Diario delle lezioni
18/12 - I gruppi ciclici sono isomorfi al gruppo degli interi o a un gruppo delle classi di resto. Calcolo dell'ordine di un elemento di un gruppo ciclico. Radici primitive dell'unità e polinomi ciclotomici. I polinomi ciclotomici sono polinomi monici a coefficienti interi.
16/12 - Forma polare dei numeri complessi: piano di Gauss, moltiplicazione, potenze e radici di numeri complessi in forma polare. Radici dell'unità: definizione. Gruppi ciclici: ordine di un elemento e di un gruppo.
11/12 - Il Teorema fondamentale dell’algebra. Radici e fattorizzazione di polinomi a coefficienti reali. Numeri algebrici e trascendenti. I numeri algebrici formano un campo numerabile che è algebricamente chiuso.
09/12 - L’insieme dei reali è completo, esistenza delle radici intere dei numeri reali positivi. Scrittura in base k di un numero reale. I numeri complessi: definizione dell’insieme, delle operazioni e del coniugio. I numeri complessi sono un campo e il coniugio è un automorfismo non banale.
04/12 - Criterio di Eisenstein. Irriducibilità mod p implica irriducibilità sui razionali. Cenni sulla costruzione dei reali: sezioni di Dedekind.
02/12 - Polinomi a coefficienti interi e razionali. Metodo per trovare le radici razionali di un polinomio a coefficienti interi. Polinomi primitivi: lemma di Gauss. Teorema di Gauss.
27/11 - Funzioni polinomiali associate a un polinomio, radice di un polinomio. Divisione euclidea di polinomi e conseguenze: MCD, algoritmo euclideo, identità di Bézout, fattorizzazione unica. Teorema di Ruffini. Molteplicità di una radice rispetto a un polinomio.
25/11 - Criterio per verificare se un razionale ha scrittura finita in base k. Ogni scrittura finita o periodica in k cifre `e la scrittura posizionale
in base k di un numero razionale.
I polinomi: definizione dell'anello dei polinomi a coefficienti in un anello A. Definizione di grado di un polinomio. Grado di una somma e di un prodotto di polinomi. Se A è un dominio anche A[X] è un dominio. Se A è un dominio, gli invertibili di A[X] sono esattamente gli invertibili di A. Un omomorfismo di anelli induce un omomorfismo dei rispettivi anelli di polinomi.
20/11 - Dimostrazione del Teorema di Eulero. Soluzione di un sistema di congruenze lineari con moduli a due a due coprimi. Il campo dei numeri razionali: definizione dell'insieme, delle operazioni e dell'ordinamento. Esistenza e unicità della rappresentazione in frazione ridotta. Densità dei numeri razionali.
Parte intera e frazionaria di un numero razionale. Algoritmo per trovare la scrittura in base k di un numero razionale.
18/11 - Definizioni di omomorfismo, isomorfismo, endomorfismo e automorfismo di gruppi e anelli. Riformulazione del Teorema cinese del resto. Il Piccolo Teorema di Fermat. La funzione di Eulero: definizione e proprietà. Enunciato del Teorema di Eulero.
15/11 - Primo esonero
06/11 - Congruenze lineari e sistemi di congruenze lineari. Condizioni per la risolubilità e metodi per determinare le soluzioni. Teorema cinese del resto.
04/11 - Dimostrazione dell'infinità dei numeri primi. La radice di un primo non è un numero razionale. Definizione di minimo comune multiplo.
Gli anelli delle classi di resto: definizioni delle classi e delle operazioni. Unità e invertibili in Z/nZ. Z/nZ è un dominio se e solo se è un campo se e solo se n è un numero primo.
31/10 - Definizione di Massimo Comun Divisore, esistenza e Identità di Bézout. Algoritmo euclideo. Nell'anello degli interi un elemento è primo se e solo se è irriducibile. Il Teorema fondamentale dell'Aritmetica.
28/10 - Divisibilità, elementi riducibili, irriducibili e primi. In un dominio di integrità ogni elemento primo è anche irriducibile.
La divisione euclidea: esistenza e unicità. Scrittura posizionale in base k.
23/10 - Alcune proprietà dei gruppi. Definizione di Anello ed esempi. Alcune proprietà degli anelli. Definizioni: zero-divisore, dominio di integrità, unità e campo.
21/10 - Definizione di coefficiente binomiale e proprietà di base. Binomio di Newton. Cardinalità dei reali e dell'insieme delle parti di un insieme.
Definizione dell'insieme dei numeri interi, delle operazioni e dell'ordinamento su di esso. Definizione di gruppo con esempi.
18/10 - Esercitazione
17/10 - Esercitazione
16/10 - La divisione Euclidea nei naturali. Definizione di relazione di equipollenza tra insiemi e cardinalità. Alcune proprietà delle cardinalità (senza dimostrazione). Principio dei cassetti e definizioni di insieme finito e infinito.
14/10 - Assiomi di Peano. Definizione delle operazioni di somma e prodotto e dell'ordinamento. Dimostrazione per induzione, esempi. Induzione forte e principio del minimo. Equivalenza di questi col principio di induzione.
11/10 - Esercitazione.
09/10 - Esempi su composizioni di funzioni. Relazione con iniettività e suriettività. Funzioni inverse. L'inversa esiste se e solo se la funzione è biettiva. Esempi. Relazione nucleo e teorema di decomposizione.
07/10 - Esempi di funzioni importanti, controimmagine di un elemento e di un insieme. Funzioni infettive, suriettive e biettive. Relazione tra queste proprietà e controimmagini. Funzioni composte. Associatività della composizione di funzioni.
02/10 - Relazioni di equivalenza: definizioni ed esempi. Corrispondenza tra relazioni di equivalenza e partizioni. Funzioni: definizioni.
30/09 - Relazioni d'ordine. Definizioni di minoranti, maggioranti, massimo, minimo, estremi inferiore e superiore, elementi minimali e massimali. Insiemi ben ordinati. Esempi.
25/09 - Famiglie di insiemi. Leggi di De Morgan. L'insieme delle parti e partizioni. Prodotto cartesiano. Generalità sulle corrispondenze e sulle relazioni.
23/09 - Introduzione al corso. Insiemi ed elementi. Logica proposizionale elementare. Sottoinsiemi, unione, intersezione e complementare.