Tema 2

FUNCIONES VECTORIALES

OBJETIVO

El alumno analizará las variaciones de funciones vectoriales utilizando diferentes sistemas de coordenadas.

2.1

Definición de función vectorial de variable escalar y de función vectorial de variable vectorial. Ejemplos físicos y geométricos y su representación gráfica para los casos de una, dos o tres variables independientes. Concepto de campo vectorial.

2.2

Definición, interpretación geométrica y cálculo de la derivada de funciones vectoriales de variable escalar y de las derivadas parciales de funciones vectoriales de variable vectorial. Propiedades de las derivadas de funciones vectoriales.

2.3

Ecuación vectorial de una curva. Análisis de curvas a través de la longitud de arco como parámetro. Deducción del triedro móvil y de las fórmulas de Frenet-Serret. Aplicaciones a la mecánica.

2.4

Vector normal a una superficie a partir de su ecuación vectorial, aplicaciones.

2.5

La diferencial de funciones vectoriales de variable escalar y de variable vectorial.

2.6

Concepto de coordenadas curvilíneas. Ecuaciones de transformación. Coordenadas curvilíneas ortogonales. Factores de escala, vectores base y Jacobiano de la transformación. Definición e interpretación de los puntos singulares. Condición para que exista la transformación inversa.

2.7

Coordenadas polares. Ecuaciones de transformación. Curvas en coordenadas polares: circunferencias, cardioides, lemniscatas y rosas de n pétalos.

2.8

Coordenadas cilíndricas circulares y coordenadas esféricas. Ecuaciones de transformación, factores de escala, vectores base y Jacobiano.

2.9

Generalización del concepto de gradiente. Definiciones de divergencia y de rotacional, interpretaciones físicas. Campos irrotacional y solenoindal, aplicaciones. Concepto y aplicaciones del laplaciano. Función armónica. Propiedades del operador nabla aplicado a funciones vectoriales.

2.10

Cálculo del gradiente, divergencia, laplaciano y rotacional en coordenadas curvilíneas ortogonales.