbólico MAPLE.

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2.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES ESCALARES 55

sen(X)*sin(Y)/XY

–6

–4

–2

–6

–4

–2

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Gráfica de la función z = sen(x)sen(y)/xy

–2

–1

–2

–1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

1.8

2.2

2.4

2.6

2.8

(x^2+3y^2)exp(1-x^2-y^2)

Gráfica de la función z = (x2 + 3y2)exp(1 − x2 − y2)

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

En general, la gráfica de una función escalar dependiente de un número genérico q de variables

reales independientes se define como

Definición 2.4 (Gráfica de una función en Rq)

Sea f : D ⊂ Rq −→ R una función escalar de q variables reales; llamamos

entonces gráfica de la función f al conjunto

Gf ,

(x1, · · · , xq, f (x1, x2, · · · , xq )) ∈ Rq+1 \. (x1, x2, · · · , xq) ∈ D

o de forma más .compacta.

Gf ,

.􀀀−→x , f

􀀀−→x

∈ Rq+1 \. −→x ∈ D

El lector atento ya habrá asimilado que la gráfica de una función de dos variables es un conjunto

de puntos pertencientes a R3. Por ello, la representación de la gráfica en el plano (en la

práctica el papel o la pantalla del monitor) requiere la proyección desde tres a dos dimensiones.

En ese proceso siempre se pierde, o se desvirtua, parte de la información real contenida en la

gráfica.

Figura 2.4: Proyección bidimensional de un hipercubo

de cuatro dimensiones

En el caso de una función de tres variables,

la gráfica es un conjunto de puntos en R4; no

podemos realizar una construcción real en el

espacio y mucho menos en el plano. Cuando

representamos dicha gráfica proyectando desde

un espacio de cuatro dimensiones al plano

la pérdida de información es mucho mayor.

Como un ejemplo mostramos la proyección

en el plano de un hipercubo de cuatro dimensiones.

2.2.2 Conjuntos de nivel

Los ejemplos precedentes muestran con claridad que la representación de la gráfica de una

función , incluso de una sencilla, puede ser difícil. Y aunque hoy en día disponemos de herramientas

informáticas que facilitan esta labor, resulta conveniente utilizar otras técnicas de

representación gráfica, que facilitan la elaboración de la gráfica o que proporcionan información

complementaria. La más importante de estas técnicas es la representación de los conjuntos de

nivel de la función . La idea proviene de los topógrafos que elaboran mapas de contornos uniendo

los puntos del terreno con la misma elevación (sobre el nivel del mar) para formar curvas de

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2.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES ESCALARES 57

contorno o curvas de nivel. En el caso de funciones de dos variables tenemos

Definición 2.5 (Curvas de nivel)

Sea z = f (x, y ) una función de dos variables definida en el dominio de definición

D; se define la curva de nivel de valor k como el lugar geométricoa

Ck , {(x, y) ∈ D \. f (x, y ) = k} .

aPara que Ck 6= ∅ el valor k debe formar parte de la imagen de la función .

sin(x)sin(y)exp(-x^2-y^2)

–6 –4 –2 0 2 X 4 6 –6

–4

–2

–0.15

–0.1

–0.05

0.05

0.1

0.15

Gráfica de la función z = sen(x) sen(y) exp(−x2 − y2).

–6

–4

–2

–6 –4 –2 2 4 6

Curvas de nivel de la función.

Estas figuras muestran la gráfica de la función z = sen(x) sen(y) exp(−x2−y2) y sus curvas

de nivel. La representación de las curvas de nivel se ha hecho en un esquema de .falso color.:

cada punto se representa con un color característico del valor que f toma en el mismo. En

particular los puntos donde f toma un valor cercano a cero se han representado mediante un

color naranja; los valores grandes se representan con colores amarillos; y finalmente los valores

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

negativos y muy pequeños con colores rojos1.

Figura 2.5: Curvas de nivel

Las curvas de nivel son los lugares geométricos, en el interior del dominio de definición de

la función , donde ésta toma un valor constante. Podemos obtenerlas uniendo todos los puntos

de elevación constante de la gráfica y proyectando las curvas resultantes sobre el plano XY .

No resulta muy difícil convencerse de que cuanto más próximas se hallan entre sí las curvas de

nivel, mayor es la rapidez con que varía el valor de la función . Por último abusaré un poco de

la confianza del lector para afirmar que en cada punto de su dominio de definición , la variación

de f es mayor en la dirección ortogonal a la curva de nivel que pasa por dicho punto. Dejando

la demostración de este hecho para el siguiente tema, veamos un par ejemplos que nos permitan

afianzar estas ideas

Ejemplo 2.4

Sea f : R2 −→ R ; (x, y) ⇒ z = x2 + y2, una función de dos variables definida en todo el plano.

Las curvas de nivel se definen simplemente a partir de las ecuaciones

x2 + y2 = k \. k ≥ 0,

donde la constante k no puede tomar valores negativos dado que el miembro de la izquierda siempre es

positivo o cero. Se trata de circunferencias de radio √k centradas en el origen; la siguiente figura muestra

los casos correspondientes a k = 1, 2, 3 y 4.

1Los alumnos con copias en blanco y negro pueden ver la figura original en la página WEB de la asignatura.

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2.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES ESCALARES 59

Figura 2.6: Ejemplo 1 de curvas de nivel

Ejemplo 2.5

Dada la función

f : R2 −→ R ; \. (x, y) ⇒ z =

. p

x2 + y2 x ≥ 0,

|y| x < 0,

las curvas de nivel se definen como

x ≥ 0,

x2 + y2 = k ≥ 0 ⇒ son semicircunferencias de radio k,

x < 0, |y| = k ó y = ±k ⇒ son semirectas,

de forma que presentan el siguiente aspecto

Figura 2.7: Ejemplo 2 de curvas de nivel

Las curvas de nivel proporcionan una información parcial sobre la gráfica de una función

de dos variables; en el caso de funciones escalares de tres variables se introduce el concepto

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

análogo de superficie de nivel

Definición 2.6 (Superficie de nivel)

Se denomina superficie de nivel de valor constante k de la función f : D ⊂ R3 −→ R al conjunto

Ck , {(x, y, z) ∈ D \. f (x, y, z ) = k} ,

donde k es un valor pertenciente a la imagen de la función .

Ejemplo 2.6

Si imponemos que la función f (x, y, z ) = x2 + y2 + z2 tome un valor constante k, obtenemos

f = k → x2 + y2 + z2 = k ≥ 0,

que es la ecuación de la esfera de radio √k centrada en el origen.

Las curvas y superficies de nivel son casos particulares de lo que se llaman conjuntos de nivel

en funciones escalares dependientes de un número q de variables independientes; estos conjuntos

se definen de la siguiente forma

Definición 2.7

Se denomina conjunto de nivel de valor constante k de la función f : D ⊂ Rq −→ R al lugar geométrico

Ck , {(x1, x2, · · · , xq) ∈ Rq \. f (x1, x2, · · · , xq ) = k} ,

donde k es un valor pertenciente a la imagen de la función .

2.2.3 Secciones de una gráfica

Otra herramienta, que aporta información complementaria sobre la gráfica de una función ,

son las secciones. De forma general, una sección es el lugar geométrico de los puntos que pertenecen

a la intersección de la gráfica de la función con un plano. En nuestro caso nos centraremos

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2.2. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES ESCALARES 61

en las secciones verticales con planos coordenados

Definición 2.8 (Secciones de una función de dos variables)

Dada f : D ⊂ R2 −→ R ; (x, y) ∈ D −→ f (x, y ), una función escalar de 2

variables con dominio de definición D, introducimos las secciones con los planos

x = k e y = k como los conjuntos

Sx=k

f = {(k, y, f (k, y)) \. (k, y) ∈ D} ,

Sy=k

f = {(x, k, f (x, k)) \. (x, k) ∈ D} .

Ejemplo 2.7 (Secciones de f (x, y ) = x2 + y2)

Estudiemos, como ejemplo sencillo, las secciones de la función f (x, y ) = x2 + y2 con respecto a

planos verticales x = k e y = k. Según la definición precedente

Sx=k

f =

.􀀀

k, y, k2 + y2.

\. y ∈ R

Sy=k

f =

.􀀀

x, k, x2 + k2.

\. x ∈ R

En la figura se muestra la sección de la gráfica de f con el plano x = 0.

Figura 2.8: Ejemplo de sección

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

sen(X)*sin(Y)/XY

–6

–4

–2

–6

–4

–2

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

F(x,y) = xy/(x^2+y^2)

Linea y=-x

Linea y=x

–1

–0.5

0.5

–1

–0.5

0.5

–0.4

–0.2

0.2

0.4

Gráficas de las funciones f (x, y ) = sen(x) sen(y)/xy y g (x, y ) = xy/(x2 + y2).

La generalización a un número cualquiera de dimensiones no plantea dificultades especiales

Definición 2.9 (Secciones de una función escalar en Rq)

Sea f : D ⊂ Rq −→ R ; (x1, x2, · · · , xq) ∈ D −→ f (x1, x2, · · · , xq ) una

función escalar de q variables definida en el conjunto D; llamamos sección con

xi = k a la intersección de la gráfica de la función con el plano . : xi = k, es

decir

Sxi=k

, Gf ∩ . =

(x1, · · · , k, · · · , xq, f (x1, · · · , k, · · · , xq)) ∈ Rq+1

\. (x1, · · · , k, · · · , xq) ∈ D} ,

Recomendamos que antes de pasar al estudio de la continuidad de las funciones escalares,

el lector realice una excursión por los suplementos 2.A y 2.B, donde se estudian las superficies

cuádricas más importantes y las regiones delimitadas por dichas superficies.

2.3 Límites y continuidad de funciones escalares

Comparemos el comportamiento de las funciones

f (x, y ) =

sen(x) sen(y)

y g (x, y ) =

x2 + y2 ,

cuando x e y tienden a cero de manera que (x, y) se aproxima a (0, 0) tanto como se quiera pero

sin alcanzarlo. Resulta necesario imponer esta condición ya que ninguna de las dos funciones

está definida en el origen de coordenadas. Una forma de estudiar el comportamiento de una función

cerca del origen consiste en elaborar una tabla de valores que contenga entradas con valores

de x e y cada vez más próximos a cero. Nosotros, sin embargo, utilizaremos un programa como

MAPLE que elabora internamente dichas tablas y representa las gráficas de ámbas funciones; el

resultado se muestra en la siguiente figura

Resulta obvio que los valores de f se aproximan a un mismo valor z = 1 independientemente

del camino de aproximación elegido, mientras que los valores que toma g dependen de la tra-

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2.3. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES ESCALARES 63

yectoria de aproximación al origen; en particular si dicha trayectoria es y = x los valores de la

función tienden a z = 1, por el contrario la función se aproxima a z = −1 cuando y = −x, y a

z = 0 si nos aproximamos al origen por la recta x = 0.

En general, empleamos la notación

lím

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y ) = L,

para indicar que los valores de la función se aproximan a L cuando el punto (x, y) tiende

a (x0, y0), cualquiera que sea la trayectoria de aproximación. Es decir, podemos hacer que

f (x, y ) se aproxime a L tanto como se quiera tomando el punto (x, y) suficientemente próximo

a (x0, y0), con la única restricción que (x, y) 6= (x0, y0). Por ello, en nuestro ejemplo

lím

(x,y)→(0,0)

sen(x) sen(y)

= 1, lím

(x,y)→(0,0)

x2 + y2 no existe.

Definición 2.10 (Límite de una función de dos variables)

Sea f : D ⊂ R2 −→ R una función escalar de dos variables definida en D y

(x0, y0) ∈ D′ un punto de acumulación de D. Se dice que L es el límite de f (x, y )

cuando (x, y) se aproxima a (x0, y0), o simbólicamente

L = lím

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y ) ,

si para todo ǫ > 0 existe un número δ > 0 tal que para todo (x, y) ∈ D

que satisfaga la desigualdad 0 <

(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ, se cumple que

|f (x, y ) − L| < ǫ.

Otra notación habitual para denotar el límite de una función es

f (x, y )

(x,y)→(x0,y0)

−−−−−−−−−→ L.

Antes de dar la definición general o las propiedades más importantes de los límites conviene

detenerse brevemente en la definición anterior:

1. La existencia del límite de la función f en el punto (x0, y0) tiene su implicación sobre

la gráfica de la función . Dado que de la desigualdad 0 <

(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ

se deduce que |f (x, y ) − L| < ǫ, las imagenes de todos los puntos del disco reducido

B∗ ((x0, y0 ), δ) se encuentran dentro de la banda de anchura 2ǫ delimitada por los planos

z = L − ǫ y z = L + ǫ.

2. |f (x, y ) − L| es la distancia existente entre los valores f (x, y ) y L; a su vez, la distancia

entre los puntos (x, y) y (x0, y0) viene dada por la expresión

(x − x0)2 + (y − y0)2.

Por lo tanto nuestra definición afirma que L = lím(x,y)→(x0,y0) f (x, y ) si la distancia entre

f (x, y ) y L puede hacerse arbitrariamente pequeña sin más que disminuir apropiadamente

la distancia entre (x, y) y (x0, y0), con la condición de que d[(x, y) , (x0, y0)] > 0.

3. Este último hecho es importante: el concepto de límite está relacionado con el comportamiento

de la función cerca del punto (x0, y0), no en el propio punto; de hecho no es

necesario que la función esté definida en (x0, y0) para que exista el límite. En general,

podemos calcular el límite de una función en cualquier punto de acumulación de su dominio.

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

􀀀−→x i

􀀀−→x i+1

􀀀−→x j

. . . l

−→x 0

D (abierto)

−→x 0

Punto interior

Punto frontera /∈ D

Figura 2.9: Límites

4. En el caso de funciones de una variable el punto x sólo puede aproximarse a x0 de dos

formas distintas: desde la izquierda y desde la derecha. El caso de las funciones escalares

de dos variables es mucho más complejo ya que (x, y) puede aproximarse a (x0, y0) de

infinitas formas; la única condición que imponemos es que el camino de aproximación

esté contenido en el dominio de definición de la función .

5. Supongamos que L es el límite de f (x, y ) cuando (x, y) tiende a (x0, y0). Como la

definición de límite sólo involucra distancias y no la forma en que nos aproximamos a

(x0, y0), la función debe tender al mismo valor independientemente del camino seguido.

Por ello, en los casos en los que la función tiende a valores diferentes por caminos de

aproximación distintos, podemos afirmar que el límite no existe.

La generalización del concepto de límite en R2 a un espacio euclídeo arbitrario es inmediata

y no aporta elementos nuevos. En general el estudio de las funciones de más de dos variables no

aporta conceptos o matices nuevos y, por el contrario, complica la notación e introduce dificul-

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2.3. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES ESCALARES 65

tades de tipo práctico.

Definición 2.11 (Límite de una función escalar)

Sea f : D ⊂ Rq −→ R una función real y −→x 0 ∈ D′ un punto de acumulación de

su dominio D. Se dice que L es el límite de f en −→x 0 si y sólo si:

∀ǫ > 0, ∃ δ > 0 \.

􀀀−→x

− L

< ǫ si −→x ∈ D y 0 < k−→x − −→x 0k < δ.

Expresamos simbólicamente que L es el límite de f en −→x 0 como

L = lím

−→x →−→x 0

􀀀−→x

, ó f

􀀀−→x

. −→x →−→x 0 −−−−−→ L

Las propiedades más importantes de los límites de una función escalar se recogen en el siguiente

teorema

Teorema 2.1 (Propiedades fundamentales de los límites)

1. Si f

􀀀−→x

. −→x →−→x 0 −−−−−→ L, entonces el límite L es único.

2. Si f

􀀀−→x

. −→x →−→x 0 −−−−−→ L, entonces g

􀀀−→x

= f

􀀀−→x

− L

−→x →−→x 0 −−−−−→ 0.

3. Sean f y g dos funciones reales definidas en D ⊂ Rq y −→x 0 ∈ D; si f

−→x→−→x 0 −−−−−→

L, g

−→x →−→x 0 −−−−−→ M con M,L ∈ R se cumple:

a) (f + g)

􀀀−→x

. −→x →−→x 0 −−−−−→ L +M

b) (fg)

􀀀−→x

. −→x →−→x 0 −−−−−→ LM

c) f/g

􀀀−→x

. −→x →−→x 0 −−−−−→ L

M si M 6= 0 y g

􀀀−→x

6= 0 cuando −→x → −→x 0.

Demostración 2.1

Para ahorrar espacio y no castigar demasiado los nervios del lector nos limitaremos a demostrar unas

pocas de estas propiedades

1. Supongamos que ∃L1 6= L2 ∈ R \. f → L1 y f → L2 cuando −→x → −→x 0, entonces se cumple

simultáneamente que

∀ǫ > 0 ∃ δ1(ǫ) \. 0 < k−→x − −→x 0k < δ1 → |f − L1| < ǫ,

∀ǫ > 0 ∃ δ2(ǫ) \. 0 < k−→x − −→x 0k < δ2 → |f − L2| < ǫ.

Por lo tanto, eligiendo δ = min(δ1, δ2) las dos condiciones se funden en una sola

∀ǫ > 0 ∃ δ(ǫ) > 0 \. 0 < k−→x − −→x 0k < δ →

|f − L1| < ǫ,

|f − L2| < ǫ,

Utilizando la desigualdad triangular resulta

|L1 − L2| ≤ |f − L1| + |f − L2| < 2ǫ,

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

o lo que es lo mismo

ǫ > |L1 − L2|/2.

Ahora bien, este resultado es absurdo ya que la existencia de dos límites implica que |f − Li| < ǫ

para cualquier valor real positivo de ǫ y no sólo cuando ǫ > |L1 − L2|/2. Por lo tanto la hipótesis

inicial que establece la existencia de dos límites distintos es falsa.

2. Si f → L podemos afirmar que

∀ǫ > 0 ∃ δ > 0 \. |f − L| < ǫ si−→x ∈ D y 0 < k−→x − −→x0k < δ.

Ahora bien, f − L = g − 0, con lo cual podemos reescribir la frase precedente como

∀ǫ > 0 ∃ δ > 0 \. |g − 0| < ǫ si−→x ∈ D, y 0 < k−→x − −→x 0k < δ,

lo cual nos garantiza que g −→x→−→x 0 −−−−−→ 0.

3(b) Estudiemos el comportamiento de la función h = fg−LM. Sumando y restando el producto fM

h = fg − fM + fM − LM = f(g −M) +M(f − L).

Ahora bien, cuando −→x → −→x 0 se verifica que f → L, g −M → 0 y f − L → 0, por lo que

h −→x→−→x 0 −−−−−→ 0 ⇒ fg −→x→−→x 0 −−−−−→ LM.

Teorema 2.2

Sea f : D ⊂ Rq −→ R una función escalar y −→x 0 ∈ D′ un punto de acumulación

de su dominio; si f

􀀀−→x

. −→x →−→x 0 −−−−−→ L, entonces para cualquier curva C que pase por

−→x 0 se verifica quea

lím

t→t0

􀀀−→r (t)

= L,

donde −→r (t) es una función vectorial que parametriza C y tal que −→r (t0) = −→x 0.

a Si −→x 0 ∈ ∂D es necesario substituir el límite anterior por lím

t!t

f `−→r (t)´ = L.

De ahora en adelante convenimos en denominar como límites parciales a los valores a los

que tiende la función cuando nos aproximamos al punto −→x 0 por caminos concretos.

Demostración 2.2

El teorema supone que se cumplen las dos condiciones siguientes:

a) f

􀀀−→x

. −→x→−→x 0 −−−−−→ L, y por lo tanto

∀ ǫ > 0, ∃ δ > 0 \.

􀀀−→x

− L

< ǫ,

siempre que −→x ∈ D y 0 < k−→x − −→x 0k < δ, es decir, siempre que x ∈ B∗

􀀀−→x 0, δ

⊂ D.

b) La curva C pasa por el punto −→x0 y por lo tanto una parte de la curva está contenida en la bola

B∗

􀀀−→x 0, δ

. Es decir, existe un .t tal que r−−(→t) ∈ B∗

􀀀−→x 0, δ

si el argumento t ∈ [t0 − .t, t0 + .t].

Veamos que implica este hecho

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2.3. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES ESCALARES 67

Si |t − t0| < .t → −→x = r−−(→t) ∈ B∗

􀀀−→x 0, δ

y de acuerdo con el punto a)

􀀀−→x

− L

...

.r−−(→t)

− L

...

< ǫ.

Así, estamos ante la condición que establece la existencia del límite de la función f

.r−−(→t)

, ya que

∀ ǫ > 0, ∃ .t \.

􀀀−→r (t)

− L

< ǫ si t ∈ [t0 − .t, t0 + .t].

−→x 0

Figura 2.10: Límites y trayectorias

Este resultado es particularmente útil,

ya que permite descartar la existencia del

límite en algunos casos y sugiere (pero

no demuestra) el valor del mismo en

otros. Ya habíamos comentado que si una

función tiende a valores diferentes por

caminos de aproximación distintos el límite

no existe. De manera más formal

podemos afirmar que si existe (al menos)

una curva

C : −→r (t) \. −→r (t0) = −→x 0,

y podemos demostrar que la función f

􀀀−→r (t)

no tiene límite en t = t0, automáticamente

podemos concluir que la función

f no tiene límite en −→x 0. De forma análoga, si existen (al menos) dos curvas

C1 : −→r 1(t) \. −→r 1(t0) = −→x 0,

C2 : −→r 2(t) \. −→r 2(t0) = −→x 0,

tales que

lím

t→t0

􀀀−→r 1(t)

6= lím

t→t0

􀀀−→r 2(t)

la existencia del límite de la función en −→x 0 queda descartada.

Es importante recalcar que, por el contrario, el hecho de que los límites parciales de la función

a lo largo de varios caminos distintos coincidan no demuestra la existencia del límite, sólo

sugiere su existencia.

Ejemplo 2.8 (Límites parciales de una función )

Utilicemos el resultado precedente para demostrar que la función

f (x, y ) =

xy + y3

x2 + y2 ,

no tiene límite en (0, 0). Para ello seguimos varios caminos de aproximación al origen, como por ejemplo:

1. y = 0:

lím

(x,y)→(0,0)

y=0

xy + y3

x2 + y2 = lím

x→0

x2 = 0

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

2. x = 0:

lím

(x,y)→(0,0)

x=0

xy + y3

x2 + y2 = lím

y→0

y = 0

3. y = x:

lím

(x,y)→(0,0)

y=x

xy + y3

x2 + y2 = lím

x→0

x2 + x3

2x2 =

Dado que el límite depende del camino seguido para aproximarnos al origen de coordenadas, esto es,

su valor es distinto según nos acerquemos por la recta x = y ó por las rectas y = 0 y x = 0, la función

no tiene límite en (0, 0).

Si el estudio de los límites parciales puede demostrar que no existe límite, la demostración

rigurosa de su existencia pasa necesariamente por verificar que se cumple la definición. El siguiente

ejemplo nos muestra como debemos proceder

Ejemplo 2.9 (Cálculo riguroso del límite de una función )

Obtenga el límite (si existe) de la función

f (x, y ) =

2x2(y + 1) + y2

2x2 + y2 ,

cuando (x, y) → (0, 0).

Para ello procederemos en tres fases o pasos diferentes, a saber:

i) El primer paso debe ser la aplicación de las propiedades de los límites. Así,

lím

(x,y)→(0,0)

f (x, y ) =

lím

(x,y)→(0,0)

2x2(y + 1) + y2

lím

(x,y)→(0,0)

2x2 + y2 =

Desafortunadamente, este resultado no es sólo una indeterminación, sino que es incorrecto ya que

la propiedad 3c no puede aplicarse cuando el límite del denominador es cero.

ii) En una segunda fase intentaremos descartar la existencia del límite estudiando su dependencia

de la trayectoria de aproximación al origen; podemos, por ejemplo, utilizar rectas con pendiente

arbitraria

lím

(x,y)→(0,0)

y=.x

f (x, y ) = lím

x→0

2x2(λx + 1) + (λx)2

2x2 + (λx)2 = lím

x→0

2(λx + 1) + λ2

2 + λ2 = 1.

El valor de la función es siempre la unidad, independientemente de la recta por la que nos aproximemos

al origen. Esto sugiere que el límite de la función cuando (x, y) → (0, 0) existe y es la

unidad.

iii) Llegados a este punto la única avenida para obtener el límite es aplicar la definición. Consideremos

δ > 0 y todos los puntos (x, y) ; 0 < k(x, y) − (0, 0)k = √x + y < δ, es decir, todos los puntos

distintos del origen cuya distancia a éste es menor que δ. Entonces

|f (x, y ) − 1| =

....

2x2(y + 1) + y2

2x2 + y2 − 1

....

= |2xy + 2x + y − 2x − y|

|2x + y|

≤1 z }| {

2x + y |y| ≤ |y| ≤

x2 + y2 < δ.

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2.3. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES ESCALARES 69

Este resultado muestra fehacientemente que a medida que nos aproximamos al origen el valor de

la función tiende progresivamente a la unidad, independientemente del camino que sigamos. Para

concluir que se satisface la condición de límite basta elegir ǫ = δ, de manera que2

∀ ǫ > 0 ∃ δ(= ǫ) \. |f (x, y ) − 1| < ǫ ∀ (x, y) ∈ R2, con 0 <

x2 + y2 < δ.

El concepto de paso al límite cuando −→x se aproxima a −→x 0 está relacionado con el comportamiento

de la función en una vecindad de −→x 0, tan pequeña como se quiera, pero que excluye el

punto central −→x 0. Por tanto, la existencia del límite no garantiza que la función esté definida en

−→x 0. Cuando el límite existe y coincide con el valor de la función en el punto decimos que dicha

función es continua.

Definición 2.12

Sea f : D ⊂ Rq −→ R una función escalar definida en el conjunto D y −→x 0 ∈ D

un punto cualquiera de la adherencia de dicho dominio; se dice que:

1. f es continua en −→x 0 si lím

−→x →−→x 0

􀀀−→x

= f

􀀀−→x 0

2. f es continua en E ⊂ D si lo es en cada punto del conjunto E.

3. f es discontinua en −→x 0 si lím

−→x →−→x 0

􀀀−→x

6= f

􀀀−→x 0

De acuerdo con esta definición los puntos de la frontera del dominio de definición donde la

función no está definida son puntos de discontinuidad de la función . Asimismo, la función es

discontinua en los puntos aislados de su dominio, que pertenecen a la adherencia, pero donde el

límite no está definido.

El hecho de que una función sea continua en −→x 0 puede expresarse también como

lím

−→x →−→x 0

􀀀

􀀀−→x

− f

􀀀−→x 0

= 0,

de manera que un pequeño desplazamiento del punto −→x a partir de −→x 0 sólo induce una pequeña

variación en el valor de la función . Por esta razón las gráficas de las funciones de dos variables

son superficies sin huecos ni rupturas.

Ejemplo 2.10 (Continuidad de una función definida a trozos)

Estudie la continuidad de la función

f (x, y ) =





sen(x2) + sen(y2)

x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0),

1, (x, y) = (0, 0),

en el punto (0, 0).

Para ello, debemos comprobar si lím(x,y)→(0,0) f (x, y ) = f (0, 0) = 1. El cálculo del límite de la

función cuando (x, y) se aproxima al origen requiere que estudiemos el comportamiento de la función en

puntos muy próximos, pero excluyendo el propio origen. En estos puntos

f (x, y ) =

sen(x2) + sen(y2)

x2 + y2 ,

y como |x| e |y| ≪ 1 podemos desarrollar las funciones sen(x2) y sen(y2) en serie de potencias, es decir

2En realidad la condición de límite se satisface igualmente si imponemos que δ ≤ ǫ.

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

sen(x2) + sen(y2) =

∞X

p=0

(−1)p

(2p + 1)!

􀀀

(x)2p+1 + (y)2p+1.

= x2 + y2 +

∞X

p=1

(−1)p

(2p + 1)!

􀀀

(x)2p+1 + (y)2p+1.

Por lo tanto

f (x, y ) = 1 +

∞X

p=1

(−1)p

(2p + 1)!

(x2)2p+1 + (y2)2p+1

x2 + y2 .

Demostraremos ahora que todos y cada uno de los términos de la serie, excepto el primero, tiene límite

nulo cuando (x, y) → (0, 0). En efecto, se cumple

0 ≤

(x2)2p+1 + (y2)2p+1

x2 + y2 ≤

(x2 + y2)2p+1 + (y2 + x2)2p+1

x2 + y2 = 2(x + y)2p,

y tomando límites

0 ≤ lím

(x,y)→(0,0)

(x2)2p+1 + (y2)2p+1

x2 + y2 ≤ 2 lím

(x,y)→(0,0)

(x2 + y2)2p.

Dejamos como ejercicio para el lector la demostración de que lím(x,y)→(0,0)(x2 + y2)2p = 0 si p > 0.

Entonces

lím

(x,y)→(0,0)

(x2)2p+1 + (y2)2p+1

x2 + y2 = 0,

con lo cual se obtiene trivialmente

lím

(x,y)→(0,0)

f (x, y ) = f (0, 0) ,

o en otros términos, la función es continua en (0, 0).

Teorema 2.3 (Propiedades de las funciones continuas)

Sean f : D ⊂ Rq −→ R y g : D ⊂ Rq −→ R dos funciones escalares definidas en

el conjunto D y h : I ⊂ R −→ R una función real de una variable real definida en

el intervalo I. Se cumple que:

1. Si f

􀀀−→x

es continua en −→x 0 ∈ D, entonces está acotada .cerca.de −→x 0.

2. Si f

􀀀−→x

es continua en −→x 0 ∈ D y f

􀀀−→x 0

6= 0, entonces la función tiene

signo constante .cerca.de −→x 0.

3. Si las funciones f y g son continuas en −→x 0 ∈ D, entonces f + g, fg y f/g

(siempre que g

􀀀−→x 0

6= 0) son continuas en −→x 0.

4. Si f

􀀀−→x

es continua en −→x 0 ∈ D y h (z) es continua en f

􀀀−→x 0

∈ I, entonces

h ◦ f

􀀀−→x

= h

􀀀

􀀀−→x

es continua en −→x 0.

Ejemplo 2.11 (Continuidad de una función dependiente de parámetros)

Apliquemos estas propiedades al estudio de la continuidad de la función

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2.3. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES ESCALARES 71

􀀀−→x 0

> 0

−→x 0

Figura 2.11: Propiedades de las funciones continuas (1,2)

f E

−→x 0

􀀀−→x 0

f · g

Figura 2.12: Propiedades de las funciones continuas (4)

f (x, y ) =





x.y.

x2 + y2 + xy

(x, y) 6= (0, 0) ,

0 (x, y) = (0, 0) ,

con α, β = 1, 2, . . .

Cuando no se especifica el punto (o puntos) donde debemos estudiar la continuidad de la función

entenderemos que el enunciado se refiere a todo su dominio de definición . La función se haya definida

en todo R2 por lo que el estudio de la continuidad debe abarcar el plano. Fuera del origen está definida

como una función racional de manera que será continua, salvo en aquellos puntos donde el denominador

se anule. Dado que el denominador x + y + xy sólo se anula si (x, y) = (0, 0) la función es continua

para (x, y) 6= (0, 0). En el origen la definición es distinta a la del resto del plano por lo que deberemos

calcular el límite de la función de manera explícita.

Ejercicio:

Dejaremos que el lector demuestre que la ecuación x + y + xy = 0 sólo se satisface si x = y = 0.

(x, y) 6= (0, 0). Admitiendo que el denominador sólo se anula en el origen, las propiedades enunciadas

en el teorema 4.3 permiten concluir de forma inmediata que la función es continua fuera

del origen.

(x, y) = (0, 0). Para determinar si f (x, y ) es continua debemos estudiar si f ( 0, 0)

(x,y)→(0,0)

−−−−−−−→ f (0, 0) = 1. Para ello seguiremos los pasos habituales. Primero nos aproximaremos

al origen por rectas y = λx con la intención de descartar la existencia del límite. Así

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

lím

(x,y)→(0,0)

y=.x

f (x, y ) = lím

x→0

f (x, λx) = λ. lím

x→0

x.+.

x2(1 + λ + λ2)

λ.

1 + λ + λ2

lím

x→0

x.+.−2.

Ahora bien

λ.

1 + λ + λ2

es un número real cualquiera que sea el valor de λ. Además

x.+.−2





x→0 −−−→ 0 si α + β − 2 > 0,

x→0 −−−→ 00 α + β = 2,

x→0 −−−→ ∞ α + β < 2.

Por lo tanto la existencia de límite queda descartada si α + β ≤ 2. En este caso la aproximación

por rectas nos ha permitido acotar el problema descartando parte de los valores que pueden tomar

α y β. Cuando α + β > 2 el resultado anterior sugiere que el límite vale cero; para demostrar la

validez de esta afirmación consideramos puntos (x, y) tales que 0 <

x2 + y2 < δ. Entonces

|f (x, y ) − 0| =

x.y.

|x2 + y2 + xy|

= r.+.−2

cos. θ sen. θ

|1 + cos θ sen θ|

donde hemos efectuado un cambio a coordenadas polares. Teniendo en cuenta que cos θ sen θ =

sen(2θ)/2

|f (x, y ) − 0| = r.+.−2 |cos θ|. |sen θ|.

....

1 +

sen(2θ)

....

≤ 2r.+.−2 < 2δ.+.−2.

Eligiendo ǫ = 2δ.+.−2 e invirtiendo la relación, resulta

∀ ǫ > 0 ∃ δ =

. ǫ

. 1

.+.−2

\. |f − 0| < ǫ siempre que 0 <

x2 + y2 < δ,

o en otras palabras f (x, y )

(x,y)→(0,0)

−−−−−−−→ f (0, 0).

Resumiendo los distintos casos tenemos que la función es continua en:

1. R2 − {(0, 0)} , ∀ α, β ∈ N.

2. R2 cuando α + β > 2.

2.4 Derivabilidad de una función escalar

Sabemos que la gráfica de una función continua no presenta huecos ni rupturas. Los estudios

del primer cuatrimestre nos permiten afirmar que las gráficas de las funciones reales de una

variable real diferenciables son además suaves, es decir, no presentan picos ni dobleces abruptos.

De forma más precisa, podemos afirmar que las gráficas de estas funciones admiten una recta

tangente en todos y cada uno de sus puntos. Por similitud deberíamos exigir que las gráficas de

las funciones escalares diferenciables en Rq admitiesen un (hiper)plano tangente en todos sus

puntos.

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2.4. DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN ESCALAR 73

Sin embargo, la cuestión de la diferenciabilidad en Rq es más complicada de lo que parece y

por ello avanzaremos poco a poco. Un primer paso en esa dirección consiste en la introducción

de los conceptos de derivada parcial y derivada direccional.

Definición 2.13 (Derivadas parciales de una función escalar en R2)

Sea f : D ⊂ R2 −→ R una función escalar de dos variables definida en D ⊂ R2

y (x0, y0) ∈ °D un punto interior de D. Llamamos entonces derivada parcial de f

con respecto a x en el punto (x0, y0) a

∂f (x0, y0 )

∂x

, lím

h→0

f (x0 + h, y0) − f (x0, y0 )

y derivada parcial de f con respecto a y en el punto (x0, y0) a

∂f (x0, y0 )

∂y

, lím

h→0

f (x0, y0 + h) − f (x0, y0 )

siempre que estos límites existan.

Análogamente, se definen las funciones derivada parciale de f con respecto a x e

y como

∂f (x, y )

∂x

, lím

h→0

f (x + h, y) − f (x, y )

∂f (x, y )

∂y

, lím

h→0

f (x, y + h) − f (x, y )

cuyos dominios de definición están formados por todos los puntos interiores de D

donde estos límites estén bien definidos.

Es conveniente efectuar ahora algunos comentarios sobre la definición precedente:

1. La notación que hemos utilizado para denotar las derivadas parciales no es única; otras

notaciones alternativas son

∂f (x, y )

∂x

= f′x(x, y ) = ∂xf (x, y ) ,

2. El cociente incremental que aparece en la definición de derivada parcial sólo depende de

la variable real h; x e y se toman como constantes. Por tanto son de aplicación todas las

reglas, trucos, etc., del cálculo de límites de funciones de una variable.

3. Las derivadas parciales sólo están definidas en el interior del dominio de la función . Sólo

de esta forma podemos definir el límite del cociente incremental, que involucra los límites

por la derecha y por la izquierda en el caso de f′x (x, y ) y límites por abajo y por arriba

en el caso de f′y (x, y ).

4. Con el fin de facilitar la definición de derivada direccional reescribimos las derivadas

parciales de la siguiente forma

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

∂f (x, y )

∂x

= lím

h→0

􀀀

(x, y ) + h−→ı

− f (x, y )

∂f (x, y )

∂y

= lím

h→0

􀀀

(x, y ) + h−→

− f (x, y )

Este último resultado sugiere generalizar la definición de derivada parcial para introducir el

concepto de derivada direccional.

Definición 2.14 (Derivada direccional de una función escalar en R2)

Sea f : D ⊂ R2 −→ R una función escalar de dos variables definida en D ⊂ R2

y (x0, y0) ∈ °D un punto interior de D. Se define la derivada direccional de f en el

punto (x0, y0) y con respecto al vector unitario −→u como

f′−

→u

(x0, y0 ) , lím

h→0

􀀀

(x0, y0 ) + h−→u

− f (x0, y0 )

siempre que el límite exista.

Se denomina función derivada direccional según el vector unitario −→u a la regla que

a cada punto interior de (x, y) ∈ °D, le asocia el valor (vectorial) f′−

→u

(x, y ) .

Según esta definición f′x (x, y ) = f′−

→ı

(x, y ) y f′y (x, y ) = f′−

→

(x, y ). Si expresamos las

componentes del vector unitario como −→u = (cos θ, sen θ), la derivada direccional se escribe

también

f′−

→u

(x, y ) = lím

h→0

f (x + h cos θ, y + h sen θ) − f (x, y )

expresión que utilizaremos habitualmente en los cálculos prácticos.

Ejemplo 2.12

Estudiemos las derivadas parciales y direccionales de la función f (x, y ) = exy en un punto interior

genérico de su dominio de definición . Aplicando la definición de derivada parcial tenemos

f′x (x, y ) = lím

h→0

e(x+h)y − exy

= exy lím

h→0

eyh − 1

y utilizando L’hopital para salvar la indeterminación del límite en h

f′x (x, y ) = exy lím

h→0

yehy = yexy.

De forma análoga

f′y (x, y ) = lím

h→0

ex(y+h) − exy

= exy lím

h→0

exh − 1

= xexy.

Utilizando la definición de derivada direccional según el vector −→u = (cos θ, sen θ), resulta

f′−

→u (x, y ) = lím

h→0

e(x+h cos .)(y+h sen .) − exy

y eliminado la indeterminación mediante la regla de L’hopital obtenemos

f′−

→u (x, y ) = lím

h→0

(y cos θ + x sen θ + 2h sen θ cos θ) e(x+h cos .)(y+h sen .)

= exy (y cos θ + x sen θ) = exy

(y, x) ,−→u

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2.4. DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN ESCALAR 75

Obsérvese que podemos recuperar las derivadas parciales utilizando la expresión obtenida para las

derivadas direccionales. En efecto

f′x (x, y ) = f′−

→ı (x, y ) = exy

(y, x) ,−→ı

= yexy,

f′y (x, y ) = f′−

→ (x, y ) = exy

(y, x) ,−→

= xexy,

Evidentemente, los conceptos de derivada parcial y direccional se generalizan facilmente al

caso de espacios euclídeos de dimensión genérica

Definición 2.15 (Derivadas parciales de funciones escalares)

Sean f : D ⊂ Rq −→ R una función escalar, dependiente de q variables reales,

definida enD ⊂ Rq y−→x 0 ∈ °D un punto interior de su dominio. Llamamos derivada

parcial de f en el punto −→x 0 con respecto a la variable xi a

∂f

􀀀−→x 0

∂xi

, lím

h→0

􀀀

x01 , · · · , x0i + h, · · · , x0q

− f (x01, x02, · · · , x0q )

= lím

h→0

􀀀−→x 0 + h−→e i

− f

􀀀−→x 0

siempre que este límite exista.

Se llama función derivada parcial con respecto a xi a la función

∂f

∂xi

: °D ⊂ Rq −→ R \. ∀ −→x ∈ °D →

∂f

􀀀−→x

∂xi

En el caso general también existen notaciones alternativas para las derivadas parciales; entre

las más habituales tenemos

∂f

􀀀−→x

∂xi

= f′xi

􀀀−→x

= ∂xif

􀀀−→x

= f′−

→e

􀀀−→x

donde la última es la notación que utlizaremos habitualmente para denotar una derivada direc-

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

cional. La definición de éstas es

Definición 2.16 (Derivada direccional en Rq)

Sean f : D ⊂ Rq −→ R una función escalar definida en D ⊂ Rq, −→x 0 ∈ °D un

punto interior de su dominio, y −→u un vector unitario cualquiera. Se define entoces

la derivada direccional de f en el punto −→x 0 y según el vector −→u como el límite

f′−

→u

􀀀−→x 0

, lím

h→0

􀀀−→x 0 + h−→u

− f

􀀀−→x 0

si éste existe.

Se llama función derivada direccional según el vector unitario −→u a

f′−

→u

: °D ⊂ Rq −→ R \. ∀ −→x ∈ °D → f′−

→u

􀀀−→x

Antes de enumerar las propiedades más importantes de las derivadas parciales, centraremos

nuestra atención en los tres ejemplos siguientes, que nos servirán de justificación de dichas

propiedades.

Ejemplo 2.13

En el ejemplo 2.12 utilizamos la definición de derivada parcial de primer orden para calcular las de la

función z = exy. Habíamos obtenido las siguientes expresiones

f′x (x, y ) = yexy, f′y (x, y ) = xexy.

Consideremos ahora que y toma el valor constante, y = c, y definamos la función g (x) , f (x, y = c) =

ecx; derivando con respecto a x, resulta

g′ (x) = cecx = yexy = f′x (x, y ) .

Análogamente, tomando x como constante una constante x = c, definiendo h (x) , f (x = c, y) = ecy

y derivando con respecto a y, tenemos

h′ (y) = cecy = xexy = f′y (x, y ) .

Este ejemplo sugiere que podemos calcular la derivada parcial de una función con respecto a una

variable dada considerando las restantes variables como constantes y derivando la función con respecto a

la primera, como si se tratase de una función de una sóla variable.

Ejemplo 2.14

Obtenga las funciones derivada de la función definida a trozos

f (x, y ) = x +

x2 + y2

si (x, y) 6= (0, 0) ; 0 si (x, y) = (0, 0) .

(x, y) 6= (0, 0). Aplicamos las reglas de derivación estándar a la parte izquierda de la definición y obtenemos

f′x (x, y ) = 1 −

(x2 − y2)y

(x2 + y2)2 ; f′y (x, y ) =

(x2 − y2)x

(x2 + y2)2 .

Estas expresiones no están definidas en el origen de coordenadas, y sin embargo la función posee

derivadas en dicho punto; en efecto

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2.4. DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN ESCALAR 77

(x, y) = (0, 0). Dado que este punto es singular y la definición de f cambia con respecto a la de los

puntos adyacentes aplicaremos la definición de derivada. El resultado es

f′x (0, 0) = lím

h→0

f (h, 0) − f (0, 0)

= lím

h→0

h − 0

= 1,

f′x (0, 0) = lím

h→0

f ( 0, h) − f (0, 0)

= lím

h→0

0 − 0

= 0.

Por lo tanto las derivadas parciales son en este caso las siguientes funciones definidas a trozos

f′x (x, y ) =





1 −

(x2 − y2)y

(x2 + y2)2 , (x, y) 6= (0, 0) ,

1, (x, y) = (0, 0) .

; f′y (x, y ) =





(x2 − y2)x

(x2 + y2)2 , (x, y) 6= (0, 0) ,

0, (x, y) = (0, 0) .

Ejemplo 2.15

Demuestre que la función definida a trozos

f (x, y ) =

si y 6= 0 ; 0 si y = 0.

posee todas sus derivadas direccionales en (0, 0) y, sin embargo, no es continua en dicho punto.

Las derivadas direccionales en el origen de coordenadas vienen dadas por

f′u (0, 0) = lím

h→0

f (0 + h cos θ, 0 + h sen θ) − f (0, 0)

= lím

h→0

f (h cos θ, h sen θ)

donde −→u = (cos θ, sen θ). Llegados a este punto debemos proceder con cierto cuidado. Para ello consideramos

por separado los dos casos:

θ = 0 ó π. En este caso y = 0 y por lo tanto f (±h, 0) = 0. Además el vector unitario es −→u = ±−→ı .

En consecuencia

f′±

−→ı ( 0, 0) = lím

h→0

f (±h, 0)

= lím

h→0

= 0.

θ 6= 0 ó π. Dado que y 6= 0 podemos escribir que

f′−

→u ( 0, 0) = lím

h→0

f (h cos θ, h sen θ)

= lím

h→0

h3 cos3 θ

h sen θ

cos3 θ

sen θ

lím

h→0

h2.

Como θ 6= 0 ó π el factor trigonométrico que precede al límite es un número real bien definido y además

es obvio que límh→0 h2 = 0. Por lo tanto f′−

→u (0, 0) = 0 si θ 6= 0 ó π.

Reuniendo los dos resultados, resulta que

f′−

→u (0, 0) = 0 ∀ −→u,

es decir, la función posee todas sus derivadas direccionales en (0, 0) y son nulas.

Comencemos ahora el estudio de la continuidad en (0, 0) aproximándonos al origen de coordenadas

por caminos diversos. Se deja como ejercicio la obtención de los límites parciales a lo largo de rectas

y = mx. Se tiene que

lím

(x,y)→(0,0)

y=mx

f (x, y ) = 0.

Sin embargo, si elegimos un camino un poco más rebuscado como la cúbica y = x3, resulta

lím

(x,y)→(0,0)

y=x3

f (x, y ) = lím

x→0

x3 = 1.

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

Como los límites parciales dependen del camino de aproximación al origen podemos afirmar que la

función no tiene límite en (0, 0) y en consecuencia no es continua en dicho punto. Este ejemplo nos

proporciona un caso en el que existen todas las derivadas direccionales (y parciales), y sin embargo la

función no es continua.

Teorema 2.4 (Propiedades de las derivadas)

1. En el cálculo de las derivadas parciales son de aplicación general las reglas

de derivación de las funciones de una variable real:

El procedimiento habitual para calcular ∂xif consiste en considerar todas

las variables xj con j 6= i como constantes y derivar respecto a xi.

La única excepción a esta regla surge en el caso de puntos donde la definición

de la función es distinta de la definición en puntos adyacentes;

entonces es obligatorio el cálculo de la derivada mediante su definición.

2. Las propiedades algebraicas de las derivadas parciales y direccionales son

las mismas que las de las funciones de una variable real.

3. La existencia de todas las derivadas direccionales f′−

→u

􀀀−→x 0

no es condición

necesaria ni suficiente para que f

􀀀−→x

sea continua en −→x 0.

2.4.1 Interpretación geométrica de las derivadas

La derivada de una función escalar de una variable real f (x) tiene un significado geométrico

claro: representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto

(x, f (x)). La derivada direccional de una función escalar multivariable posee un significado

semejante.

Sea una función escalar f : D ⊂ R2 −→ R con derivada direccional f′−

→u

􀀀−→a

en el punto

−→a ∈ °D. Para comprender el significado geométrico de la derivada direccional introducimos los

siguientes elementos:

La gráfica S de la función , es decir, la superficie

S =

(x, y, z) ∈ R3 \. (x, y) ∈ D, z = f (x, y )

La recta l que pasa por el punto −→a y tiene como vector director a −→u, l : −→x (t) = −→a +t−→u.

El plano . que contiene el punto −→a y los vectores −→u (por lo tanto contiene a la recta l) y

−→k

La curva C formada por la intersección de la superficie S y el plano .

Observando la figura, es obvio que a cada punto −→x (t) = −→a + t−→u, situado sobre l, le corresponde

un punto situado sobre C cuya altura o cota es f

􀀀−→a + t−→u

Podemos entonces considerar a la curva C como la gráfica de la función

(t) = f

􀀀−→a + t−→u

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

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2.5. DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR 79

. = (z, l)

−→u

−→a

l : −→a + t−→u

Figura 2.13: Interpretación geométrica de la derivada direccional

definida siempre que −→a +t−→u ∈ °D. Para cada valor de t, la derivada ′ (t) es la pendiente de la

recta tangente a C en el punto correspondiente a t. Ahora bien, se cumple que

ψ′ (0) = lím

h→0

ψ (0 + h) − ψ (0)

= lím

h→0

􀀀−→a + h−→u

− f

􀀀−→a

= f′−

→u 􀀀−→a

es decir, la derivada ′

t (t = 0) coincide con la derivada direccional de f

􀀀−→x

en el punto −→a ,

según la dirección orientada −→u. Por lo tanto el número f′−

→u

􀀀−→a

= f′−

→u

(ax, ay) nos da la pendiente

de la recta tangente a la superficie S en el punto (ax, ay, f (ax, ay)) y según la dirección

definida por −→u.

2.5 Derivadas parciales de orden superior

De forma similar al caso de funciones escalares de una variable, resulta posible definir derivadas

de orden superior de las funciones escalares en Rq. Como no es muy habitual trabajar con

derivadas direccionales de orden superior nos limitaremos a introducir las derivadas parciales de

orden superior de una función escalar.

Sea f : D ⊂ Rq −→ R una función escalar definida en el abierto D ⊂ Rq. Si f tiene derivada

parcial de primer orden f′x i

, entonces la derivada

􀀀

f′xi

.′

, si existe, se denomina derivada parcial

segunda de f respecto de las variables xi y xj . Se denota como

f(2)

xixj =

􀀀

f′

.′

∂2f

∂xj∂xi

∂

∂xj

∂f

∂xi

El lector ya habrá notado la diferencia en el orden con que aparecen las variables xi y xj en las

dos notaciones. Reiterando el proceso se obtienen derivadas parciales de ordenes superiores al

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

t = 0 ≡ −→a t

α, tg(α) = psi′(0) = f′−

→u

􀀀−→a

z = ψ(t)

Figura 2.14: Interpretación geométrica de las derivadas (corte)

segundo. Si existe la derivada de orden n, f(n)

xixj ···xk, podemos definir las siguientes derivadas de

orden n + 1

f(n)

xixj ···xk ⇒

f(n)

xixj ···xk

.′

= f(n+1)

xixj ···xkxl ,

o bien

∂nf

∂xk · · · ∂xj∂xi ⇒

∂

∂xl

∂nf

∂xk · · · ∂xj∂xi

∂n+1f

∂xl∂xk · · · ∂xj∂xi

Ejemplo 2.16

Calculemos como aplicación de las definiciones anteriores las derivadas parciales de orden dos de la

función f (x, y ) = x3 + x2y3 − 2y2. Según las reglas de derivación habituales tenemos

∂f (x, y )

∂x

= 3x2 + 2xy3,

∂f (x, y )

∂y

= 3x2y2 − 4y,

y por tanto las derivadas de orden dos serán

∂2f (x, y )

∂x2 = 6x + 2y3,

∂2f (x, y )

∂x∂y

= 6xy2,

∂2f (x, y )

∂y∂x

= 6xy2,

∂2f (x, y )

∂y2 = 6x2y − 4.

El hecho de que en el ejemplo precedente se verifique la igualdad f(2)

xy (x, y ) = f(2)

yx (x, y )

no es una simple coincidencia; en la práctica las derivadas parciales cruzadas o mixtas f(2)

xy y

f(2)

yx son iguales para buena parte de las funciones que podemos encontrar. Antes de enunciar

el teorema que establece las condiciones bajo las cuales se cumple la igualdad de las derivadas

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2.5. DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR 81

cruzadas debemos introducir los siguiente conceptos:

Definición 2.17 (Funciones de clase Cr)

Si f es continua en−→x 0 se dice que es de clase C0 en−→x 0. Análogamente, si todas las

derivadas parciales de f hasta orden r están definidas cerca de −→x 0 y son continuas

en −→x 0, decimos que f es de clase Cr en −→x 0.

Por extensión, si f es continua en D se dice que es de clase C0 en D. Si existen

todas las derivadas parciales de f hasta orden r y son contínuas en °D, decimos que

f es de clase Cr en D.

Teorema 2.5 (Teorema de Clairaut)

Sea f (x, y ) una función de clase C2 en (x0, y0); se verifica entonces que

∂2f (x0, y0 )

∂y∂x

∂2f (x0, y0 )

∂x∂y

Análogamente, si f (x, y ) es de clase C2 en el interior de su dominio de definición

D se cumple que

∂2f

∂y∂x

∂2f

∂x∂y

, ∀ (x, y) ∈ °D.

El recíproco no es cierto, es decir, la igualdad de las derivadas cruzadas no implíca

que la función sea de clase C2.

Ejemplo 2.17

Para verificar la falsedad del recíproco de este teorema consideremos la función definida a trozos

f (x, y ) =

(

xy2 sen(1/y), y 6= 0,

0, y = 0,

y calculemos todas sus derivadas parciales hasta orden dos.

Como ya hemos comentado previamente los puntos y = 0 , donde la definición de la función difiere

de la de los puntos adyacentes, son un caso especial que requiere tratamiento aparte.

y 6= 0. Es fácil comprobar que las reglas de derivación dan lugar a las siguientes expresiones

f′x (x, y ) = y2 sen(1/y), f′y (x, y ) = 2yx sen(1/y) − x cos(1/y),

f′′ xy (x, y ) = 2y sen(1/y) − cos(1/y), f′′ yx (x, y ) = 2y sen(1/y) − cos(1/y).

La igualdad de las derivadas cruzadas es debida en este caso a que la función es de clase C2. En efecto,

cuando y 6= 0 todas las derivadas hasta orden dos son continuas ya que se obtienen como suma, producto

y composición de funciones continuas.

y = 0. Aplicando la definición de derivada parcial obtenemos

f′x (x, 0 ) = lím

h→0

f (x + h, 0) − f (x, 0 )

= lím

h→0

0 − 0

= 0,

f′y (x, 0 ) = lím

h→0

f (x, h) − f (x, 0 )

= lím

h→0

xh2 sen(1/h) − 0

= 0.

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

Derivando de nuevo para obtener las derivadas de orden dos resulta

f′′ xy (x, 0 ) = lím

h→0

f′x (x, h) − f′x (x, 0 )

= lím

h→0

h2 sen(1/h) − 0

= 0,

f′′ yx (x, 0 ) = lím

h→0

f′y (x + h, 0 ) − f′y (x, 0 )

= lím

h→0

0 − 0

= 0.

Por lo tanto las derivadas cruzadas también son iguales cuando y = 0, y sin embargo no son continuas;

comprobémoslo en el caso particular en que x = y = 0

lím

(x,y)→(0,0)

f′′ xy (x, y ) = lím

(x,y)→(0,0)

(2y sen(1/y) − cos(1/y)) 6= 0.

EL teorema de Clairaut se generaliza sin gran dificultad al caso de funciones en Rq. El teorema

generalizado se enuncia como

Teorema 2.6

Si f : D ⊂ Rq −→ R es una función de clase Cr en −→x 0 ∈ °D, entonces el valor de

las derivadas parciales de orden r en −→x 0

∂rf

􀀀−→x 0

∂xk · · · ∂xj∂xi

no depende del orden en que se eligen las r variables xk, . . . , xj , xi. La propiedad

recíproca no es cierta.

S 2.A Representación de superficies cuádricas

Como ya hemos comentado las ecuaciones asociadas a funciones continuas de tres variables

definen en general una superficie en el espacio. En este suplemento estudiaremos de forma sistemática

las superficies asociadas a las ecuaciones de segundo grado.

Definición 2.18 (Superficie cuádrica)

Una superficie cuádrica es la gráfica asociada a una ecuación de segundo grado

en las variables (x, y, z), ó (x1, x2, x3), es decir

i,j

cijxixj +

dixi + e = 0,

con cij , di y e cantidades reales.

Mediante rotaciones y traslaciones, la ecuación anterior puede reducirse a

+ s1

+ s2

= k,

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

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2.A. REPRESENTACIÓN DE SUPERFICIES CUÁDRICAS 83

donde a, b, c son números reales positivos, n = 1 ó 2, k = 0 ó 1 y s1, s2 = ±1.3 Para caracterizar

estas superficies como la gráfica de una función , z = f (x, y ), son necesarias dos funciones

escalares. En efecto, si n = 2

z = ±c

k −

− s1

mientras que

z = s2c

k −

− s1

cuando n = 1.

2.A.a Elipsoide

Una de las superficies cuádricas más habituales es la esfera, de la que el elipsoide definido por

= 1,

es una generalización inmediata. En general seguiremos un procedimiento estándar para representar

gráficamente estas superficies: determinaremos los cortes de la superficie con los ejes

coordenados, obtendremos las expresiones de curvas de nivel y secciones, y finalmente estudiaremos

la acotación (o falta de ella) de la superficie.

Intersección con los ejes

Los puntos de corte con los ejes coordenados de una superficie ζ (x, y, z) = 0 se obtienen

resolviendo las ecuaciones

Corte con el eje X, ζ(x, 0, 0) = 0,

Corte con el eje Y, ζ(0, y, 0) = 0,

Corte con el eje Z, ζ(0, 0, z) = 0,

que en el caso del elipsoide dan lugar a los seis puntos siguientes (±a, 0, 0), (0,±b, 0) y (0, 0,±c).

Estos puntos se denominan vértices del elipsoide.

Curvas de nivel

Las curvas de nivel se obtienen al imponer que z tome un valor constante; así

z = d ⇒

a2 +

b2 = 1 −

c2 ,

y teniendo en cuenta que el miembro de la izquierda es una suma de cuadrados se deduce que

|d| ≤ c, es decir, que no existen curvas de nivel si z < −c o si z > c. Introduciendo la función

ζ(d, u) =

|1 − d2/u2| las ecuaciones de las curvas de nivel vienen dadas por

aζ(d, c)

bζ(d, c)

= 1, |d| < c,

es decir, se trata de elipses con semiejes aζ(d, c) y bζ(d, c). Si |d| = c la elipse queda reducida

al punto (x, y) = (0, 0).

3Se excluyen cuádricas degeneradas, tales como

“x

a ”2

+ “y

b ”2

+ “z

c ”2

+ 1 = 0, ó “x

a ”2

+ “y

b ”2

+ “z

c ”2

= 0.

La primera es el conjunto vacio y la segunda define únicamente el origen de coordenadas.

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

Secciones

Se obtienen de forma análoga imponiendo que x ó y tomen un valor constante.

x = d ⇒

b2 +

c2 = 1 −

a2 .

Como el miembro de la izquierda es una suma de cuadrados concluimos otra vez que |d| ≤ a,

o lo que es lo mismo, no existen secciones verticales si x /∈ [−a, a]. Utilizando de nuevo la

función ζ las ecuaciones de las secciones x = d son

bζ(d, a)

cζ(d, a)

= 1, |d| < a,

por lo que también se trata de elipses (o del punto (y, z) = (0, 0) si |d| = a). Dejamos como

ejercicio que el lector establezca que las secciones y = d son elipses con semiejes aζ(d, b) y

bζ(d, b).

De todos estos resultados se deduce que el elipsoide es una superficie acotada, ya que se

encuentra inscrita en el paralelepípedo |x| ≤ a, |y| ≤ b y |z| ≤ c, centrada en el origen y

simétrica con respecto a los planos coordenados.

Figura 2.15: Elipsoide

El aspecto general de la superficie es el que se muestra en la figura esquemática de la página

precedente. A continuación mostramos la gráfica, algunas curvas de nivel y la sección y = 0 del

elipsoide de ecuación x2/4 + y2 + z2 = 1, elaborados con MAPLE.

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2.A. REPRESENTACIÓN DE SUPERFICIES CUÁDRICAS 85

–2

–1

–1 –0.8 X –0.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Y

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Z=sqrt(1-x^2/4-y^2)

Elipsoide de ecuación x2/4 + y2 + z2 = 1.

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

–2 –1 1 2

Curvas de nivel.

–2

–1

–1 –0.8 –0.4 0

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Z=sqrt(1-x^2/4-y^2), y=0

Sección y = 0.

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

2.A.b Hiperboloide de una hoja

La superfice llamada hiperboloide de una hoja (llamda así por razones que se harán evidentes

más adelante) está definida por la ecuación

−

= 1.

Siguiendo el procedimiento que hemos establecido para graficar estas superficies tenemos:

Intersección con los ejes

Estas superficies no presentan puntos de corte con el eje Z y los puntos de intersección con

los ejes X e Y son (±a, 0, 0) y (0,±b, 0), respectivamente.

Curvas de nivel

Imponiendo que la coordenada z tome un valor constante resulta

z = d ⇒

a2 +

b2 = 1 +

c2 .

Dado que los dos miembros de la ecuación son siempre positivos no podemos imponer ninguna

restricción sobre la constante d lo que nos permite asegurar que existen curvas de nivel cualquiera

que sea el valor de z. Definiendo ξ(d, u) =

1 + d2/u2, deducimos que las curvas de nivel

son elipses de ecuación

aξ(d, c)

bξ(d, c)

= 1, ∀ d.

Secciones

Nos limitaremos a estudiar las secciones con planos x = d, dejando las que corresponden a

intersecciones con planos y = d como ejercicio para el lector.

x = d ⇒

b2 −

c2 = 1 −

a2 .

Tampoco existe restricción alguna sobre los valores de d en esta caso. Debemos distinguir tres

situaciones según los valores de d. Si |d| < a, obtenemos

bζ(d, a)

−

cζ(d, a)

= 1,

que es la ecuación de una hipérbola que corta al eje Y en los puntos y = ±bζ(d, a); en particular

si d = 0 los puntos de corte son y = ±b. Por el contrario, si |d| > a la expresión precedente se

reescribe como

cζ(d, a)

−

bζ(d, a)

= 1,

que es la ecuación de una hipérbola que corta al eje Z en z = ±cζ(d, a); cuando d = 0

tenemos z = ±c simplemente. Finalmente, si |d| = a, las hipérbolas se reducen a dos rectas con

ecuaciones

b ±

= 0.

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2.A. REPRESENTACIÓN DE SUPERFICIES CUÁDRICAS 87

La superficie no se encuentra acotada: las curvas de nivel, que existen para culaquier valor

de z, son elipses cuyos semiejes son funciones crecientes de |z|. El aspecto general de esta

superficie puede observarse en el siguiente esquema

Figura 2.16: Hiperboloide de una hoja

que muestra que la superficie está centrada en el origen y es simétrica con respecto a los planos

coordenados. Las tres figuras siguientes fueron realizadas con MAPLE y representan de forma

más precisa la gráfica, las curvas de nivel y la sección y = 0 del hiperboloide de ecuación

x2/4 + y2 − z2 = 1,

–4

–2

–1

Y 2

–1.5

–1

–0.5

0.5

1.5

x^2/4+y^2-z^2=1

Hiperboloide de ecuación x2/4 + y2 − z2 = 1.

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

–3

–2

–1

–3 –2 –1 1 2 3

x^2/4+y^2-z^2=1, z=cte

Curvas de nivel.

–4

–2

–2 –1 0

–1.8

–1.6

–1.4

–1.2

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

1.6

1.8

x^2/4+y^2-z^2=1, y=0

Sección y = 0.

2.A.c Hiperboloide de dos hojas

Esta superficie está definida por la ecuación

−

= −1,

donde a, b y c son cantidades reales positivas.

Cortes con los ejes

La superficie corta al eje Z en los puntos (0, 0,±c), pero no existen puntos de corte con los

ejes X e Y lo que sugiere que la superficie no corta o no toca el plano XY . Para demostrar esta

aseveración efectuamos la substitución z = 0 en la ecuación del hiperboloide de manera que

obtenemos

= −1,

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2.A. REPRESENTACIÓN DE SUPERFICIES CUÁDRICAS 89

ecuación que no admite soluciones reales para x e y.

Curvas de nivel

Al substituir z = d en la ecuación de la superficie obtenemos

z = d ⇒

a2 +

b2 =

c2 − 1.

Como el miembro de la izquierda es no negativo debe cumplirse que d2/c2 − 1 ≥ 0, o lo que

es lo mismo, |d| ≥ c. Esto implica: a) que no existe superficie dentro de la región comprendida

entre los planos z = −c y z = c, y b) que la superficie no está acotada. Utilizando la notación

habitual ζ(d, c) =

d2/c2 − 1 las curvas de nivel se escriben

aζ(d, c)

bζ(d, c)

= 1, |d| > c.

Por lo tanto, la curvas de nivel son elipses con semiejes aζ(d, c) y bζ(d, c).

Secciones

Exigiendo ahora que x tome un valor constante, resulta

x = d ⇒

c2 −

b2 = 1 +

a2 ,

ecuación que muestra otra vez que la superficie no corta al plano XY . En efecto, el valor más

pequeño que puede tomar |z| corresponde a d = 0 y es

|z|min = c

1 +

b2 ≥ c.

El menor de estos valores |z|min = c se obtiene cuando y = 0. Con la definición de la función

ξ la ecuación de las secciones se escribe como

cξ(d, a)

−

bξ(d, a)

= 1,

expresión que define una hipérbola que corta al eje Z en los puntos z = ±cξ(d, a).

El aspecto cualitativo de este tipo de superficies se muestra en la siguiente figura

Figura 2.17: Hiperboloide de dos hojas

Ésta junto con la figura 2.16 explican el porqué de los nombres .hiperboloides de una y dos

hojas.. Se observa claramente que la superficie no está acotada y que posee simetría de reflexión

con respecto a los planos coordenados.

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

La gráfica y la sección y = 0 del hiperboloide x2/4+y2 +z2 = −1, obtenidas con MAPLE,

se muestran en las dos figuras siguientes

–8

–6

–4

–2

–4 –2 0 2 Y 4

–4

–2

x^2/4+y^2-z^2=–1

Hiperboloide de ecuación x2/4 + y2 − z2 = −1.

–8

–6

–4

–2

–4 –2

–4

–2

x^2/4+y^2-z^2=–1, y=0

Sección y = 0.

2.A.d El Cono

La ecuación que caracteriza un cono viene dada por

−

= 0,

donde, como en los casos precedentes, las tres constantes a, b y c son positivas.

Intersección con los ejes

Las intersecciones con los ejes ocurren simultáneamente en el origen de coordenadas (0, 0, 0),

de manera que podemos afirmar la superficie converge de alguna forma en dicho punto.

Curvas de nivel

Exigiendo que z = d tenemos

z = d ⇒

a2 +

b2 =

c2 ,

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2.A. REPRESENTACIÓN DE SUPERFICIES CUÁDRICAS 91

y definiendo γ(d, u) = d/u para u 6= 0 podemos reescribir esta ecuación como

aγ(d, c)

bγ(d, c)

= 1, d 6= 0.

Así, las curvas de nivel son elipses con centro en el origen de coordenadas, con ejes de simetría

X e Y , y con semiejes aγ(d, c) y bγ(d, c). Cuando d = 0 la curva de nivel se reduce al origen

de coordenadas.

Secciones

Las ecuaciones que determinan los cortes con planos verticales x = d son

c2 −

b2 = γ(d, a)2,

es decir, son hipérbolas cuyas ramas cortan al eje Z en los puntos z = ±cγ(d, a). Cuando

consideramos la sección con el plano x = 0 las dos ramas de la hipérbola se reducen a las rectas

z = ±

Se deja como ejercicio para el lector la obtención de las expresiones correspondientes a las

secciones con planos y = d. Al reunir los diversos resultados obtenidos hasta ahora, surge el

aspecto genérico de un cono tal como se muestra en este esquema

Figura 2.18: Cono

que pone de manifiesto la simetría especular de la superficie con respecto a los planos coordenados

y el hecho de que no está acotada. Las dos figuras siguientes muestran de una forma más

precisa la gráfica y la sección y = 0 del cono de ecuación x2/4 + y2 − z2 = 0

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

–4

–2

–2 –1 0 1 Y 2

–2

–1

x^2/4+y^2-z^2=0

Cono de ecuación x2/4 + y2 − z2 = 0.

–4

–2

–2 –1 0

–2

–1

x^2/4+y^2-z^2=0, y=0

Sección y = 0.

2.A.e El paraboloide elíptico

Finalizamos esta sección dedicada a la representación gráfica de las superficies cuádricas

con el estudio de los dos tipos de paraboloides. Abordaremos primero la representación de los

paraboloides elípticos definidos por

˜a

˜b

−

= 0,

donde ˜a,˜b y c son cantidades positivas. Multiplicando ámbos miembros por c y definiendo a =

˜a/√c, y b =˜ b/√c, resulta

− z = 0.

A diferencia de las cuádricas que hemos estudiado hasta ahora, es posible caracterizar esta superficie

mediante una sóla función escalar

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2.A. REPRESENTACIÓN DE SUPERFICIES CUÁDRICAS 93

La forma de la función revela que los valores de z son necesariamente positivos o cero; por lo

tanto la superficie está restringida al hemiespacio superior.

Cortes con los ejes

La superficie corta a los tres ejes en el origen de coordenadas; de hecho como z ≥ 0 sobre la

superficie, ésta toca el plano XY en dicho punto.

Curvas de nivel

Es muy fácil deducir que las curvas de nivel son elipses con centro en el origen y semiejes con

longitudes a√d y b√d, situados sobre los ejes coordenados. En efecto, imponiendo que z = d

resulta

a2 +

b2 = d.

Como el miembro izquierdo es positivo o cero concluimos que d ≥ 0. No existe ninguna

otra restricción sobre la constante d, con lo cual podemos afirmar que el hiperboloide no está

acotado.

Secciones

Por lo que a las secciones con planos verticales x = d o y = d se refiere, tenemos:

x = d ⇒ z =

b2 +

a2 ,

y = d ⇒ z =

a2 +

b2 .

Se trata en ámbos casos de parábolas verticales que cortan al eje Z en los puntos z = γ(d, a)2

y z = γ(d, b)2 respectivamente. Utilizando toda esta información podemos elaborar el esquema

que se muestra a continuación

Figura 2.19: Paraboloide elíptico

Resulta evidente que la superficie no está acotada y también su simetría especular con respecto

a los dos planos x = 0 e y = 0. Las dos figuras que se muestran a continuación representan la

gráfica y la sección y = 0 del paraboloide elíptico de ecuación x2/4 + y2 − z = 0.

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

–4

–2

–2 –1 X 0 1 2 Y

x^2/4+y^2-z=0

Paraboloide elíptico de ecuación x2/4 + y2 − z = 0.

–4

–3

–2

–1

–2 –1 0 X Y 1 2

x^2/4+y^2-z=0, x<1

Sección y = 0.

2.A.f El paraboloide hiperbólico

Los paraboloides de tipo hiperbólico son la gráfica de una función de la forma

z =

−

definida en todo R2. Utilizamos los pasos habituales para obtener la gráfica aproximada de la

función.

Cortes con los ejes

La superficie corta a los tres ejes en el origen de coordenadas; la diferencia con respecto a

los hiperboloides de tipo elíptico es que z puede tomar valores positivos y negativos, es decir, la

superficie corta el plano XY en dicho punto en vez de ser tangente al mismo.

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2.A. REPRESENTACIÓN DE SUPERFICIES CUÁDRICAS 95

Curvas de nivel

Procedemos de la forma habitual y substituimos z = d en la ecuación de la superficie

z = d ⇒

a2 −

b2 = d,

y separando la expresión en dos según el signo de la constante d resulta

a2 −

b2 = d, d > 0,

b2 −

b2 = |d|, d < 0.

En el primer caso estamos ante hipérbolas que cortan al eje X en los puntos x = ±a√d,

mientras que en el segundo las ramas de las hipérbolas cortan al eje Y en y = ±b

|d|. En

ninguno de los dos casos existe restricción sobre d: puede tomar valores arbitrariamente grandes

o pequeños, de manera que la superficie no está acotada.

Secciones

Las expresiones definitorias de las secciones correspondientes a planos x = d e y = d son

x = d ⇒ z = −

b2 +

a2 ,

y = d ⇒ z =

a2 −

b2 ,

Se trata de parábolas verticales; el punto de corte con el eje Z es z = γ(d, a)2 para planos

x = d, y z = −γ(d, b)2 cuando los planos son del tipo y = d.

Utilizando estas expresiones para realizar una representación gráfica cualitativa deducimos

que los hiperboloides hiperbólicos presentan el siguiente aspecto

Figura 2.20: Paraboloide hiperbólico

donde se aprecia que la superficie no está acotada y su simetría especular con respecto a los

planos x = 0 e y = 0. Por último mostramos en tres figuras, realizadas con MAPLE, la gráfica

y las secciones x = 0 e y = 0 del paraboloide hiperbólico de ecuación x2/4 − y2 − z = 0.

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

–4

–2

–2 –1 0 X 1

–4

–2

x^2/4-y^2-z=0

Hiperboloide hiperbólico de ecuación x2/4 − y2 − z = 0.

–4

–2

–1

–4

–2

x^2/4-y^2-z=0, y=0

Sección x = 0.

–4

–2

–2 X

–1

Y 2

–4

–2

x^2/4-y^2-z=0, x=0

Sección y = 0.

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2.B. CARACTERIZACIÓN DE REGIONES DELIMITADAS POR SUPERFICIES

CUÁDRICAS 97

S 2.B Caracterización de regiones delimitadas por superficies cuádricas

Nos centramos a continuación en la caracterización simple de algunos dominios de R3 limitados

por algunas de las superficies cuádricas que acabamos de estudiar.

Ejemplo 2.18

Parametrizaremos la región sólida

limitada lateralmente por el hiperboloide de una hoja (x2 +

y2)/4 − z2 = 1 y horizontalmente por los planos z = ±2. La región

se dibuja de manera esquemática

en la siguiente figura.

(x, y, z)

(r, θ, φ)

Figura 2.21: Parametrización del hiperboloide de una hoja

La propia definición de la región impone que la coordenada z sólo puede tomar valores en el intervalo

[−2, 2]. De la figura se deduce que, para un valor de z dado, las coordenadas x e y están constreñidas por

el disco cuya frontera es la curva de nivel de valor constante z.

x xmax = R min = −R

R(z)

Figura 2.22: Corte horizontal del hiperboloide

de una hoja

Ahora bien, hemos visto que las curvas de nivel

de un hiperboloide de ecuación

−

= 1,

son elipses con semiejes a

1 + z2/c2 y b

1 + z2/c2.

Como en este caso a = b = 2 las curvas de nivel

son circunferencias de radio

R(z) = 2

1 + z2.

Por otro lado sabemos que una caracterización

simple del disco de radio R(z) centrado en el origen

x ∈ [−R(z),R(z)] , y ∈

−

R(z)2 − x2,

R(z)2 − x2

de manera que la caracterización simple en coordenadas cartesianas de la región

se puede escribir como

 

(x, y, z) ∈ R3 \.





z ∈ [−2, 2]

x ∈ [−R(z),R(z)]

y ∈

−

R(z)2 − x2,

R(z)2 − x2









La parametrización en coordenadas cilíndricas se obtiene de forma inmediata, sin más que utilizar la

caracterización de un disco de radio R(z) en coordenadas polares. Así, podemos escribir que

(r, θ, φ) ∈ R3 \. ; θ ∈ [0, 2π) , z ∈ [−2, 2] , r ∈ [0,R(z)]

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

Como ya se ha comentado en varias ocasiones, la caracterización de una región no es única y es posible

encontrar diversas caracterizaciones y en distintos sistemas de coordenadas. En el caso que nos ocupa, el

lector no encontrará dificultad en aceptar que la planta de la región

es un disco de radio R(±2) = 2√5.

Por lo tanto

θ ∈ [0, 2π] , r ∈

0, 2√5

El problema que se plantea al adoptar este punto de vista es que los valores de z están restringidos de

forma complicada por los valores de r. Utilizando la figura deducimos

Z √20

√20

R(0)

Figura 2.23: Parametrización alternativa.

que dentro del cilíndro interior de radioR(0) =

2 la coordenada z varía libremente dentro del intervalo

[−2, 2]. Sin embargo, cuando 2 < r ≤ 2√5, existen dos valores límite zm y zx tales que

z ∈ [−2, zm] ∪ [zx, 2] .

Fijándonos de nuevo en la figura, observamos

que estos dos valores de z corresponden a puntos

del hiperboloide, cuya ecuación en coordenadas

cilíndricas es

4 − z2 = 1 ⇒





zx =

4 − 1,

zm = −

4 − 1.

Es evidente que cuando r < 2 la ecuación no

admite soluciones y por tanto no resulta posible

definir zm y zx. Cuando r = 2 se cumple que

zm = zx = 0 y en consecuencia z ∈ [−2, 2]. En

definitiva, podemos caracterizar

como la unión

de dos regiones



(r, θ, φ) ∈ R3 \.





θ ∈ [0, 2π)

z ∈ [−2, 2]

r ∈ [0, 2]





 

∪



(r, θ, φ) ∈ R3 \.





θ ∈ [0, 2π)

r ∈

􀀀

2, 2√5

z ∈ [−2, zm] ∪ [zx, 2]









Ejemplo 2.19

Abordamos ahora el estudio de la región sólida

limitada lateralmente por el paraboloide de ecuación

z = (x2 + y2)/4 y superiormente por el plano z=4.

Como resultado obvio de la definición de

imponemos que z ∈ [0, 4]. Para un valor

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

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2.B. CARACTERIZACIÓN DE REGIONES DELIMITADAS POR SUPERFICIES

CUÁDRICAS 99

(x, y, z)

(r, θ, φ)

R(z)

Figura 2.24: Caracterización de un paraboloide

Figura 2.25: Corte horizontal en un paraboloide

fijo de z, las otras coordenadas tomarán valores

tales que x2 + y2 ≤ R(z)2, donde R(z) es el

radio de la curva de nivel de valor constante z. Su

expresión se deduce trivialmente de la ecuación

del paraboloide

z =

x + y

4 ⇒ x2 + y2 = 4z

⇒ R(z) = 2√z.

Es decir, las curvas de nivel son circunferencias

de radio R(z) = 2√z. Por lo tanto las coordenadas

x e y pueden tomar cualquier valor dentro del

disco cerrado limitado por dicha circunferencia.

Así, para z dado

x ∈

−2√z, 2√z

, y ∈

−

4z − x2,

4z − x2

de manera que la caracterización simple de la región



(x, y, z) ∈ R3 \.





z ∈ [0, 4]

x ∈ [−2√z, 2√z]

y ∈

−√4z − x2,√4z − x2







.

La caracterización en coordenadas cilíndricas es aún más sencilla. Una vez conocido el intervalo de variación

de la coordenada z y sabiendo que las curvas de nivel son circunferencias de radio R(z), podemos

escribir

 

(r, θ, z) ∈

R3 \.





z ∈ [0, 4]

θ ∈ [0, 2π)

r ∈ [0, 2√z]







.

Una forma alternativa de caracterizar

consiste en delimitar los límites de máxima variación de x e y,

y determinar los valores permitidos de z en función de los que tomen x e y en cada caso. Con este objetivo

consideramos la planta de

en el plano XY . Ésta se confunde con la .tapa superior.de la región, que

es el disco de ecuación x2 + y2 ≤ 16. Si permitimos que x e y varíen dentro del mismo, tenemos

x ∈ [−4, 4] , y ∈

16 − x2,

16 − x2

Ahora debemos obtener el intervalo de valores permitidos de z; considerando una sección vertical cualquiera,

apreciamos que z ∈ [zs, 4], donde zs qcorresponde a un punto (x, y, zs) situado sobre el paraboloide.

Por lo tanto:

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

100

BORRADOR

TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

(r, ϑ)

Figura 2.26: Parametrización de un paraboloide en cilíndricas

zs =

x2 + y2

y en consecuencia z ∈

(x2 + y2)/4, 4

. Así, la nueva caracterización simple en coordenadas cartesianas

viene dada por



(x, y, z) ∈ R3 \.





x ∈ [−4, 4]

y ∈

−√16 − x,√16 − x

z ∈

(x2 + y2)/4, 4







,

y de forma análoga tenemos



(r, θ, z) ∈ R3 \.





θ ∈ [0, 2π)

r ∈ [0, 4]

z ∈

r2/4, 4







,

en coordenadas cilíndricas.

S 2.C Algunos trucos para el cálculo de límites

2.C.a Límites de funciones racionales

Como se indica en el título abordamos el estudio de límites de funciones de la forma

f (x, y ) =

Q(x, y )

P (x, y )

donde P (x, y ) y Q(x, y ) son polinomios en la variables x e y. Si el denominador no se anula .cerca.de (x0, y0) las propiedades de los límites establecen que

lím

(x,y)→(x0,y0)

Q(x, y )

P (x, y )

Q(x0, y0 )

P (x0, y0 )

Si, por el contrario, P (x0, y0 ) = 0 no podemos aplicar la propiedad correspondiente al

cociente de dos funciones y el cálulo deviene mucho más complicado. No obstante, existen circunstancias

que nos permiten descartar de inmediato la existencia del límite, como por ejemplo:

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

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2.C. ALGUNOS TRUCOS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES 101

1. Existe una curva y = ϕ(x), que pasa por (x0, y0), y tal que P (x,ϕ(x) ) = 0.

Basta con considerar el límite parcial

lím

(x,y)→(x0,y0)

y='(x)

Q(x, y )

P (x, y )

= lím

x→x0

Q(x,ϕ(x) )

P (x,ϕ(x) )

= ∞,

para descartar la existencia del límite. Por ejemplo, la función f (x, y ) = xy/(x−y) está

definida en todo R2, excepto en la recta y = x que pasa por el origen; por lo tanto el límite

parcial a lo largo de dicha recta no existe.

2. La potencia más pequeña del numerador es inferior a la menor de las potencias del denominador.

Antes de demostrar la validez de esta afirmación supodremos que hemos reescrito los

polinomios en función de las variables ˜x = x − x0 e ˜y = y − y0 de manera que cuando

(x, y) → (x0, y0) el par (˜x, ˜y) → (0, 0). Supongamos que las potencias más pequeñas de

los polinomios P y Q en las nuevas variables son r y s respectivamente, de manera que

P ( ˜x, ˜y ) =

n,m

n+m=r

αnm˜xn˜ym + · · · ,

Q( ˜x, ˜y ) =

n,m

n+m=s

βnm˜xn˜ym + · · ·

Estudiemos los límites parciales a lo largo de rectas que pasan por el origen de coordenadas

lím

(˜x,˜y)→(0,0)

˜y=.˜x

Q( ˜x, ˜y )

P ( ˜x, ˜y )

= lím

˜x→0

Q( ˜x, λ˜x)

P ( ˜x, λ˜x) )

n,m

n+m=r

αnmλm

n,m

n+m=r

βnmλm

lím

˜x→0

˜xr−s.

Si r < s, resulta que

lím

(˜x,˜y)→(0,0)

˜y=.˜x

Q( ˜x, ˜y )

P ( ˜x, ˜y )

= ∞,

es decir, el límite parcial no existe lo cual descarta la existencia del límite de la función

cuando (x,y)→(x0,y0)

−−−−−−−−−→.

3. Si la potencia más pequeña del numerador coincide con la potencia más pequeña del

denominador es altamente probable que el límite tampoco exista. Si r = s, el límite

parcial es

lím

(˜x,˜y)→(0,0)

˜y=.˜x

Q( ˜x, ˜y )

P ( ˜x, ˜y )

n,m

n+m=r

αnmλm

n,m

n+m=r

βnmλm

que depende en general de la pendiente λ, lo que impide la existencia del límite. En aquellos

casos en los que los coeficientes α del numerador y los coeficientes β del denominador

coincidan el límite parcial por rectas vale la unidad independientemente del valor de λ, y

por lo tanto no podemos descartar la existencia del límite.

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

102

BORRADOR

TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

2.C.b Cálculo de límites en coordenadas polares

En coordenadas polares el origen de coordenadas se caracteriza porque r = 0. Por el contrario

el ángulo θ no tiene un valor bien definido. Por ello

(x, y) → (0, 0) ≡ r → 0, θ = indeterminado.

Así, es correcto escribir que

L = lím

(x,y)→(0,0)

f (x, y ) = lím

r→0

f (r cos θ, r sen θ ) ,

donde se admite que θ varia libremente con r. Supongamos que f (r cos θ, r sen θ ) se descompone

como producto de dos funciones ϕ(r) y ψ(r, θ), de forma que

L = lím

r→0

ϕ(r) lím

r→0

ψ(r, θ),

y supongamos también que se cumple que

límr→0 ϕ(r) = 0,

|ψ(r, θ)| < K,

donde K es un número real positivo. Entonces

L = 0.

Consideremos, por ejemplo, el siguiente límite

L = lím

(x,y)→(0,0)

2x2(y + 1) + y2

2x2 + y2 = lím

r→0

2(r cos θ)2(r sen θ + 1) + (r sen θ)2

2(r cos θ)2 + (r sen θ)2

= lím

r→0

2 cos2 θ + sen2 θ

+ lím

r→0

sen θ cos2 θ

2 cos2 θ + sen2 θ

= 1 + lím

r→0

r lím

r→0

sen θ cos2 θ

2 cos2 θ + sen2 θ

Como 2 cos2 θ + sen2 θ > |sen θ| cos2 θ, cualquiera que sea el valor de θ, el segundo sumando

es el producto de un factor que se anula por otro que, en valor absoluto, es menor que la unidad.

Por lo tanto

L = 1.

Por el contrario, si L = l1l2(θ) la dependencia en el ángulo refleja que el valor al que tiende

la función depende del camino de aproximación al origen con lo cual podemos afirmar que el

límite no existe. Dado, por ejemplo, el siguiente límite

L = lím

(x,y)→(0,0)

x2(y + 1) + y2

2x2 + y2 ,

llegamos de forma análoga a que

L = lím

r→0

cos2 θ + sen2 θ

2 cos2 θ + sen2 θ

y como L depende de la forma de la función θ(r), concluimos que el límite no existe.

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2.C. PROBLEMAS 103

Problemas

Problema 2.1 Determine el dominio de definición y la imagen de las siguientes funciones

(a) f : (x, y) →

x + y

, (b) f : (x, y) →

x2 + 2y2

z p

x2 + y2

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

104

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TEMA 2. FUNCIONES REALES ESCALARES

Problema 2.2 Dibuje de forma aproximada las curvas de nivel de las siguientes funciones:

1. f (x, y ) = 2x + y − 2

2. f (x, y ) = c

1 −

􀀀 x

−

􀀀 y

3. f (x, y ) = c

q􀀀 x

−

􀀀 y

− 1

Problema 2.3 Utilice los sistemas de coordenadas que se indican para caracterizar de forma simple las

siguientes regiones:

1. Caracterice en coordenadas cilíndricas y esféricas la región z ≥ c√x + y.

2. Caracterice en coordenadas cartesianas y cilíndricas la región sólida dada por

− z2 ≤ 0, con 0 ≤ z ≤ c.

3. Caracterice en coordenadas cartesianas y cilíndricas la región sólida delimitada por el elipsoide de

ecuación

= 1.

Problema 2.4 Demuestre que no existe el límte de las siguientes funciones cuando (x, y) → (0, 0):

(a) f (x, y ) =

x2 − y2

x2 + y2 , (b) f (x, y ) =

x2 + y2 ,

x2 + y2 , (d) f (x, y ) =

exp

x2 − y2

− 1

x2 + y2 .

Problema 2.5 Calcule (si existen) los límites que se proponen a continuación

(a)f (x, y ) =

x + y

x2 + y2 , (x, y) → (2, 3),

(b)f (x, y ) =

x2y

x2 + y2 , (x, y) → (0, 0),

(c)f (x, y ) =

sen(x2 + y2)

x2 + y2 , (x, y) → (0, 0),

(d)f (x, y ) = x sen

x2 + y2

, (x, y) → (0, 0)

Problema 2.6 Estudie la continuidad en R2 de las funciones que se proponenmás abajo. En caso de que

existan discontinuidades redefina la función (si es posible) de forma que sea continua.

1. f (x, y ) =

x + y

si (x, y) 6= (0, 0) y f (0, 0) = 0.

2. f (x, y ) =

e2(x+y2) − 1 − 2x − 2y2

(x + y)2 .

Problema 2.7 Halle las derivadas parciales de primer orden f′x (x, y ) y f′y (x, y ) de las siguientes

funciones aplicando directamente la definición. Verifique el resultado obtenido utilizando las reglas de

derivación estándar.

(a) f(x, y) = x2y, (b) f(x, y) = y2, (c) f(x, y) = ex2y

Problema 2.8 Halle las derivadas parciales de primer orden f′x (x, y ) y f′y (x, y ) de las siguientes

funciones en todos los puntos de sus dominios de definición:

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

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2.C. PROBLEMAS 105

1. f (x, y ) = ex+y

2. f (x, y ) =

2xy2

x + y

para (x, y) 6= (0, 0) y f (x, y ) = (0, 0).

3. f (x, y ) =

para y 6= 0 y f (x, y ) = 0 si y = 0.

Problema 2.9 Halle las derivadas direccionales f′−

→u (0, 0) de las siguientes funciones

f(x, y) =





sen(x2) − sen(y2)

x − y

x 6= y

0 x = y

f(x, y) =





log(1 + x2 + y2)

x − y

x 6= y

0 x = y

Problema 2.10 Sea

f(x, y) =





xy(x2 − y2)

x2 + y2 (x, y) 6= (0, 0)

0 (x, y) = (0, 0)

Demuestre que:

∂2f

∂x∂y 6=

∂2f

∂y∂x

2. Existen derivadas parciales (hasta orden dos) que nos son continuas en el origen de coordenadas.

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

Tema 3

Diferenciabilidad de las funciones reales escalares

3.1 Introducción

Sabemos que la gráfica de una función continua no tiene huecos, saltos o roturas. En R una

función con derivada tiene una gráfica continua y suave, esto es, sin picos ni dobleces abruptas;

la gráfica admite una recta tangente en todos sus puntos. Sin embargo, en el caso de una función

de varias variables la existencia de las derivadas de primer orden no garantiza siquiera la continuidad

de la función . Como ejemplo característico hemos visto que las derivadas direccionales

de la función

f (x, y ) =

si y 6= 0; f (x, 0) = 0,

están bien definidas en (0, 0) cualquiera que sea el vector director. Sin embargo la función no es

continua en dicho punto y su aspecto no es nada suave tal como se muestra en la siguiente figura

x=0

y=0

y=-x^3

–1

–0.5

0.5

–1.5

–1

–0.5

0.5

1.5

–2

–1

Figura 3.1: Gráfica de una función no diferenciable

Es lícito preguntarse como es posible que una función sea discontinua en un punto si tiene bien

definidas todas sus derivadas direccionales en dicho punto. De hecho, dada la función escalar

f : Rq −→ R, que posee todas sus derivadas direccionales en −→x 0, se cumple

f′−

→u

􀀀−→x 0

= lím

h→0

􀀀−→x 0 + h−→u

− f

􀀀−→x 0

y por tanto

107

108

BORRADOR

TEMA 3. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES ESCALARES

lím

h→0

􀀀−→x 0 + h−→u

= f

􀀀−→x 0

+ lím

h→0

f′−

→u

􀀀−→x 0

h = f

􀀀−→x 0

lo que sugiere que la función es continua en −→x 0. Sin embargo, esta conclusión es falsa ya que

lím

h→0

􀀀−→x 0 + h−→u

6= lím

−→x →−→x 0

􀀀−→x

La definición de límite de una función en un punto requiere que la función tienda a un valor fijo,

cualquiera que sea el camino de aproximación a dicho punto; la aproximación por rectas que

caracteriza la definición de las derivadas direcionales no es suficiente para definir correctamente

el límite de la función .

−→u

−→x 0

−→u −→x 0

Figura 3.2: Diversos caminos de aproximación

En esta sección intentaremos motivar la definición de diferenciabilidad de las funciones escalares

en Rq. Debemos buscar una definición que garantice que la gráfica de una función de

este tipo tenga un aspecto suave, sin esquinas, picos, etc. Por simplicidad trabajaremos en el

plano, donde la gráfica de una función f : R2 −→ R es una superficie en el espacio. Si dicha

superficie fuese suficientemente suave debería admitir un plano tangente en todos los puntos de

la misma; intentemos por tanto deducir como será la ecuación del plano tangente en el punto

(x0, y0, f (x0, y0 )). La ecuación de una plano genérico en R3 viene dada por

z = ax + by + c.

Se cumple que

∂z

∂x

= a y

∂z

∂y

= b, por lo que las pendientes del plano a lo largo de los ejes X

e Y son a y b respectivamente. Si este plano debe ser tangente a la gráfica de la función en el

punto propuesto se deberá cumplir que

∂f (x0, y0 )

∂x

= a,

∂f (x0, y0 )

∂y

= b.

De esta forma la ecuación

z =

∂f (x0, y0 )

∂x

x +

∂f (x0, y0 )

∂y

y + c,

define una familia de planos paralelos entre sí y que tienen la .inclinación.adecuada para

ser tangentes a la gráfica de la función en (x0, y0, f (x0, y0)) . Para determinar la constante c

exigimos que el plano contenga el punto anterior, con lo cual obtenemos

z =

∂f (x0, y0 )

∂x

(x − x0) +

∂f (x0, y0 )

∂y

(y − y0) + f (x0, y0 ) ,

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

3.1. INTRODUCCIÓN 109

que debería ser la ecuación del plano tangente a la gráfica de f (x, y ) en el punto (x0, y0, f (x0, y0))

si la función fuese razonablemente suave. Como se verá más adelante, resulta conveniente expresar

la ecuación del plano mediante un producto escalar, es decir

z = f (x0, y0 ) +

∂f (x0, y0 )

∂x

∂f (x0, y0 )

∂y

, (x − x0, y − y0)

En el caso de funciones diferenciables de una variable real la recta tangente a la gráfica de

la función en (x0, f(x0)) es una buena aproximación a f siempre que nos situemos .cerca.de

x0. Con la idea de precisar que significa en este contexto una buena aproximación repasemos la

definición de derivada ordinaria. Si f es diferenciable en x0 podemos escribir

lím

h→0

f (x0 + h) − f (x0)

= f′ (x0) ,

o bien

lím

x→x0

f (x) − f (x0)

x − x0

= f′ (x0) ,

donde hemos definido x = x0 + h. Esta expresión que se puede rescribir de forma trivial como

lím

x→x0

f (x) − f (x0) − f′ (x0) (x − x0)

x − x0

= 0.

Así, la función l(x) = f (x0)+f′ (x0) (x−x0), que caracteriza la recta tangente en el punto

(x0, f(x0)) , se encuentra suficientemente cerca de f (x) ya que la diferencia f (x) − l(x) se va

a cero más deprisa que x − x0. Éste es el tipo de aproximaciones .razonables.que queremos

adaptar a funciones reales en Rq.

Ya estamos en disposición de dar una definición plausible de diferenciabildad para funciones

de dos variables. Dada la función lineal

l (x, y ) = f (x0, y0 ) +

∂f (x0, y0 )

∂x

∂f (x0, y0 )

∂y

, (x − x0, y − y0)

decimos que f es diferenciable en (x0, y0) si

lím

(x,y)→(x0,y0)

f (x, y ) − l (x, y )

k(x, y) − (x0, y0)k

= 0.

En otras palabras, l (x, y ) es una buena aproximación a f (x, y ) cerca de (x0, y0), ya el error

que cometemos es inferior a la distancia de (x, y) a (x0, y0).

f(x,y)-l(x,y)

Figura 3.3: Error cometido en la aproximación lineal

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

110

BORRADOR

TEMA 3. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES ESCALARES

3.2 Definición de diferenciabilidad

Nuestro objetivo es introducir una definición de diferenciabilidad que garantice simultáneamente

la existencia de todas las derivadas direccionales, la continuidad de la función y que

coincida con la definición que hemos dado para funciones de dos variables. Daremos primero la

definición y demostraremos a posteriori que cumple todos estos requisitos.

Definición 3.1 (Infinitésimo de orden superior)

Sea g una función definida cerca del origen; decimos que g

−→h

es un infinitésimo

de orden superior a

−→h

lím

−→h →

−→0

−→h

= 0,

en cuyo caso escribiremos que g

−→h

= o

−→h

Definición 3.2 (Diferenciabilidad de una función escalar)

Sea f : D ⊂ R −→ R una función escalar definida en el conjunto D. Se dice que

f es diferenciable en −→x 0 ∈ °D si existe un vector −→r

􀀀−→x 0

tal que

lím

−→x →−→x 0

􀀀−→x

− f

􀀀−→x 0

−

−→r

􀀀−→x 0

, (−→x − −→x 0)

−→x − −→x 0

= 0.

Si f : D ⊂ R −→ R es diferenciable ∀−→x ∈ °D, decimos que f es diferenciable en

La condición de diferenciabilidad se puede escribir de forma alternativa como

−→x 0 + −→h

− f

􀀀−→x 0

−

−→r

􀀀−→x 0

,−→h

= o

−→h

donde hemos substituido −→x por −→x 0 + −→h . También puede escribirse como

−→x 0 + −→h

− f

􀀀−→x 0

−

−→r

􀀀−→x 0

,−→h

= ǫ

−→h

donde la función ǫ satisface que lím

−→h →

−→0

−→h

= 0.

La definición precedente implica que la función lineal

􀀀−→x

= f

􀀀−→x 0

−→r

􀀀−→x 0

, (−→x − −→x 0)

= f

􀀀−→x 0

+ ϕ1

􀀀−→x 0

(x1 − x01) + · · · + ϕ1

􀀀−→x 0

(xq − x0q ),

es una buena aproximación a f

􀀀−→x

en las proximidades de −→x 0. En la definición de diferenciabilidad

para funciones de dos variables (sección 3.1) la función lineal se escribía

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

3.2. DEFINICIÓN DE DIFERENCIABILIDAD 111

l (x, y ) = f (x0, y0 ) +

∂f (x0, y0 )

∂x

∂f (x0, y0 )

∂y

, (x − x0, y − y0)

lo que implica que en este caso el vector −→r (x0, y0 ) viene dado por

−→r (x0, y0 ) =

∂f (x0, y0 )

∂x

∂f (x0, y0 )

∂y

Veremos más adelante que −→r

􀀀−→x 0

coincide siempre con el vector de derivadas parciales, que

se denomina gradiente de la función en −→x 0.

Antes de abordar el estudio de las propiedades de las funciones diferenciables resulta conveniente

ilustrar la definición de diferenciabilidad con algunos ejemplos.

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

112

BORRADOR

TEMA 3. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES ESCALARES

Ejemplo 3.1 (Una función diferenciable)

Estudiemos si la función f (x, y ) = x2 + y2 es diferenciable en R2. Dado un punto genérico (x0, y0)

se cumple que

f (x0 + hx, y0 + hy) = (x0 + hx)2 + (y0 + hy)2

= x20

+ y2

0 + 2x0hx + 2y0hy + h2

x + h2

= f (x0, y0 ) + 2 h(x0, y0) , (hx, hy) i +

−→h

y por tanto

f (x0 + hx, y0 + hy) − f (x0, y0 ) − 2 h(x0, y0) , (hx, hy) i =

−→h

Ahora bien, es evidente que

−→h

es un infinitésimo de orden superior a

−→h

Es decir, existe un vector

−→r (x0, y0 ) = 2 (x0, y0) tal que

f (x0 + hx, y0 + hy) − f (x0, y0 ) −

−→r (x0, y0 ) , (hx, hy)

= o

−→h

lo que nos permite afirmar que la función es diferenciable en R2. Este resultado implica que la función

lineal

l (hx, hy) = f (x0, y0 ) +

−→r (x0, y0 ) , (hx, hy)

es una buena aproximación a la verdadera función f (x, y ) cuando (x, y) está cerca de (x0, y0).

Ejemplo 3.2 (El .cono.no es diferenciable en el origen)

Sea la función f (x, y ) = √x + y definida en todo el plano. Supongamos que la función es diferenciable

en el punto (x0, y0), es decir, que existe un vector −→r (x0, y0 ) = (a, b) tal que

lím

(x,y)→(x0,y0)

x2 + y2 −

x20

+ y2

0 p − h(a, b) , (x − x0, y − y0)i

(x − x0)2 + (y − y0)2

= 0.

Definiendo x = x0 + r cos θ, y = y0 + r sen θ y teniendo en cuenta que lím(x,y)→(x0,y0) ≡ límr→0,

resulta

lím

r→0

x20

+ y2

0 + r2 + 2r (x0 cos θ + y0 sen θ) −

x20

+ y2

0 − (ar cos θ + br sen θ)

= 0.

Para simplificar el cálculo podemos utilizar que r ≃ 0 y desarrollar en serie de potencias la primera raiz

del numerador, de manera que

x20

+ y2

0 + r2 + 2r (x0 cos θ + y0 sen θ) ≃

x20

+ y2

0 +

r2 + 2r (x0 cos θ + y0 sen θ)

x20

+ y2

Substituyendo el desarrollo en la expresión anterior obtenemos

lím

r→0

r + 2 (x0 cos θ + y0 sen θ)

x20

+ y2

0 − (a cos θ + b sen θ)

= 0,

p x0

x20

+ y2

0 − a

cos θ +

p y0

x20

+ y2

0 − b

sen θ = 0.

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

3.3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES ESCALARES DIFERENCIABLES 113

Por lo tanto el vector −→r (x0, y0 ) viene dado en R2 − (0, 0) por

−→r (x0, y0 ) =

p x0

x20

+ y2

p y0

x20

+ y2

de manera que la función es diferenciable en todos los puntos del plano excepto en el origen de coordenadas

donde −→r (x0, y0 ) no está definido. El lector se habrá dado cuenta de que el vector −→r (x0, y0 ) tiene

por componentes las derivadas parciales de la función.

Nos centramos ahora en el estudio de las propiedades más importantes de las funciones diferenciables

y especialmente en determinar la relación que existe entre el vector −→r

􀀀−→x 0

y las

derivadas parciales de la función .

3.3 Propiedades de las funciones escalares diferenciables

Teorema 3.1

Sea f : D ⊂ Rq −→ R una función escalar definida en el conjunto D. Si f es

diferenciable en −→x 0 ∈ °D, se cumple que:

1. La función f es continua en −→x 0. El recíproco es falso.

2. El vector −→r

􀀀−→x 0

es único y viene dado por el gradiente de la función en

dicho punto, es decir

−→r

􀀀−→x 0

= −→∇f

􀀀−→x 0

∂f

􀀀−→x 0

∂x1

∂f

􀀀−→x 0

∂x2

, · · · ,

∂f

􀀀−→x 0

∂xq

3. La función f posee derivada direccional en −→x 0, según la dirección orientada

−→u, dada por

f′−

→u

􀀀−→x 0

−→∇f

􀀀−→x 0

,−→u

cualquiera que sea el vector director −→u. El recíproco es falso.

Demostración 3.1

1. Si f es diferenciable en −→x 0

−→x0 + −→h

= f

􀀀−→x 0

−→r

􀀀−→x0

,−→h

+ ǫ

−→h

con ǫ

−→h→−→0

−−−−→ 0. Tomando el límite cuando −→h → −→0 tenemos

lím

−→h→−→0

−→x 0 + −→h

= f

􀀀−→x 0

+ lím

−→h→−→0

−→r

􀀀−→x 0

,−→h

+ ǫ

−→h

= f

􀀀−→x 0

Por lo tanto

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

114

BORRADOR

TEMA 3. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES ESCALARES

lím

−→h→−→0

−→x 0 + −→h

= f

􀀀−→x 0

y la función es continua en −→x 0. El recíproco es falso: la función f (x, y ) =

x2 + y2 es continua

en (0, 0) pero no es diferenciable en dicho punto.

2.a Unicidad del vector −→r

􀀀−→x 0

. Supongamos que existen dos vectores −→r

􀀀−→x0

y −→ξ

􀀀−→x 0

tales

que

−→x0 + −→h

− f

􀀀−→x 0

−→r

􀀀−→x0

,−→h

+ o

−→h

−→x0 + −→h

− f

􀀀−→x 0

−→ξ

􀀀−→x0

,−→h

+ o

−→h

Restando una ecuación de la otra y dividiendo por la norma de −→h resulta

−→r − −→ξ ,−→h

−→h

donde hemos utilizado que la suma o diferencia de dos infinitésimos es un infinitésimo del mismo

orden. Tomando el límite cuando −→h → −→0

lím

−→h→−→0

−→r − −→ξ ,−→h

−→h

= lím

−→h→−→0

−→h

= 0.

Por lo tanto la función del miembro izquierdo, dependiente de la diferencia entre ambos vectores,

tiende a cero cualquiera que sea el camino por el que −→h se aproxima a −→0 . Consideremos el caso

particular en que −→h = λ−→u con

−→u

= 1

lím

−→h→−→0

−→r − −→ξ ,−→h

−→h

= lím

.→0

−→r − −→ξ , λ−→u

|λ|k−→uk

−→r − −→ξ ,−→u

lím

.→0

|λ|

= 0

Como lím

.→0

λ/|λ| 6= 0

−→r − −→ξ ,−→u

= 0,

cualquiera que sea el vector −→u. Dado que el producto escalar es cero si y sólo si alguno de los

vectores es el vector nulo y −→u 6= −→0 concluimos que

−→r = −→ξ .

2.b −→r

􀀀−→x 0

= −→∇f

􀀀−→x 0

. Partiendo de la relación

−→x 0 + −→h

− f

􀀀−→x0

−→r

􀀀−→x 0

,−→h

+ ǫ

−→h

, ǫ

−→h→−→0

−−−−→ 0,

y aplicando la definición de derivada direccional obtenemos que f′−

→u

􀀀−→x 0

−→r

􀀀−→x 0

,−→u

. En

efecto,

f′−

→u

􀀀−→x 0

= lím

.→0

􀀀−→x 0 + λ−→u

− f

􀀀−→x 0

= lím

.→0

−→r

􀀀−→x0

, λ−→u

+ ǫ

􀀀

λ−→u

−→r

􀀀−→x 0

,−→u

+ lím

.→0

􀀀

λ−→u

| {z }

≡0

λ−→u

−→r

􀀀−→x0

,−→u

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

3.3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES ESCALARES DIFERENCIABLES 115

Expresando ahora −→r

􀀀−→x 0

en la base canónica de Rq

−→r

􀀀−→x 0

i=1

ϕi

􀀀−→x 0

.−→e i,

utilizando que

−→e i,−→e j

= δij y que

∂f

􀀀−→x 0

∂xj

= f′−

→e j

􀀀−→x 0

, tenemos que

∂f

􀀀−→x 0

∂xj

= f′−

→e j

􀀀−→x 0

−→r

􀀀−→x 0

,−→e j

* Xq

i=1

ϕi

􀀀−→x 0

.−→e i,−→e j

= ϕj

􀀀−→x 0

es decir, las componentes del vector −→r

􀀀−→x 0

en la base canónica vienen dadas por las derivadas

parciales de la función en −→x 0. Por lo tanto

−→r

􀀀−→x 0

i=1

∂f

􀀀−→x 0

∂xi

−→e i = −→∇f

􀀀−→x 0

2. A partir de aquí resulta trivial obtener el resultado para la derivada direccional

f′−

→u

􀀀−→x 0

−→r

􀀀−→x 0

,−→u

−→∇f

􀀀−→x 0

,−→u

Para demostrar que el recíproco de esta propiedad es falso bastará que encontremos un contraejemplo

(véase el ejemplo 3.4 )

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

116

BORRADOR

TEMA 3. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES ESCALARES

Ejemplo 3.3 (Derivadas de una función diferenciable)

Dada la función

f : R2 −→ R ; (x, y) −→ f (x, y ) =

(

x +

x + y

(x, y) 6= (0, 0),

0 (x, y) = (0, 0),

se pide que:

1. obtenga las derivadas f′−

→u (0, 0) aplicando su definición,

2. demuestre que es diferenciable en (0, 0),

3. verifique que f′−

→u ( 0, 0) =

−→∇f (0, 0) ,−→u

1. Las derivadas direccionales en el origen se definen como

f′−

→u (0, 0) = lím

.→0

f (λ cos θ, λ sen θ) − f (0, 0)

= lím

.→0

λ cos θ + λ cos θ sen θ

= cos θ.

En particular, las derivadas direccionales se obtienen de las direccionales tomando θ = 0 y θ =

π/2. Es decir

f′x ( 0, 0) = f′−

→ı (0, 0) = cos 0 = 1,

f′y ( 0, 0) = f′−

→ (0, 0) = cos π/2 = 0.

2. La función f (x, y ) será diferenciable en (0, 0) si

L = lím

(x,y)→(0,0)

f (x, y ) − f (0, 0) −

−→∇f (0, 0) , (x, y)

√x + y

= 0.

Substituyendo −→∇f (0, 0) = (1, 0) en la expresión anterior, tenemos

L = lím

(x,y)→(0,0)

x +

x + y − h(1, 0) , (x, y)i

√x + y

= lím

(x,y)→(0,0)

(x + y)3/2 ,

y pasando a coordenadas polares

L = lím

r→0

r4 cos2 θ sen2 θ

r3 = lím

r→0

r cos2 θ sen2 θ = 0,

con lo cual f (x, y ) es diferenciable en el origen de coordenadas.

3. Como la función es diferenciable en (0, 0) podemos aplicar la expresión f′−

→u (0, 0) =

−→∇f (0, 0) ,−→u

para calcular las derivadas direccionales. De esta manera obtenemos

−→∇f (0, 0) ,−→u

= h(1, 0) , (cos θ, sen θ)i = cos θ,

resultado que coincide con el que obtuvimos por aplicación directa de la definición de derivada

direccional.

Con el siguiente ejemplo pretendemos mostrar que la derivabilidad de una función no garantiza

su diferenciabilidad. Más adelante estudiaremos que condiciones deben satisfacer las

derivadas de modo que la función sea diferenciable.

Ejemplo 3.4 (Una función derivable que no es diferenciable en el origen)

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

3.3. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES ESCALARES DIFERENCIABLES 117

Sea la función

f (x, y ) =





3xy − 2x

x + y4 (x, y) 6= (0, 0) ,

0 (x, y) = (0, 0) ,

Su derivada direccional en el origen de coordenadas a lo largo de la dirección orientada definida por

−→u = (cos θ, sen θ) es

f′−

→u (0, 0) = lím

.→0

f (λ cos θ, λ sen θ) − f (0, 0)

= lím

.→0

3 cos θ sen θ − 2 cos θ

cos θ + λ2 sen4 θ

Si theta = 0 ó π tenemos que −→u = (0,±1) y

f′ (0,±1) (0, 0) = lím

.→0

λ2 = 0,

mientras que en cualquier otro caso

f′−

→u (0, 0) =

3 cos θ sen θ − 2 cos θ

cos θ

= 3 sen θ − 2 cos θ, θ 6= 0 π.

Para determinar la diferenciabilidad de f (x, y ) en (0, 0) debemos aplicar la definición y verificar si el

límite

L = lím

(x,y)→(0,0)

f (x, y ) − f ( 0, 0) −

−→∇f ( 0, 0) , (x, y)

√x + y

es nulo. Utilizando el resultado previo para las derivadas direccionales obtenemos que −→∇f (0, 0) =

(−2, 0), de manera que

L = lím

(x,y)→(0,0)

3xy − 2x

(x + y4)

+ 2x

√x + y

Reescribiendo el límite en polares

L = lím

r→0

3 cos θ sen θ − 2 cos3 θ

cos θ + r2 sen4 θ

+ 2 cos θ

con lo cual si cos θ = 0 resulta que L = 0, y si por el contrario cos θ 6= 0 obtenemos L = 3 sen θ. Como

L depende de θ concluimos que el límite no existe y que la función no es diferenciable en (0, 0).

Así, el caso que hemos propuesto nos proporciona un ejemplo en el que la función posee todas sus

derivadas direccionales en un punto y sin embargo no es diferenciable.

Teorema 3.2 (Propiedades aritméticas de las funciones diferenciables)

Sean f1, f2 : D ⊂ Rq −→ R dos funciones escalares definidas en el conjunto D.

Si ambas funciones son diferenciables en −→x 0 ∈ °D, es decir, si

−→x 0 + −→h

− fi

􀀀−→x 0

−

−→∇fi

􀀀−→x 0

,−→h

= o

−→h

, i = 1, 2,

entonces las funciones g = λf1, λf2, f1 + f2, f1f2, f1/f2 (ésta última siempre

que f2 no se anule cerca de −→x 0) son diferenciables en −→x 0, y por tanto

−→x 0 + −→h

− g

􀀀−→x 0

−

−→∇g

􀀀−→x 0

,−→h

= o

−→h

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

118

BORRADOR

TEMA 3. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES ESCALARES

Demostración 3.2

En cualquiera de los cuatro casos deberemos probar que el incremento .g = g

−→x0 + −→h

− g

􀀀−→x 0

satisface que

.g =

−→∇g

􀀀−→x 0

,−→h

+ o

−→h

Consideremos el producto de dos funciones g

􀀀−→x

= f1f2

􀀀−→x

= f1

􀀀−→x

. El incremento de

la función es

.g = (f1f2)

−→x 0 + −→h

− (f1f2)

􀀀−→x 0

= f1

−→x 0 + −→h

− f1

􀀀−→x 0

y tras sumar y restar f1

−→x0 + −→h

􀀀−→x0

obtenemos

.g = f1

−→x0 + −→h

. h

−→x 0 + −→h

− f2

􀀀−→x 0

+ f2

􀀀−→x0

. h

−→x 0 + −→h

− f1

􀀀−→x 0

Ahora bien, como las funciones f1

􀀀−→x

y f2

􀀀−→x

son diferenciables en −→x 0 sus incrementos verifican

que

−→x 0 + −→h

− f1

􀀀−→x 0

−→∇f1

􀀀−→x 0

,−→h

+ o1

−→h

−→x 0 + −→h

− f2

􀀀−→x 0

−→∇f2

􀀀−→x 0

,−→h

+ o2

−→h

Substituyendo en la expresión para .g, resulta

.g = f1

−→x 0 + −→h

. D

−→∇f2

􀀀−→x 0

,−→h

+ f2

􀀀−→x 0

. D

−→∇f1

􀀀−→x 0

,−→h

+ f1

−→x 0 + −→h

−→h

+ f2

􀀀−→x 0

−→h

Utilizamos de nuevo la diferenciabilidad de la función f1, con lo cual

.g = f1

􀀀−→x 0

. D

−→∇f2

􀀀−→x 0

,−→h

+ f2

􀀀−→x 0

. D

−→∇f1

􀀀−→x0

,−→h

−→∇f1

􀀀−→x0

,−→h

E D

−→∇f2

􀀀−→x 0

,−→h

+ f1

−→x 0 + −→h

−→h

+ f2

􀀀−→x 0

−→h

−→∇f2

􀀀−→x0

,−→h

−→h

y teniendo en cuenta que −→∇g

􀀀−→x

= f1

􀀀−→x

.−→∇f2

􀀀−→x

+ f2

􀀀−→x

.−→∇f1

􀀀−→x

(veáse el teorema ??),

llegamos a que

.g =

−→∇g

􀀀−→x 0

,−→h

−→∇f1

􀀀−→x 0

,−→h

E D

−→∇f2

􀀀−→x 0

,−→h

+ f1

−→x 0 + −→h

−→h

+ f2

􀀀−→x 0

−→h

−→∇f2

􀀀−→x0

,−→h

−→h

Los términos proporcionales a o

−→h

son infinitésimos de orden superior a

−→h

Con el fin de no

alargar la demostración aceptaremos sin demostración que el producto

−→∇f1

􀀀−→x 0

,−→h

E D

−→∇f2

􀀀−→x 0

,−→h

también es un infinitésimo de orden superior a

−→h

El lector con ciertas ansias de rigor y

suficientes

reservas de energía puede consultar el ejemplo 3.5 para convencerse de la validez de la afirmación.

Aceptándola como verdadera

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

3.4. PROPIEDADES DEL GRADIENTE 119

.g =

−→∇g

􀀀−→x 0

,−→h

+ o

−→h

de manera que g es diferenciable en el punto −→x 0.

Ejemplo 3.5 (Otro ejemplo de infinitésimo)

Utilizaremos este ejemplo para demostrar que, dados Los vectores −→a y −→b constantes

lím

−→h→−→0

−→a ,−→h

E D

−→b ,−→h

−→h

= 0,

y por tanto

−→a ,−→h

E D

−→b ,−→h

= o

−→h

El resultado es evidente si −→a = −→0 o −→b = −→0 . Cuando −→a ,−→b 6= −→0 utilizamos de forma explícita la

definición de límite; para ello supondremos que 0 <

−→h − −→0

< δ; entonces

......

−→a ,−→h

E D

−→b ,−→h

−→h

− 0

......

...

−→a ,−→h

E...

...

−→b ,−→h

E...

−→h

−→a

−→b

−→h

|cos θ1 cos θ2|

−→h

≤

−→a

−→b

−→h

−→a

−→b

δ.

3.4 Propiedades del gradiente

En lo que sigue distinguiremos entre propiedades aritméticas y propiedades geométricas del

gradiente. Las primeras relacionan entre sí los gradientes de dos funciones cualesquiera con los

gradientes de las funciones suma, producto y cociente. Como puede apreciarse guardan una gran

similitud con las reglas de derivación de las funciones escalares.

Teorema 3.3 (Propiedades aritméticas del gradiente)

Sean f y g dos funciones definidas en el conjunto D cuyas derivadas parciales se

encuentran bien definidas en −→x 0 ∈ °D; se cumple entonces que

1. −→∇[λf]

􀀀−→x 0

= λ−→∇f

􀀀−→x 0

2. −→∇[f + g]

􀀀−→x 0

= −→∇f

􀀀−→x 0

+ −→∇g

􀀀−→x 0

3. −→∇[fg]

􀀀−→x 0

= g

􀀀−→x 0

.−→∇f

􀀀−→x 0

+ f

􀀀−→x 0

.−→∇g

􀀀−→x 0

4. −→∇[f/g]

􀀀−→x 0

.−→∇f

􀀀−→x 0

− f

􀀀−→x 0

.−→∇g

􀀀−→x 0

..2 , (g

􀀀−→x 0

6= 0).

Demostración 3.3

Utilizando la definición de gradiente tenemos

−→∇[λg]

􀀀−→x 0

i=1

∂(λf)

􀀀−→x 0

∂xi

−→e i = λ

i=1

∂f

∂xi

−→e i = λ−→∇f .

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

120

BORRADOR

TEMA 3. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES ESCALARES

−→∇[f + g]

􀀀−→x 0

i=1

∂(f + g)

􀀀−→x 0

∂xi

−→e i =

i=1

∂f

∂xi

∂g

∂xi

−→e i

i=1

∂f

∂xi

−→e i +

i=1

∂g

∂xi

−→e i = −→∇f + −→∇g .

−→∇[fg]

􀀀−→x 0

i=1

∂(fg)

􀀀−→x 0

∂xi

−→e i =

i=1

∂f

∂xi

g + f

∂g

∂xi

−→e i

= g

i=1

∂f

∂xi

−→e i + f

i=1

∂g

∂xi

−→e i = g−→∇f + f−→∇g .

−→∇[f/g]

􀀀−→x 0

i=1

∂(f/g)

􀀀−→x 0

∂xi

−→e i =

i=1

􀀀−→x 0

∂f

∂xi

g − f

∂g

∂xi

−→e i

􀀀−→x 0

i=1

∂f

∂xi

−→e i − f

i=1

∂g

∂xi

−→e i

􀀀−→x 0

..2

􀀀−→x 0

.−→∇f

􀀀−→x 0

− f

􀀀−→x 0

.−→∇g

􀀀−→x 0

Las propiedades geométricas relacionan el comportamiento del gradiente con el crecimiento

de la función y con sus conjuntos de nivel.

Teorema 3.4 (Propiedades geométricas del gradiente)

Sea f : D ⊂ Rq −→ R una función definida en el conjunto D y diferenciable en su

interior. Se verifica entonces que:

1. Las direcciones orientadas definidas por ±−→∇f

􀀀−→x 0

son aquellas en las que

f tiene derivada direccional extrema en −→x 0 ∈ °D: máxima correspondiente al

signo positivo y mínima al signo negativo. Además f tiene derivada direccional

nula en cualquier dirección ortogonal a −→∇f

􀀀−→x 0

2. El vector −→∇f es ortogonal a los conjuntos de nivel de la función . Dado el

conjunto de nivel de la función Ck y −→x 0,−→x 0 + −→h ∈ Ck, se cumple

lím

−→h →

−→0 | {z }

“−→x 0+

−→h ∈Ck”

−→uh,−→∇f

􀀀−→x 0

= 0,

donde −→uh = −→h /

−→h

es el vector unitario con la misma dirección y sentido

que −→h. Denotamos este hecho como −→∇f ⊥Ck.

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

3.4. PROPIEDADES DEL GRADIENTE 121

Ejemplo 3.6

Las siguientes figuras muestran de forma gráfica y esquemática las propiedades geométricas del grandiente

f′u = min

f′u = max

f′u = 0

−→x 0

−→∇f

􀀀−→x 0

Figura 3.4: Dirección y sentido del gradiente

El gradiente y el punto donde se calcula definen un plano de variación nula de la función : cuando nos

desplazamos infinitesimal y perperdicularmente a dicho plano, según la dirección y sentido del gradiente,

el crecimiento de la función es máximo; si nos desplazamos en sentido opuesto el decrecimiento es máximo;

finalmente cualquier desplazamiento infinitesimal en el plano perpendicular al gradiente produce

una variación nula de la función .

−→∇f

Figura 3.5: El gradiente es normal al conjunto de nivel

En el plano los conjuntos de nivel son curvas contenidas en el dominio de definición de la función

donde ésta toma un valor constante. El gradiente es perpendicular a la tangente a la curva de nivel en cada

punto de la misma; decimos que el gradiente es ortogonal a la curva de nivel.

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

122

BORRADOR

TEMA 3. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES ESCALARES

Figura 3.6: La casa de mis padres en Altza

La casa de mis padres se encuentra en un barrio de San Sebastián llamado ALTZA. El barrio se situa

sobre una colina que se alza unos 400 metros sobre el nivel del mar. La carretera que baja desde la colina

(línea verde) llega zigzagueando hasta la general N-I. Como puede observarse la carretera discurre en

la medida de lo posible paralela a las curvas de nivel del terreno; así, pagando como precio una gran

longitud se consigue que la pendiente de la carretera sea lo menor posible. Por el contrario el camino

peatonal (línea roja) discurre de forma casi perpendicular a las curvas de nivel con lo cual se logra que,

con una pendiente muy pronunciada, tenga menor longitud.

Demostración 3.4

1. Como la función es diferenciable f′−

→x 0

􀀀−→u

−→∇f

􀀀−→x 0

,−→u

y expresando el producto escalar

en función de las normas y del ángulo que forman los vectores

f′−

→x 0

􀀀−→u

−→∇f

􀀀−→x 0

cos θ,

de donde se deduce que

−

−→∇f 􀀀−→x 0

≤ f′−

→x 0

􀀀−→u

≤

−→∇f

􀀀−→x 0

En consecuencia

Si θ = 0 ⇒ f′

􀀀−→x 0

= k−→∇f

􀀀−→x0

k (max)

Si θ = π ⇒ f′

􀀀−→x 0

= −k−→∇f

􀀀−→x 0

k (min)

Si θ = π/2, 3π/2 ⇒ f′

􀀀−→x 0

= 0

2. Como f es diferenciable en °D, se verifica que

−→x 0 + −→h

− f

􀀀−→x 0

−→∇f

􀀀−→x 0

,−→h

+ o

−→h

para todo −→x 0 ∈ °D. Tal como se afirma en el enunciado del teorema −→x 0 y −→x 0 + −→h ∈ Ck, con lo

cual

−→x0 + −→h

= f

􀀀−→x 0

= k → f

−→x 0 + −→h

− f

􀀀−→x 0

= 0.

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

3.5. PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE 123

Por lo tanto

−→∇f

􀀀−→x 0

,−→h

= o

−→h

⇒

−→∇f

􀀀−→x 0

,−→uh

−→h

Tomando límites:

lím

−→h→−→0 | {z }

−→x 0+−→h∈Ck

−→∇f

􀀀−→x 0

,−→uh

= 0.

3.5 Plano tangente y recta normal a una superficie

Rectas tangente y normal a una curva. Sea C una curva continua definida por la ecuación

f (x, y ) = 0,

donde f es una función diferenciable. Podemos considerar que C es la curva de nivel con valor

k = 0 de la función z = f (x, y ). De acuerdo con el teorema 3.4 , el vector

−→∇f (x0, y0 ) =

􀀀

f′x (x0, y0 ) , f′y (x0, y0 )

es ortogonal a la curva en el punto (x0, y0) y es fácil demostrar que el vector

−→T (x0, y0) =

􀀀

f′y (x0, y0 ) ,−f′x (x0, y0 )

es tangente a la curva en el punto dado; en efecto, se cumple que

−→∇f (x0, y0 ) ,−→T (x0, y0)

= 0.

La tangente a la curva C en (x0, y0) se define como la recta que pasa por dicho punto y es

ortogonal al gradiente, es decir, un punto (x, y) pertenece a la tangente si y solo si

(x − x0, y − y0) ,−→∇f (x0, y0 )

= 0,

o bien

f′x (x0, y0 ) (x − x0) + f′y (x0, y0 ) (y − y0) = 0.

Utilizando un razonamiento análogo y el vector tangente se deduce que la ecuación de la recta

normal es

f′y (x0, y0 ) (x − x0) − f′x (x0, y0 ) (y − y0) = 0.

Teorema 3.5 (Rectas normal y tangente a una curva en R2)

Dada la curva continua C definida por la ecuación f (x, y ) = 0, con f una función

diferenciable, las ecuaciones de las rectas tangente y normal a C en el punto

(x0, y0) son:

Recta tangente. f′x (x0, y0 ) (x − x0) + f′y (x0, y0 ) (y − y0) = 0.

Recta normal. f′y (x0, y0 ) (x − x0) − f′x (x0, y0 ) (y − y0) = 0.

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

124

BORRADOR

TEMA 3. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES ESCALARES

Plano tangente y recta normal a una superficie. Una superficie S en el espacio queda

perfectamente definida mediante una ecuación de la forma

f (x, y, z ) = 0,

que puede interpretarse como la superficie de nivel de valor k = 0 de la función w = f (x, y, z ).

Si esta función es diferenciable, el gradiente −→∇f (x, y, z ) es normal a S en cada punto de la

misma. Dado un punto (x0, y0, z0) ∈ S, el plano tangente a la superficie en dicho punto contiene

a (x0, y0, z0) y es normal a −→∇f (x0, y0, z0 ); por lo tanto su ecuación vendrá dada por

−→∇f (x0, y0, z0 ) , (x − x0, y − y0, z − z0)

o de forma análoga

f′x (x0, y0, z0 ) (x − x0) + f′y (x0, y0, z0 ) (y − y0) + f′y (x0, y0, z0 ) (z − z0) = 0.

El gradiente de la función también permite escribir con facilidad la ecuación vectorial de la

recta normal a la superficie en un punto de la misma. La normal a S en el punto (x0, y0, z0) es

la recta que pasa por dicho punto y tiene como vector director el gradiente −→∇f (x0, y0, z0 ), es

decir

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t−→∇f (x0, y0, z0 ) , t ∈ R.

Entonces las ecuaciones de la recta normal en forma paramétrica vienen dadas por

x = x0 + tf′x (x0, y0, z0 ) ,

y = y0 + tf′

y (x0, y0, z0 ) ,

z = z0 + tf′

z (x0, y0, z0 ) .

Ejemplo 3.7 (Plano tangente a un elipsoide)

Obtenga las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal al elipsoide de ecuación

= 1,

en el punto (x0, y0, z0).

Solución: La ecuación del elipsoide define el conjunto de nivel C0 de la función w = f (x, y, z ) =

x/a + y/b + z/c − 1. Como la función es diferenciable en R3 la ecuación del plano tangente a C0 en el

punto (x0, y0, z0) viene dada por

−→∇f (x0, y0, z0 ) , (x − x0, y − y0, z − z0)

= 0.

Ahora bien

−→∇f (x, y, z ) =

y en consecuencia la ecuación del plano puede escribirse como

(x − x0)

2x0

+ (y − y0)

2y0

+ (z − z0)

2z0

= 0.

Simplificando y teniendo en cuenta que

= 1,

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BORRADOR

3.5. PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE 125

resulta

xx0

yy0

zz0

= 1.

Plano tangente y recta normal a la gráfica de una función. La gráfica de una función de

dos variables reales, z = g (x, y ), es una superficie en el espacio. Para poder determinar las

ecuaciones del plano tangente y de la recta normal en cualquier punto (x0, y0, g (x0, y0 )) de la

gráfica, reescribimos la ecuación de la superficie como

f (x, y, z ) = 0,

donde

f (x, y, z ) = g (x, y ) − z.

De esta forma, las derivadas parciales se escriben

f′x (x, y, z ) = g′x (x, y ) , f′y (x, y, z ) = g′y (x, y ) , f′z (x, y, z ) = −1,

y substituyendo en la ecuación del plano tangente resulta

g′

x (x0, y0 ) (x − x0) + g′

y (x0, y0 ) (y − y0) − (z − z0) = 0,

o de forma equivalente

z = g (x0, y0 ) + g′

x (x0, y0 ) (x − x0) + g′

y (x0, y0 ) (y − y0).

Un razonamiento análogo permite escribr las ecuaciones paramétricas de la recta normal como

x = x0 + tg′

x (x0, y0 ) ,

y = y0 + tg′

y (x0, y0 ) ,

z = g (x0, y0 ) − t.

Ejemplo 3.8 (Plano tangente a la gráfica de una función )

Obtenga las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la gráfica de la función f (x, y ) = exy

en ( 1, 0) .

Solución: La función es diferenciable en R2 por lo que admite un plano tangente en todos y cada uno

de los puntos de su dominio de definición y en particular en (1, 0). La ecuación de este plano se escribe

como

z = z0 + (x − 1)f′x (1, 0) + (y − 0)f′y (1, 0) ,

y dado que f′x = yexy y f′y = xexy, resulta

z = 1 + 0(x − 1) + 1y = 1 + y.

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

126

BORRADOR

TEMA 3. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES ESCALARES

Teorema 3.6 (Plano tangente y recta normal a una superficie en R3)

Sea S ⊂ R3 una superficie en el espacio definida por la ecuación f (x, y, z ) = 0,

dondef una función diferenciable. Entonces las ecuaciones del plano tangente y de

la recta normal a S en el punto (x0, y0, z0) vienen dadas por:

Plano tangente.

∂f (x0, y0, z0 )

∂x

(x−x0)+

∂f (x0, y0, z0 )

∂y

(y−y0)+

∂f (x0, y0, z0 )

∂z

(z−z0) = 0.

Recta normal.

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t−→∇f (x0, y0, z0 ) , t ∈ R.

Teorema 3.7 (Plano tangente y recta normal a una gráfica en R3)

Si S ⊂ R3 es la gráfica de la función diferenciable z = g (x, y ), las ecuaciones del

plano tangente y de la recta normal a S en el punto (x0, y0, g (x0, y0 )) se escriben

como:

Plano tangente.

z = g (x0, y0 ) + g′

x (x0, y0 ) (x − x0) + g′y(x0, y0 ) (y − y0).

Recta normal.

(x, y, z) = (x0, y0, g (x0, y0 )) + t

−→∇f (x0, y0 ) ,−1

, t ∈ R.

Plano tangente y recta normal a una hipersuperficie. Todos estos resultados se pueden

generalizar sin dificultad a espacios euclídeos de dimensión arbitraria (q ≥ 2). Una superficie

S ⊂ Rq se puede definir mediante una ecuación de la forma

􀀀−→x

= f (x1, x2, · · · , xq ) = 0,

que establece una ligadura entre las q variables independientes asociadas a los grados de libertad

del espacio Rq. La superficie S coincide con el conjunto de nivel C0 de la función

z = f (x1, x2, · · · , xq ) y por lo tanto el gradiente de f es perpendicualar a S en todos sus

puntos. Siguiendo el mismo razonamiento que en R3 obtenemos que la ecuación del plano tangente

a S en el punto −→x 0 viene dada por

−→∇f

􀀀−→x 0

,−→x − −→x 0

= 0,

y que la ecuación de la recta normal a la superficie en dicho punto se escribe como

−→x = −→x 0 + t−→∇f

􀀀−→x 0

Podemos adapatar fácilmente estas expresiones al caso de la gráfica S de una función z =

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

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3.5. PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE 127

􀀀−→x

= g (x1, x2, · · · , xq ). En efecto, S coincide con el conjunto de nivel C0 de la función

w = f (x1, · · · , xq, z ) = f

􀀀−→x , z

= g

􀀀−→x

− z ya que

C0 =

.􀀀−→x , z

\. f

􀀀−→x , z

= 0, −→x ∈ D

y teniendo en cuenta que f

􀀀−→x , z

= g

􀀀−→x

− z

C0 =

.􀀀−→x , g

􀀀−→x

\. −→x ∈ D

que coincide con la definición de la gráfica S de g.

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

128

BORRADOR

TEMA 3. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES ESCALARES

Si la función z = g es diferenciable en −→x 0, la función f = g − z satisface que:

1. es diferenciable en

􀀀−→x 0, z0

2. −→∇f

􀀀−→x 0, z0

∂(g − z)

∂x1

, · · · ,

∂(g − z)

∂xq

∂(g − z)

∂z

−→∇g

􀀀−→x 0

,−1

3. −→∇f

􀀀−→x 0, z0

⊥S en el punto

􀀀−→x 0, z0

∈ S.

Por lo tanto, la ecuación del plano tangente a S en

􀀀−→x 0, z0

viene dada por

−→∇f

􀀀−→x 0, z0

􀀀−→x , z

−

􀀀−→x 0, z0

. E

= 0,

o de forma equivalente z = z0 +

−→∇g

􀀀−→x 0

,−→x − −→x 0

Por lo que a la recta normal a S en

􀀀−→x 0, z0

se refiere, su ecuación vectorial se escribe

􀀀−→x , z

􀀀−→x 0, z0

+ t−→∇f

􀀀−→x 0, z0

+ t

−→∇g

􀀀−→x 0

,−1

3.6 Algunos teoremas de las funciones diferenciables

En las secciones precedentes hemos introducido el concepto de diferenciabilidad de una función

y hemos estudiado algunas de sus propiedades. Sabemos, por ejemplo, que si una función

es diferenciable en un punto, entonces se comporta como una función lineal cerca de dicho punto

y su gráfica es continua y tiene un aspecto .liso.hasta tal grado que se confunde con su

plano tangente en dicho punto. Enunciamos ahora, en forma de teoremas, algunas propiedades

importantes adicionales de las funciones diferenciables.

3.6.1 El teorema del valor medio

Teorema 3.8 (Teorema del valor medio)

Sea f : D ⊂ Rq −→ R una función definida en el conjunto D. Sean −→a y −→b =

−→a + −→h dos puntos pertenecientes a D, tales que el segmento [a, b] ⊂ D. Si f es

diferenciable en todos los puntos del segmento (a, b) se cumple que:

−→a + −→h

− f

􀀀−→a

−→∇f

−→a + ξ−→h

,−→h

, ξ ∈ ( 0, 1) ,

El teorema también se puede escribir en términos de derivadas direccionales, esto es,

−→a + −→h

− f

􀀀−→a

−→h

f′−

→u

−→a + ξ−→h

donde −→uh es el vector unitario que posee la misma dirección y sentido que el vector −→h .

La figura muestra la interpretación geométrica del teorema del valor medio en R2. El teorema

garantiza la existencia de un punto del segmento (a, b) (que denotamos como −→a + ξ−→h) donde

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

3.6. ALGUNOS TEOREMAS DE LAS funciones DIFERENCIABLES 129

􀀀−→a

−→a

−→u −→b = −→a + −→h

Figura 3.7: Interpretación geométrica

la pendiente de la recta tangente a la sección de la gráfica que contiene dicho segmento es igual

a la pendiente de la recta que conecta los valores de la función en los extremos −→a y −→b .

Demostración 3.8

Sea ϕ : [0, 1] ⊂ R −→ R ; t ∈ [0, 1] −→ ϕ (t) = f

−→a + t−→h

la función de una variable real

que toma los mismos valores que f en los puntos del segmento [−a−−,→b]; por ejemplo, ϕ (0) = f

􀀀−→a

ϕ (1) = f

−→b

. Demostremos primero que ϕ es derivable

ϕ′ (t) = lím

.→0

ϕ (t + λ) − ϕ (t)

= lím

.→0

−→a + t−→h + λ−→h

− f

−→a + t−→h

= lím

.→0

−→∇f

−→a + t−→h

, λ−→h

+ o

λ−→h

−→∇f

−→a + t−→h

,−→h

−→h

f′−

→uh

−→a + t−→h

Como la función ϕ (t) es derivable en [0, 1] podemos aplicar el teorema del valor medio para funciones

de una sola variable; así

ϕ (1) − ϕ (0) = ϕ′ (ξ) (1 − 0) = ϕ′ (ξ) , ξ ∈ (0, 1) .

Entonces, substituyendo ϕ por su definición

−→a + −→h

− f

􀀀−→a

= k−→hkf′−

→uh

−→a + ξ−→h

3.6.2 La regla de la cadena

El resultado que se conoce como regla de la cadena en funciones reales de una variable es

simple y compacto; por el contrario, la regla general de la cadena en funciones escalares de

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

130

BORRADOR

TEMA 3. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES ESCALARES

varias variables es bastante más compleja. Con el fin de facilitar su asimilación por el lector

proponemos varias formas particulares y más sencillas de la regla de la cadena.

Teorema 3.9 (Regla de la cadena a lo largo de una curva)

Sea f : D ⊂ Rq −→ R una función diferenciable en el interior de su dominio y

C ⊂ D un arco de curva parametrizado por las funciones diferenciables xi = xi(t)

con t ∈ I. Entonces la derivada de la función compuesta f ◦ −→x viene dada por

􀀀−→x (t)

−→∇f

􀀀−→x (t)

,−→x ′ (t)

donde −→x ′ (t) =

􀀀

(x1 (t))′ , (x2 (t))′ , · · · , (xq (t))′.

Ejemplo 3.9 (El volumen del Universo y la regla de la cadena)

Suponga que el Universo es una .bola elipsoidal.cuyos semiejes son funciones del tiempo, que denotamos

por a(t), b(t) y c(t). Obtenga la velocidad dV (t)/dt con la que aumenta el volumen del Universo.

Si los semiejes del universo en el instante t0 son a(t0) = 1010 , b(t0) = 2 1010 y c(t0) = 1/2 1010 , en

unidades de años luz (a.l.) y crecen con una velocidad de 10−11 a.l./s., determine el valor numérico de

dV (t)/dt.

El volumen de una bola elipsoidal con semiejes a, b y c viene dado por V = 4.abc

3 . La variación de

los semiejes del Universo elipsoidal con el tiempo induce la variación del volumen del Universo con una

velocidad que, según el teorema de la caden 3.9 , viene dada por

dV (t)

dV (a(t), b(t), c(t) )

∂V (a, b, c )

∂a

∂V (a, b, c )

∂b

∂V (a, b, c )

∂c

.....

da (t)

db (t)

dc (t)

∂V (a, b, c )

∂a

....

da (t)

∂V (a, b, c )

∂b

....

db (t)

∂V (a, b, c )

∂b

....

db (t)

Teniendo en cuenta que

∂V (a, b, c )

∂a

4πbc

∂V (a, b, c )

∂b

4πac

∂V (a, b, c )

∂c

4πab

y que en el instante t0

da (t0)

db (t0)

dc (t0)

= 10−11,

resulta

dV (t0)

4π

1020 +

1020 + 2 1020

10−11(a.l.)3/s =

7π

109(a.l.)3/s.

Demostración 3.9

Consideremos dos puntos −→x (t + h) y −→x (t) tales que los dos y el segmento que los une están contenidos

en el interior del dominio de la función f. El teorema del valor medio establece que existe un punto

intermedio del segmento −→ξ tal que

􀀀−→x (t + h)

− f

􀀀−→x (t)

−→∇f

−→ξ

􀀀−→x (t + h) − −→x (t)

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

3.6. ALGUNOS TEOREMAS DE LAS funciones DIFERENCIABLES 131

Dividiendo ámbos miembros por el incremento h, tenemos

􀀀−→x (t + h)

− f

􀀀−→x (t)

−→∇f

−→ξ

.−→x (t + h) − −→x (t)

y dado que cuando h → 0 se cumple que

−→ξ → −→x (t) ,

−→x (t + h) − −→x (t)

h → −→x′ (t) ,

􀀀−→x (t + h)

− f

􀀀−→x (t)

h →

􀀀−→x (t)

deducimos el resultado enunciado en el teorema, es decir,

􀀀−→x (t)

−→∇f

􀀀−→x (t)

,−→x ′ (t)

Teorema 3.10 (Una regla de la cadena en R2)

Sea f (x, y ) una función diferenciable en el interior de su dominio de definición

D, y x = x (u, v ) e y = y (u, v ) dos funciones diferenciables de las variables

u y v. Entonces las derivadas parciales de la función compuesta z (u, v ) =

f (x (u, v ) , y (u, v ) ) son

∂z (u, v )

∂u

∂z (u, v )

∂v

∂f (x, y )

∂x

∂f (x, y )

∂y





∂x (u, v )

∂u

∂x (u, v )

∂v

∂y (u, v )

∂u

∂y (u, v )

∂v





Efectuando de forma explícita el producto matricial obtenemos las siguientes expresiones para

las derivadas parciales

∂z (u, v )

∂u

∂f (x, y )

∂x

∂x (u, v )

∂u

∂f (x, y )

∂y

∂y (u, v )

∂u

∂z (u, v )

∂v

∂f (x, y )

∂x

∂x (u, v )

∂v

∂f (x, y )

∂y

∂y (u, v )

∂v

El diagrama que representamos a continuación muestra la estructura en .árbol.de la expresión

precedente. El árbol se genera por .ramificación.de cada función a todas la variables de

las que depende. Así, cada rama une una función con una de las variables que la determinan

directamente. Por cada variable directa debe existir una rama y a cada rama le corresponde la

derivada parcial de la función en la que se inicia la rama con respecto a la variable en la que

finaliza. La sucesión de ramas del árbol que llevan desde la primera función hasta una variable

final dada forman un camino al que le corresponde el producto de todas las derivadas parciales

asociadas a sus ramas. La derivada parcial de f (z) con respecto a una de las variables u o v es

la suma de los productos de derivadas parciales asociados a los caminos que partiendo de f (z)

llegan a la variable correspondiente.

Ejemplo 3.10

Sea u (x, y ) una función diferenciable. Demuestre que bajo el cambio a coordenadas polares x =

r cos θ e y = r sen θ, se cumple que

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

132

BORRADOR

TEMA 3. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES ESCALARES

∂v y

u ∂u y

∂y f

∂v x

u ∂ux ∂xf

Figura 3.8: Diagrama en árbol de la regla de la cadena en R2

∂u

∂x

∂u

∂y

∂u

∂r

∂u

∂θ

La regla de la cadena nos permite relacionar las derivadas parciales de u con respecto a r y θ con las

derivadas parciales con respecto a x e y. En efecto

∂u

∂r

∂u

∂x

∂r

∂u

∂y

∂r

∂u

∂θ

∂u

∂x

∂θ

∂u

∂y

∂θ

y teniendo en cuenta que

∂x

∂r

= cos θ,

∂y

∂r

= sen θ,

∂x

∂θ

= −r sen θ,

∂y

∂r

= r cos θ,

resulta

∂u

∂r

∂u

∂x

cos θ +

∂u

∂y

sen θ,

∂u

∂θ

= −

∂u

∂x

sen θ +

∂u

∂y

cos θ,

donde hemos divido la segunda ecuación por r. El último paso consiste en elevar al cuadrado las dos

ecuaciones y sumarlas con lo cual tenemos

∂u

∂x

∂u

∂y

∂u

∂r

∂u

∂θ

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

3.6. ALGUNOS TEOREMAS DE LAS funciones DIFERENCIABLES 133

Teorema 3.11 (Regla general de la cadena para funciones escalares)

Sea f : D ⊂ Rq −→ R una función diferenciable en el interior del conjunto D

y cada una de las variables −→x i, que la determinan de forma directa, una función

diferenciable

xi : Rp −→ R ; −→u −→ xi

􀀀−→u

, i = 1, 2, · · · q,

de las p variables uj , j = 1, 2, · · · , p. Se cumple que las derivadas parciales de la

función compuesta z = f

􀀀−→x (−→u)

son

−→∇z

􀀀−→u

= −→∇f

􀀀−→x





∂x1

􀀀−→u

∂u1

∂x1

􀀀−→u

∂u2

. . .

∂x1

􀀀−→u

∂up

∂x2

􀀀−→u

∂u1

∂x2

􀀀−→u

∂u2

. . .

∂x2

􀀀−→u

∂up

...

. . .

...

∂xq

􀀀−→u

∂u1

∂xq

􀀀−→u

∂u2

. . .

∂xq

􀀀−→u

∂up





En el siguiente diagrama representamos la estructura de .árbol.de la expresión precedente,

definida de la misma forma que el el teorema 3.10

∂up xq

∂uixq

∂u1 xq

∂xq f

∂up xi

∂uixi

∂u1 xi

∂xif

∂up x1

∂uix1

∂u1 x1 ∂x1f

Figura 3.9: Diagrama en árbol de la regla de la cadena general

Esta estructura también es aplicable a funciones escalares de una variable real, tal como se

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

134

BORRADOR

TEMA 3. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES ESCALARES

muestra en el siguiente ejemplo

Ejemplo 3.11

Sea la función compuesta z = f (y (x)) donde z depende de y, que a su vez es función de x. Entonces,

construyendo el árbol de dependencias tenemos

z → |{z}

y → |{z}

x ⇒

que reconocemos inmediatamente como la regla de la cadena asociada a funciones de una variable real.

La regla de la cadena puede expresarse de forma más compacta introduciendo la notación

D−→x

􀀀−→u

para la matriz de derivadas parciales de las variables intermedias xi con respecto a las

variables finales uj . De esta forma se escribe

−→∇z

􀀀−→u

= −→∇f

􀀀−→x

D−→x

􀀀−→u

3.6.3 Diferenciación implícita

Introduzcamos primero el problema de la diferenciación implícita en un caso particular para

generalizarlo más tarde a un número cualquiera de variables. La ecuación

f (x, y, z ) = 0,

define implícitamente una de las tres variables x, y y z en función de las otras dos. Supongamos

que fuese posible despejar z como función de x e y, obteniéndose z = z (x, y ). Llegados a

este punto el cálculo de las derivadas parciales de z sería inmediato. Si por el contrario no fuese

posible obtener explícitamente z como función de las variables x e y sería deseable desarrollar

un método para calcular las derivadas parciales de z sin necesidad de despejar dicha variable.

Supongamos que f es diferenciable y definamos u1 = x y u2 = y. Aplicando la regla de la

cadena, obtenemos

∂f

∂ui

∂f (x, y, z )

∂x

∂ui

∂f (x, y, z )

∂y

∂ui

∂f (x, y, z )

∂z

∂ui

= 0, i = 1, 2,

y por lo tanto

∂f (x, y, z )

∂x

∂f (x, y, z )

∂z

∂z (x, y )

∂x

= 0,

∂f (x, y, z )

∂y

∂f (x, y, z )

∂z

∂z (x, y )

∂x

= 0

Partiendo de estas fórmulas resulta trivial obtener las derivadas parciales de z con respecto a

x e y, ya que

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

3.6. ALGUNOS TEOREMAS DE LAS funciones DIFERENCIABLES 135

∂z (x, y )

∂x

= −

∂f (x, y, z )

∂x

∂f (x, y, z )

∂z

∂z (x, y )

∂y

= −

∂f (x, y, z )

∂y

∂f (x, y, z )

∂z

siempre que

∂f (x, y, z )

∂z 6= 0.

En general, la ecuación

􀀀−→x

= f (x1, x2, · · · , xq ) = 0,

define implícitamente una de las variables, xq por ejemplo, en función de las restantes q − 1

variables, es decir xq = xq (x1, x2, · · · , xq−1 ). Utilizando el mismo tipo de razonamiento que

en el problema precedente encontramos que

∂xq (x1, x2, · · · , xq−1 )

∂xk

= −

∂f

􀀀−→x

∂xk

∂f

􀀀−→x

∂xq

, k = 1, 2, . . . , q − 1.

Ejemplo 3.12

Sea la superficie S definida por la ecuación

x + y + z + 6xyz = 1

que define implícitamente z como función de x e y. Para hallar las derivadas parciales de z con respecto

a estas dos variables definimos

f (x, y, z ) = x + y + z + 6xyz − 1,

y aplicamos las expresiones encontradas en esta sección. Tenemos

∂f (x, y, z )

∂x

= 3x2 + 6yz,

∂f (x, y, z )

∂y

= 3y2 + 6xz,

∂f (x, y, z )

∂z

= 3z2 + 6xy.

Así

∂z (x, y )

∂x

= −

x2 + 2yz

z2 + 2xy

∂z (x, y )

∂y

= −

y2 + 2xz

z2 + 2xy

expresiones válidas para cualquier punto (x, y, z) de la superficie S, si z2 + 2xy 6= 0.

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

136

BORRADOR

TEMA 3. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES ESCALARES

3.6.4 Funciones continuamente diferenciables

EL teorema 3.3 establece que la existencia de todas las derivadas parciales o direccionales de

una función en un punto no garantiza que la función sea diferenciable en ese punto. El ejemplo

3.4 muestra un caso donde aparece dicho problema. Podemos plantearnos que condiciones

deben satisfacer las derivadas parciales para que la función sea efectivamente diferenciable.

Teorema 3.12 (Funciones continuamente diferenciables)

Si una función f : D ⊂ Rq −→ R definida en el conjunto D es de clase C1 en

−→x 0 ∈ °D, entonces es diferenciable en −→x 0. En este caso se dice que f es continuamente

diferenciable en −→x 0

El recíproco es falso: la diferenciabilidad de f en un punto −→x 0 no garantiza que la

función sea de clase C1 en dicho punto.

Ejemplo 3.13

Demuestre que la función

f (x, y ) =

( xy

x + y

(x, y) 6= (0, 0) ,

0 (x, y) = (0, 0) ,

verifica que:

1. Tiene derivadas parciales de primer orden continuas en R2.

2. Es diferenciable en todo el plano.

Solución:

1. (x, y) 6= (0, 0). Aplicando las reglas de derivación resulta

f′x (x, y ) =

2xy4

(x + y)2 ; f′y (x, y ) =

2yx4

(x + y)2

Las dos derivadas parciales son funciones continuas ya que pueden obtenerse como suma, producto

y cociente de funciones elementales continuas y los denominadores no se anulan puesto que

(x, y) 6= (0, 0). Cuando (x, y) = (0, 0) debemos calcular las derivadas por aplicación directa de

su definición

f′x(0, 0) = lím

h→0

f (h, 0) − f (0, 0)

= lím

h→0

h5 = 0,

f′y (0, 0) = lím

h→0

f (0, h) − f (0, 0)

= lím

h→0

h5 = 0.

Para que las dos derivadas parciales sean continuas en el origen debe cumplirse que

lím

(x,y)→(0,0)

f′. (x, y ) = f′. (0, 0) , α = x ó y.

Empezamos con la derivada parcial con respecto a x

lím

(x,y)→(0,0)

f′x (x, y ) = lím

(x,y)→(0,0)

2xy4

(x + y)2 = 0 = f′x (0, 0) ,

y por simetría

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

3.6. ALGUNOS TEOREMAS DE LAS funciones DIFERENCIABLES 137

lím

(x,y)→(0,0)

f′y (x, y ) = lím

(x,y)→(0,0)

2yx4

(x + y)2 = 0 = f′y (0, 0) ,

con lo cual queda demostrado que f′x y f′y también son continuas en R2.

2. La función f es diferenciable en R2 − {0} debido a que es composición, suma, producto y cociente

de funciones elementales diferenciables. Queda por estudiar si también lo es en el punto .conflictivo.(0, 0). Con el fin de responder a esta pregunta aplicamos la definición

L = lím

(x,y)→(0,0)

f (x, y ) − f (0, 0) −

−→∇f (0, 0) , (x, y)

√x + y

= lím

(x,y)→(0,0)

(x + y)3/2 ,

y pasando a polares queda

L = lím

r→0

r cos2 θ sen2 θ = 0.

En consecuencia f también es diferenciable en (0, 0).

3.6.5 Desarrollo finito de Taylor

Supongamos que la función f es diferenciable en un punto −→x 0 ∈ °D. Entonces el polinomio

de primer grado en las variables xi

􀀀−→x

= f

􀀀−→x 0

−→r

􀀀−→x 0

􀀀−→x − −→x 0

proporciona una buena aproximación a los valores de la función cerca de −→x 0, ya que

􀀀−→x

− P1

􀀀−→x

−→x − −→x 0

−→x →−→x 0 −−−−−→ 0.

El teorema de Taylor generaliza este resultado y nos proporciona aproximaciones de orden

superior de los valores de la función cerca del punto −→x 0. Pero antes de introducir el polinomio de

Taylor para funciones de varias variables resulta conveniente definir las diferenciales de diverso

orden de una función asociadas a un punto de su dominio.

Definición 3.3

Sea f : D ⊂ Rq −→ R una función escalar diferenciable en el interior del dominio

D; se define la diferencial (de primer orden) de f en el punto −→x 0 ∈ °D como la

función lineal en la variable −→h

.−→x 0

. .

−→h

−→∇f

􀀀−→x 0

,−→h

i=1

∂f

􀀀−→x 0

∂xi

hi.

La definición de diferencial que acabamos de introducir nos permite reescribir la aproximación

lineal P1

􀀀−→x

como

􀀀−→x

= f

􀀀−→x 0

+ df

.−→x 0

. .

−→h

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

138

BORRADOR

TEMA 3. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES ESCALARES

Ejemplo 3.14

La diferencial de la función f (x, y ) = exy en un punto genérico de su dominio viene dada por

df [(x, y)] (hx, hy ) =

−→∇f (x, y ) , (hx, hy)

donde el gradiente, que ha sido calculado en el ejemplo 2.12 del tema 2, es

−→∇f (x, y ) = exy (y, x) .

Por lo tanto

df [(x, y)] (hx, hy ) = exy h(y, x) , (hx, hy)i = exy (yhx + xhy) .

Los valores de la función cerca del punto (x, y)

f (x + hx, y + hy ) = e(x+hx)(y+hy),

se pueden aproximar por

f (x + hx, y + hy ) ≃ P1 (x + hx, y + hy ) = f (x, y ) + df [(x, y)] (hx, hy )

= exy + exy (yhx + xhy) .

Ejercicio:

Obtenga el volumen del material necesario para construir un vaso cilíndrico cuyas dimensiones

son las siguientes: (a) radio del cilindro interior, R; (b) altura del cilindro interior, H; y (c)

espesor de las paredes y del fondo, K. Obtenga la solución exacta y una solución aproximada

calculando el incremento del volumen del cilindro interior al incrementar su radio y altura en

una cantidad K.

Las diferenciales de orden superior se definen como los siguientes polinomios en las componentes

de la variable vectorial −→h .

Definición 3.4

Sea f : D ⊂ Rq −→ R una función de clase C2 en −→x 0 ∈ °D; se llama diferencial

de segundo orden de la función en el punto −→x 0 al siguiente polinomio de orden dos

en las componentes del vector −→h

d2f

.−→x 0

. .

−→h

i=1

j=1

f(2)

xixj

􀀀−→x 0

hihj .

Análogamente, si f es de clase Cn en −→x 0 llamamos diferencial de orden n en −→x 0

dnf

.−→x 0

. .

−→h

i1=1

· · ·

in=1

f(n)

xi1...xin

􀀀−→x 0

hi1 . . . hin.

Observese que la diferencial de orden n de una función Cn es un polinomio homogéneo de

orden n en las componentes del vector −→h . Como consecuencia de esta propiedad se cumple que

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

3.6. ALGUNOS TEOREMAS DE LAS funciones DIFERENCIABLES 139

dnf

.−→x 0

. .

λ−→h

= λndnf

.−→x 0

. .

−→h

En efecto, aplicando la definición

dnf

.−→x 0

. .

λ−→h

i1=1

· · ·

in=1

f(n)

xi1...xin

􀀀−→x 0

(λhi1) . . . (λhin) ,

de manera que sacando factor común los factores λ

dnf

.−→x 0

. .

λ−→h

= λn

i1=1

· · ·

in=1

f(n)

xi1...xin

􀀀−→x 0

hi1 . . . hin = λndnf

.−→x 0

. .

−→h

Ejemplo 3.15

Veamos algunos casos particulares que clarifiquen la definición anterior. Dada la función y = f (x),

definida en la recta real, su diferencial de segundo orden es

d2f [x0] (h) = f(2) (x0) h.

En el caso de una función de dos variables z = f (x, y ) la diferencial de segundo orden es un polinomio

de grado dos en las componentes de −→h, es decir

d2f [(x0, y0)] (hx, hy ) = f(2)

x (x0, y0 ) hx + 2f(2)

xy (x0, y0 ) hxhy + f(2)

y (x0, y0 ) hy,

y en forma matricial

d2f [(x0, y0)] (hx, hy ) = (hx, hy)



 f(2)

x (x0, y0 ) f(2)

xy (x0, y0 )

f(2)

xy (x0, y0 ) f(2)

y2 (x0, y0 )





Ya podemos enunciar el teorema de Taylor. Daremos primero una versión parcial que relaciona

el valor de la función en −→x 0 + −→h con el valor de la función y de sus derivadas parciales de

primer y segundo orden evaluadas en −→x 0

Teorema 3.13 (Teorema de Taylor de segundo orden)

Sea f : D ⊂ Rq −→ R una función escalar de clase C2 en el punto −→x 0 ∈ °D;

entonces se cumple que

−→x 0 + −→h

= f

􀀀−→x 0

+ df

.−→x 0

. .

−→h

d2f

.−→x 0

. .

−→h

+ o

−→h

El polinomio de orden dos en las variables h1,. . . , hq

−→h

= f

􀀀−→x 0

+ df

.−→x 0

. .

−→h

d2f

.−→x 0

. .

−→h

se denomina polinomio de Taylor de orden dos asociado a la función f en el punto

−→x 0.

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

140

BORRADOR

TEMA 3. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES ESCALARES

Utilizando la definición de las diferenciales de la función en términos de sus derivadas parciales

y de las componentes del vector −→h , el polinomio de Taylor se escribe

−→h

= f

􀀀−→x 0

i=1

f′xi

􀀀−→x 0

hi +

i=1

j=1

f(2)

xixj

􀀀−→x 0

hihj .

El siguiente ejemplo particulariza esta expresión para funciones definidas en el plano.

Ejemplo 3.16 (Fórmula de Taylor en R2)

Sea f : R2 −→ R una función de clase C2 en el plano con valor f (x0, y0 ) y derivadas f′. (x0, y0 ) y

f′′ .. (x0, y0 ) en el punto (x0, y0). Entonces el valor que la función toma en el punto (x0 + hx, y0 + hy)

se escribe

f (x0 + hx, y0 + hy) = f (x0, y0 ) + f′x (x0, y0 ) hx + f′y (x0, y0 ) hy

f(2)

x (x0, y0 ) hx + f(2)

y (x0, y0 ) hy + 2f(2)

xy (x0, y0 ) hxhy

+ o

k(hx, hy)k2

Ejercicio:

Utilice el desarrollo de Taylor de orden dos alrededor del origen para escribir de forma aproximada

la función

f (x, y ) = ex+y.

Calcule entonces de forma exacta y de forma aproximada el valor f (0.1, 0.1) y compare

ambos resultados.

Demostración 3.13

Antes de deducir la forma de la aproximación de Taylor de orden n repasaremos el teorema de Taylor

para funciones de una variable. Para funciones suaves de una variable g : D ⊂ R −→ R este teorema

asegura que si la función tiene sus n primeras derivadas continuas en x = a 1

g (a + h) = g (a) + g′ (a) h +

g′′ (a) h2 + · · · +

g(n) (a) hn + Rn (a, h) ,

donde la cantidad Rn (a, h) recibe el nombre de residuo. Podemos demostrar que en las proximidades de

a el residuo toma valores muy pequeños. De las diversas expresiones que existen para el residuo, la más

útil para nosotros se escribe como

Rn (a, h) =

g(n) (ζ) − g(n) (a)

donde ζ ∈ (a, a + h). Esta expresión está íntimamente relacionada con la fórmula de Lagrange del

residuo, que es mucho más conocida. Obsérvese que se cumple que

Rn (a, h)

hn =

g(n) (ζ) − g(n) (a)

h→0 −−−→ 0.

Admitamos, por el momento, que f es de clase C2 en su dominio y definamos la siguiente función de

una variable

g (t) = f

−→x 0 + t−→h

1Para ello basta con existan las n + 1 primeras derivadas en x = a.

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

3.6. ALGUNOS TEOREMAS DE LAS funciones DIFERENCIABLES 141

cuyas derivadas se obtienen aplicando la regla de la cadena. Como la función f es de clase C2 la regla de

la cadena es válida tanto para f como para sus derivadas parciales de primer orden. Por lo tanto podemos

escribir que

g′ (t) =

i=1 f′x i

−→x 0 + t−→h

hi = df

−→x 0 + t−→h

i .

−→h

g′′ (t) =

i=1

j=1 f′′ xixj

−→x 0 + t−→h

hihj = d2f

−→x 0 + t−→h

i .

−→h

y, en particular, cuando t = 0

g′ (0) = df

.−→x 0

. .

−→h

g′′ (0) = d2f

.−→x 0

. .

−→h

Estas expresiones so igualmente válidas aunque la función f sólo sea de clase C2 en el punto −→x 0.

Aplicando la fórmula de Taylor a la función g cuando t = 1 obtenemos

g (1) = g (0) + g′ (0) +

g′′ (0) + R2 (0, 1) ,

y substituyendo g por su definición y sus primeras derivadas por las expresiones anteriores, resulta

−→x 0 + −→h

= f

􀀀−→x 0

+ df

.−→x 0

. .

−→h

d2f

.−→x 0

. .

−→h

+ R2 (0, 1) .

Ahora bien, el residuo puede escribirse como

R2 (0, 1) =

(g′′ (ζ) − g′′ (0)) =

i=1

j=1

f′′ xixj

−→x 0 + ζ−→h

− f′′ xixj

􀀀−→x 0

hihj ,

donde ζ es un número comprendido entre cero y uno. Además, como |hi| ≤

−→h

, resulta

R2 (0, 1) ≤ K

−→h

con

K =

i=1

j=1

...

f′′ xixj

−→x 0 + ζ−→h

− f′′ xixj

􀀀−→x 0

....

Por lo tanto se verifica que

R2 (0, 1)

−→h

2 ≤ K

−→h→0 −−−→ 0,

es decir

R2 (0, 1) = o

−→h

De esta forma llegamos al resultado que buscabamos

g (1) = g (0) + g′ (0) +

g′′ (0) + o

−→h

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

142

BORRADOR

TEMA 3. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES ESCALARES

El teorema de Taylor de orden n es una generalización inmediata del anterior en la que el

polinomio aproximante involucra todas las derivadas parciales de la función hasta orden n.

Teorema 3.14 (Teorema de Taylor)

Sea f : D ⊂ Rq −→ R una función escalar de clase Cn en el punto −→x 0 ∈ °D;

entonces se cumple que

−→x 0 + −→h

= f

􀀀−→x 0

+ df

.−→x 0

. .

−→h

d2f

.−→x 0

. .

−→h

+ · · ·

dnf

.−→x 0

. .

−→h

+ o

−→h

El polinomio de orden n en las variables h1,. . . , hq

−→h

= f

􀀀−→x 0

+ df

.−→x 0

. .

−→h

d2f

.−→x 0

. .

−→h

+ · · ·

dnf

.−→x 0

. .

−→h

se denomina polinomio de Taylor de orden n de la función f en el punto −→x 0.

Para finalizar la sección, y a modo de resumen, incluimos un diagrama de flujo con las relaciones

entre los resultados más importantes de este tema

Figura 3.10: Diagrama de flujo

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3.6. PROBLEMAS 143

Problemas

Problema 3.1 Analice la continuidad y diferenciabilidad de las siguientes funciones:

f (x, y ) =

( xy

x + y2

si (x, y) 6= (0, 0) ,

0 si (x, y) = (0, 0) .

f (x, y ) =





3xy − 2x4

x2 + y4

si (x, y) 6= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

Problema 3.2 Estudie la continuidad de las derivadas parciales primeras y la diferenciabilidad de las

funciones que se proponen a continuación:

f (x, y ) =

( xy

x + y

si (x, y) 6= (0, 0) ,

0 si (x, y) = (0, 0) .

f (x, y ) =





(x + y) sen

x + y

si (x, y) 6= (0, 0) ,

0 si (x, y) = (0, 0) .

Problema 3.3 Dada la función f (x, y, z ) = axz + bxy + cz, determine los valores de las constantes

a, b, c para que la derivada direccional de f en el punto −→r 0 = (1, 1, 1) sea máxima en la dirección

−→v 0 = (−1, 1, 0) y su valor sea 2.

Problema 3.4 La intensidad de luz visible en una región del plano que contiene el punto (−2, 1) viene

dada por la función I (x, y ) = A − 2x− y. Determine la trayectoria que debe seguir una pequeña forma

de vida fotófaga (que se “alimenta de luz”), que en el instante incial se encuentra en el punto (−2, 1), de

manera que la cantidad de alimento conseguido sea máxima.

Problema 3.5 Determine la trayectoria de descensomás acusado situada sobre la superficie z = x2+3y2

y que parte del punto: (a) (1, 1, 4) y (b) (1,−2, 13).

Problema 3.6 Determine la forma de la función f si −→∇f (x, y, z ) = a1−→ı + a2−→ + a3−→k para todo

(x, y, z).

Problema 3.7 Halle la ecuación del plano tangente a la superficie definida por la ecuación (x+y)−4 =

x − y + sen(z) en el punto con x = 1 e y = 1.

Problema 3.8 La curva parametrizada por −→r (t) = (2t, 3/t,−2t2) corta al elipsoide de ecuación x2 +

y2 + 3z2 = 25 en el punto (2, 3,−2). Determine el ángulo de intersección.

Problema 3.9 Utilizando que la variable z está definida como función implícita de las variables x e y

mediante la ecuación ez + xz + cos(xy) = 0, halle las derivadas parciales de z con respecto a ambas

variables.

Problema 3.10 La ecuación de estado de los gases perfectos es PV −nRT = 0, dondeR es la constante

de los gases ideales. Demuestre por diferenciación implícita y explícita que:

∂P

∂V

= −

∂P

∂T

Problema 3.11 En los libros de termodinámica aparecen expresiones del tipo

∂y

∂x

∂z

∂y

∂x

∂z

= −1

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

144

BORRADOR

TEMA 3. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES ESCALARES

Explique el significado de esta relación y demuestre que es verdadera.

Problema 3.12 Obtenga la forma del gradiente de una función f (r), siendo r =

−→r

y −→r = (x, y, z).

Utilizando el resultado anterior calcule −→F = −−→∇V para V (r) =

donde K es una constante.

Problema 3.13 Desarrolle en serie de Taylor a segundo orden las siguientes funciones:

1. f (x, y ) = exy cos(x + y) en torno al punto (1, 2).

2. f (x, y ) =

Z x+2y

e−t dt en torno al origen de coordenadas.

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

Tema 4

Funciones vectoriales

4.1 Definición de las funciones vectoriales

Las funciones que hemos estudiado hasta el momento son funciones escalares. Es posible,

sin embargo, introducir funciones cuya imagen está formada por vectores. Son especialmente

útiles para describir curvas y superficies en geometría, el movimiento de sistemas de partículas

o caracterizar el campo electromagnético en física.

Como ya hemos definido en los temas precedentes, una función es una regla que a cada elemento

de su dominio de definición le asocia un elemento (y sólo uno) de la imagen. Así, una

función real vectorial es una regla que asocia a cada elemento de su dominio en Rq un elemento

de Rp, donde p y q son números naturales cualesquiera.

Definición 4.1 (Función vectorial)

Una aplicación o regla

−→ϕ : D ⊂ Rq −→ Rp ; −→x ∈ D −→ −→ϕ

􀀀−→x

􀀀

ϕ1

􀀀−→x

, · · · ,ϕp

􀀀−→x

se denomina función vectorial de q variables reales. . Los conjuntos D y −→ϕ

􀀀−→x

\. −→x ∈ D

reciben el nombre de dominio de definición e imagen de −→ϕ.

Las q componentes x1, x2, . . . , xq del vector −→x reciben el nombre de variables independientes

y las p funciones escalares

.−→ϕi

􀀀−→x

, i = 1, 2, . . . , p

se denominan

funciones componente de −→ϕ.

Dado que los valores de la función son vectores podemos caracterizarlos dando su descomposición

en una base. Utilizando la base estándar resulta

−→ϕ

􀀀−→x

􀀀

ϕ1

􀀀−→x

,ϕ2

􀀀−→x

, · · · ,ϕp

􀀀−→x

i=1

ϕi

􀀀−→x

.−→ei.

En el caso de funciones vectoriales de una sola variable utilizamos normalmente el símbolo

t para denotar la variable independiente; la razón es que en la mayor parte de las aplicaciones

físicas dicha variable representa el tiempo.

Ejemplo 4.1 (Dominio de una función vectorial)

Sea la función vectorial −→ϕ (t) =

􀀀

t3, log(1 + t), sen(t)

. Sus funciones componentes son

145

146

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

ϕ1(t) = t3,

ϕ2(t) = log(1 + t),

ϕ3(t) = sen(t)

Si empleamos el símbolo Di para referirnos al dominio de definición de la i-ésima función componente,

el dominio de definición global vendrá dado por D = ∩q

i=1Di, es decir, por la intersección de los

dominios de definición de las diferentes componentes. En el ejemplo actual los dominios de definición de

las tres funciones componentes se escriben como

D1 = R, D2 = {t ∈ R \. t > −1} , D3 = R,

de manera que D = D1 ∩ D2 ∩ D3 = {t ∈ R \. t > −1} = (−1,∞).

Ejemplo 4.2 (Campo de velociadades de un fluido)

Para especificar la velocidad de un fluido que se mueve en el espacio se requiere una función vectorial

−→V : R4 −→ R3 ; (x, y, z, t) −→ −→V (x, y, z, t ) ,

donde −→V (x, y, z, t ) representa la velocidad de una pequeña partícula de fluido que en el instante t de

tiempo se halla en la posición (x, y, z).

−→v

Figura 4.1: Campo de velocidades en el plano

En diversas disciplinas como la geometría y la física muchas funciones vectoriales surgen

de forma natural como resultado de distintas operaciones con otras funciones vectoriales. De

hecho, la suma vectorial, el producto por un escalar, el producto escalar, el producto vectorial y

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.2. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES VECTORIALES 147

la composición de funciones permiten generar funciones más complejas.

Definición 4.2 (Operaciones aritméticas elementales)

Dadas dos funciones vectoriales −→ϕ : D ⊂ Rq −→ Rp y −→φ : D ⊂ Rq −→ Rp

y una función escalar u

􀀀−→x

con dominio D ⊂ Rq, convenimos en introducir las

siguientes funciones definidas en D:

−→ϕ + −→φ

i 􀀀−→x

= −→ϕ

􀀀−→x

+ −→φ

􀀀−→x

[Suma],

u−→ϕ

. 􀀀−→x

= u

􀀀−→x

.−→ϕ

􀀀−→x

[Producto por un escalar],

−→ϕ,−→φ

Ei 􀀀−→x

−→ϕ

􀀀−→x

,−→ϕ (φ)−→x

[Producto escalar],

4. Para p = 3 podemos definir la función producto vectorial

−→ϕ × −→φ

i 􀀀−→x

= −→ϕ

􀀀−→x

× −→φ

􀀀−→x

Dadas dos funciones vectoriales −→ϕ : D ⊂ Rq −→ Rp y −→φ : E ⊂ Rp −→ Rm, es

posible definir su composición −→ψ : D ⊂ Rq −→ Rm como

−→ψ

􀀀−→x

= −→φ ◦ −→ϕ

􀀀−→x

= −→φ

􀀀−→ϕ

􀀀−→x

siempre que −→ϕ (D) ⊂ E.

4.2 Continuidad y diferenciabilidad de las funciones vectoriales

En esta sección generalizamos las definiciones de límite, continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad

al caso de funciones con valores vectoriales.

4.2.1 Límites y continuidad de las funciones vectoriales

Los conceptos de límite y continuidad son completamente análogos a los que hemos introducido

en el tema anterior. Así, empleamos la notación

lím

−→x →−→x 0

−→ϕ

􀀀−→x

= −→L ó −→ϕ

􀀀−→x

. −→x →−→x 0 −−−−−→ −→L,

para indicar que los valores vectoriales de la función se aproximan a −→L cuando el punto −→x

tiende a −→x 0, cualquiera que sea la trayectoria de aproximación. Es decir, podemos hacer que los

valores −→ϕ

􀀀−→x

se aproximen a −→L tanto como se quiera tomando el punto −→x suficientemente

próximo a −→x 0, con la única restricción que −→x 6= −→x 0. Si −→L = (L1,L2, · · · ,Lq) deberá ocurrir

que

lím

−→x →−→x 0

ϕi

􀀀−→x

= Li, i = 1, 2, . . . p.

También es cierto que si lím−→x →−→x 0 −→ϕ

􀀀−→x

= −→L, la longitud del vector −→ϕ

􀀀−→x

− −→L tiende

a cero a medida que −→x se aproxima a −→x 0. Cualquiera de estas condiciones sirve para definir el

límite de una función vectorial.

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

148

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

Definición 4.3 (Límite de una función vectorial)

Dada −→ϕ : D ⊂ Rq −→ Rp una función vectorial definida en D ⊂ Rq y −→x 0 ∈ D

un punto de la adherencia del mismo, definimos

lím

−→x →−→x 0

−→ϕ

􀀀−→x

lím

−→x →−→x 0

ϕ1

􀀀−→x

, lím

−→x →−→x 0

ϕ2

􀀀−→x

, · · · , lím

−→x →−→x 0

ϕp

􀀀−→x

siempre que existan los límites de todas las funciones componentes.

Ejemplo 4.3 (Límite de una función vectorial)

Dada la función vectorial−→r (t) =

􀀀

1 + t2

.−→ı +tet−→ +sen(t)/t−→k determine su dominio de definición

D y calcule a continuación el límite de la misma en un punto t0 cualquiera de D.

Si llamamos Di al dominio de cada una de las componentes de la función vectorial tenemos que

D = D1 ∩ D2 ∩ D3. En el caso que nos ocupa: D1 = D2 = R, D3 = R − {0} −→ D = R − {0}.

Calculemos el límite en el punto t0 = 1 ∈ D:

lím

t→1−→r (t) =

lím

t→1

(1 + t3)

−→ı +

lím

t→1

tet

−→ +

lím

t→1

sen(t)

−→k

= 2−→ı +

e−→ + sen(1)−→k .

Frecuentemente se encuentra en la literatura la siguiente definición de límite, equivalente a la

que hemos dada más arriba.

Teorema 4.1

Sea −→ϕ : D ⊂ Rq −→ Rp una función vectorial definida en el dominio real D y

−→x 0 ∈ D′ un punto de acumulación del mismo, se cumple entonces que

lím

−→x →−→x 0

−→ϕ

􀀀−→x

= −→L ↔ lím

−→x →−→x 0

−→ϕ

􀀀−→x

− −→L

= 0.

Demostración 4.1

Para demostrar la condición necesaria partimos de la definición original de límite, es decir

lím

−→x→−→x 0

−→ϕ

􀀀−→x

= −→L ⇒ lím

−→x→−→x 0

ϕi

􀀀−→x

= Li.

Ahora bien, la norma de un vector es un escalar y

−→ϕ

􀀀−→x

− −→L

es una función real escalar de

las variables (x1, x2, · · · , xq); por las propiedades de las funciones escalares tenemos

lím

−→x→−→x 0

−→ϕ

􀀀−→x

− −→L

lím

−→x→−→x 0

−→ϕ

(

t) −

−→L

de manera que podemos calcular primero el límite de la norma al cuadrado para extraer después la

raiz. Se verifica entonces

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.2. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES VECTORIALES 149

lím

−→x→−→x 0

−→ϕ

􀀀−→x

− −→L

= lím

−→x→−→x 0

"Xp

i=1

􀀀

ϕi

􀀀−→x

− Li

i=1

lím

−→x→−→x 0

􀀀

ϕi

􀀀−→x

− Li

..2

y como lím

−→x→−→x 0

−→ϕ

􀀀−→x

= −→L resulta que

→ lím

−→x→−→x 0

ϕi

􀀀−→x

= Li → lím

−→x→−→x 0

(ϕi (t) − Li) = 0,

con lo cual

lím

−→x→−→x 0

−→ϕ

􀀀−→x

− −→L

= 0 −→ lím

−→x→−→x 0

−→ϕ

􀀀−→x

− −→L

= 0.

Se trata ahora de probar que

lím

−→x→−→x 0

−→ϕ

(

t) −

−→L

= 0,

es condición suficiente para que se cumpla la definición de límite.

lím

−→x→−→x 0

−→ϕ

􀀀−→x

− −→L

= lím

−→x→−→x 0

i=1

ϕi

􀀀−→x

− Li

i=1

lím

−→x→−→x 0

ϕi

􀀀−→x

− Li

Ahora bien, teniendo en cuenta la condición inicial resulta que

i=1

lím

−→x→−→x 0

ϕi

􀀀−→x

− Li

= 0,

y para que la suma de cuadrados sea nula todos y cada uno de los sumandos deben ser cero. Así

lím

−→x→−→x 0

−→ϕ (t) − −→L

= 0 −→ lím

−→x→−→x 0

ϕi

􀀀−→x

= Li,

de donde se deduce que

lím

−→x→−→x 0

−→ϕ

􀀀−→x

= −→L.

Teorema 4.2 (Propiedades aritméticas de los límites)

Sean −→ϕ : D ⊂ Rq −→ Rp y −→φ : D ⊂ Rq −→ Rp dos funciones vectoriales

y u

􀀀−→x

una función escalar definidas en D. Si −→x 0 ∈ D′ y −→ϕ

􀀀−→x

. −→x →−→x 0 −−−−−→ −→L,

−→φ

􀀀−→x

. −→x →−→x 0 −−−−−→ −→M y u

􀀀−→x

. −→x →−→x 0 −−−−−→ c, se cumple que:

−→ϕ + −→φ

i 􀀀−→x

. −→x →−→x 0 −−−−−→ −→L + −→M,

u−→ϕ

. 􀀀−→x

. −→x →−→x 0 −−−−−→ c−→L,

−→ϕ,−→φ

Ei 􀀀−→x

. −→x →−→x 0 −−−−−→

−→L,−→M

−→ϕ × −→φ

i 􀀀−→x

. −→x →−→x 0 −−−−−→ −→L × −→M (q = 3).

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

150

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

Demostración 4.2

La demostración de estas propiedades no presenta dificultad alguna si se parte de la definición de límite

como límite de las funciones componente. Nos limitaremos a dar la demostración de la primera de ellas,

dejando las demás como problemas o ejercicios para el lector. Teniendo en cuenta las definiciones de

función suma y de límite podemos escribir

lím

−→x→−→x 0

−→ϕ + −→φ

i 􀀀−→x

= lím

−→x→−→x 0

−→ϕ

􀀀−→x

+ −→φ

􀀀−→x

i=1

lím

−→x→−→x 0

ϕi (x) + φi

􀀀−→x

...

−→e i

i=1

lím

−→x→−→x 0

ϕi

􀀀−→x

.−→e i +

i=1

lím

−→x→−→x 0

φi

􀀀−→x

.−→e i

= lím

−→x→−→x 0

−→ϕ

􀀀−→x

+ lím

−→x→−→x 0

−→φ

􀀀−→x

= −→L + −→M.

El estudio del límite cuando −→x se aproxima a −→x 0 nos permite explorar el comportamiento

de la función en una vecindad de −→x 0, tan pequeña como se quiera, pero que excluye el punto

central −→x 0 y por tanto nada nos dice sobre el valor de la función en dicho punto. La relación

entre el límite de la función y el valor de la misma en el punto −→x 0 es la base de la idea de

continuidad.

Definición 4.4 (Continuidad de una función vectorial)

Una función vectorial −→ϕ

􀀀−→x

definida en el dominio real D es continua en −→x 0 ∈

D si se cumple que

lím

−→x →−→x 0

−→ϕ

􀀀−→x

= −→ϕ

􀀀−→x 0

Por extensión se dice que una función vectorial es continua en su dominio D si es

continua en todos los puntos del mismo.

Resulta conveniente realizar algunos comentarios que permitan comprender mejor la definición

De la definición deducimos inmediatamente que una función vectorial es continua si y

sólo si todas sus componentes son funciones escalares continuas, es decir,

lím

−→x →−→x 0

−→ϕ

􀀀−→x

= −→ϕ

􀀀−→x 0

↔ lím

−→x →−→x 0

ϕi

􀀀−→x

= ϕi

􀀀−→x 0

La condición de continuidad puede expresarase como

lím

−→x →−→x 0

−→ϕ

􀀀−→x

− −→ϕ

􀀀−→x 0

= 0.

Por lo tanto si una función −→ϕ es continua en su dominio de definición (o en un subconjunto

del mismo) podemos situar los extremos de los vectores −→ϕ

􀀀−→x 1

y −→ϕ

􀀀−→x 2

tan próximos

como se quiera permitiendo que −→x 1 se aproxime suficientemente a −→x 2.

Observese también que la definición de continuidad que hemos introducido involucra no

sólo al dominio de la función , sino también a su frontera. Si la función no esta definida

en un punto de la frontera decimos que posee una discontinuidad en dicho punto.

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.2. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES VECTORIALES 151

Ejemplo 4.4 (Un primer ejemplo de continuidad de una función vectorial)

Estudie la continuidad de la función vectorial

−→ϕ (x, y ) = (ϕx (x, y ) , ϕy (x, y )) =

sen x − sen y

x − y

ex − e−y

x + y

definida en . =

(x, y) ∈ R2, \. x2 6= y2

. ¿Puede extenderse la definición de −→ϕ (x, y ) de manera que

sea continua en todo R2.

La continuidad de −→ϕ en su dominio . resulta evidente a partir de la definición de sus componentes.

ϕx (x, y ) es continua en todos los puntos del plano con x 6= y, mientras que ϕy (x, y ) lo es siempre que

x 6= −y.

Para poder redefinir la función de manera que sea continua en todo R2 es necesario que exista el límite

de ϕx (x, y ) en los puntos de la forma (x0, x0) y el de ϕy (x, y ) en puntos como (x0,−x0).

En el primer caso efectuamos el siguiente cambio x = x0+˜x, y = y0+˜y, demanera que lím(x,y)→(x0,x0) ≡ lím˜x,˜y→(0,0). Así

lím

(x,y)→(x0,x0)

ϕx (x, y ) = lím

(˜x,˜y)→(0,0)

ϕx (x, y ) lím

(˜x,˜y)→(0,0)

sen(x0 + ˜x) − sen(x0 + ˜y)

˜x − ˜y

y efectuando un desarrollo en serie del numerador, resulta

sen(x0 + ˜x) − sen(x0 + ˜y) = 2 cos(x0)(˜x − ˜y) + . . . ,

por lo que podemos escribir

lím

(x,y)→(x0,x0)

ϕx (x, y ) = lím

(˜x,˜y)→(0,0)

cos x0

˜x − ˜y

+ · · · = cos x0.

Procediendo de forma similar encontramos que

lím

(x,y)→(x0,−x0)

ϕy (x, y ) = ex0 ,

con lo cual deberemos definir ϕx (x, x) = cos x y ϕy (x,−x) = ex para que −→ϕ esté definida y sea

continua en R2.

Las propiedades de los límites enumeradas en el teorema 4.2 conducen de forma inmediata a

que las funciones con valores vectoriales continuas satisfacen las siguientes propiedades.

Teorema 4.3 (Propiedades de las funciones continuas)

Sean −→ϕ : D ⊂ Rq −→ Rp y −→φ : D ⊂ Rq −→ Rp y u : D ⊂ Rq −→ R dos

funciones vecoriales y una función escalar definidas en el domonio D. Si las tres

funciones son continuas en −→x 0 ∈ D se verifica que

−→ϕ + −→φ

i 􀀀−→x

u−→ϕ

. 􀀀−→x

−→ϕ,−→φ

Ei 􀀀−→x

−→ϕ × −→φ

i 􀀀−→x

(q = 3),

son continuas en −→x 0.

4.2.2 Diferenciabilidad de las funciones vectoriales

Hasta ahora hemos utilizado nuestro conocimiento previo sobre las funciones escalares para

introducir los conceptos de límite y continuidad de una función vectorial. En este caso seguiremos

una aproximación diferente y no nos basaremos en la diferenciabilidad de las funciones

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

152

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

componente para definir la de la función vectorial. Por ello definiremos la derivada parcial de

una función vectorial como el límite de un cociente incremental vectorial y deduciremos después

su relación con las derivadas de las funciones componentes.

Consideremos, para fijar ideas, una función vectorial −→ϕ : D ⊂ R2 −→ R2, dada por

−→ϕ (x, y ) = (ϕx (x, y ) ,ϕy (x, y )) .

Teniendo en cuenta la definición de derivada parcial de una función escalar, dada en el tema

2, procederemos de forma similar y definiremos las derivadas parciales de −→ϕ (x, y ) como

∂−→ϕ (x0, y0 )

∂x

, lím

h→0

.x−→ϕ (x0, y0 )

= lím

h→0

−→ϕ

􀀀

(x0, y0 ) + h−→ı

− −→ϕ (x0, y0 )

∂−→ϕ (x0, y0 )

∂y

, lím

h→0

.y−→ϕ (x0, y0 )

= lím

h→0

−→ϕ

􀀀

(x0, y0 ) + h−→

− −→ϕ (x0, y0 )

Ahora bien

.x−→ϕ ((x0, y0 ))

ϕx (x0 + h, y0) − ϕx (x0, y0 )

ϕy (x0 + h, y0) − ϕy (x0, y0 )

y al considerar el límite cuando h → 0 resulta

∂−→ϕ (x0, y0 )

∂x

lím

h→0

ϕx (x0 + h, y0) − ϕx (x0, y0 )

, lím

h→0

ϕy (x0 + h, y0) − ϕy (x0, y0 )

∂ϕx (x0, y0 )

∂x

∂ϕy (x0, y0 )

∂x

Procediendo de forma análoga se llega a que

∂−→ϕ (x0, y0 )

∂y

∂ϕx (x0, y0 )

∂y

∂ϕy (x0, y0 )

∂y

Por lo tanto, aunque hemos definido las derivadas parciales de −→ϕ (x, y ) de forma directa

como límites de un cociente incremental, obtenemos el resultado habitual que en este caso se

expresaría del siguiente modo: el vector derivada parcial de una función está formado por las

derivadas parciales de sus funciones componente.

Utilizando los resultados de este ejemplo convenimos en definir las derivadas parciales de una

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.2. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES VECTORIALES 153

función vectorial general como

Definición 4.5 (Derivada parcial de una función vectorial)

Sea −→ϕ : D ⊂ Rq −→ Rp una función escalar definida en el dominio D ⊂ Rq.

Definimos la derivada parcial de −→ϕ

􀀀−→x

en el punto −→x 0 ∈ °D con respecto a la

variable xi como

∂−→ϕ

􀀀−→x 0

∂xi

, lím

h→0

−→ϕ

􀀀−→x 0 + h−→e i

− −→ϕ

􀀀−→x 0

siempre que dicho límite exista, o de forma equivalente

∂−→ϕ

􀀀−→x 0

∂xi

∂ϕx1

􀀀−→x 0

∂xi

∂ϕx2

􀀀−→x 0

∂xi

, · · · ,

∂ϕxq

􀀀−→x 0

∂xi

si las funciones componente son derivables parcialmente.

Ejemplo 4.5 (Cálculo de las derivadas parciales)

Sea −→ϕ : R2 ⊂ R2 −→ R2, definida por la ecuación −→ϕ (x, y ) = (sen x sen y, exy). Según la definición

precedente sus derivadas parciales vienen dadas por

∂−→ϕ (x, y )

∂x

∂ sen x sen y

∂x

∂exy

∂x

= (cos x sen y, yexy) ,

∂−→ϕ (x, y )

∂y

∂ sen x sen y

∂y

∂exy

∂y

= (sen x cos y, xexy) .

El hecho de que una función escalar sea diferenciable en cierto punto está asociado a la existencia

de una aproximación lineal razonable de la función en las proximidades de dicho punto.

Dado que la definición de diferenciabilidad de las funciones vectoriales sigue la misma avenida,

conviene clarificar lo que entendemos por una función vectorial lineal.

Una función vectorial lineal −→l : Rq −→ Rp posee componentes de la forma

􀀀−→x

= ai + bi1x1 + bi2x2 + · · · + biqxq, i = 1, 2, . . . , p,

por lo que podemos expresarla en notación matricial como





􀀀−→x

...

􀀀−→x









. . .









b11 b12 . . . b1q

b21 b22 . . . b2q

...

. . .

...

bp1 bp2 . . . bpq









. . .





o bien, de forma más compacta

−→l

􀀀−→x

= −→a + B−→x ,

donde −→a es un vector columna con entradas ai y B es una matriz p × q con entradas bij .

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

154

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

Ahora ya estamos en disposición de dar una definición adecuada de diferenciabilidad de una

función con valores vectoriales.

Definición 4.6 (Funciones vectoriales diferenciables)

Sea −→ϕ : D ⊂ Rq −→ Rp una función vectorial definida en el conjunto D. Se dice

que −→ϕ es diferenciable en −→x 0 ∈ °D si existe una función vectorial lineal

−→l

􀀀−→x

= −→ϕ

􀀀−→x 0

+ T

􀀀−→x 0

. 􀀀−→x − −→x 0

donde T

􀀀−→x 0

es una matriz real de dimensión p × q, tal que:

lím

−→x →−→x 0

−→ϕ

􀀀−→x

− −→l

􀀀−→x

−→x − −→x 0

= −→0 ,

Si −→ϕ : D ⊂ Rq −→ Rp es diferenciable ∀−→x ∈ °D, decimos que la función es

diferenciable en su dominio.

También en este caso conviene efectuar algunas aclaraciones dada la importancia del concepto

de diferenciabilidad:

La condición básica de diferenciabilidad también se se puede escribir como:

lím

−→x →−→x 0

−→ϕ

􀀀−→x

− −→l

􀀀−→x

−→x − −→x 0

= 0,

−→ϕ

−→x 0 + −→h

− −→l

−→x 0 + −→h

= −→ǫ

−→h

donde −→ǫ

−→h

es una función vectorial tal que lím

−→h →

−→0

−→ǫ

−→h

= −→0 .

Esta definición es equivalente desde todo punto de vista a la que dimos para las funciones

esacalares. Implica la existencia de una aproximación lineal razonable en cuanto que la

distancia (norma) entre los valores vectoriales exactos y los aproximados es mucho menor

que la distancia entre

−→h

entre los dos puntos −→x

−→x

Además, se reduce fácilmente a la definición de diferenciabilidad de una función escalar.

En efecto, si realizamos las siguientes substituciones

−→ϕ

􀀀−→x

→ f

􀀀−→x

−→l

􀀀−→x

→ l

􀀀−→x

−→ǫ

−→h

→ ǫ

−→h

T → (t1, t2, . . . , tq)

el producto matricial T−→h queda reducido a un producto escalar, de manera que

−→ϕ − −→l − T−→h = −→ǫ

−→h

−→ f − l −

−→t ,−→h

= ǫ

−→h

con lo cual la afirmación precedente queda probada

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.2. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES VECTORIALES 155

Ejemplo 4.6 (Estudiando la diferenciabilidad de una función vectorial)

Como botón de muestra que nos permita comprender mejor la definición precedente demostraremos

que la función vectorial −→ϕ (x, y ) = (exy, sen x cos y) es diferenciable en el origen de coordenadas.

Para ello debemos probar que existe una matriz

T (0, 0) =

a b

c d

tal que la función lineal −→l (x, y ) (que escribimos en forma matricial)

lx (x, y )

ly (x, y )

ϕx ( 0, 0)

ϕy (0, 0)

a b

c d

x − 0

y − 0

a b

c d

verifica que

−→L = lím

(x,y)→(0,0)

−→ϕ (x, y ) − −→l (x, y ) p

x2 + y2

= −→0 .

Las componentes de la diferencia −→ϕ (x, y ) − −→l (x, y ) vienen dadas por

ϕx (x, y ) − lx (x, y ) = exy − 1 − ax − by,

ϕy (x, y ) − ly (x, y ) = sen x cos y − cx − dy,

y como debemos obtener el límite cuando (x, y) → (0, 0), es posible efectuar un desarrollo en serie de

potencias alrededor de x = y = 0, de forma que

ϕx (x, y ) − lx (x, y ) = xy − ax − by + . . . ,

ϕy (x, y ) − ly (x, y ) = (1 − c)x − dy + . . .

Por lo tanto

−→L = lím

(x,y)→(0,0)

(xy − ax − by, (1 − c)x − dy) p

x2 + y2

+ . . .

y para simplificar aún más el cálculo efectuaremos un cambio a coordenadas polares, con lo cual

−→L = lím

r→0

r2 cos θ sen θ − ar cos θ − br sen θ

(1 − c)r cos θ − dr sen θ

= lím

r→0

(−a cos θ − b sen θ, (1 − c) cos θ − d cos θ) .

Así, para que el límite precedente exista y sea cero (cualquiera que sea θ(r)) debemos tomar a = b =

d = 0 y c = 1. En consecuencia concluimos que existe (al menos) una matriz

T (0, 0) =

0 0

1 0

que garantiza la diferenciabilidad de −→ϕ en (0, 0).

Podemos avanzar que la matriz formada por las derivadas parciales de las componentes de −→ϕ en el

origen de coordenadas es



 ∂

ϕx (

0, 0)

∂x

∂ϕx ( 0, 0)

∂y

∂ϕy (0, 0)

∂x

∂ϕy (0, 0)

∂y





0 0

1 0

con lo que concluiremos el ejemplo preguntándonos si en verdad se cumple que cualquiera que sea el

punto (x, y)

T (x, y) ?=





∂ϕx (x, y )

∂x

∂ϕx (x, y )

∂y

∂ϕy (x, y )

∂x

∂ϕy (x, y )

∂y





Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

156

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

A continuación enunciamos en dos teoremas consecutivos las condiciones necesarias y suficientes

para que una función vectorial sea diferenciable en un punto del interior de su dominio.

Teorema 4.4 (Condiciones necesarias de diferenciabilidad)

Sea −→ϕ : D ⊂ Rq −→ Rp una función diferenciable en −→x 0 ∈ °D. Se cumplen

entonces las siguientes propiedades:

1. La función es continua en el punto −→x 0,

2. Las funciones componente son diferenciables en −→x 0,

3. Existen todas las derivadas parciales en −→x 0 y la matriz T

􀀀−→x 0

viene dada

de forma única por

􀀀−→x 0

= D−→ϕ

􀀀−→x 0





∂ϕ1

􀀀−→x 0

∂x1

. . .

∂ϕ1

􀀀−→x 0

∂xq

...

. . .

...

∂ϕp

􀀀−→x 0

∂x1

. . .

∂ϕp

􀀀−→x 0

∂xq





Así, D−→ϕ

􀀀−→x 0

es la matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de las funciones

componente. El arreglo matricial es tal que cada fila contiene todas las derivadas parciales

de una función componente con respecto a las distintas variables independientes xj . Por tanto se

trata de una matriz de dimensión p × q.

Ejemplo 4.7

Construyamos a modo de ejemplo las matrices D−→ϕ

􀀀−→x

de tres funciones diferentes, lo cual nos

permitirá obtener cierta soltura en su manejo.

Sea −→ϕ (x, y ) = (exy, sen x cos y). Las derivadas parciales de las dos funciones vienen dadas por

∂ϕx (x, y )

∂x

= yexy,

∂ϕx (x, y )

∂y

= xexy,

∂ϕy (x, y )

∂x

= cos x cos y,

∂ϕy (x, y )

∂y

= −sen x sen y,

y por lo tanto

D−→ϕ (x, y ) =

yexy xexy

cos x cos y −sen x sen y

Sea f (x, y ) = exy una función escalar definida en R2. Sus derivadas parciales vienen dada por

∂f (x, y )

∂x

= yexy,

∂f (x, y )

∂y

= xexy,

con lo cual la matriz de derivadas primeras es la matriz fila

Df (x, y ) =

􀀀

yexy xexy

Es muy interesante observar que a todos los efectos Df (x, y ) ≡ −→∇f (x, y ).

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.2. DIFERENCIABILIDAD DE LAS FUNCIONES VECTORIALES 157

Por último consideraremos el vector de posición de un punto material en el espacio dado por la

cúbica alabeada −→r (t) =

􀀀

t, t2, t3

. Las derivadas de las tres funciones componentes son x′ (t) =

1, y′ (t) = 2t y z′ (t) = 3t2. Así, la derivada vectorial es

D−→r (t) =





3t2



.

Las condiciones suficientes para que una función sea diferenciable se exponen a continuación.

Teorema 4.5 (Condiciones suficientes de diferenciabilidad)

Sea −→ϕ : D ⊂ Rq −→ Rp una función vectorial definida en el conjunto D. La

función −→ϕ

􀀀−→x

es diferenciable en −→x 0 ∈ °D si se cumple una cualquiera de las

siguientes condiciones:

1. Todas las funciones componente ϕi

􀀀−→x

son diferenciables en el punto −→x 0,

2. Todas las funciones componente son de clase C1 en −→x 0 (se dice entonces que

la función vectorial es de clase C1 en −→x 0 ∈ °D).

Ejemplo 4.8

Demuestre que la función −→ϕ : R2 −→ R3 definida por

−→ϕ (x, y ) =

ex2+y2

, x2 − y2, π(xy + y2)

es diferenciable en R2. Demuestre explícitamente que se cumple la definición de diferenciabilidad en el

origen de coordenadas.

Resulta trivial probar la diferenciabilidad de −→ϕ (x, y ) ya que sus tres componentes son suma, producto

y composición de funciones elementales diferenciables en todo el plano. Para verificar que se satisface la

definición de diferenciabilidad en (0, 0) debemos probar que el límite

L = lím

(x,y)→(0,0)

−→ϕ (x, y ) − −→ϕ (0, 0) − D−→ϕ (0, 0) (x, y)

x2 + y2

= 0.

La matriz de derivadas parciales se escribe en este caso

D−→ϕ (x, y ) =





2xex2+y2

2yex2+y2

2x 2y

πy πx + 2y



,

de manera que D−→ϕ (0, 0) (x, y) = (0, 0, 0). Por lo tanto

L = lím

(x,y)→(0,0)

−→ϕ (x, y ) − (1, 0, 0)

x2 + y2

= lím

(x,y)→(0,0)

vuut

ex2+y2

− 1

􀀀

x2 − y2

+ π2

􀀀

xy + y2

x2 + y2 .

Pasando a coordenadas polares tenemos

L = lím

r→0

vuut

er2

− 1

r2 + r2 (cos2 θ − sen2 θ)2 + π2r2 (cos θ sen θ + sen2 θ)2

= lím

r→0

1 + (cos2 θ − sen2 θ)2 + π2 (cos θ sen θ + sen2 θ)2 = 0,

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

158

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

con lo cual queda demostrada la diferenciabilidad en el origen.

Aunque de menor entidad que las propiedades que hemos enumerados en los tres teoremas

precedentes, las propiedades aritméticas de las funciones diferenciables también son de utilidad

y deben ser enuciadas aquí.

Teorema 4.6 (Propiedades aritméticas de las funciones vectoriales diferenciables)

Sean −→ϕ : D ⊂ Rq −→ Rp y −→φ : D ⊂ Rq −→ Rp dos funciones vectoriales y

􀀀−→x

una función escalar diferenciables en −→x 0 ∈ D. Entonces se cumple que las

siguientes funciones son diferenciables en −→x 0

−→ϕ + −→φ

i 􀀀−→x

;

u−→ϕ

. 􀀀−→x

;

−→ϕ,−→φ

Ei 􀀀−→x

.−→ϕ + −→ϕ

. 􀀀−→x 0

= D−→ϕ

􀀀−→x 0

+ D−→φ

􀀀−→x 0

u−→ϕ

. 􀀀−→x 0

= Du

􀀀−→x 0

.−→ϕ

􀀀−→x 0

.T + uD−→ϕ

􀀀−→x 0

−→ϕ,−→φ

Ei 􀀀−→x 0

= D−→φ

􀀀−→x 0

.−→ϕ

􀀀−→x 0

+ D−→ϕ

􀀀−→x 0

.−→φ

􀀀−→x 0

Demostración 4.6

La demostración de estas propiedades sigue un curso muy parecido al de funciones de una variable.

Su dificultad es mayor debido sobre todo a que trabajamos ahora con matrices y vectores. Con el fin de

evitar el aburrimiento del lector sólo daremos la demostración correspondiente a la función suma.

Sea −→ζ

􀀀−→x

= −→ϕ

􀀀−→x

+ −→φ

􀀀−→x

. Demostrar que la función suma es diferenciable en −→x 0 y que

D−→ζ

􀀀−→x 0

= D−→ϕ

􀀀−→x0

+ D−→φ

􀀀−→x 0

implica demostrar que

L = lím

−→x→−→x 0

􀀀−→x ,−→x 0

−→x − −→x 0

= lím

−→x→−→x 0

−→ζ

􀀀−→x

− −→ζ

􀀀−→x 0

− D−→ζ

􀀀−→x 0

. 􀀀−→x − −→x0

−→x − −→x 0

= 0.

Desarrollando el cociente incremetal anterior tenemos

􀀀−→x ,−→x0

−→x − −→x 0

−→ϕ

􀀀−→x

− −→ϕ

􀀀−→x 0

− D−→ϕ

􀀀−→x 0

. 􀀀−→x − −→x 0

−→ϕ ↔ −→φ

−→x − −→x 0

y utilizando la desiguladad del triángulo resulta que

0 ≤

􀀀−→x ,−→x 0

−→x − −→x 0

≤

−→ϕ

􀀀−→x

− −→ϕ

􀀀−→x 0

− D−→ϕ

􀀀−→x 0

. 􀀀−→x − −→x 0

−→x − −→x 0

−→φ

􀀀−→x

− −→φ

􀀀−→x 0

− D−→φ

􀀀−→x 0

. 􀀀−→x − −→x 0

−→x − −→x0

La regla del bocadillo establece de forma inmediata que

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.3. CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES 159

L = lím

−→x→−→x 0

􀀀−→x ,−→x 0

−→x − −→x 0

= 0,

si las dos funciones −→ϕ

􀀀−→x

y −→φ

􀀀−→x

son diferenciables en −→x 0.

La notación que hemos introducido para las matrices de derivadas parciales permite una presentación

mucho más compacta de la regla de la cadena. Por su importancia pasamos a enunciar

dicho teorema para funciones vectoriales.

Teorema 4.7 (La regla de la cadena para funciones vectoriales)

Sean −→ϕ : D ⊂ Rq −→ Rp y −→φ : E ⊂ Rp −→ Rm dos funciones vectoriales

definidas en los dominios D y E. Supongamos que −→ϕ (D) ⊂ E, que −→ϕ

􀀀−→x

diferenciable en −→x 0 ∈ °D y que −→φ

􀀀−→u

es diferenciable en −→u0 = −→ϕ

􀀀−→x 0

∈ °E.

Entonces la función

−→φ ◦ −→ϕ

􀀀−→x

= −→φ

􀀀−→ϕ

􀀀−→x

es diferenciable en −→x 0 y

−→φ ◦ −→ϕ

i 􀀀−→x 0

= D−→φ

􀀀−→u0

D−→ϕ

􀀀−→x 0

donde D

−→φ ◦ −→ϕ

i 􀀀−→x 0

es una matriz de dimensión m × q, D−→φ

􀀀−→u0

tiene dimensión

m × p y D−→ϕ

􀀀−→x 0

dimensión p × q.

4.3 Campos escalares y vectoriales

4.3.1 Definiciones y ejemplos

La denominación campo escalar, que utilizaremos frecuentemente de ahora en adelante, es un

sinónimo de función escalar (dependiente de varias variables). Los campos vectoriales son un

tipo particular de función con valores vectoriales en los que el dominio y la imagen de la función

son subconjutos de un mismo espacio euclídeo.

Definición 4.7 (Campos escalares y vectoriales)

Una función escalar φ : D ⊂ Rq −→ R se denomina también campo escalar en

Rq. Análogamente, las funciones vectoriales

−→. : D ⊂ Rq −→ Rq ;−→x ∈ D → −→.

􀀀−→x

∈ Rq,

se denominan campos vectoriales en Rq.

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

160

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

No hace falta decir que un campo vectorial queda perfectamente determinado si conocemos

su expansión en una base de Rq. En este curso supondremos que se trata de la base estándar del

espacio de modo que

−→.

􀀀−→x

i=1

􀀀−→x

.−→e i.

En el plano o en el espacio denotaremos los campos vectoriales como

−→. (x, y ) = .x (x, y )−→ı + .y (x, y )−→

􀀀

−→. (x, y, z ) = .x (x, y, z )−→ı + .y (x, y, z )−→ + .z (x, y, z )−→k

􀀀

aúnque en la literatura también se encuentra la siguiente notación

−→F (x, y ) = P (x, y )−→ı + Q(x, y )−→ ,

−→F (x, y, z ) = P (x, y, z )−→ı + Q(x, y, z )−→ + R(x, y, z )−→k .

Ejemplo 4.9 (Ejemplos de campos escalares y vectoriales en la física)

Ejemplos típicos de campos escalares en física son la temperatura T (x, y, z ) de los puntos (x, y, z)

de un cuerpo caliente o la energía potencial U (x, y, z ) de una partícula situada en la posición (x, y, z).

Un caso que ocupa un lugar privilegiado en los libros de física por su importancia, es el del oscilador

armónico. Se trata de una partícula cuya energía potencial es

U (x, y, z ) =

K(x2 + y2 + z2).

La fuerza (llamada recuperadora)

−→F (x, y, z ) = −K

x−→ı + y−→ + z−→k

que actúa sobre la partícula, es un ejemplo de campo vectorial.

Por otro lado los campos eléctrico −→E (x, y, z ) y magnético −→B (x, y, z ) generados por ciertas distribuciones

de carga y corrientes son ejemplos paradigmáticos de campos vectoriales. También lo es la fuerza

que experimenta una partícula de carga q en presencia de dichos campos

−→F = q−→E +

c−→v × −→B,

que se conoce como fuerza de Lorentz. En esta expresión −→v es la velocidad de la partícula que entra en

el dominio de los campos y c es la velocidad de la luz.

4.3.2 Representación gráfica de un campo vectorial

En el tema 2 aprendimos a construir diversos tipos de representaciones gráficas de una función

escalar, tales como la propia gráfica de la función y los conjuntos de nivel. Como el lector puede

suponer las cosas son bastante más complicadas cuando se trata de un campo vectorial. Una

manera de visualizar un campo vectorial en R2 o R3 consiste en seleccionar un conjunto de

puntos distribuidos de forma uniforme en su dominio de definición y representar en cada uno de

ellos el valor vectorial del campo.

Considere, por ejemplo, el siguiente campo definido en R2

−→. : R2 −→ R2 ; (x, y) −→ −→. (x, y ) = (−y, x) .

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.3. CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES 161

Seleccionamos una red de 10×10 puntos distribuidos homogéneamente en el intervalo [−1, 1]×

[−1, 1] y representamos el valor del campo en cada uno de ellos. El resultado se muestra en la

siguiente figura.

–1

–0.5

0.5

–1 –0.5 0 0.5 1

Figura 4.2: Representación gráfica del campo vectorial (-y,x)

Un ejemplo análogo en tres dimensiones nos lo proporciona un campo central de la forma

−→. : R3 −→ R3 ; (x, y, z) −→ −→. (x, y, z ) =

−x

x2 + y2 + z2 , −y

x2 + y2 + z2 , −z

x2 + y2 + z2

que representaremos en el cubo [−1, 1]×[−1, 1]×[−1, 1]. Distribuyendo uniformemente puntos

en una red 6 × 6 × 6 y representando el vector correspondiente en cada uno de ellos resulta

–1

–0.5

0.5

–1

–0.5

0.5

–1

–0.5

0.5

Figura 4.3: Representación gráfica de un campo central en el espacio

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

162

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

4.3.3 Gradiente, divergencia y rotacional de un campo

Dada una función φ

􀀀−→x

su gradiente viene dado por

−→∇φ

􀀀−→x

∂φ

􀀀−→x

∂x1

−→e 1 +

∂φ

􀀀−→x

∂x2

−→e 2 + · · · +

∂φ

􀀀−→x

∂xq

−→e q,

en todos los puntos donde estén definidas las derivadas parciales de la función . Puede resultar

conveniente reescribir la ecuación anterior como

−→∇φ

􀀀−→x

∂

∂x1

−→e 1 + · · · +

∂

∂xq

−→e q

􀀀−→x

y considerar el símbolo

−→∇ =

∂

∂x1

−→e 1 + · · · +

∂

∂xq

−→e q,

como un vector simbólico llamado .nabla.o, en ocasiones, operador de Hamilton. Se trata en

realidad de un operador de tipo vectorial, que sólo adquiere sentido pleno en tanto que actúa

sobre campos escalares o vectoriales. En R3 este vector viene dado por

−→∇ =

∂

∂x−→ı +

∂

∂y−→ +

∂

∂z

−→k .

Convenimos en definir la acción del operador de Hamilton sobre un campo de las siguientes

formas:

Gradiente Dado un campo escalar φ definimos su vector gradiente como

−→∇φ

􀀀−→x

∂φ

􀀀−→x

∂x1

−→e 1 +

∂φ

􀀀−→x

∂x2

−→e 2 + · · · +

∂φ

􀀀−→x

∂xq

−→e q.

Divergencia El .producto escalar.del operador nabla y un campo vectorial −→.

􀀀−→x

es un

nuevo campo escalar, que recibe el nombre de divergencia del campo −→.

􀀀−→x

y se denota

por

−→∇ · −→.

􀀀−→x

∂.x1

􀀀−→x

∂x1

∂.x2

􀀀−→x

∂x2

+ · · · +

∂.xq

􀀀−→x

∂xq

Laplaciano La divergencia del gradiente de un campo escalar recibe el nombre de Laplaciano

y se denota por la letra .

.φ

􀀀−→x

= −→∇ · −→∇φ

􀀀−→x

∂2φ

􀀀−→x

∂x1

+ · · · +

∂2φ

􀀀−→x

∂xq

Rotacional En el espacio podemos definir también el producto vectorial del operador nabla y

un campo vectorial −→. (x, y, z ). El resultado es un nuevo campo vectorial que llamamos

rotacional del campo original

−→∇ × −→. (x, y, z ) =

........

−→ı −→ −→k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

.x (x, y, z ) .y (x, y, z ) .z (x, y, z )

........

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.3. CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES 163

4.3.4 Interpretación de la divergencia y el rotacional

En el tema 3 estudiamos con cierto detenimiento las propiedades del gradiente. La más importante

es que en cada punto del dominio de la función el gradiente señala la dirección y sentido

en el que la tasa de variación local de la función es máxima. Obtener de forma rigurosa una

interpretación intuitiva de la divergencia o del rotacional de un campo vectorial es bastante más

complicado y requiere la utilización de los teoremas integrales del cálculo vectorial, que estudiaremos

al final del curso.

Intentaremos suplir este problema mediante ejemplos. Los más sencillos están relacionados

con los campos de velocidades de un gas o un líquido. Suponga que la velocidad de una molécula

de fluido que se encuentra qne le punto (x, y, z) viene dada por el campo vectorial −→V (x, y, z ).

Como vamos a ver en los siguientes ejemplos −→∇· −→V (x, y, z ) está relacionada con la tendencia

del fluido a aproximarse o a alejarse del punto, es decir con la existencia de fuentes o sumideros

De forma más general, la divergencia de un campo vectorial suele ir asociada en física a

la existencia de .fuentes.o .sumideros.de tipo escalar. Así, en electromagnetismo la fuente

escalar de campo es la carga eléctrica. Esto se refleja en las ecuaciones fundamentales del electromagnetismo

(ecuaciones de Maxwell) en que la divergencia del campo eléctrico viene dada

por la densidad de carga eléctrica. Por el contrario la divergencia del campo magnético es nula

lo que significa que no hay fuentes escalares de campo magnético (no existen cargas magnéticas

o monopolos magnéticos).

El rotacional del campo de velocidades −→∇ × −→V (x, y, z ) nos da una medida de la tendencia

del fluido a rotar alrededor de dicho punto. Un fluido irrotacional, cuya velocidad sólo tiene

componentes radiales, se obtiene exigiendo que el rotacional del campo de velocidades sea nulo

en todo el espacio −→∇ × −→V (x, y, z ) ≡ 0.

De un modo análogo aunque quizá algo menos intuitivo, el rotacional de un campo vectorial

físico está asociada a la existencia de fuentes vectoriales de campo. En el caso del campo magnético,

son las corrientes de carga eléctrica. Una espira por la que circula una corriente de carga

eléctrica (otra vez las rotaciones) es una fuente de campo magnético.

Con el fin de verificar estas ideas de forma sencilla estudiaremos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 4.10 (Significado de la divergencia)

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

164

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

Figura 4.4:

Consideremos el siguiente campo de velocidades

−→V (x, y ) = αx−→i + αy−→j = α−→r ,

donde−→r = (x, y). Por sencillez centraremos nuestra

atención en el origen de coordenadas, aunque

argumentosmás elaborados permiten ver que (con

algunas diferencias) el fenómeno es general. El

movimiento de este fluido es radial y va dirigido

hacia el origen si α < 0 o escapa del origen si

α > 0. Su divergencia es

−→∇· −→V (x, y ) = α

∂x

+ α

∂y

= 2α,

y observamos que es positiva cuando α > 0 y

el fluido tiende a escapar del origen y negativa

cuando, por el contrario, α < 0 y el fluido tiende a concentrarse en el origen. Además

−→∇ × −→V (x, y ) =

........

−→ı −→ −→k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

αx αy 0

........

= −→0 ,

como corresponde a un fluido que no forma remolinos alrededor de ningún punto.

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.3. CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES 165

Ejemplo 4.11 (Significado del rotacional)

Figura 4.5:

Consideremos ahora un campo de velocidades

diferente

−→V (x, y ) = −ωy−→i + ωx−→j .

Si denotamos por −→r al vector de posición del

punto (x, y), se cumple que

−→V (x, y ) ,−→r

= ω h(−y, x) , (x, y)i = 0,

lo cual demuestra que el campo de velocidades es

perpendicular en cada punto a su vector de posisición.

Además

−→V (x, y )

(ωy) + (ωx) = ω

−→r

lo que corresponde con una rotación uniforme del fluido alrededor del origen con velocidad angular ω

(una rotación sólida como la de un disco de vinilo). De hecho, la divergencia del campo es

−→∇ · −→V (x, y ) = −ω

∂y

∂x

+ ω

∂x

∂y

= 0.

Este resultado nos indica que la cantidad de fluido en un entorno de cualquier punto permanece constante

a lo largo del tiempo, es decir el fluido no presenta tendencia a acumularse o a escapar de ningún punto

del plano. Si consideramos un pequeño disco alrededor de un punto, la cantidad de fluido que penetra en

el mismo por una mitad cualquiera de su circunferencia es igual a la que sale por la mitad opuesta.

Por el contrario, el rotacional del campo

−→∇× −→V (x, y ) =

........

−→ı −→ −→k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

−ωy ωx 0

........

= 2ω−→k ,

no es nulo, lo que indica su tendencia a formar remolinos (en este caso un único remolino alrededor del

origen).

4.3.5 Algunas relaciones básicas del operador ∇

Teorema 4.8

Sean φ : D ⊂ R3 −→ R y −→. : D ⊂ R3 −→ R3 un campo escalar y un campo

vectorial definidos en D ⊂ R3 y de clase C2, esto es, con todas sus derivadas

parciales hasta orden dos continuas en °D. Se cumple entonces que:

1. −→∇ × −→∇φ = −→0 : el rotacional de un gradiente es el vector nulo,

2. −→∇ ·

−→∇ × −→.

= 0: la divergencia de un rotacional es cero.

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

166

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

Demostración 4.8

Tal como indica el enunciado la función escalar φ (x, y, z ) tiene todas suss derivadas parciales hasta

orden dos continuas por lo que el teorema de Clairaut ?? garantiza la igualdad de las derivadas mixtas.

De forma similar cada una de las componentes del campo vectorial

−→. (x, y, z ) = (.x (x, y, z ) ,.y (x, y, z ) ,.z (x, y, z )) ,

es una función escalar de clase C2 por lo que sus derivadas mixtas también son iguales. Bajo estas

condiciones se cumple que:

−→∇× −→∇φ =

..........

−→ı −→ −→k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

∂φ

∂x

∂φ

∂y

∂φ

∂z

..........

∂2φ

∂y∂z −

∂2φ

∂z∂y

−→ı +

∂2φ

∂z∂x −

∂2φ

∂x∂z

−→ +

∂2φ

∂x∂y −

∂2φ

∂y∂x

−→k = −→0 .

−→∇ ·

−→∇ × −→.

.........

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

.x .y .z

.........

∂2.x

∂y∂z −

∂2.x

∂z∂y

∂2.y

∂z∂x −

∂2.y

∂x∂z

∂2.z

∂x∂y −

∂2.z

∂y∂x

= 0.

4.3.6 Campos conservativos

Definición 4.8 (Campos conservativos)

Un campo vectorial −→. : D ⊂ Rq −→ Rq es conservativo si existe un campo

escalar φ : D ⊂ Rq −→ R tal que

−→.

􀀀−→x

= −→∇φ

􀀀−→x

es decir, las componentes del campo vectorial satisfacen la igualdad .i

􀀀−→x

∂φ

􀀀−→x

∂xi

En física el campo φ se denomina potencial escalar y se utiliza un convenio ligeramente

distinto ya que la relación entre el potencial y el campo vectorial viene dada por −→.

􀀀−→x

−−→∇φ

􀀀−→x

. Los conjuntos de nivel de la función φ se denominan en física conjuntos equipotenciales:

curvas equipotenciales en R2 y superficies equipotenciales en R3. Debido a las propiedades

del gradiente el campo vectorial siempre es ortogonal a los conjuntos equipotenciales, tal y

como se muestra en el siguiente ejemplo

Ejemplo 4.12 (Ejemplos de campos conservativos en física)

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.3. CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES 167

Denotemos por −→r = (x, y, z) el vector de posición de un punto genérico en el espacio y su módulo por

r =

−→r

. Admitiendo que nos encontramos en el vacio perfecto, el campo electrostático generado por

una carga eléctrica Q, que se encuentra en reposo en el origen de coordenadas, o el campo gravitatorio

creado por una masa M en dicho punto, son campos vectoriales en R3 dados por

−→. (x, y, z ) =

r3−→r = K

(x, y, z)

(x2 + y2 + z2)3/2 ,

donde la expresión y las unidades de K son diferentes en ambos casos. Por ejemplo, para el campo

gravitatorio K = −GM donde G es la constante universal de la gravitación. En el sistema de unidades

MKS la constante K del campo electrostático se escribe K = Q/(4πǫ0), donde ǫ0 es la susceptibilidad

eléctrica del vacio.

Estos campos vectoriales derivan de un potencial escalar

φ (x, y, z ) =

K p

x2 + y2 + z2

como

−→. (x, y, z ) = −−→∇φ (x, y, z ) .

Las superficies equipotenciales φ (x, y, z ) = c son esferas de radio K/c, mientras que el campo

vectorial es radial (proporcional a −→r ), y por tanto ortogonal a las superficies equipotenciales.

En general el campo eléctrico −→E (x, y, z ) se obtiene siempre como el gradiente de un potencial escalar

φ (x, y, z ). El campo magnético −→B (x, y, z ) también está relacionado con un potencial; sin embargo se

trata de un potencial vectorial −→A (x, y, z ) y la relación entre ambos es muy distinta

−→B (x, y, z ) = −→∇× −→A (x, y, z ) .

Ejemplo 4.13 (Obtención del potencial escalar mediante cuadraturas)

Sea el campo vectorial −→. (x, y ) = (3+2xy)−→ı +(x2 −3y2)−→ definido en el plano. Determine si es

un campo conservativo y en caso afirmativo encuentre la expresión del campo escalar del que deriva.

Admitamos como hipótesis que es un campo conservativo que deriva como un gradiente del potencial

φ (x, y ). Por lo tanto

−→. (x, y ) = −→∇φ (x, y ) →





.x (x, y ) =

∂φ (x, y )

∂x

.y (x, y ) =

∂φ (x, y )

∂y

Así, se cumplirá que

∂φ (x, y )

∂x

= 3 + 2xy,

∂φ (x, y )

∂y

= x2 − 3y2.

Integrando la primera ecuación con respecto a la variable x, obtenemos

φ (x, y ) = 3x + x2y + ζ(y),

donde ζ(y) es una función arbitraria de la variable y. Derivando parcialmente con respecto a y la expresión

que hemos obtenido e introduciendo el resultado en la segunda ecuación

x2 +

dζ

= x2 − 3y2,→

dζ

= −3y2.

El hecho de que la derivada de la función ζ sólo dependa de y es un resultado satisfactorio. Si hubiesemos

obtenido cualquier tipo de dependencia en x habríamos llegado a un absurdo con lo cual la hipótesis

inicial sobre el carácter conservativo del campo vectorial sería falsa.

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

168

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

Integrando en y llegamos a que ζ(y) = −y3 + k, siendo k una constante arbitraria. En definitiva, el

potencial escalar es

φ (x, y ) = 3x − yx2 − y3 + k,

y no resulta complicado verificar que sus derivadas parciales llevan a las componentes del campo vectorial.

4.4 Curvas parametrizadas

En la sección 1.5 del tema ?? presentamos varios ejemplos cuyo objetivo era convencer al

lector de que toda curva en Rq puede caracterizarse mediante una función vectorial dependiente

de una sola variable real.

Consideremos, para fijar ideas, una función vectorial

−→ϕ (t) = (ϕ1 (t) ,ϕ2 (t) , · · · ,ϕq (t)) \. t ∈ I ⊆ R, (∗)

continua en todos los puntos de su dominio de definición . Podemos considerar que −→ϕ (t) tiene

su origen situado sobre el origen de un sistema de coordenadas en Rq y que su extremo señala

el punto P , (x1, x2, · · · , x;q), de manera que

x1 = ϕ1 (t) , · · · , xi = ϕi (t) , · · · , xq = ϕq (t) . (∗∗)

Cuando t varía dentro del intervalo I las coordenadas xi también varían y el punto P traza

una línea o curva en Rq. Como la función es continua dos valores sucesivos del parámetro t, t1

y t2, definirán dos puntos P1 y P2, que se encontrarán tan próximos como se quiera sin más que

exigir que |t1 − t2| ≪ 1. Por tanto, es razonable afirmar que la línea descrita por P es continua.

La ecuación (∗) recibe el nombre de ecuación vectorial de la curva mientras que las q ecuaciones

(∗∗) son sus ecuaciones paramétricas.

Ejemplo 4.14 (Parametrización vectorial de una curva)

En este ejemplo obtendremos la ecuación vectorial de la curva C definida por la intersección del

cilindro de radio 1 centrado sobre el eje Z (x2 + y2 = 1) y del plano de ecuación y + z = 2.

La figura superior muestra de forma esquemática como se forma la curva C como intersección de las

dos superficies. Resulta patente que la proyección de C sobre el plano XY coincide con la base (que

llamamos Cxy) del cilindro.

Sabemos que en el plano XY una circunferencia de radio unidad centrada en el origen admite una ecuación

de la forma

Cxy : −→r (t) = (cos(t), sen(t)) \. t ∈ [0, 2π)

La diferencia entre los puntos de C y de Cxy radica en el valor de la coordenada z; utilizando la ecuación

del plano podemos despejar z en función de y, con lo que obtenemos que z = 2 − y. Ahora bien, sobre

la curva C se cumple que y = sen(t), y por tanto las ecuaciones paramétricas de la curva son

x = cos(t), y = sen(t), z = 2 − sen(t),

lo que da lugar a la siguiente función vectorial

C : −→r (t) = (cos(t), sen(t), (2 − y(t))) , \. t ∈ [0, 2π).

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.4. CURVAS PARAMETRIZADAS 169

Figura 4.6: Intersección plano-cilindro

Definición 4.9 (Trayectorias y curvas)

Una trayectoria en Rq es una función vectorial continua −→ϕ : [a, b] ⊂ R −→ Rq; si

q = 2 ó 3 se habla de trayectoria en el plano o en el espacio.

La imagen de la función, esto es, el conjunto

C ,

.−→ϕ (t) ∈ Rq \. t ∈ [a, b]

se denomina curva hodógrafa de −→ϕ, siendo −→ϕ (a) y −→ϕ (b) sus puntos extremos.

Se dice que la trayectoria −→ϕ (t) parametriza vectorialmente la curva C y la dota de una orientación

ya que los puntos de la misma se recorren en un orden dado desde −→ϕ (a) hasta −→ϕ (b)

según t recorre el intervalo [a, b].

La denominación de trayectoria para la función vectorial que parametriza una curva proviene

sin duda de la física donde se llama de esa forma a la función −→ϕ (t) que caracteriza la posición

cambiante en el tiempo (que se denota usualmente por t) de un móvil. De hecho, como vamos

a ver a continuación es bastante habitual en geometría denominar velocidad −→v (t) y aceleración

−→a (t) a las derivadas primera y segunda de la trayectoria.

4.4.1 Derivadas de una trayectoria

Las derivadas parciales de una función vectorial se obtienen derivando parcialmente las funciones

componente. Una trayectoria es una función vectorial que depende de una sóla variable

por lo que se trata en realidad de derivadas ordinarias. Sabemos que en este caso los conceptos

de derivabilidad y diferenciabilidad coinciden por lo que los utilizaremos indistintamente a lo

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

170

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

largo de esta sección.

Definición 4.10 (Derivada de una trayectoria)

Sea −→ϕ : I ⊂ R −→ Rq una trayectoria en el espacio Rq. Definimos su derivada

de orden n en t0 ∈ °I como el vector

dn−→ϕ (t0)

dtn ≡ −→ϕ(n) (t0) ,

i=1

dnϕi (t0)

dtn −→e i,

siempre y cuando existan todas las derivadas de orden n de las funciones componente

en dicho punto.

Se llama función derivada de orden n a la función

−→ϕ(n) (t) : °I → Rq \. ∀ t ∈ °I → −→ϕ(n) (t) .

Las derivadas de primer y segundo orden de una trayectoria aparecen de forma habitual en las

fórmulas de la geometría diferencial y reciben una denominación especial

Definición 4.11 (Velocidad y aceleración)

Sea −→ϕ : I ⊂ R −→ Rq una trayectoria derivable al menos dos veces en°I . Convenimos

en utilizar los siguientes nombres:

velocidad: −→v (t) = −→ϕ′ (t),

rapidez: v (t) =

−→ϕ′ (t)

aceleración: −→a (t) = −→ϕ′′ (t).

Las derivadas parciales de una función escalar multivariable (o la derivada ordinaria de una

función de una variable real) tiene un significado geométrico claro:

∂f

􀀀−→x 0

∂xi

representa el valor

de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en −→x 0 según el eje Xi. De forma

totalmente similar, el vector derivada de una trayectoria en t = t0 está relacionado con la recta

tangente a la curva parametrizada por la trayectoria en el punto −→x 0 = −→ϕ (t0).

Para tratar esta cuestión con un mínimo de rigor debemos definir con cuidado el concepto de

recta tangente a una curva. Sea C una curva, P un punto sobre la misma y l una recta que pasa

por dicho punto y tiene como vector director a −→d . Dado un punto Q sobre C y denotando por θ

el ángulo que forman los vectores −→d y P−−→Q, decimos que l es tangente a la curva C en el punto

P si el ángulo θ → 0 cuando Q → P (ver la figura ...).

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.4. CURVAS PARAMETRIZADAS 171

Figura 4.7: Recta tangente a C

Con el objetivo de traducir estas ideas al lenguage

de las trayectorias supongamos que la curva

C viene parametrizada por la función vectorial

−→ϕ (t). Sean −→ϕ (t0) y −→ϕ (t0 + h) los vectores

de posición de los puntos P y Q respectivamente.

Así, afirmar que Q → P es equivalente a tomar el

límite h → 0. El coseno del ángulo θ viene dado

por

cos θ =

P−−→Q,−→d

P−−→Q

−→d

y puesto que P−−→Q = −→ϕ (t0 + h) − −→ϕ (t0), podemos escribir

cos θ =

−→ϕ (t0 + h) − −→ϕ (t0) ,−→d

−→ϕ (t0 + h) − −→ϕ (t0)

−→d

Ahora bien, el miembro de la derecha satisface que

−→ϕ (t0 + h) − −→ϕ (t0) ,−→d

−→ϕ (t0 + h) − −→ϕ (t0)

−→d

.−→ϕ (t0 + h) − −→ϕ (t0)

,−→d

−→ϕ (t0 + h) − −→ϕ (t0)

−→d

y por lo tanto

cos θ =

.−→ϕ (t0 + h) − −→ϕ (t0)

,−→d

−→ϕ (t0 + h) − −→ϕ (t0)

−→d

h→0 −−−→

−→ϕ′ (t0) ,−→d

−→ϕ′ (t0)

−→d

Este resultado implica que en el límite h → 0 el ángulo θ coincide con el ángulo formado

por −→d y el vector derivada −→ϕ′ (t0). Para que en dicho límite θ = 0 es condición necesaria y

suficiente que los vectores −→d y −→ϕ′ (t0) sean paralelos. En otras palabras, l es tangente a la curva

C en el punto P si y solo si −→d || −→ϕ′ (t0).

Definición 4.12 (Vector y recta tangentes a una curva)

Si C es una curva en Rq parametrizada por la trayectoria −→ϕ : I ⊂ R −→ Rq,

cuya derivada en t0 ∈ °I existe y es no nula (−→ϕ′ (t0) 6= −→0 ), se cumple que:

−→ϕ′ (t0) es tangente a la curva C en el punto P , −→ϕ (t0) .

la ecuación vectorial de la recta tangente a C en el punto P es

−→l (t) = −→ϕ (t0) + (t − t0)−→ϕ′ (t0) , t ∈ R.

Ejemplo 4.15 (Interpretación geométrica del vector derivada)

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

172

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

−→r ′(t)

−→x ′(t)

−→y ′(t)

Figura 4.8: Interpretación geométrica de la derivada

en 2D

Consideremos la siguiente trayectoria en el plano

−→r (t) = (x(t), y(t)) ,

que caracteriza la curva plana C de la figura. Supongamos

que dicha curva puede describirse también

como la gráfica de la función y = y(x), de

modo que la pendiente de la recta tangente en el

punto (x, y) será

tg(α) =

dy (x)

Admitamos momentáneamente que, tal como

semuestra en la figura, el vector−→r ′ (t) = (x′(t), y′(t))

fuese tangente a la curva C en −→ϕ (t); entonces

tg(α) =

y′(t)

x′(t)

dy/dt

dx/dt

Dado que hemos obtenido el resultado correcto estamos legitimados para pensar que la derivada de una

trayectoria es un vector tangente a la curva que parametriza.

Ejemplo 4.16 (Vector tangente a una circunferencia)

Como un primer ejemplo de aplicación de la definición 4.12 calculemos el vector tangente a la circunferencia

de radio unidad centrada en el origen, en los puntos (1, 0) y (0, 1).

La curva problema puede parametrizarse por la función vectorial −→ϕ (t) = (cos(t), sen(t)) donde

t ∈ [0, 2π]. La derivada de esta función es

−→r (t)

−→r

′ (0)

−→r

′ (./2)

Figura 4.9: Vectores tangentes

−→r ′ (t) = (−sen(t), cos(t)) .

Por otro lado los dos puntos (1, 0) y (0, 1) corresponden

a los valores t = 0 y t = π/2 del

parámetro, de modo que

t = 0 ⇒ −→r ′ (0) = (0, 1) ,

t = π/2 ⇒ −→r ′ (π/2) = (−1, 0) .

Ejemplo 4.17 (Ángulo de corte de dos curvas)

Utilizaremos que el vector derivada de una trayectoria es tangente a la curva que parametriza para

determinar el ángulo de corte de dos circunferencias en sus puntos de intersección. Las circunferencias

en cuestión vienen dadas por las funciones vectoriales

C1 : −→r 1(t) = (cos(t), sen(t), 0)

C2 : −→r 2(u) = ( 0, cos(u), sen(u))

t, u ∈ [0, 2π)

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.4. CURVAS PARAMETRIZADAS 173

Como norma general, dos curvas C1 : −→r1 (t) , t ∈ I1 y C2 : −→r2 (u) , u ∈ I2 se cortarán si existen

valores de los parámetros t0 ∈ I1 y u0 ∈ I2 tales que −→r1 (t0) = −→r2 (u0) . El ángulo que forman las dos

curvas en el punto de corte se define como

cos(θ12) =

−→r1′ (t0) ,−→r2′ (u0)

−→r1′ (t0)

−→r2′ (u0)

Los valores de t0 y u0 correspondientes a los puntos de corte de las dos curvas son los que satisfacen

que

x1(t0) = x2(u0), y1(t0) = y2(u0), z1(t0) = z2(u0),

y utilizando las funciones componente de las dos trayectorias del problema, resulta

cos(t0) = 0,

sen(t0) = cos(u0),

0 = sen(u0),



 ⇒ (t0, u0) = (π/2, 0), (3π/2, π).

Substituyendo (por ejemplo) los valores de t0 en −→r1 (t) obtenemos los dos puntos de corte

t0 = π/2, ⇒ P ≡ −→r1 (π/2) = ( 0, 1, 0) ,

t0 = 3π/2, ⇒ Q ≡ −→r1 (3π/2) = ( 0,−1, 0) .

Ahora debemos calcular los vectores tangentes a cada una de las curvas en los puntos de corte. Tenemos

−→r ′1 (t) = −sen(t)−→ı + cos(t)−→ + 0−→k ⇒

(

−→r ′1 (π/2) = −1−→ı + 0−→ + 0−→k ,

−→r ′1 (3π/2) = 1−→ı + 0−→ + 0−→k ,

−→r ′2 (u) = 0−→ı − sen(u)−→ + cos(u)−→k ⇒

(

−→r ′2 (0) = 0−→ı + 0−→ + 1−→k ,

−→r ′2 (π) = 0−→ı + 0−→ − 1−→k ,

−→r ′2(π)

−→r ′1( 3.

−→r ′2(0)

−→r ′1(.

(0,−1, 0)

(0, 1, 0)

Figura 4.10: Cortes entre dos curvas

El cálculo de los productos escalares

−→r ′1 (π/2) ,−→r ′2 (0)

= −

−→ı ,−→k

= 0,

−→r ′1 (3π/2) ,−→r ′2 (π)

= −

−→ı ,−→k

= 0,

demuestra que estos vectores son ortogonales y

por tanto que las circunferencias se cortan formando

un ángulo recto.

Ejemplo 4.18 (Recta tangente a una hélice)

En este nuevo ejemplo determinaremos las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la hélice C

parametrizada por

C : −→r (t) = 2 cos t−→ı + 2 sen t−→ + t−→k ,

en el punto P , √2−→ı + √2−→ + π/4−→k . El valor t0 para el cual la trayectoria pasa por este punto se

deduce fácilmente de la expresión de la coordenada z. Evidentemente, es t0 = π/4. El vector derivada se

escribe como

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

174

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

−→ϕ′ (t) = (−2 sen t, 2 cos t, 1) → −→ϕ′ (π/4) =

−

√2,√2, 1

de manera que

−→l (t) = −→ϕ (π/4) + t−→r ′ (π/4) =

.√2,√2, π/4

+ t

−

√2,√2, 1

es decir

−→l (t) =

.√2(1 − t),√2(1 + t), π/4 − t

Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas serán

x(t) = √2(1 − t), y(t) = √2(1 + t), z(t) =

4 − t.

4.4.2 Curvas suaves

A diferencia de lo que ocurre en funciones escalares de una variable real y = f(x), la existencia

y continuidad de la derivada de la trayectoria no garantiza que su representación gráfica sea

suave: debe cumplirse además que −→ϕ′ (t) 6= −→0 . Para convencernos de este resultado estudiamos

dos curvas planas muy distintas entre sí: la hipocicloide de cuatro puntas y la circunferencia

Ejemplo 4.19

−→r′ (t)

t = 3π/2

Figura 4.11: Curva hipocicloide

La hipocicloide (de cuatro cúspides) está parametrizada

por la función vectorial continua

−→ϕ (t) =

􀀀

cos3(t), sen3(t)

, t ∈ [0, 2π).

En este caso el vector derivada viene dado por

−→ϕ′ (t) = 3 cos(t) sen(t) (−cos(t), sen(t)) .

cuyo módulo es

−→ϕ′ (t)

= 3k cos(t) sen(t)k.

Éste se anula cuando el parámetro t toma los valores

t = 0, π/2, π y 3π/2. Y precisamente, tal como

semuestra en la figura adjunta, la hipocicloide

presenta cuatro puntas alrededor de dichos valores

de t. Realmente podemos decir que la hipocicloide

no tiene un aspecto suave; sin embargo, los

arcos de curva comprendidos entre las puntas si

lo son y por ello decimos que la curva es suave a

trozos. En general, los puntos donde se anula la derivada se denominan puntos cuspidales.

La circunferencia de radio a centrada en el origen tiene por trayectoria la función vectorial −→ϕ (t) =

(cos(t), sen(t)) , cuya derivada es

−→ϕ′ (t) = (−sen(t), cos(t)) ↔

−→ϕ′ (t)

= 1.

Por tanto −→ϕ′ (t) nunca se anula (si lo hiciese su norma también debería ser cero). El lector admitirá que

la circunferencia tiene un aspecto .muy suave.: no presenta dobleces, cambios de dirección abruptos o

puntas a lo largo de su recorrido.

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.4. CURVAS PARAMETRIZADAS 175

Definición 4.13 (Curva suave)

Sea C una curva parametrizada por la trayectoria −→ϕ (t) definida en el intervalo

real [a, b]. Se dice que C es suave si se cumplen simultáneamente las siguientes

condiciones:

1. −→ϕ (t) es una función vectorial de clase C1 en (a, b),

2. −→ϕ′ (t) 6= −→0 ∀t ∈ (a, b).

Si existe un número finito de puntos t1, t2, . . . , tn−1 en el intervalo (a, b) en los que

se verifica que la derivada no existe, es discontinua o −→ϕ′ (ti) = −→0 se dice que la

curva C es suave a trozos. Definiendo t0 = a, tn = b y Ci como el arco de curva

caracterizado por

Ci : −→ϕ : [ti−1, ti] ⊂ R −→ Rq, con i = 1, 2, . . . , n,

la curva suave a trozos se puede expresar como unión de los arcos Ci

C =

i=1

Figura 4.12: Ejemplos de curvas suaves

La figura anterior muestra ejemplos esquemáticos de un arco suave y de un arco suave a

trozos, que se descompone como unión de arcos suaves. Las curvas suaves admiten un vector

tangente unitario a lo largo de todo su recorrido; si la trayectoria que parametriza la curva es

−→ϕ (t), dicho vector viene dado por

−→T (t) = −→ϕ′ (t)

−→ϕ′ (t)

, ∀t ∈ (a, b),

expresión que está bien definida puesto que −→ϕ′ (t) 6= −→0 en (a, b). Si una curva es suave a trozos,

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

176

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

el vector −→T (t) no está definido en los puntos t = ti donde −→ϕ′ (ti) = −→0 .

Definición 4.14 (Curva simple)

Una curva C suave (o suave a trozos) se denomina simple si puede parametrizarse

mediante una trayectoria −→ϕ : [a, b] ⊂ R −→ Rq uno a uno en el intervalo (a, b).

Esta condición garantiza que la curva no se interseca a si misma, excepto quizá en

sus extremos.

Cuando los extremos de una curva C, parametrizada por la trayectoria −→ϕ (t), satisfacen que

−→ϕ (a) = −→ϕ (b) , la curva se denomina (obviamente) cerrada. No existe ninguna razón para que

una curva cerrada no pueda ser simple; las curvas de este tipo reciben un nombre especial.

Definición 4.15 (Curva de Jordan)

Una curva C suave (o suave a trozos), cerrada y simple recibe el nombre de curva

de Jordan.

Una curva simple sólo tiene dos orientaciones asociadas. Si P , −→ϕ (a) y Q , −→ϕ (b) son los

puntos extremos de una curva simple abierta C, podemos considerar que la curva está dirigida

desde P a Q, o viceversa. En el caso de una curva de Jordan podemos dotar a la curva de una

orientación en el sentido de las agujas del reloj (negativa), o en sentido contrario a las agujas

del reloj (positiva). La siguiente figura muestra varios ejemplos de curvas suaves, simple y de

Jordan

Curva simple Curva suave no simple

Curva de Jordan Curva suave cerrada no simple

Figura 4.13: Ejemplos de curvas suaves

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

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4.5. INTEGRALES SOBRE CURVAS 177

4.5 Integrales sobre curvas

El lector ha estudiado previamente integrales definidas en las que el dominio de integración es

un intervalo de la recta real. La medida de Riemann asociada a dicho dominio es simplemente su

longitud. En esta sección introduciremos integrales sobre curvas, donde el dominio de integración

es un arco de curva. Como en el primer caso la medida de integración debe proporcionarnos

la longitud de dicho arco, pero en esta ocasión el cálculo dista mucho de ser trivial.

4.5.1 Partición y medida de un arco

Sea C una curva suave en el espacio Rq. Esto significa que está parametrizada por una trayectoria

−→ϕ : [a, b] ⊂ R −→ Rq de clase C1 en (a, b), tal que su derivada no se anula en ningún

punto del intervalo abierto (a, b). Como ya es habitual, denotaremos por −→ϕ (t) y −→ϕ′ (t) los valores

vectoriales de la trayectoria y de su derivada. Una forma de generar una partición del arco

C consiste en introducir una partición P[a,b] del intervalo [a, b] formada por n subintervalos con

fronteras en los puntos

a = t0 < t1 < t2 < · · · < ti < · · · < tn−1 < tn = b,

lo que permite definir los puntos Ai , −→ϕ (ti) sobre C y los subarcos Ci , \Ai−1Ai, es decir,

delimitados por pares de puntos sucesivos Ai−1 y Ai.

Pi−1

ti−1

b = tn

Figura 4.14: Partición de un intervalo

Entonces, el conjunto de subarcos

PC = {Ci, i = 1, 2, . . . , n} ,

es una partición de C. Si μ (C) es la medida

o longitud de C y μ (Ci) la longitud de Ci, se

cumple que

μ (C) =

i=1

μ (Ci) ,

ya que la unión de los n subarcos Ci es exactamente

igual a C. El objetivo ahora consiste

en relacionar la medida μ (Ci) con la trayectoria

−→ϕ (t). Podemos obtener una aproximación

de la longitud del subarco Ci admitiendo

que

μ (Ci) ≃

−A−i−−−1−A→i

−→ϕ (ti) − −→ϕ (ti−1)

Por otra parte, utilizando el teorema del valor medio

−→ϕ (ti) − −→ϕ (ti−1) = −→ϕ′ 􀀀

˜ti

.ti, ˜ti ∈ (ti−1, ti),

donde −→ϕ

􀀀

˜ti

es un punto intermedio del arco Ci y .ti = ti − ti−1. Así,

μ (Ci) ≃

−→ϕ′ 􀀀

˜ti

.ti,

μ (C) ≃

i=1

−→ϕ′ 􀀀

˜ti

.ti,

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

178

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

En principio la aproximación puede parecer grosera; sin embargo, a medida que la partición

de C se haga más fina de forma reiterada, los resultados serán cada vez más exactos. En efecto,

si los puntos Ai se encuentren muy próximos unos a otros los arcos \Ai−1Ai serán indistinguibles

de un pequeño segmento rectilíneo con lo cual la aproximación propuesta será cada vez mejor.

4.5.2 Longitud de arco

Utilizando nuestros conocimientos sobre integrales definidas de funciones de una variable

reconocemos inmediatamente en la expresión para μ (C) una suma de Riemann correspondiente

a la partición P[a,b] del intervalo [a, b] y a la función

−→ϕ′ (t)

. Es decir

μ (C) ≃

i=1

−→ϕ′ 􀀀

˜ti

.ti = R

􀀀

−→ϕ′ (t)

, P[a,b],

˜t

y como (por hipótesis)

−→ϕ′ (t)

es continua en (a, b) podemos garantizar que en el límite en

que el diámetro de la partición, δ(P[a,b]) = max {.ti}, es cada vez menor

μ (C) = lím

.(P[a,b])→0

􀀀

−→ϕ′ (t)

, P,

˜t

Z b

−→ϕ′ (t)

dt .

Si el arco C es save a trozos y se obtiene como la unión de un número finito de arcos Ci

suaves,

C =

i=i

Ci, Ci : −→ϕ : [ai, bi] ⊂ R −→ Rq,

la expresión precedente se generaliza de la siguiente forma

μ (C) =

i=1

Z bi

−→ϕ′ (t)

dt .

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

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4.5. INTEGRALES SOBRE CURVAS 179

Ejemplo 4.20 (Longitud de arco de una circunferencia)

Utilizaremos la expresión que acabamos de obtener para calcular la longitud de la circunferencia de

radio a. Como su longitud no depende de la situación de su centro, podemos parametrizarla mediante la

trayectoria

−→r (t) = (acos(t), asen(t)) , t ∈ [0, 2π),

correspondiente a una circunferencia centrada en el origen. El vector derivada verifica que

−→r ′ (t) = (−asen(t), acos(t)) ⇒

−→r ′ (t)

(−asen(t))2 + (acos(t))2 = a.

Por lo tanto

μ (C) =

Z 2.

−→ϕ′ (t)

dt =

Z 2.

a dt = 2πa,

que es la relación universal (e histórica) entre el radio y la longitud de una circunferencia.

Ejemplo 4.21 (Longitud de arco de una hélice)

En este ejemplo trazaremos la curva parametrizada por la trayectoria

−→r (t) = (cos(t), sen(t), t) , t ∈ [0, 2π],

y obtendremos la longitud del arco limitado por los puntos (1, 0, 0) y (1, 0, 2π).

Las ecuaciones paramétricas de la curva son x = cos(t), y = sen(t) y z = t. Como x2 + y2 =

cos2(t)+sen2(t) = 1, la curva se encuentra sobre el cilindro de radio 1 y centrado en el eje Z. Según se

incrementa t el punto caracterizado por −→ϕ (t) gira en sentido antihorario y asciende de manera que z = t.

Fijándose en la tercera coordenada es fácil deducir que los puntos del enunciado corresponden a t = 0 y

t = 2π, respectivamente

Figura 4.15: Hélice en torno al eje Z

El aspecto de la curva C, denominada hélice,

es el que se muestra en la figura adjunta.

Calculando el vector derivada

−→r ′ (t) = (−sen(t), cos(t), 1) ,

su módulo

−→r ′ (t)

cos2(t) + sen2(t) + 1 = √2,

y aplicando la fórmula de la longitud de arco, tenemos

s (2π) =

Z 2.

−→r ′ (t)

dt = √2

Z 2.

= 2√2π.

Cuando queremos calcular la longitud de un arco parcial, por ejemplo del arco Ct limitado

por los puntos −→ϕ (a) y −→ϕ (t) (con t ∈ (a, b)) se utiliza habitualmente una notación distinta

μ (Ct) = s(t) =

Z t

−→ϕ′ (u)

du .

Derivando con respecto a t los dos miembros de la ecuación podemos obtener un resultado

bastante interesante y útil. En efecto

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

180

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

ds (t)

Z t

−→ϕ′ (u)

du =

−→ϕ′ (t)

lo que nos dice que la variación local de la longitud de arco al variar infinitesimalmente t es

igual a la norma de la derivada de la trayectoria. Así

ds (t)

−→ϕ′ (t)

y claro está ds =

−→ϕ′ (t)

dt. Encontraremos con frecuencia la siguiente notación en la literatura:

d−→s = −→ϕ′ (t) dt.

Ejemplo 4.22 (Reparametrización de una curva)

En ocasiones resulta útil expresar una curva en términos de un parámetro diferente, por ejemplo, su

propia lungitud de arco. Aquí reparametrizaemos la hélice anterior en función de la longitud s(t).

s ≡ s(t) =

Z t

−→r ′ (u)

du = √2t ⇒ t =

√2

y entonces

−→r (t) ⇒ −→R (s) = −→r [t (s)]

= −→r

√2

cos

√2

, sen

√2

4.5.3 Integrales de línea y arco

Sean φ

􀀀−→x

y −→.

􀀀−→x

un campo escalar y un campo vectorial continuos sobre la curva C.

Seamos más precisos con respecto al significado de esta afirmación: queremos decir que las

funciones φ

􀀀−→ϕ (t)

y −→.

􀀀−→ϕ (t)

son continuas en la variable t, es decir

lím

t→t0

􀀀−→ϕ (t)

= φ

􀀀−→ϕ (t0)

lím

t→t0

−→.

􀀀−→ϕ (t)

= −→.

􀀀−→ϕ (t0)

Introducimos ahora las siguientes sumas de Riemann asociadas a las dos funciones, a la

partición PC del arco de curva y al conjunto de puntos intermedios definido . por la secuencia

˜ti, i = 1, 2, . . . , n

􀀀

φ, P,

˜t

i=1

􀀀−→ϕ

􀀀

˜ti

μ (Ci) ≃

i=1

􀀀−→ϕ

􀀀

˜ti

−→ϕ′ 􀀀

˜ti

.ti,

−→., P,

˜t

i=1

−→.

􀀀−→ϕ

􀀀

˜ti

,−→T

􀀀

˜ti

μ (Ci)

≃

i=1

−→.

􀀀−→ϕ

􀀀

˜ti

,−→T

􀀀

˜ti

−→ϕ′ 􀀀

˜ti

.ti

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.5. INTEGRALES SOBRE CURVAS 181

Esta expresión puede transformarse aún más si tenemos en cuenta la definición del vector tangente

unitario

−→T (t) = −→ϕ′ (t) /

−→ϕ′ (t)

de manera que

−→., P,

˜t

≃

i=1

−→.

􀀀−→ϕ

􀀀

˜ti

,−→ϕ′ 􀀀

˜ti

.ti.

Estudiando con detenimiento las dos expresiones es fácil darse cuenta que las funciones que

aparecen dentro de los sumatorios son escalares y continuas. En efecto, φ

􀀀−→ϕ (t)

−→ϕ′ (t)

escalar y también es continua ya que los son sus dos factores: el primero por hipótesis del

enuciado y el segundo porque la curva es suave. La función

−→.

􀀀−→ϕ (t)

,−→ϕ′ (t)

es un producto

escalar y es continua según los argumentos que acabamos de utilizar.

Por lo tanto, las dos sumas convergen a una integral (simple ya que las dos funciones dependen

de una sola variable) en el límite en que .t = Sup (.ti) → 0, y podemos escribir que

lím

.t→0

􀀀

φ, P,

˜t

Z b

􀀀−→ϕ (t)

−→ϕ′ (t)

lím

.t→0

−→., P,

˜t

Z b

−→.

􀀀−→ϕ (t)

,−→ϕ′ (t)

Definición 4.16 (Integrales de arco y línea)

Sean φ

􀀀−→x

y −→.

􀀀−→x

un campo escalar y un campo vectorial continuos sobre la

curva suave C parametrizada por la trayectoria −→ϕ : [a, b] ⊂ R −→ Rq. Definimos

las siguientes integrales extendidas sobre la curva C

1. Integral de arco del campo φ:

φ ds =

Z b

􀀀−→ϕ (t)

−→ϕ′ (t)

dt ,

2. Integral de línea del campo −→.:

−→.· d−→s =

Z b

−→.

􀀀−→ϕ (t)

,−→ϕ′ (t)

dt .

Si C es suave a trozos y se descompone como unión de arcos suaves C = ∪iCi, las

integrales anteriores se definen como

φ ds =

φ ds ,

−→.· d−→s =

−→.· d−→s .

La definición de integral extendida a una curva es una de las más importantes de este curso

por lo que merece que nos dentengamos sobre ella lo que sea necesario.

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

182

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

Los símbolos

φ ds y

−→.· d−→s son simplemente una notación compacta para referirnos

a las verdaderas integrales que aparecen en las definiciones en los miembros de la

derecha.

Es posible encontrar otras notaciones y otras denominaciones en la literatura. Nombres

comunes son integral de trayectoria o con respecto a la longitud R de arco para referirse a

C φ ds , y circulación (del campo vectorial correspondiente) para denominar las integrales

C−→.· d−→s .

Las integrales sobre curvas son integrales simples, esto es, de una sola variable. Esto es

un hecho consistente dado que una curva, igual que un eje real, sólo tiene un grado de

libertad.

Si los campos están definidos en el espacio resulta factible escribir de forma más clara

las definiciones anteriores sin que la notación sea muy farragosa. Sean φ (x, y, z ) y

−→. (x, y, z ) = (.x (x, y, z ) ,.y (x, y, z ) ,.z (x, y, z )) un campo escalar y un campo

vectorial continuos sobre la curva orientada

C : −→r (t) = x(t)−→ı + y(t)−→ + z(t)−→k , t ∈ [a, b].

Entonces la integral de arco del campo φ sobre C viene dada por

φ ds =

Z b

φ (x(t), y(t), z(t) )

x′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2 dt ,

y la integral de línea por

−→.· d−→s =

Z b

􀀀−→r (t)

x′(t) + .y

􀀀−→r (t)

y′(t) + .x

􀀀−→r (t)

z′(t)

dt .

En algunos libros, especialmente de física, es posible encontrar otra notación; si definimos

los infinitésimos dx = x′(t)dt, dy = y′(t)dt y dz = z′(t)dt, la integral de línea se

reescribiría como

−→.· d−→s =

.x (x, y, z ) dx + .y (x, y, z ) dy + .x (x, y, z ) dz .

Ejemplo 4.23 (Una integral de arco)

Evalúe la integral de arco

(2 + xy) dS donde C es el semicírculo unitario superior, es decir C :

x2 + y2 = 1, y ≥ 0.

La trayectoria que parametriza la curva C, así como su derivada vienen dadas por

−→r (t) = (cos(t), sen(t)) , −→r ′ (t) = (−sen(t), cos(t)) , t ∈ [0, π],

con lo cual la norma del vector derivada es

−→r ′ (t)

= 1.

Como la derivada no se anula en ningún punto se trata de un arco suave. Por otro lado como el campo

escalar es continuo en R2 lo es definitivamente sobre C, y aplicando de forma directa la definición de

integral de arco de un campo escalar, resulta

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.5. INTEGRALES SOBRE CURVAS 183

(2 + xy) ds =

Z .

(2 + x(t)2y(t))

−→r ′ (t)

dt =

Z .

(2 + cos (t) sen(t)) dt =

2t −

cos3(t)

= 2π +

Ejemplo 4.24 (Una integral de línea)

Sea C la circunferencia de ecuación x2 + y2 = 4 y −→. (x, y, z ) =

􀀀

2x − y, yz2, y2z

un campo

vectorial definido en R3. Calcule el valor de la integral de línea del campo a lo largo de C tomada en

sentido positivo.

La trayectoria

C : −→r (t) = (2 cos t, 2 sen t, 0) , t ∈ [0, 2π],

dota a C de la orientación antihoraria adecuada. Para poder calcular la integral de línea necesitamos la

derivada de la trayectoria

−→r ′ (t) = (−2 sen t, 2 cos t, 0) ,

y la expresión del campo sobre los puntos de la curva

−→.

􀀀−→r (t)

= (4 cos t − 2 sen t, 0, 0) .

Aplicando entonces definición de integral de línea, tenemos

C+

−→.· d−→s =

Z 2.

−→.

􀀀−→r (t)

,−→r ′ (t)

dt ,

donde C+ recalca que la curva se recorre en sentido positivo. Por lo tanto

C+

−→.· d−→s =

Z 2.

0 h(4 cos t − 2 sen t, 0, 0) , (−2 sen t, 2 cos t, 0)i dt

Z 2.

(8 cos t sen t − 4 sen2 t) dt = 4π,

4.5.4 Influencia de la orientación de la curva

Sean φ y −→. un campo escalar y un campo vectorial continuos (al menos) sobre los puntos de la

curva simple C parametrizada por −→ϕ : [a, b] ⊂ R −→ Rq. Sabemos que esta trayectoria induce

una orientación en la curva C ya que sus puntos se recorren desde −→ϕ (a) a −→ϕ (b). Convenimos en

llamar a esta orientación positiva y denotar a la curva orientada de esta forma como C+. Ahora

bien, es posible encontrar otras trayectorias que doten a la curva de la orientación opuesta. En

concreto, si definimos un nuevo parámetro umediante la transformación t = a+b−u, u ∈ [a, b],

la trayectoria −→ζ (u) = −→ϕ (t (u)) = −→ϕ (a + b − u) recorre la curva en sentido opuesto.

Para entender este hecho nos apoyamos en la figura y observamos que −→ζ (a) = −→ϕ (b) y

−→ζ (b) = −→ϕ (a). Así, cuando u se desplaza desde a hasta b su imagen recorre la curva desde

−→ϕ (b) hasta −→ϕ (a), es decir, la orientación ahora es la opuesta a C+ y convenimos en denotar a

la nueva curva orientada como C−. Se dice que la nueva trayectoria −→ζ (u) es una reparametrización

de −→ϕ (t) que cambia la orientación de C

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

184

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

Figura 4.16: Reparametrización de una curva

Estudiemos el efecto de la orientación de la curva sobre el valor de las integrales de arco y de

línea. Comencemos con las integrales de línea. Dadas dos orientaciones de una misma curva C

C+ : −→ϕ (t) , t ∈ [a, b],

C− : −→ζ (u) , u ∈ [a, b],

definimos

C+

−→.· d−→s =

Z b

−→.

􀀀−→ϕ (t)

d−→ϕ

dt ,

C−

−→.· d−→s =

Z b

−→.

−→ζ (u)

d−→ζ

du .

Para relacionar entre sí las dos integrales debemos tener en cuenta que

t = a + b − u,→ du = −dt,

u → a t → b,

u → b t → a,

y también que

d−→ζ

d−→ϕ (a + b − u)

= (t = a + b − u) =

d−→ϕ (t)

= −

d−→ϕ

Por lo tanto

C−

−→.· d−→s =

Z b

−→.

−→ζ (u)

d−→ζ

du =

Z b

−→.

􀀀−→ϕ (a + b − u)

d−→ζ

Z a

−→.

􀀀−→ϕ (t)

,−

d−→ϕ

d(−t) = −

Z b

−→.

􀀀−→ϕ (t)

d−→ϕ

= −

C+

−→.· d−→s .

De forma similar, definimos las integrales de arco sobre las dos curvas orientadas

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.5. INTEGRALES SOBRE CURVAS 185

C+

φ ds =

Z b

􀀀−→ϕ (t)

d−→ϕ

dt ,

C−

φ ds =

Z b

−→ζ (u)

d−→ζ

du ,

y procediendo de forma similar tenemos

C−

φ ds =

Z b

−→ζ (u)

d−→ζ

du =

Z a

􀀀−→ϕ (t)

−

d−→ϕ

d(−t)

Z b

􀀀−→ϕ (t)

d−→ϕ

dt =

C+

φ ds

Resumimos a continuación los resultados obtenidos sobre la influencia de la parametrización

en las integrals de arco y de línea.

Teorema 4.9 (Efecto del cambio de orientación sobre integrales de arco y de línea)

Sean φ y −→. un campo escalar y un campo vectorial continuos sobre los puntos de la

curva simple C. Si C+ y C− son dos orientaciones opuestas de la curva se cumple

que

C+

−→.· d−→s = −

C−

−→.· d−→s ,

C+

φ ds =

C−

φ ds .

4.5.5 Integrales de línea de campos conservativos

La propiedad más importante de los campos vectoriales conservativos se enuncia en el siguiente

teorema.

Teorema 4.10 (Teorema fundamental de las integrales de línea)

Sea −→.

􀀀−→x

un campo vectorial conservativo y continuo en el interior de D, es

decir

−→.

􀀀−→x

= −→∇φ

􀀀−→x

∀−→x ∈ °D,

el potencial escalar φ

􀀀−→x

es de clase C1 en °D.

Entonces, si C es una curva orientada suave (o suave a trozos), contenida en °D y

parametrizada por la trayectoria −→ϕ : [a, b] ⊂ R −→ Rq, se cumple que

−→. · d−→s = φ

􀀀−→ϕ (b)

− φ

􀀀−→ϕ (a)

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

186

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

Figura 4.17: Integrales de linea de campos conservativos

Este resultado nos dice que la integral de línea de un campo vectorial conservativo sólo depende

de los valores que toma el potencial en los extremos de la curva y no depende del recorrido

intermedio de la misma. Por lo tanto todas las integrales de línea del campo −→. extendidas sobre

curvas que tienen los mismos puntos extremos tienen el mismo valor. Otro corolario importante

del teorema anterior es que la integral de línea de un campo conservativo sobre cualquier curva

cerrada es nula.

Ejemplo 4.25

Com ya hemos comentado, los campos electrostático y el gravitacional son ejemplos sencillos de

campos conservativos en la física. Sus integrales de línea representan el trabajo realizado para llevar una

carga o una masa respectivamente desde un punto A a otro punto B, y éste (en ausencia de otras fuerzas

no conservativas, como rozamiento) sólo depende de la diferencia de potencial entre dichos puntos y no

del camino seguido, esto es

W =

−→F d−→r = .U,

donde U representa el potencial gravitatorio o electrostático.

Demostración 4.10

Utilizando la definición de integral de línea de un campo vectorial genérico tenemos

−→.· d−→s =

Z b

−→.

􀀀−→ϕ (t)

d−→ϕ

dt ,

y substituyendo el campo por su definición en términos del campo escalar resulta

−→.· d−→s =

Z b

−→∇φ

􀀀−→ϕ (t)

d−→ϕ

dt .

Por otro lado φ

􀀀−→x

y −→ϕ (t) son de clase C1 en °D por lo que podemos aplicar la regla de la cadena. Ésta

establece que

dφ

􀀀−→ϕ (t)

−→∇φ

􀀀−→ϕ (t)

,−→ϕ′ (t)

y por lo tanto

−→.· d−→s =

Z b

dφ

􀀀−→ϕ (t)

dt .

Ahora bien, la integral de una diferencial exacta es simplemente el incremento de la función en los

extremos del intervalo de integración, es decir

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.5. INTEGRALES SOBRE CURVAS 187

−→.· d−→s = φ

􀀀−→ϕ (b)

− φ

􀀀−→ϕ (a)

Teorema 4.11

Sea −→. un campo vectorial continuo en el abierto °D, que supondremos conexo. Si

la integral de línea del campo sobre cualquier curva contenida en °D sólo depende

de los puntos extremos de la misma y no de su recorrido se cumple que:

1. −→. es conservativo, es decir −→.

􀀀−→x

= −→∇φ

􀀀−→x

, ∀ −→x ∈ °D.

2. Si −→x ,−→x 0 ∈ °D, el campo escalar φ

􀀀−→x

se obtiene como

􀀀−→x

−→.· d−→s + k,

donde k es una constante real arbitraria y C es cualquier trayectoria contenida

en °D que une los puntos −→x 0 y −→x .

Ejemplo 4.26 (Obtención del potencial asociado a un campo vectorial)

Dado el campo vectorial −→. (x, y ) = (3 + 2xy)−→i + (x − 3y)−→j suponga que R las integrales de línea

C−→.· d−→s = 0 para cualquier curva cerrada en el plano. Aplique el teorema anterior para obtener el

potencial del que deriva −→..

Elegimos como punto inicial de la curva el origen de coordenadas y lo unimos con un punto genérico de

coordenadas (x, y) mediante un segmente rectilíneo C. Una parametrización sencilla de dicho segmento

C : −→R (t) = (X (t) , Y (t)) = t (x, y) , t ∈ [0, 1],

cuyo vector derivada se escribe

−→R′ (t) = (x, y) .

La expresión del campo vectorial sobre los puntos del segmento C viene dada por

−→.

−→R (t)

􀀀

3 + 2X(t)Y (t)2,X(t)2 − 3Y (t)2.

􀀀

3 + 2xyt2, x2t2 − 3y2t2.

de manera que la integral de línea se escribe como

−→.· d−→s =

Z 1

−→.

−→R (t)

,−→R′ (t)

dt =

Z 1

􀀀

3 + 2xyt, xt − 3y2t

, (x, y)

dt =

Z 1

3x +

􀀀

3x2y − 3y3.

t2.

dt = 3x + x2y − y3.

En definitiva, el potencial es

h (x, y ) = xy − y + 3x + k,

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

188

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

y derivando parcialmente podemos comprobar que el campo vectorial deriva realmente del mismo. Se

cumple en efecto que

∂φ (x, y )

∂x

= 3x + 2y ;

∂φ (x, y )

∂y

= x − 3y.

Demostración 4.11

Sean −→x 0 y −→x dos puntos arbitrario del interior de D y C ⊂ °D un arco de curva suave (o suave a

trozos) que une dichos puntos. Definimos entonces la siguiente función escalar

􀀀−→x

−→.· d−→s + k,

que sólo depende de −→x (y de −→x 0), ya que por hipótesis las integrales de línea del campo −→. no dependen

del recorrido de C, sólo de sus puntos extremos. De acuerdo con el enunciado del teorema k es cualquier

número real.

Sea −→x + h−→e i un punto próximo a −→x ; el valor de φ en este punto será

􀀀−→x + h−→e i

C′

−→.· d−→s + k,

donde C′ es un arco arbitrario (contenido en el interior de D) que une −→x0 y el nuevo punto. Debido a la

independencia del recorrido de arco podemos elegir C′ = C ∪.C, siendo .C el segmento de recta que

une −→x y −→x + h−→e i. Éste puede parametrizarse mediante la trayectoria

−→ϕ (t) = −→x + t(h−→e i), t ∈ [0, 1],

cuya derivada es −→ϕ′ (t) = h−→e i.

Se cumple entonces que

􀀀−→x + h−→e i

− φ

􀀀−→x

C′

−→.· d−→s −

−→.· d−→s

−→.· d−→s ,

y aplicando la definición de integral de línea

􀀀−→x + h−→e i

− φ

􀀀−→x

Z 1

−→.

􀀀−→x + th−→e i

, h−→e i

dt =

Z 1

􀀀−→x + th−→e i

dt ,

donde hemos usado que

−→.,−→e i

= .i. Tomando el límite cuando h → 0 en los dos miembros de la

ecuación y teniendo en cuenta que el límite de una integral es la integral del límite si el integrando es una

función continua, tenemos

∂φ

􀀀−→x

∂xi

= lím

h→0

Z 1

􀀀−→x + th−→e i

dt =

Z 1

lím

h→0

􀀀−→x + th−→e i

= .i

􀀀−→x

. Z 1

dt = .i

􀀀−→x

En definitiva, podemos escribir que

−→.

􀀀−→x

= −→∇φ

􀀀−→x

= −→∇

"Z −→x

−→x 0

−→.· d−→s + k

donde en el último miembro hemos utilizado el símbolo

R −→x

−→x 0

para recalcar que la integral de línea sólo

depende de los dos puntos extremos.

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.A. CURVATURA Y SISTEMA INTRÍNSECO DE UNA CURVA 189

S 4.A Curvatura y sistema intrínseco de una curva

4.A.a Definición de Curvatura

Recordemos que si C es una curva suave caracterizada por la trayectoria −→ϕ (t) podemos

definir en todos sus puntos un vector tangente con la misma orientación de la curva, ya que

−→ϕ′ (t) 6= −→0 cualquiera que sea t. Normalizando este vector obtendremos un vector tangente

unitario

−→T (t) , −→ϕ′ (t)

−→ϕ′ (t)

que indica el sentido en que recorremos la curva.

R C

−→T 1

−→T 2

Figura 4.18: Variación del vector tangente sobre algunas curvas

La figura muestra el comportamiento de −→T (t) en algunas curvas suaves. Resulta patente

que este vector apenas cambia cuando la curva C se desvía poco de una recta, mientras que

su variación es muy superior si la curva presenta dobleces o cambios de dirección bruscos. El

concepto de curvatura de una curva en un punto pretende ser una medida de la .rapidez.con que

dicha curva cambia de dirección al desplazarnos infinitesimalmente de dicho punto. La forma

tradicional en que se ha definido es

k ,

d−→T

donde −→T es el vector tangente unitario y s es la longitud de arco. Obsérvese que se utiliza

como parámetro la longitud de arco s de manera que el valor de la curvatura en un punto dado

sea independiente de la parametrización elegida (frecuenemente se denomina parametrización

intríseca de la curva a la que emplea la longitud de arco). Al invertir la curvatura, obtenemos el

radio de curvatura de la curva en el punto dado ρ = 1/k.

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

190

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

En general no utilizaremos la longitud de arco como variable independiente de la trayectoria

que parametriza una curva; por esta razón conviene reescribir la curvatura para una parametrización

arbitraria −→ϕ (t). En este caso

d−→T (t)

d−→T (s)

d−→T

−→ϕ′ (t)

y como la curva es suave

􀀀

−→ϕ′ (t)

6= 0

podemos escribir

k(t) =

d−→T

−→T ′ (t)

−→ϕ′ (t)

Ejemplo 4.27 (Curvatura de una circunferencia)

Como un primer ejemplo, calcularemos la curvatura de una circunferencia de radio a. Un resultado

razonable sería que la curvatura fuese constante y que el radio de curvatura ρ coincidiese con el radio de

la circunferencia.

Suponiendo que la circunferencia tiene su centro en el origen de coordenadas, la parametrización más

sencilla es

−→ϕ (t) = (a cos(t), a sen(t)) , t ∈ [0, 2π),

con lo cual

−→ϕ′ (t) = (−a sen(t), a cos(t)) ⇒

−→ϕ′ (t)

= a ⇒ −→T (t) = (−sen(t), cos(t)) .

Derivando el vector unitario tangente resulta

d−→T (t)

= (−cos(t),−sen(t)) ⇒

d−→T (t)

y substituyendo en la expresión de la curvatura, obtenemos

k =

−→T ′ (t)

−→ϕ′ (t)

a ⇒ ρ = a.

Ejemplo 4.28 (Curvatura de una cúbica alabeada)

En este ejemplo determinaremos la expresión de la curvatura de la cúbica 􀀀 alabeada C : −→ϕ (t) =

t, t2, t3

en función del parámetro t. El vector derivada viene dado por

−→ϕ′ (t) =

􀀀

1, 2t, 3t2.

⇒

−→ϕ′ (t)

1 + 4t2 + 9t4 ⇒ −→T (t) =

(1, 2t, 3t)

√1 + 4t2 + 9t4

El siguiente paso consiste en el cálculo de −→T ′ (t)

d−→T (t)

􀀀

−2t(−2 + 9t2),−2(−1 + 9t4), 6t(1 + 2t2)

(1 + 4t + 9t4)3/2 ,

d−→T (t)

2√1 + 9t2 + 9t4

(1 + 4t + 9t4)3/2 ,

con lo cual la curvatura vendrá dada por

k =

2√1 + 9t2 + 9t4

(1 + 4t2 + 9t4)3/2 .

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.A. CURVATURA Y SISTEMA INTRÍNSECO DE UNA CURVA 191

4.A.b Triedro intrínseco de una curva

En el espacio, cualquiera que sea el punto que consideremos sobre una curva C, existen infinitos

vectores ortogonales al vector tangente unitario −→T . Como este vector tiene norma constante

para todo valor de t, podemos escribir que

−→T (t) ,

d−→T (t)

−→T

(t)

= 0 → −→T (t) ⊥

d−→T (t)

La derivada del vector −→T no será en general un vector unitario, pero si −→T ′

6= (t)−→0 podemos

normalizarlo para obtener el llamado vector normal unitario principal

−→N (t) , −→T ′ (t)

−→T ′ (t)

También podemos expresar este vector como

−→N (t) =

k(t)

−→T ′ (t)

−→ϕ′ (t)

siempre que la curvatura no se anule. Es importante reseñar que el vector normal unitario principal

no está definido en los puntos donde la curvatura es cero y, por tanto, no está definido en

ningún punto de una recta.

El vector −→N (t) , no sólo es ortogonal a C, sino que señala la dirección y el sentido en que la

curva se .dobla.cuando nos desplazamos infinitesimalmente desde el punto donde calculamos

−→N (t) . Para justificar tal afirmación admitiremos que las funciones componente de la trayectoria

pueden desarrollarse en serie de Taylor, y por tanto la propia función vectorial admite un

desarrollo de este tipo. Así

−→ϕ (t) = −→ϕ (t0) + −→ϕ′ (t0).t +

2−→ϕ(2) (t0).t2 + · · · ,

a−→T

b−→N

.−→r

−→ϕ (t0)

−→ϕ (t)

Figura 4.19: Vectores T, N y B (justificación)

donde t0 es el punto donde calculamos los

vectores unitarios −→T y −→N y .t = t − t0.

Ahora bien,

−→ϕ′ (t0) =

....

−→T (t0)

y derivando de nuevo

−→ϕ(2) (t0) =

d2s

dt2

....

−→T (t0)

.....

k(t0)−→N (t0) ,

e insertando estos resultados en el desarrollo

en serie de la trayectoria obtenemos una ex-

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

192

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

presión aproximada para −→ϕ en términos de

−→T (t0) y −→N (t0)

−→ϕ (t) = −→ϕ (t0) +

....

.t +

d2s

dt2

....

.t2

| {z }

−→T (t0) +

.....

k(t0).t2

| {z }

−→N (t0) + · · · ,

es decir

−.−→ϕ(t0, t) = −→ϕ (t) − −→ϕ (t0) = a−→T (t0) + b−N→(t0) + · · · ,

y como b ≥ 0 deducimos que la curva cambia localmente su dirección y sentido según −→N (como

queríamos demostrar). Este resultado es además importante porque demuestra que de forma

local una curva suave C siempre se encuentra en el plano formado por los dos vectores −→T y −→N .

−→T

−→B

−→N

Figura 4.20: Vectores tangente, normal y binormal

En R3 se define además el vector unitario binormal −→B (t) = −→T (t) × −→N (t) , siempre que

−→T (t) y −→N (t) estén definidos. En este caso, en cada punto de la curva (o lo que es lo mismo,

para cada valor de t) tenemos tres vectores unitarios y ortonormales −→T , −→N y −→B, que forman el

triedro intríseco de la curva en el punto dado.

Ejemplo 4.29 (Triedro intrínseco de una hélice)

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.A. CURVATURA Y SISTEMA INTRÍNSECO DE UNA CURVA 193

−→T

−→N

−→T

−→N

Figura 4.21: Vectores T, N y B en una hélice

Calculemos como ejemplo de aplicación de las expresiones

anteriores los vectores−→T , −→N y −→B del triedro

intrínseco de una hélice circular dada por la ecuación

vectorial

−→r (t) = cos(t)−→ı + sen(t)−→ + t−→k , t ∈ R.

El vector tangente y su módulo son

−→ϕ′ (t) = −sen(t)−→ı + cos(t)−→ + −→k ,

−→ϕ′ (t)

= √2.

Por lo tanto el vector tangente unitario es

−→T (t) = −sen(t)−→ı + cos(t)−→ + 1−→k

√2

y su derivada

−→T ′= (t) −cos(t)−→ı + −sen(t)−→

√2 →

−→T ′

√2

con lo cual el vector normal unitario principal se escribe como

−→N (t) = −cos(t)−→ı + −sen(t)−→ .

Por último, el vector unitario binormal viene se obtiene de la siguiente forma

−→B (t) = −→T (t) × −→N (t) =

√2

−→ı −→ −→k

−sen(t) −cos(t) 1

−cos(t) −sen(t) 0

√2

(sen(t),−cos(t), 1) .

Dejamos como ejercicio para el lector que verifique que los tres vectores que hemos obtenido son

ortonormales y que el vector normal unitario principal está dirigido hacia el interior de la curva.

El cálculo de cantidades como la curvatura y el vector normal unitario principal, aunque directo,

es en general muy farragoso; la razón se encuentra en que las componentes de un vector

unitario son habitualmente fracciones con raices en el denominador. El siguiente teorema presenta

una forma alternativa de calcular estas cantidades.

Teorema 4.12 (Expresiones alternativas para k y −→N)

La curvatura de una curva C suave, parametrizada por la función vectorial −→ϕ :

[a, b] ⊂ R −→ Rq admite la siguiente expresión en términos de las derivadas de −→ϕ

k(t) =

−→ϕ′ (t) × −→ϕ(2) (t)

−→ϕ′ (t)

Además, si k(t) 6= 0, el vector unitario normal principal se escribe

−→N =

−→ϕ(2) (t) −

d2s

dt2−→ϕ′ (t)

k(t)

.2 .

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

194

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

Demostración 4.12

Dado que

−→T = −→ϕ′ (t)

−→ϕ′ (t)

tenemos

−→ϕ′ (t) =

−→ϕ′ (t)

−→T =

−→T ,

de manera que derivando nuevamente con respecto a t y aplicando las reglas de derivación podemos

escribir que

−→ϕ(2) (t) =

d2s

dt2−→T +

−→T ′.

Por otra parte, como −→T × −→T = −→0 resulta

−→ϕ′ (t) × −→ϕ(2) (t) =

.2 −→T × −→T ′,

y teniendo en cuenta que −→T es unitario y normal a −→T ′ tenemos

−→ϕ′ (t) × −→ϕ(2) (t)

−→T ′

lo cual conduce de forma inmediata a que

k(t) =

−→T ′ (t)

−→ϕ′ (t)

−→ϕ′ (t) × −→ϕ(2) (t)

−→ϕ′ (t)

Las expresiones intermedias que obtuvimos a lo largo de la demostración nos facilitarán una nueva

fórmula para el cálculo del vector normal unitario principal. En efecto, la segunda ecuación permite

despejar −→T ′ como

−→T ′ =

−→ϕ(2) (t) −

d2s

dt2−→T

y por otro lados sabemos que

−→T ′

= k(t)

−→ϕ′ (t)

= k(t)

con lo cual, dado que en una curva suave

−→ϕ′ (t)

6= 0, podemos escribir

−→N =

−→ϕ(2) (t) −

d2s

dt2−→ϕ′ (t)

k(t)

.2 ,

siempre que la curvatura no se anule.

Ejemplo 4.30 (Curvatura de la gráfica de y = f(x))

Vamos a particularizar la expresión de k(t) para el caso de una curva plana con ecuación y = f(x). La

trayectoria que define esta curva en el plano viene dada por

−→ϕ (x) = x−→ı + f(x)−→ ,

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

4.A. PROBLEMAS 195

con lo cual, las derivadas de la misma se escriben como

−→ϕ′ (x) = −→ı + f′(x)−→ ,

−→ϕ(2) (x) = 0−→ı + f′′(x)−→ .

Entonces

−→ϕ′ (x)

1 + (f′(x))2 y

−→ϕ′ (x) × −→ϕ(2) (x) =

......

−→ı −→ −→k

1 f′(x) 0

0 f′′(x) 0

......

= f′′(x)−→k ,

de manera que

−→ϕ′ (x) × −→ϕ(2) (x)

= |f′′(x)|. Por lo tanto

k(x) = |f′′(x) . |

1 + (f′(x))2

.3/2 .

Problemas

Problema 4.1 Dada la función −→ϕ : R2 −→ R2 definida por

−→ϕ (x, y ) =

exy,

x + y

si (x, y) 6= (0, 0) ; −→ϕ ( 0, 0) = (1, 0) ,

se pide que: (a) estudie la continuidad de la misma y (b) obtenga la matriz de derivadas parciales.

Problema 4.2 Calcule las siguientes expresiones:

1. −→∇(rn) con n entero positivo.

2. −→∇(log r) con r 6= 0.

3. −→∇2

con r 6= 0.

4. −→∇ ·

.−→r

con r 6= 0.

Siendo −→r = (x, y, z) y r =

−→r

Problema 4.3 Calcule, si es que existen, los campos vectoriales −→F (x, y, z ) que cumplen que −→∇ −→ × F (x, y, z ) = (x, y, z).

Problema 4.4 Sea el campo vectorial −→F (x, y, z ) =

􀀀

2λxyez, λezx2, xyez + z2

. Determine los valores

del parámetro real λ para los que existe un campo escalar f (x, y, z ) del que derive como un gradiente

−→F y obtenga f.

Problema 4.5 Halle el punto de corte y el ángulo de intersección de las curvas−→r1 (t) = (et, 2cos(t), t − 2)

y −→r2 (u) = (u, 2, u − 3).

Problema 4.6 Suponga que una partícula trza un arco de curva dado por la siguiente trayectoria de clase

C2 −→r (t) =

􀀀

cos3(t), sen3(t)

: (a) Trace de forma aproximada la curva; ¿tiene un aspecto suave? (b)

Deduzca las expresiones de la velocidad, de la rapidez y de los vectores −→T y −→N. (c) Obtenga la longitud

de la curva.

Problema 4.7 Una partícula se mueve según la trayectoria −→r (t) = (a cos(ωt), a sen(ωt), vzt), con a,

ω y vz constantes, hasta el instante t = π/ω en que pasa a moverse libremente. (a) Calcule la posición

y la velocidad de la partícula en el instante t = π/ω. (b) Calcule los vectores velocidad y aceleración (y

sus módulos) en cada instante de tiempo. (c) Obtenga las expresiones de los vectores tangente unitario y

normal unitario principal. (d) Halle la longitud recorrida durante los intervalos de tiempo t ∈ [0, π/ω] y

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

196

BORRADOR

TEMA 4. FUNCIONES VECTORIALES

t ∈ [π/ω, 2π/ω].

Problema 4.8 Un alambremuy fino se encuentra sobre la circunferencia de radio a centrada en el origen.

Si la densidad de masa del alambre es

λ(x, y) = K

x2 +

donde K es una constante positiva. (a) Halle la masa total del alambre, (b) determine las coordenadas del

C.M. y (c) encuentre el momento de inercia con respecto al eje Z.

Problema 4.9 Calcule la integral de línea del campo vectorial definido en R2, −→F (x, y ) = 3x2y−→ı +

(x3 + 2y)−→ a lo largo del cuadrado con vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1) orientado positivamente.

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

Tema 5

Extremos de las funciones escalares

5.1 Definición de extremo local o relativo

Una de las características (geométricas) más importantes de una función son los puntos de su

dominio donde la función alcanza un valor mayor o menor que en cualquier otro punto de una

vecindad circundante. En dichos puntos la gráfica alcanza una cima o una sima, respectivamente.

Estos puntos se llaman extremos locales de la función ; por lo tanto la noción de extremo local en

cálculo de funciones multivariable es análoga a la que aparece en funciones de una sola variable,

con la cual el lector se encuentra familizarizado. Sin embargo, la localización y el estudio de

la naturaleza de los extremos de funciones multivariable resultan mucho más complicados; en

estos apuntes introduciremos el problema y daremos los métodos de trabajo básicos.

Definición 5.1 (Extremos locales de una función)

Sea f : D ⊂ Rq −→ R una función real definida en el conjunto D. Se dice que f

tiene un máximo local en −→x 0 ∈ D si

∃ δ > 0 \. f

􀀀−→x

≤ f

􀀀−→x 0

∀−→x ∈ B∗ 􀀀−→x 0, δ

∩ D

Análogamente, decimos que posee un mínimo local en −→x 0 ∈ D si

∃ δ > 0 \. f

􀀀−→x

≥ f

􀀀−→x 0

∀−→x ∈ B∗ 􀀀−→x 0, δ

∩ D

Si las desigualdades son estrictas, los máximos o mínimos reciben el nombre de

estrictos. Los máximos o mínimos locales de una función se conocen genéricamente

con el nombre de extremos locales.

Ejemplo 5.1

Por lo tanto la idea de máximo local de una función es la de un .punto cúspide.de la gráfica de la

función , que sobresale sobre los puntos cercanos; por el contrario, un mínimo local corresponde a una

sima de la gráfica. El siguiente esquema presenta de forma sencilla la idea de máximo y mínimo locales

mediante las gráficas de un paraboloide y de un paraboloide invertido.

Resulta pertinente hacer algunos comentarios sobre la definición de extremo local de una

función:

La definición anterior no impone ninguna condición de regularidad sobre la función f ,

esto es, no es necesario que sea contínua o diferenciable.

197

198

BORRADOR

TEMA 5. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES ESCALARES

Max. local

min. local

−→x 0

Figura 5.1: Ejemplo esquemático de máximo y mínimo locales

Si f tiene un extremo local en −→x 0, la condición de extremo debe cumplirse siempre que

estemos suficientemente cerca del punto y con independencia de la forma en que nos aproximemos

al mismo. Por esta razón, dada cualquier curva C parametrizada por −→ϕ (t) y tal

que −→x 0 = −→ϕ (t0) (es decir, la curva pasa por −→x 0), la función φ (t) = f

􀀀−→ϕ (t)

posee

un extremo local en t = t0. El recíproco es falso: la función puede presentar el comportamiento

característico de un extremo al movernos sólo por determinadas trayectorias.

−→x 0 C

Figura 5.2: La curva C también tiene un extremo

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

5.2. CONDICIÓN NECESARIA DE EXTREMO LOCAL 199

5.2 Condición necesaria de extremo local

Definición 5.2 (Puntos críticos)

Sea f : D ⊂ Rq −→ R una función definida en el conjunto D y diferenciable (al

menos) en −→x 0 ∈ °D. Si

−→∇f

􀀀−→x 0

∂f

􀀀−→x 0

∂x1

∂f

􀀀−→x 0

∂x2

, · · · ,

∂f

􀀀−→x 0

∂xq

= −→0 ,

o de forma equivalente, si

.−→x 0

. .

−→h

= 0,

decimos que −→x 0 es un punto crítico (o estacionario) de f.

Teorema 5.1 (Condición necesaria de extremo)

Sea f : D ⊂ Rq −→ R una función definida en el conjunto D y diferenciable en su

interior. Si −→x 0 ∈ °D es un extremo local de f entonces −→∇f

􀀀−→x 0

= −→0 .

En otras palabras, la existencia de un punto crítico de f en −→x 0 ∈ °D es condición

necesaria (pero no suficiente) para que −→x 0 sea un extremo local.

El recíproco es falso: no todo punto crítico es un extremo local. Estos puntos críticos

se denominan puntos de silla.

Demostración 5.1

Sabemos ahora que si f tiene un extremo local en −→x 0, la función

φ (t) = f

􀀀−→x 0 + t−→u

, k−→uk = 1,

que proporciona los valores de f sobre la recta de ecuación−→x0 + t−→u, donde −→u es un vector unitario

arbitrario, también posee un extremo local en t = 0; por tanto φ′ (0) = 0. Ahora bien

φ′ (0) = lím

t→0

φ (t) − φ (0)

= lím

t→0

􀀀−→x 0 − t−→u

− f

􀀀−→x 0

= f′u

􀀀−→x 0

−→∇f

􀀀−→x 0

,−→u

= 0,

y como −→u es un vector arbitrario concluimos que −→∇f

􀀀−→x0

= −→0 .

La consecuencia directa de este teorema es que la localización de los extremos locales de una

función diferenciable pasa porque determinemos primero cuáles son sus puntos críticos. En las

secciones siguientes introduciremos una serie de criterios objetivos para determinar qué puntos

críticos son también extremos locales; de momento, en los siguientes ejemplos lo haremos

mediante inspección

Ejemplo 5.2

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

200

BORRADOR

TEMA 5. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES ESCALARES

Comprobemos con un ejemplo que la condición de punto crítico −→∇f = 0 no garantiza la existencia de

un extremo (se trata de una condición necesaria pero no suficiente). Sea

f : R2 −→ R ; (x, y) −→ f (x, y ) = x − y,

una función diferenciable definida en todo el plano. Se cumple que

f′x (0, 0) = f′y (0, 0) = 0 ⇒ −→∇f (0, 0) = −→0 .

Sin embargo

f (x, 0) = x2 ≥ 0 y f (0, y) = −y ≤ 0,

es decir, en cualquier entorno del origen hay simultáneamente puntos en los que z > f (0, 0) y puntos en

los que por el contrario z < f (0, 0) . Concluimos por ello que el origen de coordenadas no es un extremo

de f.

Este hecho se refleja en la representación gráfica de la función en un entorno del origen. Es precisamente

el aspecto de esta gráfica el que da el nombre de puntos de silla a los puntos críticos que no son

extremos locales.

–10

–5

–10

–5

Y 5

–100

–50

100

Figura 5.3:

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

5.2. CONDICIÓN NECESARIA DE EXTREMO LOCAL 201

Ejemplo 5.3

Estudie los extremos de la función f (x, y ) = 2x + y − xy − 7y.

Dado que la función es diferenciable en el plano podemos iniciar la localización de sus extremos

buscando los puntos críticos de f; con ese fin planteamos el sistema de ecuaciones

f′x = 4x − y

f′y = 2y − x − 7

⇒

−→∇f = −→0

⇒

4x − y = 0

2y − x = 7

Resolviendo el sistema encontramos que la función posee un único punto crítico en (x0, y0) = ( 1, 4) ;

si la función posee un extremo local deberá coincidir con este punto. Para verificarlo estudiemos el incremento

local de la función cuando nos movemos cerca de (x0, y0); tenemos

.f = f (1 + hx, 4 + hy) − f (1, 4) = 2h2

x + h2

y − hxhy,

y definiendo (hx, hy) = h (cos θ, sen θ)

.f = h [2 cos θ + sen θ − cos θ sen θ] = h

cos θ +

1 −

sen(2θ)

≥ 0.

Por lo tanto, el punto ( 1, 4) es un mínimo local de la función correspondiente al valor f (1, 4) = −14.

Obsérvese el carácter cóncavo de la gráfica de la función cerca de dicho punto lo que le confiere un

aspecto tatalmente distinto al de la gráfica del ejemplo precedente.

–10

–5

–10

–5

100

150

200

250

Figura 5.4:

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

202

BORRADOR

TEMA 5. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES ESCALARES

Ejemplo 5.4

Estudie los extremos locales de la función

f (x, y ) = y − xy + 2x + y + 1.

Como en el ejemplo precedente estudiamos la existencia de puntos críticos de la función , cuyas coordenadas

serán las soluciones del siguiente sistema

f′x = −y + 2

f′y = 2y − x + 1

⇒

−y + 2 = 0

2y − x = 1 ⇒ (x0, y0) = (5, 2) .

Estudiando ahora el comportamiento del incremento de la función cuando nos movemos cerca del punto

crítico podremos determinar si se trata de un extremo o de un punto de silla. En efecto

.f = f (5 + hx, 2 + hy) − f (5, 2) = hy − hxhy = h sen θ [sen θ − cos θ] ,

donde hemos tomado (hx, hy) = h (cos θ, sen θ). El incremento se escribe de forma más compacta como

.f = hχ (θ) ,

donde la función dependiente del ángulo puede reexpresarse así

χ (θ) = √2 sen θ sen

.π

4 − θ

Es claro que χ (θ) toma valores positivos y negativos dependiendo de la dirección en que nos movamos,

por lo que el punto crítico es un punto de silla.

–10

–5

–10

–5

–40

–20

100

120

Figura 5.5:

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

5.3. CONDICIÓN SUFICIENTE DE EXTREMO 203

5.3 Condición suficiente de extremo

En esta sección deduciremos un criterio de suficiencia, basado en las derivadas de segundo

orden, que permita determinar si un punto crítico es un extremo local de la función . Por supuesto,

en el caso de funciones de una sola variable deberá reducirse a las condiciones que ya

conocemos, esto es, que f′′

x > 0 para un mínimo local estricto y f′′

x < 0 para un máximo estricto.

5.3.1 Desarrollo de Taylor alrededor de un punto crítico

No debemos perder de vista que el objetivo de nuestro estudio es la variación del valor de la

función cuando nos separamos de forma arbitraria de un punto crítico una distancia infinitesimal.

La forma más general de desarrollar esta tarea consiste en utilizar el desarrollo de Taylor

alrededor del punto crítico. Empecemos por considerar una función f : D ⊂ Rq −→ R definida

en D y de clase C2 en −→x 0 ∈ °D. Si −→x 0 es un punto crítico de la función resulta que

−→∇f

􀀀−→x 0

= −→0 ó df

.−→x 0

. .

−→h

= 0, ∀−→h.

Por lo tanto el desarrollo de Taylor hasta orden dos vendrá dado por

−→x 0 + −→h

= f

􀀀−→x 0

d2f

.−→x 0

. .

−→h

+ o

−→h

siempre que la diferencial de segundo orden no se anule en el punto crítico1. Entonces, el incremento

de la función para

−→h

≪ 1 se escribe como

.f = f

−→x 0 + −→h

− f

􀀀−→x 0

d2f

.−→x 0

. .

−→h

+ o

−→h

Conviene distinguir entre la dirección orientada del vector y su módulo; para ello introducimos

−→h = ε−→u con

−→u

= 1. Así

.f =

ε2

d2f

.−→x 0

. 􀀀−→u

+ 2

o (ε)

ε2

y considerando valores de ε suficientemente pequeños de manera que

.....

􀀀

ε2

.....

≪

d2f

.−→x 0

. 􀀀−→u

...

obtenemos

.f ≃

ε2

d2f

.−→x 0

. 􀀀−→u

Ademas, como ε2 > 0

sgn (.f) = sgn

􀀀

d2f

.−→x 0

. 􀀀−→u

donde sgn es la función que nos proporciona el signo de su argumento. En definitiva lo que

hemos demostrado es que cuando nos separamos de un punto crítico una distancia suficientemente

pequeña en la dirección dada por −→u, el signo del incremento de f coincide con el de

d2f

.−→x 0

. 􀀀−→u

1De ahora en adelante, salvo que se diga explícitamente lo contrario, supondremos que d2f ˆ−→x 0˜ “−→h ” 6= 0

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

204

BORRADOR

TEMA 5. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES ESCALARES

En el caso de funciones de una variable la diferencial segunda viene dada por d2f [x0] (h) =

f(2) (x0) h, y como h2 > 0 el signo de la diferencial coincide con el de la derivada segunda. De

esta forma, si f(2) (x0) > 0 el incremento de la función es positivo y estamos en presencia de

un mínimo local. Análogamente, si f(2) (x0) < 0 el incremento de la función es negativo y x0

es un máximo local.

La situación se complica enormemente cuando tratamos con funciones multivariable,ya que

la diferencial de orden dos es un polinomio de segundo grado en las componentes del incremento

−→h = −→x − −→x 0. Los conocimientos adquiridos en cursos de álgebra lineal sobre formas

cuadráticas son una ayuda inestimable para resolver el problema

5.3.2 La diferencial segunda como forma cuadrática

La matriz de derivadas parciales de segundo orden de la función f, evaluada en −→x 0

􀀀−→x 0





...

· · · f(2)

xixj

􀀀−→x 0

· · · ...





i,j=1,2,...,q

recibe el nombre de matriz Hessiana de la función f en el punto −→x 0. Utilizando Hf

􀀀−→x 0

y la

matriz columna asociada a las componentes u1, u2, · · · , uq del vector unitario −→u

u =





...





podemos reescribir la diferencial de orden dos como

d2f

.−→x 0

. 􀀀−→u

i,j=1

􀀀

􀀀−→x 0

ij uiuj = uTHf

􀀀−→x 0

Por lo tanto la diferencial de segundo orden es una forma cuadrática en las variables u1, u2, · · · , uq.

Además, como las derivadas cruzadas de las funciones C2 son iguales, la matriz Hessiana es simétrica

y por lo tanto diagonalizable mediante una transformación ortogonal real O (una matriz

de entradas reales que verifica que OTO = OOT = 1). Es decir, existe una relación de la forma

Hf ⇒ OHfOT = . = diag (λ1, λ2, · · · , λq) ,

donde {λi}i=1,2,...,q son los autovalores (reales) de la matriz Hf .

Resulta conveniente definir una nueva matriz columna v, cuyas componentes vienen dadas por

la relaciónu = Ov. Introduciendo la definición de v en la expresión de la diferencial tenemos

d2f

.−→x 0

. 􀀀−→u

= uTHf

􀀀−→x 0

u = vTOTHf

􀀀−→x 0

= vT.v = λ1v2

1 + λ2v2

2 + · · · + λqv2

q ,

con lo cual hemos logrado expresar la diferencial de orden dos como una suma de cuadrados cuyos

coeficientes son los autovalores λi de la matriz Hessiana, que pueden ser positivos, negativos

o cero.

Ejemplo 5.5

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

5.3. CONDICIÓN SUFICIENTE DE EXTREMO 205

Sea F (ux, uy) = uTQu una forma cuadrática en R2 donde las matrices 2 × 2

uT = (ux, uy) y Q =

qxx qxy

qxy qyy

tienen entradas reales (es decir, u., q.,. ∈ R).

Como Q es una matriz real y simétrica existe una matriz ortogonal real de dimensión dos

O =

cos θ sen θ

(−1). sen θ (−1).+1 cos θ

, φ = 1, 2,

tal que

OQOT = . = diag(λ1, λ2).

Expresando este resultado en términos de ecuaciones escalares, resulta

qxx cos2 θ + qyy sen2 θ + (−1).qxy sen 2θ = λ1,

qxx cos2 θ + qyy sen2 θ − (−1).qxy sen 2θ = λ2,

qxx − qyy

sen 2θ + (−1).qxy cos 2θ = 0.

La última ecuación permite determinar el valor de θ y substituyendolo en las otras dos ecuaciones

obtendremos los autovalores de la matriz Q. La matriz O nos permite definir un nueva matriz columna v

cuya relación con u es

v = Ou,=⇒

cos θ sen θ

(−1). sen θ (−1).+1 cos θ

u = OT v,=⇒

cos θ (−1). sen θ

sen θ (−1).+1 cos θ

Entonces

F (ux, uy) = uTQu = vT.v = λ1v2

1 + λ2v2

Es muy instructivo clarificar el significado geométrico de la transformación de coordenadas asociada

a la matriz O. Con este fin estudiamos la transformación de los vectores −→ı y −→ . Así, definimos

−→ı

O −→ −→ζ 1

−→

−→ −→ζ 2

Utilizando la matriz O y la forma matricial de los vectores −→ı y −→ , obtenemos

−→ζ 1 = (cos θ, sen θ) , −→ζ 2 =

􀀀

(−1). sen θ, (−1).+1 cos θ

expresiones que indican que los nuevos vectores corresponden a una rotación antihoraria de ángul θ. La

figura muestra, para φ = 1, la rotación de los dos vectores de la base, lo que demuestra claramente que la

matriz O está asociada a una rotación de los ejes del sistema de referencia.

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

206

BORRADOR

TEMA 5. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES ESCALARES

Figura por ha

Figura 5.6: Rotación de los vectores de la base.

5.3.3 Criterio de suficiencia de la diferencial segunda

Podemos utilizar el comportamiento de la diferencial segunda de la función en −→x 0, caracterizada

por la matriz de autovalores .

d2f

.−→x 0

. 􀀀−→u

= uTHf

􀀀−→x 0

u = vT.v,

para determinar la naturaleza del punto crítico. En efecto, podemos considerar los siguientes

casos excluyentes entre sí:

1. Todos los autovalores λi de lamatriz Hessiana son positivos, lo cual implica que d2f

.−→x 0

. 􀀀−→u

0 ∀−→u. En este caso se dice que la diferencial segunda de la función en −→x 0 es definida

positiva.

Cuando el desplazamiento ε =

−→x − −→x 0

es suficientemente pequeño se cumple que

.f > 0 ∀−→x ∈ B∗

􀀀−→x 0, ε

, de forma que −→x 0 es un mínimo local estricto.

2. Todos los autovalores λi de lamatriz Hessiana son negativos, y por lo tanto d2f

.−→x 0

. 􀀀−→u

0 ∀−→u. En este caso se dice que la diferencial segunda de la función en −→x 0 es definida

negativa.

Si ε es suficientemente pequeño se cumple que .f < 0 ∀−→x ∈ B∗

􀀀−→x 0, ε

, con lo cual

−→x 0 es un máximo local estricto.

3. La matriz Hessiana posee q+ autovalores positivos y q0 autovalores nulos (q+, q0 >

0, q+ + q0 = q). Se dice entonces que la diferencial segunda de la función en −→x 0 es

semidefinida positiva.

En este caso se cumple que d2f

.−→x 0

. 􀀀−→u

≥ 0 ∀−→u. Sin embargo el criterio no proporciona

la información necesaria para determinar si −→x 0 es un extremo porque existen q0

direcciones independientes, dadas por los autovectores −→ζ i asociados a los autovalores nulos,

tales que d2f

.−→x 0

. .

−→ζ i

= 0. En consecuencia es necesario acudir a las diferenciales

de orden superior para determinar la naturaleza de −→x 0.

Cuando la diferencial segunda de la función en −→x 0 es semidefinida negativa, un razonamiento

análogo nos lleva a la misma conclusión: resulta imprescindible acudir a términos

de orden superior en el desarrollo de Taylor.

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

5.3. CONDICIÓN SUFICIENTE DE EXTREMO 207

4. La matriz Hessiana posee q+ autovalores positivos, q− autovalores negativos y q0 autovalores

nulos (q+, q− > 0, q+ + q− + q0 = q). Se dice entonces que la diferencial segunda

de la función en −→x 0 no es definida ni semidefinida.

En esta situación existen q+ direcciones orientadas −→ζ +

i , definidas por los autovectores

de los autovalores positivos, tales que d2f

.−→x 0

. .

−→ζ +

> 0 y q− direcciones orientadas

independientes, correspondientes a los autovectores de autovalor negativo, tales que

d2f

.−→x 0

. .

−→ζ −

< 0. Al desplazarnos según las primeras direcciones la función presenta

en −→x 0 un comportamiento de mínimo. Se comporta por el contrario como si tuviese un

máximo cuando nos movemos según el otro conjunto de direcciones. En consecuencia el

punto crítico −→x 0 es un punto de silla.

Estos resultados se resumen en el siguiente teorema que resume la condición suficiente de

extremo local

Teorema 5.2 (Criterio general de la diferencial segunda)

Sea f : D ⊂ Rq −→ R una función de clase C2 y −→x 0 ∈ °D un punto crítico de la

función . Si la diferencial segunda de f en −→x 0 es:

1. definida positiva, el punto crítico es un mínimo local estricto,

2. definida negativa, el punto crítico es un máximo local estricto,

3. semidefinida, no se tiene información suficiente para determinar la naturaleza

del punto crítico.

En cualquier otro caso, esto es, si la diferencial no es definida ni semidefinida el

punto crítico es un punto de silla.

Ejemplo 5.6

Intentaremos clarificar estas ideas en el caso de una función definida en R2 y con la ayuda de los

resultados del ejemplo 5.5 . Sea (x0, y0) un punto crítico de la función f y .f = f (x0 + hx, y0 + hy)− f (x0, y0 ) el incremento de la función cuando nos desplazamos del punto crítico. Admitamos que

.f ≃

ε2

d2f [(x0, y0)] (ux, uy) =

ε2

uTHu,

donde (hx, hy) = ε (ux, uy). Entonces:

1. Si la diferencial es definida positiva los autovalores de H son positivos (λ1, λ2 > 0) y por tanto

.f (ux, uy) = λ1v2

1 + λ2v2

2 > 0,

cualesquiera que sean (v1, v2), o lo que es lo mismo cualquera que sea −→u.

2. Si la diferencial es definida la matriz H posee autovalores negativos. Como λ1, λ2 < 0, la forma

cuadrática cumple que

.f (ux, uy) = λ1v2

1 + λ2v2

2 < 0,

cualquiera que sea la dirección en que nos desplacemos, es decir, cualquiera que sea −→u.

3. Si λ1 > 0 y λ2 = 0, en cuyo caso la diferencial segunda es semidefinida positiva, no es posible

afirmar que .f (ux, uy) toma simepre valores positivos o negativos. Por el contrario existen dos

direcciones orientadas ortogonales para las que el comportamiento es radicalmente distinto:

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

208

BORRADOR

TEMA 5. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES ESCALARES

Para vT

1 = (1, 0) ≡ −→u1 = (cos θ, sen θ) se cumple que .f

􀀀−→u1

= λ1 > 0. Así, en esta

dirección el comportamiento de f es el de un mínimo ya que .f > 0.

Para vT

2 = (0, 1) ≡ −→u2 =

􀀀

(−1). sen θ, (−1).+1 cos θ

tenemos que .f

􀀀−→u2

= λ2 = 0. En

este caso no podemos saber cual es el comportamiento de la función ya que el signo de .f viene

definido por términos de orden superior del desarrollo de Taylor.

4. Si λ1 > 0 y λ2 < 0 la diferencial segunda no es definida ni semidefinida. Como en el apartado

precedente existen dos direcciones orientadas ortogonales en las que el incremento de la función

es muy distinto.

Si vT

1 = (1, 0) ≡ −→u1 = (cos θ, sen θ), entonces .f

􀀀−→u1

= λ1 > 0. Así, en esta dirección el

comportamiento es el de un mínimo ya que .f > 0.

Si vT

2 = (0, 1) ≡ −→u2 =

􀀀

(−1). sen θ, (−1).+1 cos θ

, entonces .f

􀀀−→u2

= λ2 < 0, con lo que

la función se comporta como si tuviese un máximo en (x0, y0).

Dado que dependiendo de la dirección en que nos alejemos del punto crítico el incremento de la

función es positivo o negativo, dicho punto es necesariamente un punto de silla

La figura muestra (para φ = 1) las dos direcciones ortogonales en las que el comportamiento de .f

es diferente cuando la diferencial de orden dos no es definida.

5.3.4 Criterio de la diferencial segunda en R2

La gran ventaja que presenta este caso es que podemos determinar con sencillez la naturaleza

de un punto crítico a partir de los elementos de matriz de la matriz Hessiana evaluada en dicho

punto, sin necesidad de diagonalizarla. Sea f : R2 −→ R una función de clase C2 y (x0, y0) un

punto crítico de la misma. Se cumple entonces que −→∇f (x0, y0 ) = (0, 0) y

.f = f (x, y ) − f (x0, y0 )

(x − x0, y − y0)

f(2)

x (x0, y0 ) f(2)

xy (x0, y0 )

f(2)

xy (x0, y0 ) f(2)

y (x0, y0 )

x − x0

y − y0

+ . . . .

Debido a la invariancia frente a cambios de base de las operaciones traza y determinante,

podemos escribir

TrH (x0, y0 ) = f(2)

xx (x0, y0 ) + f(2)

yy (x0, y0 ) = λ1 + λ2,

detH (x0, y0 ) = f(2)

xx (x0, y0 ) f(2)

yy (x0, y0 ) − f(2)

xy (x0, y0 )2 = λ1λ2,

donde, según la notación habitual, λ1 y λ2 son los autovalores de la matriz Hessiana. De manera

frecuente se denomina discriminante D(x0, y0 ) al determinante de la matriz Hessiana en el

punto crítico (x0, y0).

Consideremos ahora los siguientes casos:

D(x0, y0 ) > 0 y f(2)

xx (x0, y0 ) > 0; entonces

D(x0, y0 ) > 0 =⇒ f(2)

xx (x0, y0 ) f(2)

yy (x0, y0 ) > 0,

f(2)

xx (x0, y0 ) > 0 =⇒ f(2)

yy (x0, y0 ) > 0,

con lo cual tenemos que D(x0, y0 ) = λ1λ2 > 0 y TrH (x0, y0 ) = λ1 +λ2 > 0. Resulta

evidente entoces que λ1 y λ2 son positivos. Por lo tanto H es definida positiva y (x0, y0)

es un mínimo local estricto.

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

5.3. CONDICIÓN SUFICIENTE DE EXTREMO 209

D(x0, y0 ) > 0 y f(2)

xx (x0, y0 ) < 0. Un razonamiento totalmente análogo nos permite

ver que H es definida negativa y (x0, y0) es un máximo local estricto.

D(x0, y0 ) = 0. Esto implica que al menos uno de los autovalores deH es nulo y la matriz

es semidefinida. En consecuencia el criterio basado en la diferencial segunda es insuficiente

para caracterizar el punto crítico. Este tipo de puntos críticos se llaman degenerados y

en este curso habrá que examinarlos caso por caso para determinar el comportamiento de

la función.

D(x0, y0 ) < 0. Esto implica que los dos autovalores de H tienen signos opuestos por lo

que la matriz H no es ni definida ni semidefinida, y el punto crítico es un punto de silla.

Teorema 5.3 (Criterio de las derivadas segundas en R2)

Sea z = f (x, y ) una función de clase C2 y (x0, y0) un punto crítico de la función

. Dependiendo de los signos del discriminante y de f(2)

xx (x0, y0 ) tenemos:

D(x0, y0 ) > 0 f(2)

xx (x0, y0 ) > 0 (x0, y0) es un mínimo local estricto

f(2)

xx (x0, y0 ) < 0 (x0, y0) es un máximo local estricto

D(x0, y0 ) = 0 ∀ f(2)

xx (x0, y0 ) (x0, y0) es un punto crítico degenerado

D(x0, y0 ) < 0 ∀ f(2)

xx (x0, y0 ) (x0, y0) es un punto de silla

Ejemplo 5.7

Estudie los puntos críticos, extremos locales y puntos de silla de la función f (x, y ) = x3 + y − 3xy.

La función es diferenciable en R2 por lo que aplicaremos los criterios basados en las condiciones

necesaria y suficiente de extremo local. Así, para localizar los puntos críticos partimos del sistema de

ecuaciones

f′x = 3x − 3y

f′y = 3y − 3x

⇒

0 = 3x − 3y

0 = 3y − 3x

⇒

y = x

x = y

y substituyendo una ecuación en otra

y = y4 →

y = 1 → y = 1

y = 0

Por lo tanto tenemos dos puntos críticos (x0, y0) = ( 0, 0) y (x1, y1) = ( 1, 1) . Apliquemos ahora el

criterio de la diferencial segunda para determinar la naturaleza de los dos puntos críticos; las derivadas

segundas vienen dadas por

f(2)

x = 6x, f(2)

xy = −3, f(2)

y = 6y,

de manera que

D(x, y ) =

....

6x −3

−3 6y

....

= 36xy − 9.

Substituyendo las coordenadas de los puntos críticos resulta

f(2)

x (0, 0) = 0, D(0, 0) = −9 ⇒ ( 0, 0) punto de silla,

f(2)

x (1, 1) = 6 > 0, D(1, 1) = 25 > 0 ⇒ ( 1, 1) mínimo local estricto.

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

210

BORRADOR

TEMA 5. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES ESCALARES

–2

–1

x –2

–1

–20

–10

Figura 5.7: Extremos y puntos de silla de la función propuesta

5.4 Extremos absolutos

El estudio de las funciones de una variable real muestra que toda función continua en un

intervalo cerrado I alcanza su máximo y su mínimo absolutos en dicho intervalo. El teorema 5.4

muestra que en Rq se tiene un resultado análogo.

Definición 5.3

Sea f : D ⊂ Rq −→ R una función definida en el conjunto D. Decimos que −→x 0 ∈

D es el máximo absoluto (mínimo absoluto) de f en D si f

􀀀−→x 0

≥ f

􀀀−→x

∀−→x ∈

D (f

􀀀−→x 0

≤ f

􀀀−→x

∀−→x ∈ D).

Una vez definido el concepto de extremo absoluto de una función en un conjunto de Rq

pasamos a enunciar el teorema de Weierstrass

Teorema 5.4 (Teorema generalizado de Weierstass)

Sea f : D ⊂ Rq −→ R una función continua en el conjunto compacto D; entonces

f alcanza su máximo y su mínimo absolutos en D, es decir existen dos puntos

−→x 1,−→x 2 ∈ D tales que f

􀀀−→x 1

≤ f

􀀀−→x

≤ f

􀀀−→x 2

, ∀−→x ∈ D.

Considerando que cualquier región compacta D ⊂ Rq puede descomponerse como la unión

de un conjunto abierto A y su frontera ∂A, el método para encontrar los extremos absolutos de

una función en dicha región consiste en los pasos que se enumeran en el siguiente teorema

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

5.4. EXTREMOS ABSOLUTOS 211

D = A ∪ ∂A

∂A

Figura 5.8: Región compacta en el plano

Teorema 5.5 (Localización de extremos absolutos)

Sea f : D ⊂ Rq −→ R una función continua en el conjunto compacto D =

A ∪ ∂A formado por la unión del abierto A y su frontera ∂A. El procedimeinto

estándar para encontrar los extremos absolutos de f en dicho conjunto consta de

los siguientes pasos:

1. Localizar todos los extremos locales de f en el abierto A.

2. Hallar los extremos de la restricción de f a la frontera ∂A (es decir, considerando

que f sólo está definida en ∂A).

3. Comparar los valores que toma f en todos los puntos hallados en los pasos 1

y 2; seleccionar el mayor y el menor de ellos.

Si D = A ∪ ∂A es una región del plano delimitada por una curva continua o por la unión de

varias curvas continuas ∂A = ∪kCk, el paso 2 puede llevarse a cabo de la siguiente forma:

1. Cada curva Ck se parametriza mediante una función continua −→rk : Ik ⊂ R −→ R ; t ∈

Ik −→ −→rk (t)

2. Se construyen las funciones ϕk (t) = f

􀀀−→rk (t)

y se localizan los extremos locales de las

mismas.

3. Calculamos los valores de las funciones ϕk en dichos extremos y añadimos los valores

que toman en los puntos donde se unen las curvas (si hubiera más de una).

Ejemplo 5.8

Encuentre el máximo y el mínimo absolutos de la función f (x, y ) = x + 2y en la región compacta

D =

(x, y) ∈ R2 \. x + y = 1

. Con el fin de aplicar los métodos anteriores separamos el interior y

la frontera de D

D = A ∪ ∂A \. A =

(x, y) ; x2 + y < 1

, ∂A = {(x, y) ; x + y = 1} .

Interior. El primer paso consiste en hallar los extremos locales de la función en el abierto A, para lo cual

igualamos a cero las derivadas parciales

f′x = 2x

f′y = 4y

⇒

x = 0

y = 0

⇒ (x0, y0) = (0, 0) .

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

212

BORRADOR

TEMA 5. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES ESCALARES

Por lo tanto el origen es el único punto crítico en el abierto A. Para determinar su naturaleza aplicamos el

criterio de la diferencial segunda. Las derivadas parciales de orden dos son

f(2)

x = 2, f(2)

y = 4, f(2)

xy = 0,

con lo cual obtenemos el siguiente valor para el discriminante

D(x, y ) =

....

2 0

0 4

....

= 8 > 0.

En consecuencia el punto (0, 0) es un mínimo local donde la función toma un valor f ( 0, 0) = 0.

∂D

Figura 5.9: Parametrización de la frontera

Frontera. Para estudiar el comportamiento de la función en la frontera del conjunto introducimos una

parametrización suave de la circunferencia de radio unidad

∂A : −→r (θ) = (cos θ, sen θ) , θ ∈ [0, 2π]

y la función

ϕ (θ) = f

􀀀−→r (θ)

= cos2 θ + 2 sen2 θ,

que reproduce los valores de f en la frontera de la región. A continuación estudiamos los extremos locales

de ϕ en el abierto (0, 2π). La derivada de ϕ′ (θ) viene dada por

ϕ′ (θ) = −2 cos θ sen θ + 4 cos θ sen θ

= 3 cos θ sen θ =

sen(2θ)

Entonces, la condición de punto crítico se escribe

ϕ′ = 0 ⇒ sen(2θ) = 0 ⇒ θ =

nπ

, n ∈ Z.

Así, en (0, 2π) tenemos los siguientes puntos críticos

θ =

, π,

3π

y como ϕ(2) (θ) = 3 cos(2θ), resulta que

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

5.5. EXTREMOS CONDICIONADOS 213

Figura 5.10: Máximos y mínimos

θ =

2 ≡ (x, y) = (0, 1) , f (0, 1) = 2

ϕ(2) (π/2) = −3 < 0 → (0, 1) máximo.

θ = π ≡ (x, y) = (0,−1) , f (0,−1) = 2

ϕ(2) (π) = −3 < 0 → (0,−1) máximo.

θ =

3π

2 ≡ (x, y) = (−1, 0) , f (−1, 0) = 1

ϕ(2) (3π/2) = 3 > 0 → (−1, 0) mínimo.

A estos tres puntos hay que añadir los extremos

del intervalo, θ = 0, 2π. Como estos dos ángulos

representan un mismo punto sólo consideraremos

el primero. Tenemos entonces que

θ = 0 ≡ (x, y) = (1, 0) , f (1, 0) = 1,

por lo que se comporta como un mínimo.

En definitiva, comparando los valores de f en los puntos (0, 0),(1, 0),(−1, 0), (0, 1) y (0,−1), concluimos

que la función f posee:

un mínimo absoluto en (0, 0) de valor f (0, 0)=0,

y dos máximos absolutos en (0, 1) y (0,−1) cuyo valor es f (0, 1) = f (0,−1) = 2.

5.5 Extremos condicionados

Consideremos, como forma de plantear el problema, el siguiente ejemplo de minimización,

típico de los sistemas productivos. Supóngase que se desea fabricar un envase con forma de paralelepípedo

recto y volumen V = 1 litro, pero cuya superficie sea lo menor posible de manera que

se minimicen los costes de producción. Si denotamos por x, y y z los lados del paralelepípedo,

su volumen y área exterior vienen dados por

V (x, y, z ) = xyz,

A(x, y, z ) = 2(xy + xz + yz).

Se trata entonces de hallar el mínimo (absoluto) de A(x, y, z ) con la condición suplementaria

de que V (x, y, z ) = 1.

Estos problemas se conocen con el nombre genérico de optimización condicionada y son

habituales en bastantes disciplinas como la física, la economía, etc. En general consisten en

localizar los extremos de una función escalar de varias variables reales f

􀀀−→x

cuando éstas se

encuentran condicionadas por una o varias ligaduras de la forma ϕ

􀀀−→x

= 0; se habla entonces

de extremos condicionados.

En el plano esto se traduce en la localización de los extremos de una función z = f (x, y )

definida en un cierto dominio D ⊂ R2, pero donde las dos variables x e y están relacionadas

por un ecuación del tipo ϕ(x, y ) = 0. Esto implica limitar nuestra atención a los puntos de la

curva definida por esta ecuación, tal como se muestra en la figura 5.11

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

214

BORRADOR

TEMA 5. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES ESCALARES

max. cond.

min. cond.

max. no cond.

Ligadura

Grafica

Figura 5.11: Extremos condicionados

El término extremo condicionado no es el único que se utiliza en la literatura; de hecho es

usual referirse a estos puntos como extremos restringidos.

Definición 5.4 (Extremo condicionado)

Sean f : D ⊂ Rq −→ R, ϕ : D ⊂ Rq −→ R dos funciones reales definidas en el

conjunto D. Denotaremos por S al conjunto de nivel con valor nulo de la función

ϕ, esto es

S =

.−→x ∈ D ; ϕ

􀀀−→x

= 0

Decimos que f tiene en −→x 0 ∈ S un extremo relativo condicionado por la ligadura

􀀀−→x

= 0 si existe un valor δ > 0 tal que

􀀀−→x 0

≥ f

􀀀−→x

, ∀−→x ∈ B∗ 􀀀−→x 0, δ

∩ S → Máximo condicionado

􀀀−→x 0

≤ f

􀀀−→x

, ∀−→x ∈ B∗ 􀀀−→x 0, δ

∩ S → Mínimo condicionado

El siguiente teorema proporciona la condición necesaria para que un punto −→x 0 ∈ S sea

extremo condicionado de f cuando nos restringimos al conjunto S definido por la ecuación de

ligadura.

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

5.5. EXTREMOS CONDICIONADOS 215

Teorema 5.6 (Método de los multiplicadores de Lagrange)

Sean f : D ⊂ Rq −→ R y ϕ : D ⊂ Rq −→ R dos funciones definidas en D y

continuamente diferenciables (de clase C1) en un entorno de −→x 0. Si f

􀀀−→x

tiene

un extremo local en −→x 0 condicionado por la ligadura ϕ

􀀀−→x

= 0, entonces existe

un número λ0 ∈ R tal que la función

􀀀−→x , λ

= f

􀀀−→x

+ λϕ

􀀀−→x

tiene un punto crítico en

􀀀−→x 0, λ0

, es decir

−→∇g

􀀀−→x 0, λ0

= −→∇f

􀀀−→x 0

+ λ0−→∇ϕ

􀀀−→x 0

= −→0 .

Antes de embarcarnos en la demostración puede ser pertinente efectuar una serie de aclaraciones

sobre el significado de este resultado:

1. La función g

􀀀−→x , λ

recibe el nombre de función auxiliar y el parámetro real λ se denomina

habitualmente multiplicador de Lagrange.

2. El sistema de ecuaciones

−→∇f

􀀀−→x

+ λ−→∇ϕ

􀀀−→x

= −→0

􀀀−→x

= 0

)

≡





∂f

∂x1

+ λ

∂ϕ

∂x1

= 0

∂f

∂x2

+ λ

∂ϕ

∂x2

= 0

...

∂f

∂xq

+ λ

∂ϕ

∂xq

= 0

􀀀−→x

= 0

recibe el nombre de sistema de Lagrange. Las incognitas del sistema son las q coordenadas

de −→x 0 y el valor λ0 del multiplicador de Lagrange en el punto crítico.

3. Las soluciones de este sistema son los puntos críticos (−→x 0, λ0) (con ϕ

􀀀−→x 0

= 0 ) de

la función auxiliar g

􀀀−→x , λ

; de acuerdo con el teorema precedente los extremos condicionados

de f, si existen, deben coincidir con algunos de los valores −→x 0 asociados a los

puntos críticos de g.

4. Si λ0 = 0 entonces −→∇f

􀀀−→x 0

= −→0 y por lo tanto −→x 0 también es un punto crítico de

la función f. Si la función posee un extremo condicionado, éste coincide con un extremo

local libre.

5. El teorema 5.6 posee un significado geométrico muy claro. La ligadura ϕ

􀀀−→x

= 0 define

el conjunto de nivel de valor cero de la función diferenciable z = ϕ

􀀀−→x

. Si llamamos S

a dicho conjunto, sabemos que −→∇ϕ

􀀀−→x 0

es ortogonal a S en −→x 0 (siempre que el vector

gradiente no sea nulo). Por lo tanto, Si f

􀀀−→x

tiene un extremo local en −→x 0 condicionado

por la ligadura ϕ

􀀀−→x

= 0, el vector −→∇f

􀀀−→x 0

–paralelo a −→∇ϕ

􀀀−→x 0

– también es

ortogonal a S en −→x 0.

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

216

BORRADOR

TEMA 5. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES ESCALARES

6. Cuando la ligadura viene definida por dos ecuaciones ϕ

􀀀−→x

= 0 y ψ

􀀀−→x

= 0 el sistema

de Lagrange se escribe

−→∇f

􀀀−→x

+ λ−→∇ϕ

􀀀−→x

+ μ−→∇ψ

􀀀−→x

= −→0

􀀀−→x

= 0

􀀀−→x

= 0





Demostración 5.6

Sean f : D ⊂ Rq −→ R y ϕ : D ⊂ Rq −→ R dos funciones de clase C1 en D. El teorema

5.6 establece que los puntos críticos de la restricción f sobre S, el lugar geométrico de los puntos que

satisfacen la ecuación ϕ

􀀀−→x

= 0, son las soluciones del sistema

−→∇f

􀀀−→x

+ λ−→∇ϕ

􀀀−→x

= −→0

􀀀−→x

= 0

La ligadura define implícitamente una de las q variables xi en función de las restantes; supongamos,

por ejemplo, que

x1 = ψ (x2, x3, . . . , xq) .

Antes de proseguir definimos −→x∗ = (x2, x3, . . . , xq) , la función

􀀀−→x ∗

= f (ψ (x2, . . . , xq) , x2, . . . , xq) ,

que es la restricción de f sobre S, y la función

􀀀−→x ∗

= ϕ (ψ (x2, . . . , xq) , x2, . . . , xq) = 0,

que toma un valor constante sobre S.

Como las dos funciones son diferenciables podemos aplicar la regla de la cadena; El diagrama de árbol

correspondiente es en este caso

F →





x1 →

 

... xi

...

. →





x1 →





...

Por lo tanto

∂F

􀀀−→x ∗

∂xi

∂f

􀀀−→x

∂x1

∂ψ

􀀀−→x ∗

∂xi

∂f

􀀀−→x

∂xi

, i = 2, 3, . . . , q,

∂.

􀀀−→x∗0

∂xi

∂ϕ

􀀀−→x

∂x1

∂ψ

􀀀−→x∗

∂xi

∂ϕ

􀀀−→x

∂xi

= 0 i = 2, 3, . . . , q,

donde en este segundo caso las derivadas son nulas porque . es nula sobre S.

Supongamos ahora que la restricción de f sobre el conjunto S posee un extremo local en −→x 0 ∈ S.

Esto implica que −→∇F

􀀀−→x∗0

= −→0 , y por lo tanto

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

5.5. EXTREMOS CONDICIONADOS 217

∂f

􀀀−→x 0

∂x1

∂ψ

􀀀−→x∗0

∂xi

∂f

􀀀−→x 0

∂xi

= 0,

∂ϕ

􀀀−→x 0

∂x1

∂ψ

􀀀−→x∗0

∂xi

∂ϕ

􀀀−→x 0

∂xi

= 0

para i = 2, 3, . . . , q. Multiplicando la segunda ecuación por un número arbitrario λ y sumando ámbas

ecuaciones resulta

∂f (x0)

∂x1

+ λ

∂ϕ

􀀀−→x 0

∂x1

∂ψ

􀀀−→x∗0

∂xi

∂f

􀀀−→x 0

∂xi

+ λ

∂ϕ

􀀀−→x 0

∂xi

= 0.

∂ϕ

􀀀−→x 0

∂x1 6= 0 basta con elegir λ de manera que

∂f

􀀀−→x 0

∂x1

+ λ

∂ϕ

􀀀−→x 0

∂x1

= 0,

y en consecuencia

∂f

􀀀−→x 0

∂xi

+ λ

∂ϕ

􀀀−→x 0

∂xi

= 0, i = 1, 2, . . . , q.

Ejemplo 5.9

Obténgase el mínimo de f (x, y ) = 2x + y condicionado por la ligadura x + y = 1.

Para obtener este punto (y el valor de la función ) podemos proceder de dos maneras distintas:

i) Despejando la ordenada y de la ecuación de ligadura tenemos que y = 1 − x y definiendo la

función

h (x) = f (x, 1 − x) = 2x + (1 − x)2 = 1 + x4,

resulta obvio que el mínimo absoluto de h corresponde a x = 0. Por lo tanto y = 1 de forma que el

mínimo condicionado de f ocurre en (0, 1) donde f (0, 1) = 1. Por comparación el mínimo libre

ocurre en (0, 0), donde f ( 0, 0) = 0.

ii) Como cálculo alternativo aplicamos método de los multiplicadores de Lagrange. Previamente hemos

identificado la función a minimizar y la ligadura:

Función: → f (x, y ) = 2x + y,

Ligadura: → ϕ (x, y ) = x + y − 1 = 0.

Los gradientes de las dos funciones vienen dados por

−→∇f = (4x, 2y) ; −→∇ϕ = (2x, 1) ,

de manera que el sistema de Lagrange es

−→∇f + λ−→∇ϕ = −→0

ϕ = 0

→





4x + λ(2x) = 0

2y + λ = 0

x + y = 1

Utilizando la primera ecuación tenemos

x(2 + λ) = 0 → x = 0 ó λ = −2.

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

218

BORRADOR

TEMA 5. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES ESCALARES

Si x = 0 despejamos y de la ecuación de ligadura encontrando un valor y = 1. Si λ = −2

podemos determinar el valor de y utilizando la segunda ecuación del sistema. Así

y = −

= 1,

y substituyendo en la ligadura resulta x = ±√1 − y = 0. Por lo tanto, existe un único punto

crítico (x0, y0) = (0, 1) . El método de los multiplicadores establece que si existe un extremo

debe coincidir con este punto. Así, la cuestión ahora radica en determinar si realmente existe tal

extremo.

Como la función está acotada inferiormente ya que f (x, y ) = 2x2 + y2 ≥ 0 debe poseer un

mínimo; por el contrario la función no está acotada superiormente y en consecuencia no posee

máximo absoluto. En efecto, cuando x → ±∞la ligadura impone que y → −∞, de manera que

f (x, y ) → ∞, x → ±∞.

Por lo tanto la restricción de la función al conjunto definido por x2 + y = 1 posee un mínimo

absoluto y éste debe ocurrir en el punto (0, 1).

Ejemplo 5.10

Obtenga los extremos locales de la restricción de la función f (x, y ) = xy sobre la circunferencia C

de ecuación x2 + y2 = 1.

Con este fin aplicamos el método de los multiplicadores de Lagrange. La función cuyos extremos

debemos hallar y la ligadura son:

Función: → f (x, y ) = xy,

Ligadura: → ϕ (x, y ) = x + y − 1 = 0.

Las derivadas parciales de ámbas funciones vienen dadas por

∂f

∂x

= y,

∂f

∂y

= x,

∂ϕ

∂x

= 2x,

∂ϕ

∂y

= 2y,

con lo cual debemos hallar las soluciones en x, y y λ del siguiente sistema de ecuaciones

y + λ(2x) = 0,

x + λ(2y) = 0,

x + y = 1.

Despejando y de la primera ecuación y substituyendo en la segunda tenemos

y = −2λx → x(1 − 4λ) = 0 →

x = 0 → y = 0

2λ = ±1 → y = ∓x

Introduciendo la solución x = y = 0 en la ecuación de la ligadura llegamos a la igualdad absurda

0 = 1, lo que descarta dicha solución. Utilizando la segunda solución e introduciéndola en la ecuación de

ligadura reslta

y = ±x → 2x = 1 → x = ±

√2

con lo cual quedan cuatro soluciones satisfactorias dadas por

(xi, yi) =

√2

,−

√2

−

√2

−

√2

,−

√2

De acuerdo con el método de los multiplicadores existen cuatro puntos críticos entre los que deben encontrarse

los extremos condicionados de f, si es que existen. Ahora bien, la circunferencia C es un conjunto

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

5.5. PROBLEMAS 219

cerrado y acotado y f es una función continua: por lo tanto deberá alcanzar su máximo y su mínimo

absolutos en C. Así bastará con calcular los valores de la función en los puntos críticos y seleccionar el

mayor y el menor de ellos. Procediendo de esta forma tenemos

√2

= f

−

√2

,−

√2

2 → Máximo

−

√2

= f

√2

,−

√2

= −

2 → Mínimo

Es decir, la restricción de f sobre la circunferencia C alcanza un valor máximo en

√2

,−

√2

y un valor mínimo en los dos puntos

−

√2

−

√2

,−

√2

Problemas

Problema 5.1 Cuando el señor Tompkins2 entró en el despacho, el profesor estaba muy concentrado

colocando unas partículas en dos gráficas que tenía sobre su mesa. Mientras esperaba educadamente a

que el profesor terminase su tarea para no distraerlo, el señor Tompkins curioseó entre los objetos que el

profesor había traído de sus viajes por las selvas cuánticas y uno de los colmillos de elefante cuántico se

le cayó al suelo.

- Oh, ¡Dios mío! -exclamó el profesor.

- Lo siento, ¿era muy importante lo que estaba haciendo?

- No, sólo estaba jugando con unas partículas clásicas... Las estaba colocando en estos potenciales justo

en sus posiciones de equilibrio para que se mantuviesen en reposo.

- Oh, y al caérseme el colmillo se habrán descolocado. Lo siento.

- Lo cierto es que eran partículas puntuales, que son muy pequeñas y muy difíciles de encontrar... no

me haría mucha gracia perderlas. Pero aún hay esperanza, la perturbación debida al golpe ha sido muy

pequeña y algunas pueden haberse quedado oscilando cerca de donde las dejé. Ayúdeme a ver cuántas he

perdido y cuántas puedo localizar. Acababa de dejar completamente inmóvil la última partícula en uno

de los puntos de equilibrio de estos potenciales:

1. V (x, y ) = x + xy + y − 3x − 3y

2. V (x, y ) = x4 + y4 − (x + y)2

Ayude al señor Tompkins a localizar los puntos de equilibrio de estos dos potenciales en R2.

Problema 5.2 Determine para qué valores de k tienen un mínimo local en (0, 0) las siguientes funciones:

1. f (x, y ) = x + kxy + 3y

2. f (x, y ) = kx + 5xy + 4y

Problema 5.3 Cada año, una empresa puede producir r radios y t televisores con un coste total de

C (r, t) = 5t+r C. Si cada radio se vende a 200C y cada televisor a 900C, halle la producción de radios

y televisores que maximizaría las ganancias del empresario.

Problema 5.4 Determine el máximo y el mínimo absolutos de las funciones:

2Personaje protagonista de la obra “El breviario del señor Tompkins”. Esta historia no corresponde a ninguna de sus

aventuras imaginadas por George Gamow, físico de reconocido prestigio, que vivió en el siglo XX.

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

220

BORRADOR

TEMA 5. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES ESCALARES

1. f (x, y ) = x + xy + y definida en el disco x + y ≤ 4.

2. f(x, y) = (x − 1)2 + (y − 1)2 en el disco D = {(x, y); x2 + y2 ≤ 25}.

3. f(x, y) = (x − y)2 en la región cerrada y acotada D = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 6, 0 ≤ y ≤ 12 − 2x}.

Problema 5.5 Halle las distanciasmáxima y mínima de los puntos la elipse de ecuación 5x+6xy+5y =

8 al origen de coordenadas.

Problema 5.6 Determine las dimensiones del rectángulo inscrito en una circunferencia de radio r y cuya

superficie tiene área máxima.

Problema 5.7 Determine las dimensiones del paralelepípedo recto inscrito en una esfera de radio r,

cuyo volumen es máximo.

Problema 5.8 Una empresa utiliza fibras de lana y algodón para producir tela. La cantidad de tela producida

viene dada por Q(x, y ) = xy − x − y + 1 donde x es la cantidad de lana e y la de algodón,

ambas medidas en las unidades adecuadas de masa y con x, y ≥ 1. Si los precios de la lana y del algodón

por unidad de masa son p C y q C, respectivamente y la empresa sólo puede invertir E C, determine la

proporción de lana y algodón para producir la mayor cantidad de tela posible.

Problema 5.9 Demuestre que de todos los triángulos que tienen un perímetro dado, el equilátero es el

que tiene mayor área.Pista: El área puede escribirse como A = ps(s − a)(s − b)(s − c) donde s representa el semiperímetro

s = 1

2 (a + b + c)

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

El proyecto libros abiertos de Alqua

El texto que sigue es una explicación de qué es y cómo se utiliza un libro abierto y contiene

algunas recomendaciones sobre cómo crear un libro abierto a partir de un documento de Alqua.

Si estás leyendo estas páginas como anexo a otro documento, éste es casi con seguridad un

documento libre de Alqua; libre en el sentido descrito en el manifiesto de Alqua y las directrices

para documentos libres de Alqua. Si has obtenido dicho documento en un centro público, como

una biblioteca, entonces es además un libro abierto de Alqua.)

Qué son los libros abiertos

Los libros abiertos son ediciones impresas de los documentos libres de Alqua que se pueden

obtener en las bibliotecas u otros centros públicos. La particularidad de los libros abiertos no

reside en qué contienen (el contenido es el mismo que el de los libros descargados de la red)

sino en cómo pueden utilizarse.

Al igual que los usuarios de Alqua a través de la red forman una comunidad de interés que

aprende colectivamente leyendo los documentos, discutiendo sobre ellos y modificándolos para

adaptarlos a propósitos muy variados, los lectores de una biblioteca constituyen también una

comunidad. El ciclo de vida de un documento libre es de constante realimentación: las nuevas

versiones son leídas, corregidas o quizá bifurcadas, lo que conduce a la publicación de nuevas

versiones listas a su vez para un nuevo ciclo del proceso. ¿Por qué no abrir esa dinámica a la

participación de comunidades que no se articulan en torno a la red?. No todos disponen del

tiempo o los medios para participar efectivamente en el proceso de mejora de los documentos a

través de la red, que es la aportación diferencial más importante de los libros libres respecto a los

no libres. Por ello queremos poner a disposición de las bibliotecas libros abiertos que faciliten

lo siguiente:

El acceso de personas sin recursos informáticos al conocimiento que su estudio proporciona.

La posibilidad de contribuir a la mejora de dichos documentos por parte de la amplísima

comunidad de lectores de las bibliotecas, sin otro medio que un lápiz o una pluma.

La formación de grupos de interés locales: compartir a través de un documento libre puede

compartir su proceso de aprendizaje con personas interesadas por temas afines.

La constitución, hasta en los centros que cuentan con una financiación más débil, de un

fondo de documentos libres que cubra áreas del conocimiento que su presupuesto no permite

afrontar.

¿Cómo puedo contribuir a los libros abiertos?

Sólo tienes que utilizarlos como si fuesen tuyos, pero recordando que compartes tu experiencia

de aprendizaje con otras personas.

221

222

BORRADOR

TEMA 5. EL PROYECTO LIBROS ABIERTOS DE ALQUA

Por ejemplo, contrariamente a lo que harías con cualquier otro libro de la biblioteca puedes

escribir en los márgenes de los libros abiertos tus propios comentarios: correcciones, aclaraciones,

bibliografía relacionada... Intenta hacerlo ordenadamente, de modo que no interrumpa la

lectura.

Si quieres compartir algún razonamiento más largo, puedes utilizar tus propias hojas e incorporarlas

al final del documento, poniendo una nota donde corresponda. En este caso, no olvides

firmar tu contribución con un nombre o seudónimo y, opcionalmente, una dirección de correo

electrónico u otra forma de contacto.

Cualquiera que pueda participar a través de la red puede incorporar tus contribuciones a la

versión que se distribuye en línea, con la ayuda de la comunidad de Alqua. De esta manera

abrimos el mecanismo de colaboración a los lectores que no están acostumbrados al ordenador

o prefieren no usarlo. La firma permite atribuir la autoría en el caso de que los cambios se

incorporen y establecer contacto al respecto. Damos por hecho que al escribir tus aportaciones

en un libro abierto estás de acuerdo con que sean libremente utilizadas (en el sentido descrito

en las directrices para documentos libres ya mencionadas) y por lo tanto incorporadas a las

sucesivas versiones digitales.

Los libros abiertos pueden ser editados de modo que se puedan separar sus hojas porque no

hay inconveniente en que éstas sean fotocopiadas: no tenemos que usar la encuadernación como

un modo de evitar la reproducción, puesto que no sólo no la prohibimos sino que animamos a

ella. Por tanto, una vez que obtengas un ejemplar en préstamo puedes llevar contigo sólo la parte

que estés utilizando.

Como lector, tu ayuda es necesaria no sólo para mejorar los documentos, sino para que existan:

hace falta imprimir, encuadernar y donar a una biblioteca un documento libre de Alqua para que

se convierta en un libro abierto.

Quienes tengan acceso a una impresora pueden ayudar a que los libros abiertos perduren en la

biblioteca sustituyendo las partes deterioradas por el uso y actualizando periódicamente el documento

impreso. Para facilitar la tarea a continuación proponemos un sistema de encuadernación

modular.

¿Cómo puedo publicar un libro abierto?

Los pasos para publicar un libro abierto son los siguientes:

1. Imprimir la versión más actualizada del documento tal cual se distribuye en la página web

de Alqua, alqua.org

2. Conseguir una encuadernación modular – sugerimos un archivador de anillas con una

ventana o de portada transparente. Ello permite llevar consigo sólo la parte del libro que

se está usando y añadir hojas con nuevas contribuciones.

3. Encuadernar el libro y situar el título, el autor y la clasificación decimal universal en su

lomo y tapas.

4. Si puedes, adjuntar al archivador una copia del CD-ROM de documentos libres de Alqua.

5. Donarlo a la biblioteca y comunicar a Alqua la edición, escribiendo a librosabiertos@alqua.org.

Se trata de un proceso sencillo al alcance tanto de particulares como de bibliotecas y otras

instituciones, con un coste marginal que no se verá significativamente incrementado por la conservación

y actualización puesto que se puede mantener la encuadernación y sustituir solamente

las páginas impresas.

Curso 2007-2008 Cálculo II, Grupos A y E

BORRADOR

223

En conclusión

El proyecto libros abiertos, consecuencia de los principios establecidos en el manifiesto de

Alqua, persigue dotar a las bibliotecas de un fondo amplio y asequible de documentos libres y a

la vez facilitar la participación de los usuarios en el proceso creativo del que son fruto.

Tu ayuda es esencial para que el proyecto alcance estos objetivos.

Esta descripción del proyecto Libros Abiertos está bajo una licencia atribución-sin derivados de

Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia escriba una carta a Creative Commons,

171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USAo visite http://creativecommons.org/licenses/by_nd/3.0/Versión 1.0, 2003 - http://alqua.org/alqua/open_books-es.html

Cálculo II, Grupos A y E Curso 2007-2008

CAL2

CÁLCULO MULTIVARIABLE

531.5

ALQ

† lomo para ediciones impresas

Cálculo multivariable

Cálculo Multivariable

Joaquin Retamosa Granado y Pablo M. García Corzo

Curso de cálculo II

requisitos

Conocimientos básicos de cálculo en una variable

en internet http://alqua.org/documents/CAL2

otros documentos libres

Variedades, tensores y física - Óptica electromagnética - Ecuaciones diferenciales

ordinarias - Introducción a la física cuántica, segunda parte - Redes

y sistemas - Sistemas Operativos - Geometría simpléctica - Física del

láser - Phystones.

http://alqua.org/documents/

alqua,madeincommunity