Programa sintético

Álgebra: Vectores y matrices. Operaciones básicas. Álgebra de matrices: matriz inversa y particionada. Cadenas de Markov, modelos de crecimiento de poblaciones, planificación de producciones, entre otros. Sistemas de ecuaciones lineales. Métodos de solución. La noción de cuadrados mínimos en el estudio de sistemas lineales. La matriz pseudoinversa. Introducción al concepto de espacios vectoriales. Independencia lineal, bases y dimensión. Matrices y transformaciones lineales. Autovalores y autovectores. Diagonalización. Transformaciones de similaridad. Norma de vectores y matrices. Producto interno y ortogonalidad. Programa lineal. Computación numérica y simbólica aplicada al álgebra.

Geometría: Rectas y planos. Dilataciones, rotaciones, traslaciones. Cónicas y cuádricas. Ecuación de segundo grado en dos y tres variables. Curvas paramétricas. Coordenadas polares, cilíndricas, esféricas. Computación gráfica, numérica y simbólica.

De acuerdo a este programa sintético se propone el siguiente programa analítico:

Programa Analítico

I Números Complejos[1] Definición. Operaciones: suma, multiplicación, producto por escalar en C. Propiedades de las operaciones. Isomorfismo. Potencias de la unidad imaginaria. Complejos conjugados: definición y propiedades. División en C. Módulo de un complejo. Forma polar y trigonométrica. Potenciación y radicación en C: fórmulas de De Moivre. Forma exponencial de un complejo. Potencia de un complejo elevado a otro complejo. Logaritmo natural de un complejo. Ecuaciones. Representación de conjuntos de puntos en IR² a través de números complejos.

II Sistemas de ecuaciones lineales, matrices, determinantes. Ecuaciones lineales. Sistemas de ecuaciones lineales. Solución de sistemas de ecuaciones lineales. Sistemas equivalentes. Operaciones elementales en sistemas. Ecuaciones vectoriales. Método de Gauss y Gauss Jordan. Clasificación del sistema de ecuaciones lineales por su tipo de solución. Sistemas homogéneos. Problemas. Álgebra de matrices. Trasposición de matrices. Operaciones con matrices: suma, escalar por matriz, producto de matrices. Propiedades. Inversa de una matriz. Cálculo. Clasificación de matrices. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales. Rango. Teorema de Rouche Frobenius. Matrices particionadas. Cadenas de Markov. Determinante: definición, cálculo y propiedades. Regla de Laplace. Matriz adjunta. Regla de Cramer. Matrices, determinantes y sistemas lineales en C.

III Geometría lineal El vector en IRⁿ. Definición. Operaciones suma, resta y producto escalar por vector. Vector en un sistema de coordenadas y definidos por las coordenadas de su origen y extremo. Módulo. Ángulos directores. Versor asociado a un vector. Productos: escalar, vectorial y mixto. Definición. Interpretación geométrica. Cálculo por coordenadas. Proyección ortogonal de un vector sobre otro. Ángulo entre vectores. Problemas. Rectas en el plano: ecuaciones de la recta que pasa por un punto y es paralela a un vector, ecuaciones de una recta que pasa por un punto y es perpendicular a un vector. Posiciones relativas de dos rectas en el plano. Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos. Distancia de punto a una recta en IR². Aplicaciones. Ecuación implícita del plano. Ecuación del plano que pasa por tres puntos no alineados. Ecuación del plano que pasa por un punto y es paralelo a dos vectores no paralelos entre sí. Ecuaciones paramétricas, vectorial y cartesiana del plano. Posiciones relativas de dos planos. Ángulos diedros entre dos planos. Distancia de punto a un plano. Ecuación de la recta en el espacio que pasa por un punto y es paralela a un vector. Recta definida por la intersección de dos planos no paralelos. Posiciones relativas de rectas y planos. Distancia de punto a recta en el espacio. Posiciones relativas de dos rectas en el espacio.

IV Secciones cónicas Origen del nombre. Las tres cónicas: elipse, hipérbola, parábola. Definición de cada cónica a partir de una recta (directriz) y un punto fijo (foco) no perteneciente a ella. Excentricidad. Ecuación canónica correspondiente a cada cónica. Gráficos. Definición clásica de las cónicas. Equivalencia de ambas definiciones. Ecuación de segundo grado incompleta en dos variables. Propiedades.

V Superficies Superficies y curvas en IR³ en coordenadas cartesianas. Análisis de la ecuación de una superficie. Superficies cilíndricas, cónicas, de revolución, regladas. Esfera. Las cinco cuádricas. Definición, ecuación canónica y gráfico. Primeras propiedades.

VI Espacios Vectoriales Concepto propiedades. Subespacios. Operaciones entre subespacios. Combinación lineal, independencia lineal, base y dimensión de un espacio vectorial. Extensión de una base. Cambio de base. Matrices, sistemas de ecuaciones lineales y espacios vectoriales. Espacio fila y espacio columna. Rango de una matriz. Espacio con producto interior. Norma. Distancia. Bases ortogonales y ortonormales. Proyecciones ortogonales. Factorización LU y QR de una matriz. Proceso de Gram-Schmidt modificado. Mínimos cuadrados[2]. Teoría general del método. Diferentes aplicaciones.

VII Transformaciones lineales, autovalores y autovectores. Formalización del concepto de transformación lineal. Propiedades. Matriz de una transformación lineal. Autovalores y autovectores: definición y cálculo. Polinomio característico. Valor propio de matrices singulares. Característica de una matriz singular. Aplicaciones: cadenas de Markov, modelos económicos lineales, distribución estable de edades de una población. Matrices semejantes. Diagonalización. Teoremas asociados. Diagonalización de matrices simétricas. Matrices ortogonales. Teoremas asociados. Matrices definidas positivas. Descomposición de Cholesky. Transformaciones ortogonales. Aplicación de autovalores: sucesión de Fibonacci, sistemas dinámicos, procesos de difusión y mezcla, formas cuádricas.

[1] Esta una unidad se agrega como apéndice, a modo de complemento del curso introductorio