Os pronomes possessivos têm esse nome justamente porque indicam POSSE de algo por parte das três pessoas gramaticais. É um pronome possessivo adjetivo, porque acompanha o termo que uma das três pessoas possui, concordando com ele em gênero e número. Observe o exemplo:
Finalmente eu consegui comprar minha bicicleta!
MINHA é um pronome possessivo, porque indica que a bicicleta pertence à primeira pessoa, eu. É um pronome possessivo adjetivo, porque acompanha o substantivo BICICLETA, que é feminino e singular, concordando com ele em gênero e número.